吃鸡蛋-开学安全第一课

高中竞赛必备资料
第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
一、选择题
1、直线A x + B y + C = 0（A，B不全为零）的倾斜角是（ ）

A
，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –)
B
2

B
（B）A = 0时，倾斜角是，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –)
A
2
（A）B = 0时，倾斜角是
（C）A = 0时，倾斜角是0，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –
（D）B = 0时，倾斜角是0，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –
B
)
A
A
)
B
2、数列{ a
n
}：a
1
= p，a
n + 1
= q a
n
+ r（p，q，r是常数），则r = 0是数列{ a
n
}成等比数列的
（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）不充分也不必要条件
3、f 是R  R上的一一映射，函数y = f ( x )严格递增，方程x = f ( x )的解集为P，方程x = f [ f ( x )]
的解集为Q，则（ ）
（A）P  Q

（B）P = Q

（C）P  Q

（D）以上都不对
4、点( x，y )的坐标x，y都是有理数时，该点称为有理点，在半径为r，圆心为( a，b )的圆中，
若a∈Q，b∈
Q
，则这个圆上的有理点的数目（ ）
（A）最多有一个 （B）最多有两个 （C）最多有三个 （D）可以有无穷多个 5、以某些整数为元素的集合P具有以下性质：（1）P中元素有正数也有负数；（2）P中元素有
奇数也有偶数；（3）– 1 P；（4）若x，y∈P，则x + y∈P。对于集合P，可以断定（ ）
（A）0∈P，2  P （B）0  P，2∈P （C）0∈P，2∈P （D）0  P，2  P
二、填空题
6、方程arcsin ( sin x ) =

6
×
xx
的实根个数是 。
|x|
7、使不等式| ( x – 1 ) ( x + 1 ) | + | ( x – 2 ) ( x + 2 ) | + | ( x – 3 ) ( x + 3 ) | < ( t – x ) ( t + x )的解集为
空集的实数t形成一个集合，把这个集合用区间形式写出来，就是 。
8、椭圆的两个焦点是F
1
( 3 , – 6 )，F
2
( 6 , 3 )，一条切线为4 x = 3 y，这个椭圆的离心率是 。
9、设[ x ]表示不超过x的最大整数，则[
1
] + [
2
] + [
3
] + … + [
19891990
] +[ –
1
] +
[ –
2
] + [ –
3
] + … + [ –
19891990
]的值是 。

答案：一、 A、B、A、B、A；二、6、1；7、[ – 2
3
，2
3
]；8、
5
；9、– 1989
2
。
3
简解：5、若x，y∈P，则x + y∈P  若x + y  P，则x  P或y  P。显然1  P，若2 ∈P，则
4，6，8，…，2 n ∈P，且– 1，– 3，– 5，…，– 2 m + 1  P，则存在– 2 n ∈P，且2 m + 1 ∈P，
则– 2 ∈P，2 m – 1 = 2 m + 1 – 2∈P，…，1 ∈P，矛盾，故2  P。
t
2
14t
2
14
2
7、若x ≤ – 3或x ≥ 3，则4 x < t + 14，即x <，又x ≥ 9，只需
≤ 9，t
2
≤ 22即
44
t
2
4t
2
4< br>2222
可；若– 3 < x ≤ – 2或2 ≤ x < 3，则2 x < t – 4，即x <，又4 ≤ x < 9，只需
≤ 4，
22
222
t
2
≤ 12即可；若– 2 < x ≤ – 1或1 ≤ x < 2，则t
2
> 12，只需t
2
≤ 12即可；若– 1 < x < 1，则2 x
2
>
t
2
t
2
2
14 – t ，即x > 7 –，又x < 1，只需7 –
≥ 1，t
2
≤ 12即可；∴ – 2
3
≤ t ≤ 2
3
。
22
22< br>8、进行坐标变换：


xm4.5

mpcos
qsin

310
，

，tan θ = 3，则F
1
( 3 , – 6 ) ( –，
yn1.5npsin
qcos

2

0 )，F
2
( 6 , 3 ) (
三、解答题
1
92
310910310
，0 )，4 x = 3 y p – 3 q –= 0，c =| F
1
F
2
| =，a =。
2
2
222
10、数列{ arccot 2 n
2
}的前n项的和为S
n
，证明，对一切n∈N，都有S
n
<
解：∵ arccot 2 n
2
= arccot ( 2 n – 1 ) – arccot ( 2 n + 1 )

。
4
∴ S
n
= arccot 2 + arccot 8 + … + arccot 2 n
2
= ( arccot 1 – arccot 3 ) + ( arccot 3 – arccot 5 ) +
… + [ arccot ( 2 n – 1 ) – arccot ( 2 n + 1 ) ] = arccot 1 – arccot ( 2 n + 1 ) < arccot 1 =

。
4
11、用4块腰长为a，上、下底边长是a，2 a的等腰梯形硬纸片和两块平面多边形硬纸片可以围
成一个六面体，求六面体的体积。
解：如图，围成的六面体为正四棱台，上、下底面积分别为S
1
=
D< br>A
E
C
A
1
F
B
1
2
a ，S
2
= 4 a ，高EF = CG =a，体积V =h ( S
1
+ S
2

3
2
1
272
3
+
S
1
S
2
) =×a × ( a
2
+ 4 a
2
+ 2 a
2
) =a 。
326
22
B
1
G
C
1
12、正方形PQRS的 顶点Q，R，S分别在边长为2的正△ABC
的边AB，BC，CA上滑动，求P点的轨迹方程。

D
1
第11题图
第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1991年4月14日 上午8：30—10：30

一、选择题
1、映射f ：（a，b，c，d）（1，2，3），如果10 < f ( a ) f ( b ) f ( c ) f ( d ) < 20，这样的映射共
有（ ）
（A）23个 （B）24个 （C）25个 （D）26个
y
2
x
2
2、曲线
–
= 1与曲线9 x
2
+ 25 y
2
= 225的焦距相等的充要条件是（ ）
16k
k
（A）k < 16且k ≠ 0 （B）k > 0且k ≠ 16 （C）0 < k < 16 （D）k < 0或k > 16
3、定义在全体实数上的函数f ( x )，满足：（1）f ( x
3
) = f
3
( x )；（2）对任意x
1
≠ x
2
，都有f ( x
1
)
≠ f ( x
2
)。则f ( – 1 ) + f ( 0 ) + f ( 1 )的值是（ ）
（A）0

（B）1

（C）– 1

（D）不能确定
4、正方体表面正方形的对角线所在直线中有两条直线的距离是1，则此正方体的体积是（ ）
（A）1 （B）3
3
（C）1或3
3
（D）3
3
或3
2

5、M = { ( x，y ) | x
3
+ 8 y
3
+ 6 x y ≥ 1，x，y∈R }，P = { ( x，y ) | x
2
+ y
2
≤ t
2
，t∈R，t ≠ 0 }，
若P∩M =

，则有（ ）
（A）– 1 < t < 1 （B）–
11
3355
< t < （C）–< t < （D）–< t <
22
4455
6、函数f ( x ) = arcsin ( cos x ) + arccos ( sin x )的值域是（ ）
（A）[ –

3

3


，] （B）[ 0，] （C）[ –，π ] （D）[ 0，π ]
22
22
7、把函数y = f
– 1
( x )的图象在坐标轴内以原点为旋转中心按逆时针方向旋转90，得到（ ）
（A）y = – f ( x ) （B）y = f ( – x ) （C）y = – f
– 1
( x ) （D）y = – f ( – x )
8、过A ( p，0 )作抛物线y
2
+ p
2
= 2 p x ( p > 0 )的与对称轴垂直的弦P
1
P
2
，O为原点， 则∠P
1
OP
2
是（ ）
（A）直角 （B）钝角 （C）锐角 （D）不确定
9、设f ( x ) = arccos x + 2 arcsin x，则f
– 1
( x )是（ ）
（A）sin x，x∈[ –



，] （B）– sin x，x∈[ –，]
2222
（C）cos x，x∈[ 0，π ] （D）– cos x，x∈[ 0，π ]
10、设x，y∈R，| x | < 1，| y | < 1，x y ≠ 0，记[ x ]表示不超过实数x的最大整数，
则不等式[ x + y ] ≤ [ x ] + [ y ]的解集区域图是（ ）

y
1
y
1
y
1
1
x
1
y
1
O
1
1
1
x
1
O
O
1
O
1
1
x
1
1
1
x
（A）
二、填空题
（B）（C）
（D）

11、集合M = { ( x，y ) | | x – 6 |

+ | y + 12 | = | x – 12 | + 2 | y + 3 | = 15，x，y∈R }中的元素的个数
是 。
12、已知台体上 、下底的面积分别为S
1
，S
2
，若与底面平行的平面把台体截成体积相等的 两部分，
则截面面积为 。
13、方程x
3
–
3
2
3
6
x
2
+ 3 = 0的全部负根之和是 。
81
18
– 2 x y +
x
2
x
2y
2
的最小值是 。 14、以实数x，y为自变量的函数u ( x，y ) = x
2
+
15、过圆x
2
+ y
2
+ 2 x – 6 y + 1 = 0与圆x
2
+ y
2
– 6 x – 6 y + 17 = 0的交点的直线方程可表示
为 。
16、{ x }表示不小于实数x的最小整数，则{ log
2
1 } + { log
2
2 }+ … + { log
2
1991 } = 。
17、函数y =
arcsinx
的值域是 。
arccosx
18、f ( x )对任意x
1
，x
2
∈R都有f ( x
1
– x
2
) = f ( x
1
) + f ( x
2
)，则它的奇偶性是 。
19、定义在正整数上且函数值总是自然数的严格增函数f ( n )，对任意m，n∈N*，当m，n的最
大公约数是1时，f ( m n ) = f ( m ) × f ( n )。若f ( 180 ) = 180，则f ( 1991 ) = 。
20、正十二面体有20个顶点，30条棱，每一个顶点是3条棱的交点，这三条棱的另一个端点是
正十二面体的另外3个顶点，我们称这3个顶点与前一个顶点是相邻的。在每个顶点处放上一个
实数，要求每个顶点所放的实数恰是该顶点相邻的3个顶点处所放实数的算术平均值。设M，m
分别是这 20个实数中最大的和最小的，则M – m的取值范围是 。
答案：一、C、A、A、C、 、D、B、A、D、C；
3
S
1
3
S
2
3
2
6
二、11、4；12、
(
；14、6；15、a ( x – 2 ) + b ( y – 3 ) = 0，（a，b∈R）；
)
；13、–
2
2
3
16、9954；17、[ –
1
，+ ∞ )；18、偶；19、1991；20、 。
2
简解：1 、（2，2，2，2）1个，（1，2，2，3）12个，（1，2，3，3）12个；6、f ( x ) =



2x2

x[

,]

2




x[,0]

2

，；


x[0,]

2x

2



x[,

]

0< br>2

3


x[

,]

2

2x2

7、y = f
– 1
( x )

y = f ( x )
9、arccos x + arcsin x =
y
P
1
x
O
P
2
第4题图
A
第8题图
yx


y轴
y = f ( – x )；

，f ( x ) = π – arccos x，x = – cos y；
2
10、x + y < – 1，


1x0
< br>0x1

1x0

0x1
，x + y < 0，

或

，x + y < 1，

；
0y 1
1y01y00y1


11、（– 1，– 4），（3，0），（7，2），（17，– 8）；
1
12、V
台体
=h ( S +
SS
1
+ S
1
)，
3
S S
1
h
1
S
2
S
2
SS
= =，
h
2
SSS
1
S
1
S
2
S
S
2
3
–
S
3
=
S
3–
S
1
3
；
14、u ( x，y ) + 2 = ( x – y )
2
+ (
y
A
3
9
+
2y
2
)
2
，可以
x
9
看作是平面上点A( x，)、B( y，
2y
2
)间距离
x
9
的平方，即如图两曲线y =、x
2
+ y
2
= 2间的最短
x
距离，易知当x = 3，y = 1时，AB最短，故u ( x，y )
≥ 8 – 2 = 6；
16、0 + 1 + 2 × 2 + 3 × 2
2
+ 4 × 2
3
+… + 10 × 2
9
+ 11 × 67；
17、x∈[ – 1，1 )，arcsin x单调递增，arccos x单调递减；
三、解答题：
21、直角△ABC中AB = AC。用C点为一个焦点作一 个椭
圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且椭圆过A，B
点。求这个椭圆的离心率。 < br>B
O
13
x
A
D
B
O
y
C
x
第21题图

解：设AC = x，则2 a = AD + AC = BD + BC = 1 +
6
22
x，AD =x，2 c = CD =x，e
2
22
=
c
6
==
6
–
3
。
a
22
22、已知正四面体ABCD，考察下列集合。X：与四面 体
四个顶点的距离都相等的平面；Y：X中任意两平面的交
线；Z：Y中任意两直线的交点；求 ：Z中包含的元素数
目，并指出Z中各元素在空间的位置（也可画出Z中各元
素的空间位置并加 以说明）。
解：X：图中四个三角形所在的四个平面；
Y：A
1
B
1
，B
1
C
1
，C
1
D
1
，D
1
A
1
，A
1
C
1
，B
1
D
1
；Z中含有四
个元素：A
1
、B
1
、C1
、D
1
。
A
C
1
B
1
D
BD
1
C
A
1
第22题图
第三届“希望杯”全国数 学邀请赛(高二)第二试
1992年4月12日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、从动点P ( x，3 ) 向圆 ( x + 2 )
2
+ ( y + 2 )
2
= 1引切线，则切线长度的最小值是（ ）
（A）4 （B）5 （C）2
6


（D）6
6
3
2
2、当x∈R时，函数y = x – x+
1
的值是（ ）
2
（A）正实数 （B）负实数 （C）正实数或零 （D）任意实数
3、已知n∈N，有以下四个式子：6
n
+ 3
n
；n
3
+ ( n + 1 )
3
+ ( n + 2 )
3
；11
n
– 2
n
；2
4 n + 2
+5
2 n + 1
其中能被9整除的式子有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个

（D）4个
4、设集合A = { x |
xx
x1
≥ x – 1 }，B = { x | arcsin+ 2 arccos< π }，那么（ ）
22
（A）A = B （B）A  B （C）B  A （D）A∩B =Φ
12
5、等比数列{ a
n
}的首项a
1
= log
a
x，公比q = arctan+ arctan，那么这个数列是（ ）
53
（A）递增数列 （B）递减数列 （C）递增数列或者递减数列 （D）以上都不对
6、A = { x | x =
1232n
+++ … +，n∈N }，B = { x | 4 x
2
– 24 x + 35 < 0 }，则A∩B是（ ）
2222
nnnn
（A）( 2，3 ] （B）{ 2，3 } （C）{ 3 } （D）空集

x
7、方程2 cos= 10
x
+ 10
– x
+ 1的实根的个数是（ ）
3
（A）0 （B）1 （C）2

（D）3
x
2
y
2
37
8、椭圆曲线上两个点的 连接线段称为椭圆的弦，经过椭圆+= 1内的点A（，0）有
4
9
4
1k条长度成等差数列的弦，公差d∈[，1 ]，则k值的集合是（ ）
2
（A）{ 3，4，5，6，7 } （B）{ 3，4，5，6 }

（C）{ 4，5，6，7 }

（D）{ 5，6，7 }
9、若x∈R，则数列{ cos [ x +
2
( n – 1 ) π ] }的前7项和（ ）
7
（A）比1大 （B）比1小 （C）等于1 （D）是零
10、动圆M过定点A且和定圆O相切，那么动圆M的中心的轨迹是（ ）
（A）圆 （B）圆或椭圆 （C）圆或椭圆或双曲线 （D）圆或椭圆或双曲线或直线
二、填空题
11、长方体的棱长的和是l，则该长方体的体积的最大值是 。 < br>x
2
y
2
x
2
y
2
12、椭圆+= 1和+= 1有相同的离心率，则m的值是 。
3
m
2
6
13、若a =
1
29
，则不等式()
log
a
| x – 1 |
<的解是 。
34
2
1
14、从点A ( – 1，)向圆4 x
2
+ 4 y
2
– 8 x + 4 y – 11 = 0作切线，则过切点的弦的方程是 。
2
15、方程3
x
+ 4
x
+ 5
x
= 6
x
的解是 。
16、数列{
1
}的前n项的和是 。
n(n1)(n2)
17、函数y = cos x + sin x cos x的值域是 。

x3(1m
2
)cos


18、m是任意实数，θ是给定的实数，由关于x和y的方程组

确定的动点
2


y1(12m)sin
( x，y )在平面直角坐标系内对应的图形是 。
5
19、[ x ]表示不超过实数x的最大整数，则方程[ 3 x – 4] – 2 x – 1 = 0的解是 。
6
20、平面上有A，B两个定点，在平面上随意放置k个点C
i
（i = 1，2，…，k），能从中找到两
个点C
k
，C
p
，使不等式| sin∠AC
k
B – sin∠AC
p
B | ≤
答案：一、C、A、D、B、C、C、A、C、D、D；
1
成立，那么k的最小值是 。
1991

l
3
1
1
二、11、；12、4或1；13、– 1 < x < 3；14、4 x – 2 y + 3 = 0；15、x = 3；16、
–
；
4
2(n1)(n2)
216
17、[ –
13
3333
，]；18、直线；19、x = 6或x =；20、 。
2
44
4
1
–
1
简解：2、通过求导，当x =时，y取最小值
– 3 × 4
3
> 0；
9
2
16
x
4、A = { x | 1 ≤ x ≤ 2 }，B = { x | 0 < x ≤ 2 }；7、3 cos
≤ 3，10
x
+ 10
– x
+ 1 ≥ 3；8、3 ≤ L ≤ 6；
3
9、S
7
= cos x + cos ( x +
( x +
2
12

4

10

6

) + cos ( x +) + cos ( x +) + cos ( x +) + cos ( x +) + cos
77777
8

5

3


) = cos x + 2 cos ( x + π ) cos+ 2 cos ( x + π ) cos+ 2 cos ( x + π ) cos= cos x [ 1 – 2
777
7
( cos

3

5


2

4

+ cos+ cos) ] = cos x [ 1 – 2 ( 4 coscoscos+ 1 ) ] = cos x [ 1 – 2 ( 4
7777
77
sin
8

7
+
2sin

7
129
1 ) ] = cos x [ 1 – 2 ×] = 0；13、()
log
a
| x – 1 |
< log
a
| x – 1 | > – 2  | x – 1 | < 2；
234
11
33t3(1t)
4
27
17、设t = sin x，则y
2
= ( 1 – t
2
) ( 1 + t )
2
=( 3 – 3 t

) ( 1 + t )
3
≤[] =；
4
3316
18、2 tan θ x + y – 6 tan θ – 3 cos θ – 1 = 0或x = 3；
5
3541
19、2 x + 1 ≤ 3 x – 4< 2 x + 2 
≤ 2 x (∈ Z ) <
，2 x = 12或2 x = 13；
6
33
三、解答题
21、已知k∈R，关于x，y的方程y
4
+ 4 y
3
+ ( 2 x + 2 k x – k x
2
) y
2
+ 8 x y + ( 4 k x
2
– 2 k x
3
) = 0
表示一组曲线，其中有一条是固定的抛物线，试讨论k值与曲线形状的关系。
解：原方程可化为( y
2
+ 2 x) ( – k x
2
+ 2 k x + y
2
+ 4 y ) = 0，则固定抛物线为y
2
= – 2 x，
由 – k x
2
+ 2 k x + y
2
+ 4 y = 0，得 – k ( x – 1 )
2
+ ( y + 2 )
2
= 4 – k，
k(x1)
2
(y2)
2
当k > 4时，方程可化为
–
= 1，为焦点在x轴上的双曲线；
k4
k4
当k = 4时，方程可化为4 x – y – 6 = 0或4 x + y – 2 = 0，为两条相交直线；
(y2)
2
k(x1)
2
当0 < k < 4时，方程可化为
–
= 1，为焦点在y轴上的双曲线；
4k
4k
当k = 0时，方程可化为y = 0或y = – 4，为两条平行于y轴的直线；
k(x1)
2
(y2)
2
当 – 1 < k < 0时，方程可化为+= 1，为焦点在x轴上的椭圆；
k4
4k

当k = – 1时，方程可化为 ( x – 1 )
2
+ ( y + 2 )
2
= 5，为两条相交直线；
k(x1)
2
(y2)
2
当k < – 1时，方程可化为+= 1，为焦点在y轴上的椭圆。
k4
4k
xx

22、设0 < x <，求证：（1）sin x > x –；（2）sin x ≥ x –。
2
46
解：
33
第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1993年4月18日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、已知正方体、等边圆柱、球的表面积都是S，体积依次是V
1
，V
2
，V
3
，则（ ）
（A）V
1
< V
2
< V
3
（B）V
3
< V
2
< V
1
（C）V
3
< V
1
< V
2
（D）V
2
< V
1
< V
3

2、设命题甲：“a
1
+ a
2
+ … + a
n
> A”，命题乙：“a
1
，a
2
，…，a
n
中至少有一个大于
命题甲是命题乙的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
3、函数y = 2
|1x
2
|
1|x|
A
”，则
n
的图象大致是 （ ）
y
1

1
O
1
y
1
y
2
y
2
x

1
O
1
x

1
O
1
x

1
O
1
x

（A）
（B）（C）
（D）
4、函数y = A sin ( ω x + φ ) ( A > 0，ω > 0，x∈R )为偶函数的充要条件是（ ）
（A）φ = 2 k π （B）φ = k π （C）φ =
5、设 a = tan ( arccot
k


（D）φ = k π + （k∈Z）
2
2
93427

)，b = arcsin+ arcsin，c = arccos ( – cos)，则（ ）
10555
（A）a < b < c （B）b < a < c （C）a < c < b （D）c < b < a
6、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它的和大于100，则不同的取法有（ ）
（A）50种 （B）100种 （C）1275种 （D）2500种
7、过抛物线y
2
= x的焦点F的直线l的倾斜角θ ≥
上方，则 | FA | 的取值范围是（ ）

，l交抛物线于A，B两 点，且A点在x轴
4

2
1111
（A）(，1 +] （B）(，1 ] （C）[，+ ∞ ) （D）[，+ ∞ )
4442
2
8、已知△ABC中，cot A + cot B + cot C =
3
，则△ABC是（ ）
（A）直角不等腰三角形 （B）等腰直角三角形 （C）等腰不等边三角形 （D）等边三角形
9、函数y = cos x – cos 3 x的最大值是（ ）
45
83
（B）2 （C）
2
（D）
5
9
1
11
10、和S = 1 +++ … +的整数部分是（ ）
31000000
2
（A）
（A）1997 （B）1998 （C）1999 （D）2000
二、填空题
11、已知α，β都是锐角，tan
1



1
= –，cos α – cos β =，则sin α – sin β = 。
3
2
5
12、已知三棱锥P – ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，又知六条棱长的和为定值l，则此三
棱锥的体积的最大值是 。
13、已知方程sin
4
x + cos
4
x – sin 2 x + k = 0有解，则k的取值范围是 。
14、在数集序列{ 1 }，{ 2，3 }，{ 4，5，6 }，{ 7，8，9，10 }，… 中第100个数集内所有数的
和等于 。
15、F
1
，F
2
是双曲线x
2
– 3 y
2
= 3的左、右焦点，A，B两点在右支上，且与F
2
在同一直线上，
则| F
1
A | + | F
1
B |的最小值是 。
16、在平面直角坐标系内，从点P ( 5，2 )发出的光线射向x轴，经x轴反射后射到直线y = x上，
被反射后恰好经过点Q ( 10，9 )，光线由P到Q走过的路程的长等于 。
x
2
y
2
17、已知A ( 4，0 )，B ( 2，2 )是椭圆+= 1内的点，M是椭圆上的动点，则| MA | + | MB |
25
9
的最小值是 ，最大值是 。
18、M = { ( x，y ) | x = sin θ – cos θ，y = sin θ cos θ，θ∈R }，N = { ( x，y ) | x + y = 0，x，y∈R }，
则M∩N = 。
19、F
1
( – 1，1 )，F
2
( – 1，– 3 )是椭圆的两个焦点，直线x + y = 1与椭圆有且仅有一个交点，则
椭圆的中心到准线的距离是 。
20、已知x ≥ 1，y ≥ 1，且log
a
x + log
a
y = log
a
( a x
2
) + log
a
( a y
2
)（其中a > 0，a ≠ 1），
则log
a
( x y )的取值范围是 。
22

答案：一、A、B、C、D、C、C、A、D、D、B；
二、11、–
527
3
31
143
1
；12、l ；13、–
≤ k ≤
；14、500050；15、；16、4
10
；17 、
22
3
81
5
2
– 1 ) }；19、
4
；20、[ 2 – 2
2
，2 + 2
2
]。
13
10 – 2
10
，10 + 2
10
；18、{ ( 1 –
2
，
y
y
AA
y
F
1
O
B
F
2
x
OF
1
x
Q
P
O
x
第7题图
y
M
1
F
M
2
O
第17题图
B
Ax
第15题图
第16题图


S
3
S
3
S
3
简解：1、V
1
=，V
2
=，V
3
=；
216
54

36

6、S = 1 + 2 + … + 50 = 1275；8、
111
++
≥
3
；
tanAtanBtanC
9、y = cos x – cos 3 x = 4 cos x ( 1 – cos
2
x )，
y
2
= 16 cos
2
x ( 1 – cos
2
x )
2
= 8 [ 2 cos
2
x ( 1 – cos
2
x ) ( 1 – cos
2
x ) ]
2cos
2
x(1 cos
2
x)(1cos
2
x)
3
64
8
≤ 8 (
) =，y ≤
27
9
3
10、2 (
n1
–
m
) <
3
；
km

n
1
< 2 (
n
–
m1
)，
k
取n = 1000000，m = 1，得1998 < 2 (
1000001
– 1 ) < S，
取n = 1000000，m = 2，得S < 1 + 2 ( 100 – 1 ) < 1999；
11、tan ( α – β ) = –
34
，cos ( α – β ) =，x = cos α – cos β > 0，α < β，y = sin α – sin β < 0，
45

x
2
+ y
2
= 2 – 2 cos ( α – β ) =
12、x + y + z +
x
2
y
2
+
21
1
，y
2
=，y = –；
55
5
1
y
2
z
2
+
z
2
x
2
= l，V =x y z；14、( 4951 ~ 5050 )；
3
15、| F
1
A | = 2 a + | F
2
A |，| F
1
B | = 2 a + | F
2
B |，| F
1
A | + | F
1
B | = 4 a + | AB |；
17、10 – | BF | = 10 – ( | M
1
F | – | M
1
B | ) ≤ | MA | + | MB | ≤ 10 + ( | M
2
B | – | M
2
F | ) = 10 + | BF |；
20、( log
a
x – 1 )
2
+ ( log
a
y – 1 )
2
= 4，log
a
x = 2 cos θ + 1，log
a
y = 2 sin θ + 1；
三、解答题
21、设f ( x ) = a sin x + b cos x + c的图像经过点A ( 0，5 )，B (
≤ 10，求c的取值范围。
解：由f ( 0 ) = f (
又0 ≤ x ≤

，5 )，当0 ≤ x ≤时，| f ( x ) |
22

) = 5，得a = b = 5 – c，因而f ( x ) = a ( sin x + cos x ) + c，
2

，∴ 1 ≤ sin x + cos x ≤
2
，当a > 0时，5 ≤ f ( x ) ≤
2
a + c；
2
当a = 0时，f ( x ) = c = 5；当a < 0时，
2
a + c ≤ f ( x ) ≤ 5，又| f ( x ) | ≤ 10，
∴ |
2
a + c | ≤ 10，∴ – 10 ≤ 5
2
– (
2
– 1 ) c ≤ 10，∴ – 5
2
≤ c ≤ 15
2
+ 20。
22、用数学归纳法证明：对任意的n∈N，n ≥ 2，都存在n个互不相等的自然数组成的集合M，
使得对任意的a∈M和b∈M，| a – b | 都可以整除a + b。
第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1994年4月20日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、一个直角三 角形的三条边的长度都是整数，且组成一个等差数列，则其中的一条边的长度可
能是（ ）
（A）13 （B）41 （C）81 （D）91
2、如图1，以正方体ABCD – A
1
B
1
C
1
D
1
的四个顶点A，B
1
，C，D
1
为
顶点构成 四面体，此四面体的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
C
D
C
1
D
1
图1
A
1
A
B
B
1
3323
2
（A） （B） （C） （D）
323
4
311511
（A） （B） （C） （D）
8121616
4、方程2
sinx
= cos x在[ 0，2 π ]上的根的个数是（ ）
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0

3、半球形的碗内盛满了水，若将碗口平面倾斜30，则碗内溢出的水的体积是碗的容积的（ ）

5、动点P到F(
2
，
2
)的距离等于到l：x + y –
2
= 0的距离的
2
倍，则P的轨迹是（ ）
（A）椭圆 （B）双曲线的一支 （C）等轴双曲线 （D）实虚轴不等的双曲线
6、在f
1
( x ) = log
2
(
x
2
1
+ x ) + log
2
奇函数的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
7、设a，b，c依次是方程log
1
x + 2 = x，log
2
( x + 2 ) =
x
，2
x
+ x – 2 = 0的根，则a，b，c
2
1
x
2
1x
，f
2
( x ) = sec
2
x + csc
2
x，f
3
( x ) = 2
tanx
中，

的大小关系是（ ）
（A）b < c < a （B）a < c < b （C）b < a < c （D）c < b < a
8、函数f
1
( x ) = | sin
xx2x2x
| | cos|，f
2
( x ) = sin+ cos，f
3
( x ) = arcos ( sin x )的最小正周期分
2233
别是T
1
，T
2
，T
3
，则（ ）
（A）T
1
< T
2
< T
3
（B）T
3
< T
2
< T
1
（C）T
1
< T
3
< T
2
（D）T
3
< T
1
< T
2

9、在不等边三角形ABC中，sin A : sin B : sin C = x : y : z，
则( x – y ) cot
A
M
B
图2
CAB
+ ( y – z ) cot+ ( z – x ) cot=（ ）
2
22
（A）1 （B）0 （C）– 1 （D）– 3
10、如图2，圆台的上底半径为5 cm，下底半径为10 cm，母线AB长20 cm（其中B点 在下底
圆周上），从母线AB的中点M拉一条绳子，围绕圆台的侧面转到B点，当所用最短的时候，绳< br>子上的点和圆台的上底圆周上的点之间的最短距离是（ ）
（A）6 cm （B）5 cm （C）4 cm （D）3 cm
二、填空题
11、自点M ( 3，2 ) 引圆x
2
+ y
2
= 3的两条切线，切点分别为A与B，则以A、B为端点的劣
弧的长度等于 。
12、方程sin ( π cos x ) = cos ( π sin x )的解集是 。
13、已知a > b > c > 1，且a，b，c依次成等比数列，则x = log
a
b，y = log
b
c，z = log
c
a这三个
数的大小关系（用小于号连接）是 。
14、函数f ( x ) = 9 sin x + 16 csc x在区间( 0，

]上的最小值是 。
2
15、前n个正整数中，所有不连续的相异两数之积的和是 。
16、设a，c是正数常数，对于每个实数t，P ( x
t
，y
t
) 是抛物线y = a x
2
+ t x + c的顶点坐标，
则动点P的轨迹方程是 。

17、在三棱锥S – ABC中，侧棱SA，SB，SC两两垂直，SA = SB = 4，SC = 6，在三棱锥的内
部有一个与三棱锥的四个面都相切的球，则此球的半径为 。
2
11a
n
18、数列{ a
n
}中，a
1
= a ( 0 < a < 1 )，a
n + 1
=（n∈N*），则{ a
n
}的一个通项公式
2
是a
n
= 。
19、设地球半径为R，A和B两个城市 都位于北纬30°，且分别位于东经120°与西经120°，则沿
北纬30°线从A到B的最短距离减 去沿地球表面从A到B的最短距离的差等于 。
20、已知无盖的圆柱形桶的容积是V，用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格比为3 : 2，则当
圆桶造价最低时，桶底半径R = 。
答案：一、C、B、C、B、C、A、A、C、B、C；
y
D
C
d
Q
P
AM
Bx
第10题图
7
2

) R；12、{ x | x = 2 k π ± arccos±，k∈Z }；
13
4
4
1
13、z < y < x；14、25；15、( n – 2 ) ( n – 1 ) n ( n + 1 )；16、y = – a
8
二、11、( π – arccos
O
arcsina
162 23
2
2V
3
x
2
+ c；17、；18、sin；19、(
–
) π R；20、。
n1
2< br>3
72
3

简解：10、将圆台沿AB展开，如图所示建立直角坐标系 ，所求问题转化为求圆弧AC上的点到
直线MD的最短距离，设P（20 cos θ，20 sin θ），直线MD方程为4 x + 3 y – 120 = 0，则d
=
|420cos

320sin

120|
43
22
= 24 – 20 sin ( θ + φ ) ≥ 4；
14、f ( x ) = 9 sin x + 9 csc x + 7 csc x ≥ 2 · 9 + 7 · 1 = 25；
nnn1n1
1
2
22
15、任意相异两数积的和：S
1
=[ (

i
) –

i
]，连续两数积的和：S
2
=

i
+

i
；
2
i1i1i1i1
三、解答题
21、已知函数y =
a3sinxcosx3
的值域是( – ∞，– 1 ]∪[，+ ∞ )，试求实数a的值。
1sinx2cosx2
xx
2
x
2< br>x
2
x
2
x
asinacos6sincoscos sin
a3sinxcosx
222222
解：y ==
xxxxxx
1sinx2cosx
sin
2
cos
2
2sin cos2cos
2
2sin
2
222222
=
(a1 )cos
2
xxxxxx
6cossin(a1)sin
2
( a1)cot
2
6cot(a1)
2222
=
22
，
xxxxxx
3cos
2
2cossinsin
2
3cot
2
2cot1
222222

(a1)t
2
6t(a1)
x
2
令t = cot，则y =，整理得( 3 y – a – 1 ) t + 2 ( y – 3 ) t – ( y + a – 1 ) = 0，
2
2
3t2t1
从而，△= 4 ( y – 3 )
2
+ 4 ( 3 y – a – 1 ) ( y + a – 1 ) ≥ 0，即4 y
2
+ ( 2 a – 10 ) y – ( a
2
– 10 ) ≥ 0，
3
由题设可知– 1和是方程4 y
2
+ ( 2 a – 10 ) y – ( a
2
– 10 ) = 0的两根，所以
2
– 1 +
32a10
= –，所以a = 4。
24
22、（1）如图3，平面α ⊥圆柱M
1
M
2
的轴l ，与侧面的交线是圆T
1
；平面
β与α相交成锐角γ，（0 < γ <
< br>）交线为AB；β与圆柱的侧面的交线是椭
2
圆T
2
；以圆柱的过B的 一条母线l'为y轴，以α内过B的圆T
1
的切线为x
轴建立直角坐标系x – B – y；将圆柱的侧面沿l'切开，展开到平面x
– B – y内。证明：在平面x – B – y内，椭圆T
2
的展开图形是正弦曲
线。
（2）将图4中的平面x – O – y卷成圆筒，使y轴成为它的一条母线
且点O与点P 两点重合，在圆筒的侧面上，正弦曲线y =
2
sin x ( 0
≤ x ≤ π )变为椭圆，求此椭圆的离心率。

y
2
P
O
2

x
图4
第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1995年4月24日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、将棱长为a的正四面体和棱长为a的正八面体的一个面重合，得到的新多面体的面数是（ ）
（A）7 （B）8 （C）9 （D）10
2、设常数a ≥ 0，则“| x | + | y | ≥ a”是“x
2
+ y
2
≥ a
2
”的（ ）
（A）必要不充分条件 （C）充分不必要条件 （B）充要条件 （D）不充分也不必要条件
3、方程3 ( sec
2
x + cot
2
x ) = 13在区间 ( – π，π ) 上的解的个数是（ ）
（A）2 （B）4 （C）8 （D）16
4、若点P( x，y )的坐标适合方程arcsin x = arccos y，则点P组成的图形是（ ）
（A）一个圆 （B）四分之三个圆 （C）半个圆 （D）四分之一个圆
5、等差数列{ a
n
}的前n项的和记为S
n
，已知a
1
> 0，S
7
= S
13
，则当S
n
的值最大时，n =（ ）
（A）8 （B）9 （C）10 （D）11
6、设1 < a < b < a
2
，则在四个数2，log
a
b，log
b
a，log
a b
a
2
中，最大的和最小的分别是（ ）
（A）2，log
b
a （B）2，log
a b
a
2
（C）log
a
b，log
b
a （D）log
a
b，log
a b
a
2

7、适合方程arctan x + arccot y = π的点P ( x，y )的集合是某二次曲线C的一部分，则C的焦点
坐标是（ ）
（A）( 2，2 ) 和 ( – 2，– 2 ) （B）( 2，– 2 ) 和 ( – 2，2 )
（C）(
2
，
2
) 和 ( –
2
，–
2
) （D）(
2
，–
2
) 和 ( –
2
，
2
)
8、如果关于x的方程x +
x
11

x
= a有且仅有一个实根，则实数a的取值范围是（ ）
24
1
，+ ∞ )
2
（C）[ 1，+ ∞ ) （D）[ 2，+ ∞ )
1
（A）[，+ ∞ )
4
（B）[
9、不等式
1log
2
x
> 1 – log
2
x的解是（ ）
（A）x ≥ 2 （B）x > 1 （C）1 < x < 8 （D）x > 2
10、与105有大于1的公约数的两位自然数的和是（ ）
（A）2078 （B）2295 （C）2708 （D）3338
二、填空题
11、设曲线x
2
+ y
2
+ 2 x – 2 y = 0和x y + 2 = 0相交于A、B两点，则弦AB的中垂线的方程
是 。
12、如果正六棱锥侧面的顶角等于侧棱和锥底平面所成的角，那么这个角的值等于 。
13、△AOB的顶点O在坐标原点，A，B两点在抛物线y
2
= 8 x上，且△AOB的垂心恰与抛物
线焦点重合，则△AOB的外接圆的方程是 。
c
2
a
2
14、△ABC的三边之长a，b，c满足等式+= b，则长为b的边所对应的角B的大小
abbc
是 。
15、由抛物线x
2
= 2 y，x轴和直线x = 21所围成的平面区域（边界除外）中，横、纵坐标都是
整数的点的个数是 。
16、周长为10的直角三角形的面积的最大值是 。
17、实数x，y满足x
2
– 3 x y + y
2
= 2，则x
2
+ y
2
的值域是 。
18、当函数y = 2 ( 2 – sin x cos 2 x ) +
1
( cos 4 x – cos 2 x )的值最小时，x的值是 。
2
19、 位于北纬60°、东经17°的海面上A处的船要驶向位于同纬度、东经137°的B岛，设地球半
径为 R，则该船航行的最短距离是 。
20、已知A，B是平面上的两个定点 ，以A为圆心，定长l为半径作圆，M是该圆上的一个动点，
线段MB的中垂线m交MA（或它的延长线 ）于P点，那么P点的集合构成的图形是 。

答案：一、A、A、C、D、C、A、B、A、B、C；
二、11、x + y = 0；12、arccos (
3
– 1 )；13、( x – 9 )
2
+ y
2
= 81；14、60°；15、1420；
45

16、75 – 50
2
；17、[，+ ∞ )；18、2 k π –（k∈Z）；19、R arccos；
58
2
l
20、当AB > l时，以A、B为焦点，a =的双曲线；当AB = l时，A点；
2
l
当AB < l时，以A、B为焦点，a =的椭圆。
2
简解：3、tan x = ±
3
2

2

5

5

或tan x = ±
3
，x = –，–，–，–，，，，；
66
33
3663
3
5、a
10
+ a
11
= 0，a
10
> 0；6、log
b
a < log
a b
a
2
< 1 < log
a
b < 2；7、x y = – 1，x > 0；
8、(
x
1
1
2
+) = a；9、[ 2，+ ∞ ) ∪( 1，8 ) = ( 1，+ ∞)；
4
2
10、S = ( 12 + … + 99 ) + ( 10 + … 95 ) + ( 14 + … + 98 ) – ( 15 + … + 90 ) – ( 21 + … + 84 ) –
( 35 – 70 ) = 1665 + 945 + 728 – 630 = 2708；
12、b
2
= 2 a
2
– 2 a
2
cos θ，b

=
2
a
1cos

，cos θ =
– 2 = 0，cos θ =
3
– 1或–
3
– 1（舍去）；
b
，cos θ =
2
1cos

，cos
2
θ + 2 cos θ
a
y
y
a
O
1
x
a
O
x
b
b
第12题图

第4题图
第11题图
17、令x =
22
4
( a + b )，y =( a – b )，则5 b
2
– a
2
= 4，x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
≥ b
2
≥
；
5
22
三、解答题
x
2
y
2
21、设点F
1
是椭圆+= 1的左焦点 ，弦AB过该椭圆的右焦点F
2
，试求△F
1
AB的面积的
2
3
最大值。
解：设AB：x = k y + 1，则有( 2 k + 3 ) y + 4 k y – 4 = 0，
2 2
y
A(x
1
,y
1
)
h
1
h
2
F
1
F
2
x
B(x
2
,y
2
)
第21题图

S =
1
× 2 c × ( h
1
+ h
2
) = | y
1
– y
2
|，
2
S
2
= ( y
1
– y
2
)
2
= ( y
1
+ y
2
)
2
– 4 y
1
y
2

4k4
48k
2
48
2
= ( –
2
)
– 4 × ( –
2
) =
4
，
2k3
2k3
4k12k
2
9
则4 S
2
k
4
+ ( 12 S
2
– 48 ) k
2
+ ( 9 S
2
– 48 ) = 0，
(3S
2
12)14424S
2
k =，只需
14424S
2
– ( 3 S
2
– 12 ) ≥ 0即可，
2
2S
2
即9 S
4
– 48 S
2
≤ 0，∴ 0 ≤ S
2
≤
16
43
，∴ S

≤
。
3
3
解法二：a =
3
，△F
1
AB的周长= ( | AF
1
| + | AF
2
| ) + ( | BF
1
| + | BF
2
| ) = 2 a + 2 a = 4 a = 4
3
，
设三边分别为a
1
，b
1
，c1
，则由海伦公式得：
p
4
43

(pa
1
)(pb
1
)(pc
1
)

S =p(pa
1
)(pb
1
)(pc
1
)
≤
p

==。

3
3
27

当p – a
1
= p – b
1
= p – c
1
即a
1
= b
1
= c
1
=
3
4343
时，S最大为。
33
22、设P = λ ( a
4
+ b
4
+ c
4
) + μ ( a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)。已知当a = b = c > 0或a = b > 0，c = 0
时，都有P ≥ 0。证明：当a，b，c是任意三角形的三边的长时，P ≥ 0。
证明：∵ 当a = b = c > 0时，P = 3 a
4
( λ + μ ) ≥ 0，∴ λ + μ ≥ 0，
∵ 当a = b > 0，c = 0时，P = a
4
( 2 λ + μ ) ≥ 0，∴ 2 λ + μ ≥ 0，
若λ ≥ 0，则P = λ ( a
4
+ b
4
+ c
4
– a
2
b
2
– b
2
c
2
– c
2
a
2
) + ( λ + μ ) ( a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)
=
1
λ [ ( a
2
– b
2
)
2
+ ( b
2
– c
2
)
2
+ ( c
2
– a
2
)
2
] + ( λ + μ ) ( a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) ≥ 0，
2
若λ < 0，则P = λ ( a
4
+ b
4
+ c
4
– 2 a
2
b
2
– 2 b
2
c
2
– 2 c
2
a
2
) + ( 2 λ + μ ) ( a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)
= λ ( a

+ b + c

) ( a

+ b

– c

) ( a – b

+ c

) ( a

– b

– c

) + ( 2 λ + μ ) ( a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) ≥ 0，
∴ 当a，b，c是任意三角形的三边的长时，P ≥ 0。
第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1996年4月21日 上午 8：30—10：30
一、选择题（每小题6分，共60分）
1、若函数y = | sin ( ω x +
（A）8 （B）4

) – 1 |的最小正周期是，那么正数ω的值是（ ）
32
（C）2 （D）1

2、不等式
x
2
3
> x – 1的解是（ ）
（A）x > 2 （B）x ≤ –
3
（C）x > 2或x ≤ –
3
（D）x > 1或x ≤ –
3

3、如果sin α + cos α > tan α + cot α，那么角α的终边所在的象限是（ ）
（A）一或二 （B）二或三 （C）二或四 （D）一或四
x
2
y
2
4、如果直线y = k x – 1和椭圆+= 1仅有一个交点，则k和a的取值范围分别是（ ）
a
4
1111
（A）( –，) 和 ( 0，1 ] （B）(–，) 和 ( 0，1 )
2222
1111
（C）[–，] 和 [ 0，1 ] （D）[ –，] 和 ( 0，1 )
2222
5
5、已知θ是第三象限的角，并且sin
4
θ – cos
4
θ =
，那么sin 2 θ的值是（ ）
9
（A）
2
9
14
（B）–
2
9
22
14
（C） （D）–
33
6、直线l过点( 0，2 )且与双曲线x
2
– y
2
= 6的右支有两个不同的交点，则l的倾斜角的取值范
围是（ ）
151515
)∪( π – arctan，π ) （B）( 0，arctan)
333
3
1515
（C）( π – arctan，π ) （D）( π – arctan，
π )
4
33
x
7、当a，b < 0时，函数y =在区间 ( 0 , + ∞)上的最大值是（ ）
(xa)(xb)
（A）( 0，arctan
（A）– (
|a|
–
|b|
)
2
（B）(
|a|
+
|b|
)
2
（C）–
11
（D）
22
(|a||b|)(|a||b |)
8、由平面M外一点向M引出的两条射线所夹的角是α ( 0 < α < π )，两条射线在M内的射影所
夹的角是β ( 0 < β < π )，那么α与β之间的大小关系是（ ）
（A）α < β （B）α = β （C）α > β （D）不能确定的
9、若
lg2ax
< 1的解为 ( 1，2 ]，则a的取值范围是（ ）
lg(ax)
2221
，) （B）( 0，) （C）( 0，) （D）( – 1，1 )
3333
3
10、给出下列四个不等式：①当x∈R时，sin x + cos x > –；
2
（A）( –
22
②对于正实数x，y及任意实数α，有x
sin α
· y
cos α
< x + y；
③x是非0实数，则| x +
1

| ≥ 2；④当α，β∈( 0，
) 时，| sin α – sin β | ≤ | α – β |。
2
x
在以上不等式中不成立的有（ ）

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
二、填空题（每小题6分，共60分）
11、等比数列{ a
n
}的公比为q，前n项和S
n
= A，则前3 n项的和S
3

n
= 。
12、适合等式arccos
1212
– arccos ( –
) = arcsin x的x的值是 。
1313
1
2
13、已知不等式()
x – a
> 4
– x
的解集是( – 2，4 )，那么实数a的值是 。
2
14、已知i
2
= – 1，在集合{ s | s = 1 + i + i
2
+ i
3
+ … + i
n
，n ∈ N }中包含的元素是 。
15、已知tan θ∈( 1，3 )，且tan ( π cot θ ) = cot ( π tan θ )，则sin 2 θ的值等于 。
16、不等式
1
1
<的解是 。
log
2
(x1)
log
2
x1
17、函数y = arccos ( x – x
2
) 的值域是 。
18、已知函数y = lg ( m x
2
– 4 x + m – 3 ) 的值域是R，则m的取值范围是 。
19、在三棱锥P – ABC中，∠APC =∠CPB =∠BPA =

，并且PA = PB = 3，PC = 4，又M是底
2
面ABC内一点，则M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是 。
20、非负实数x，y满足x + 2 y ≤ 6，x
2
– 6 x + 5 ≤ y，则f ( x，y ) = x
2
+ y
2
– 6 x – 8 y的最大值
是 ，最小值是 。
答案：一、B、C、C、A、A、D、D、D、B、A；
二、11、( 1 + q
n
+ q
2 n
) A；12、不存在；13、8；14、0，1，1 + i，i；15、无解；16、( 1，2 )
1144
∪( 3，+ ∞ )；17、[ arccos，π ]；18、( 0，4 ]；19、；20、– 5，– 20。
441
简解：20、( x，y ) 满足条件在直角坐标平面内对应的图形是图1中的阴影部分，又设f ( x，y ) =
x
2
+ y
2
– 6 x – 8 y = m，即( x – 3 )
2
+ ( y – 4 )
2
= m + 25此方程表示以点M( 3，4 )为圆心，以
，
m25
为半径的圆M，所以当m + 25最大（或最小）时，f ( x，y )也同时达到最大（或最小）
由图2可以看出，当圆M与直线x + 2 y = 6相切时，m + 25最小为(
|13246|
1
2
2
2
)
2
= 5，m最
小为– 20；当圆M过点( 1，0 )，( 5，0 )时，m + 25最大为
(31)
2
(40)
2
= 20，m最大为– 5。

y
y
M
4
3
4
3
3
5
O
1
- 4
x
O
1
- 4
3
5
x
图1
三、解答题（每题15分，共30分）
图2

1
(x2)4x
2
3
，n ∈ N。以f ( x )表示这个数21、设数列{ a
n
}是无穷递缩等比数列，并且a
n
=
n
(x1)
列的和。
⑴求 f ( x )的解析式；⑵作函数f ( x )的大致图象。
11
(x2)4x
2
(x2)4x
2
3
=
3
(
1
)
n – 1
，解：⑴ ∵ 数列{ a
n
}是无穷递缩等比数列，且a
n
=
x1
(x1)
n
(x1)
n
∴ 该数列的公比q =
11
，并且|| < 1，∴ x < 0或x > 2，
x1x1
1
又4 –x
2
≥ 0，有– 2
3
≤ x ≤ 2
3
，∵ x = ± 2
3
时，a
n
= 0，∴ 只取– 2
3
< x < 2
3
，
3
∴ – 2
3
< x < 0或 2 < x < 2
3
，
∵ f ( x )是数列{ a
n
}的和，
y
1
(x2)4x
2
3
a
1
x1
∴ f ( x ) =
1
==
4x
2
；
1
1q
3
1
x1
⑵它的图象是右图中实线部分。
22、⑴证明：函数 f ( x ) =
x < x < tan x）；
⑵证明：当0 < x <
O
2
x
第21题图

sinx
在区间( 0，)上是单调递减的函数（已知在区间( 0，)上有sin
22
x
2

22
时，sin x >x；⑶证明：当0 < x <时，sin x <·
x
。
44



证明：⑴设0 < x
1
< x
2
<
sinx
1
sinx
2
x
2< br>sinx
1
x
1
sinx
2

，则f ( x
1
) – f ( x
2
) =
–
=
2
x
2
x
1
x
2
x
1
=
1
[ ( x
2
sin x
1
– x
1
sin x
1
) + ( x
1
sin x
1
– x
1
sin x
2
) ]
x
1
x
2
1
[ ( x
2
– x
1
) sin x
1
– x
1
( sin x
2
– sin x
1
) ]
x
1
x2
xx
1
xx
2
xx
2

1< br>[ ( x
2
– x
1
) sin x
1
– x
1
∙ 2 sin
2
cos
1
]（∵ 0 <
1
<，x
2
– x
1
> 0，sin x < x）
2
222
x
1
x
2
xx
1< br>xx
2
1

[ ( x
2
– x
1
) sin x
1
– x
1
∙ 2 ∙
2
cos
1
] （∵ cos x在区间( 0，)上是减函数）
2
22
x
1
x
2
xx
x
2
 x
1
(xx)cosx
1
[ sin x
1
– x
1
cos
11
] =
21
( tan x
1
– x
1
)（∵ x < tan x）> 0，
2
x
1
x
2
x
1
x
2
=
=
>
>
∴ 函数 f ( x ) =

sinx
在区间( 0，)上是减函数；
2
x


sinx
在区间( 0，)上是减函数，特别有当0 < x <时，f ( x ) > f ()，
244
x
⑵由⑴中所证，f ( x ) =
即
sinx
4
=
22
，∴ 当0 < x <

时，sin x >
22
x； >
4
x


4
sin

⑶由于f ( x ) =
令t =

sinx
2
在( 0，)上是减函数，∴ 当0 < x <时，f ( x ) > f ()，即sin x >x，
222
x



2

2
– x，则x =– t（0 < t <
），代入上式得sin (
– t ) >
(
– t )，即cos t > 1 –
t，∴ 1
2222

2

tt
2
tt

t

t2
2
> 1 –t，∴ sin
2
<
∙
，即sin<
∙
（0 < t <），改记= x，有0 < x <，
22

222
24

2

– 2 sin
2
即得sin x <
2

·
x
。
第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1997年4月20日 上午 8：30—10：30
一、选择题
1、数列{ a
n
}的前n项和S
n
= n
2
，则
111
++ … +的值等于
a
1
a
2
a
2
a
3
a
998
a
999
（ ）

（A）
19961199711998119991
（B） （C） （D）
2222
2、不等式2 lg ( arcsin x ) ≤ lg ( arcsin x – 2 )的解集是（ ）
（A）( 0，1 ] （B）[ – sin 1，sin 2 ] （C）( 0，sin 2 ] （D）


3、△ABC的三条边的长a，b，c依次成等比数列，则sin B + cos B的取值范围是（ ）
1
3
2
，1 +] （C）( 0，
2
] （D）(，1 ]
2
2
2
1
4、函数f ( x ) = sin x +的最小值是（ ）
sinx2
（A）( 1，
2
] （B）[
（A）
3
2
–
2
（B）2 –
2
（C）
2
（D）

2
2
D
1
A
1
D
A
N
M
B
1
C
1
5、如图，正方体ABCD – A
1
B
1
C
1
D
1
中，M，N分别是棱C
1
D
1
，A B的
中点；A
1
，M，C，N四点在同一个平面内；则CD和平面A
1
MCN所
成的角的正弦值是（ ）
C
B
1
36
2
（A） （B） （C） （D）
2
23
4
6、直线y = x + 1与椭圆m x
2
+ n y
2
= 1( m，n > 0 )相交 于A，B两点，弦AB的中点的横坐标是
y
2
x
2
1
–，则双曲线
2
–
2
= 1的两条渐近线所夹的锐角等于（ ）
3
m
n
11
（A）2 arctan 2 （B）2 arctan （C）π – 2 arctan 2 （D）π – 2 arctan
22
x
2
y
2
7、如果+= 1表示双曲线，那么下列各椭圆中，与双曲线共焦点的是（ ）
pq
x
2< br>y
2
x
2
y
2
x
2
y
2< br>x
2
y
2
（A）+= 1 （B）+= – 1 （C）+= 1 （D）+= – 1
2qpq2qpq2pqp2pqp
8、设等差数列{ a
n
}的前n项和为S
n
，且S
1
= 1，点( n，S
n
)在曲线C上，C和直线x – y + 1 =
0交于A、B两点，| AB | =
6
，那么这个数列的通项公式是（ ）
（A）a
n
= 2 n

– 1 （B）a
n
= 3 n

– 2 （C）a
n
= 4 n

– 3 （D）a
n
= 5 n

– 4
9、方程cos x = x + sin x的实根个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
10、S = 1 +
1
11
++ … +，则S的整数部分是（ ）
31000000
2
（A）1997 （B）1998 （C）1999 （D）2000
二、填空题
11、等差数列{ a
n
}中，a
5
= 9，a
10
= 19，则2
n + 1
– 3是这个数列中的第 项。

12、如果函数f ( x ) = a x
2
+ b x + c，x∈[ 2 a – 3，a
2
]是偶函数，则a = ，b = 。
13、一半球的体积是18 π，则此半球的内接正方体的表面积是 。
14、某工厂的产值连续三年增长，已知年平均增长率为p，若这三年的增长率分别为x
1
，x
2
，x
3
，
则x
1
+ x
2
+ x
3
的最小值是 。
15、已知函数f ( x ) = log
a
2
( x
2
– a x – a )，如果该函数的定义域是R，那么实数a的取值范围
是 ；如果该函数的值域是R，那么实数a的取值范围是 。
16、不等式
1
1
<的解集是 。
log
2
(x1)
log
2
x1
17、抛物线 y = a x
2
+ b x + c的顶点在以该抛物线截x轴所得线段为直径的圆的内部，则a，b，
c之间的关系是 。
18、函数y =
1cosx
的值域是 。 sinxcosx2
19、将平面直角坐标系以x轴为棱折成直二面角，则该坐标系中的直线x – y = 1折成的角的大小
等于 。
20、若f ( x ) 是定义域为R的函数，并且f ( x + 2 ) × [ 1 – f ( x ) ] = 1 + f ( x )，f ( 1 ) = 2 +
3
，则
f ( 1997 ) = 。
答案：一、B、D、A、B、C、B、D、C、A、B；
二、11、2
n
– 1；12、– 3或1，0；13、36；14、3 p；15、( – 4，– 1 )∪(– 1，0 )，( – ∞，– 4 ]
∪( 0，1 )∪( 1，+ ∞ )；16、( 1，2 )∪( 3，+ ∞ )；17、4 a c < b
2
< 4 a c + 4；
18、[ 0，1 ]；19、120°；20、
3
– 2。
三、解答题
21、某城市1996年底人口为92万人，人均住房面积5平方米。
（1）若该城市自1997年起人口年均增长率为2%，城市规划要求到2004年末人均住房面积不
少 于8平方米，那么，该城市自1997年起，每年新建住房面积至少是多少万平方米？
（答案要求精确到万平方米，以下数据供选用1.02
3
≈ 1.06，1.02
6
≈ 1.13，1.02
8
≈ 1.17）
（2）若该城 市自1997年起每年新建住房40万平方米，为了使得到2004年末时，人均住房面积
不少于8平方 米，那么人口年均增长率不得高于多少？
（答案要求精确到0.001，当x很小时，可用近似公式 ( 1 + x )
n
≈ 1 + n x）
解：（1）1996年住房总面积是92 × 5 = 460万平方米，2004年末，人口达到92 ( 1 +
2
8
) 万人。
100

2004年末，住房总面积至少达到92 ( 1 +
2
8
2
) ×8万平方米，这比1996年至少增加了92 ( 1 +)
100100
8
×8 – 460万平方米，所以从1997年到2004 年这8年中每年平均至少建房
92(1
2
8
)8460
100
≈
8
50万平方米。
答：自1997年起，每年至少新建住房50万平方米。
（2）设人口年平均增长率为x，则到2004年末，人口达到92 ( 1 + x )
8
（万人）。
2004年末，住房总面积达到92 × 5 + 8 × 40（万 平方米），因为人均住房面积至少是8平方米，
所以
7.5
925840
8
≥ 8。因为x很小，所以可用1 + 8 x代替( 1 + x )
，得x ≤。
1000
92(1x)
8
78
（）。
10001000
答：人口平均增长率不得高于
22、在△ABC中，三条边的长分别为a =
7
，b = 2，c = 3，作
此三角形的内切圆O
1
；再作与 边AB、AC及圆O
1
都相切的圆
O
2
；又作与AB、AC和圆O< br>2
都相切的圆O
3
；如此继续下去作这
样相切的圆，求所有这种圆的面 积之和。
A
O
2
O
1
C
B
第22题图< br>E
D
b
2
c
2
a
2
497 1
解：由a =
7
，b = 2，c = 3，得cos A ===，
2232
2bc
AD
bca
57
∴∠A = 60°，∠O
1
AD = 30°，∴ r
1
===，
23
3
23
AO
1
= 2 r
1，而
r
2
AO
2
r
1
r
2
1111
==，∴ r
2
=r
1
，同理r
3
=r
2
，…，r
n
=r
n – 1
，∴ S
2
=S
1
，…，
3339
2r
1
r< br>1
AO
1
S
1
(1q
n
)
93

1
2

S
n
=S
n – 1
，S
1
= π r
1
=( 16 – 5
7
)，∴ S =
lim
=S
1
=( 16 – 5
7
)。
n
16
6
98
1q
第九 届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1998年4月19日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、曲线f ( x，y ) = 0关于定点 M ( α，β )对称的曲线的方程是（ ）
（A）f ( α – x，β – y ) = 0 （B）f ( α + x，β + y ) = 0
（C）f ( 2 α – x，2 β – y ) = 0 （D）f ( 2 α + x，2 β + y ) = 0
2、函数f ( x ) = (
（A）0 < α + β <

cos

x
cos

x
) + () ，0 < α，β <，若x > 0时，f ( x ) < 2，则（ ）
2
sin

sin


4
（B）0 < α + β <

2
（C）

4
< α + β <

2
（D）α + β >

2

3、函数y = arccos ( a x – 1 )在[ 0，1 ]上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
（A）( 1，+ ∞ ) （B）( 0，+ ∞ ) （C）( 0，1 ] （D）( 0，2 ]
9
4、设S为半径等于1的圆内接三角形的面积，则函数4 S +的最小值是（ ）
S
（A）
93
33
（B）5
3
（C）7
3
（D）
4
4
5、已知复数z的模为1，则函数 | z
2
+ i z
2
+ 1 | 的值域是（ ）
（A）[ 1 –
22
，1 +] （B）[
2
– 1，
2
+ 1 ]
22
（C）[ 2
2
– 1，2
2
+ 1 ] （D）[ 2 –
2
，
2
+ 1 ]
6、若2
3x
，2
xy
，2
x1
成等比数列，则点( x，y )在平面直角坐标系内的轨迹是（ ）
（A）一段圆弧 （B）椭圆的一部分 （C）双曲线一支的一部分 （D）抛物线的一部分
7、设a，b是方程x
2
+ ( cot θ ) x – cos θ = 0的两个不等实根，那么过点A( a，a
2
)和B( b，b
2
)
的直线与圆x
2
+ y
2
= 1的位置关系是（ ）
（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）随θ的值而变化
8、P是抛物线y = x
2
上的任意一点，则当P和直线x + y + 2 = 0上的点的距离最小时，P与该抛
物线的准线的距离是（ ）
11
（A） （B） （C）1 （D）2
92
9、二元函数f ( x，y ) = ( x – y )
2
+ ( x +
（A）
1
+ 1 )
2
的最小值是（ ）
y
13
（B）
2
（C）2 （D）
22
10、过球心的10个平面，其中任何三个平面都不交于同一条直线，它们将球面分成（ ）
（A）92部分 （B）1024部分 （C）516部分 （D）100部分
二、填空题
11、若x，y∈[ –

，]，a∈R，且分别满足方程x
3
+ sin x – 2 a = 0
44
E
A
F
C
B
D
和4 y
3
+ sin y cos y + a = 0，则cos ( x + 2 y ) = 。
12、如图，已知四面体ABCD中，AD = BC = 1，E、F分别是AB、
1< br>CD上的点，且
BE
=
CF
=，EF = a，( a > 0 )，则AD和BC所成的
EAFD
2
角θ = 。
13、不等式arcsin | x | > arccos | x | 的解集是 。
14、函数y = sin
2
x + 2 a sin x – a – 2，( a∈R )的最大值为u，则u是a的函数，该函数的解析式
为 。

15、不等边△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，它们的公差为θ，又csc 2 A，csc 2 B，csc
2 C也成等差数列，则cos θ = 。
16、若α，β分别是方程log
2
x + x + 2 = 0和2
x
+ x + 2 = 0的根，则α + β = 。
17、抛物线y = 2 x
2
和圆x
2
+ ( y – a )
2
= 1有两个不同的公共点，则a的值的集合是 。
1
18、若函数f ( x )满足：f ( x ) – 4 f () = x，则| f ( x ) | 的最小值是 。
x
19、数列{ a
n
}的首项a
1
= 1，前n项和为S
n
= n
2
a
n
，则通项公式a
n
= ，数列{ a
n
}
的和为 。
x
2
y
2
20、椭圆
2
+
2
= 1的内接三角形的最大面积是 。
b
a
答案：一、C、D、D、C、B、C、B、B、A、A；

5 9a
2
arccos


4
二、11、1；12、

2


arccos
59a

4
15
(a)
33
；14、
5
(a1)
3

3a1
(a1)
6
2

2
；13、[ – 1, –)∪
u

aa2
(1a1)
；15、< br>4
2

a1
(a1)

(
y
x y = 1
A
O
1
x + y + 1 = 0
第9题图
x
174
2
2
，1 ]；16、– 2；17、( – 1，1 )∪{}；18、；19、，
815
2
n(n1)B
C
33
2；20、a b；
4
略解：9、函数f ( x，y ) = ( x – y )
2
+ ( x +
和双曲线x y = 1上的点( y，
1
+ 1 )
2
可以看成为直线x + y + 1 = 0上的点( x，– x – 1 )
y
1
)间距离的平方，因此，所求的最小值即为 该直线和双曲线的最近
y
111
距离的平方，由图可知，A( 1，1 )，B( – 1，– 1 )，C( –，–)，故所求的最小值就是| BC |
2
=；
222
三、解答题
21、若f ( x ) = a x
2
+ b x + c，( a，b，c∈R )在区间[ 0，1 ]上恒有| f ( x ) | ≤ 1。
（1）对所有这样的f ( x )，求 | a | + | b | + | c | 的最大值；
（2）试给出一个这样的f ( x )，使 | a | + | b | + | c | 确实取到上述最大值。
解：（1）依题设有| f ( 0 ) | = | c | ≤ 1，| f ( 1 ) | = | a + b + c | ≤ 1，| f (
| a + b | = | a + b + c – c | ≤ | a + b + c | + | c | ≤ 2，
1ab
) | = |++ c | ≤ 1，于是
242

abab
| a – b | = | 3 ( a + b + c ) + 5 c – 8 (++ c ) | ≤ 3 | a + b + c | + 5 | c | + 8 |++ c | ≤ 3+5+8 = 16，
4242
从而，当a b ≥ 0时，| a | + | b | = | a + b |，∴ | a | + | b | + | c | = | a + b | + | c | ≤ 2 + 1 = 3；
当a b < 0时，| a | + | b | = | a – b |，∴ | a | + | b | + | c | = | a – b | + | c | ≤ 16 + 1 = 17。
∴ max { | a | + | b | + | c | } = 17。
（2）当a = 8，b = – 8，c = 1时，f ( x ) = 8 x
2
– 8 x + 1 = 8 ( x –
1
2
)
– 1，
2
∴ 当x∈[ 0，1 ]时，有| 8 x
2
– 8 x + 1 | ≤ 1，此时| a | + | b | + | c | = 8 + 8 + 1 = 17。
22、右图是一个向右和向下方可以无限 延伸的棋盘，横排为行，竖排为列，将正整数按已填好的
各个方格中的数字显现的规律填入各方格中。
（1）求位于第3行、第8列的方格内的数字；
（2）数字321在哪一个方格内？
（3）写出位于从左上角向右下角的对角线上的方格内
的数字组成的数列的通项公式；
（4）求（3）中数列的前n项和。
解：（1）在第3行中，由左向右的数字依次是：a
1
= 6，a
2
= 9 = a
1
+ 3，
a
3
= 13 = a
2
+ 4，a
4
= 18 = a
3
+ 5，…，归纳可证得：a
n
= a
n – 1
+ ( n + 1 )，
∴ a
8
= a
7
+ 9 = a
6
+ 8 + 9 = … = a
4
+ 6 + 7 + 8 + 9 = 18 + 30 = 48；
（2）为 求数字321在哪个方格内，可将棋盘上的数字按从右上到左下的对角线方向排列如下：
第1组 1；第2组 2，3；第3组 4，5，6；第4组 7，8，9，10；……，显然，
从第1组到第n组共包含1 + 2 + 3 + … + n =
1
3
6< br>10
2
5
9
14
4
8
13
197
12
18
25
n(n1)n(n1)
个数字，故第n组中 最大数字是。
22
n(n1)
≥ 321的最小自然数n。试算，
2
∵ 321是第321个数字，∴ 321所在“组”的行号是满足：
从
24252526
= 300和= 325，可得n = 25。第25组中最小的数是数列 1，2，4，7，11，…，
22
（即a
n
= a
n – 1
+ ( n – 1 )）中的第25个数，记为a
25
。易知a
25
= a
24
+ 24 = a
23
+ 23 + 24 = … =
a
1
+ 1 + 2 + 3 + … + 24 = 301，因而321是第25组中第（321 – 301 + 1 ）个数，即第21个数。
∴ 321位于第21行、第5列的方格内；
（3）位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 1，5，13，25，…不妨依
次记为b
1
，b
2
，b
3
，…，易见，b
n
是依（2）中排法的第2 n – 1组的中间一个数，即第n个数，
∴ b
n
=
(2n1)2n
– ( n – 1 ) = 2 n ( n – 1 ) + 1 = 2 n
2
– 2 n + 1，n = 1，2，3，…；
2
2222
n
n(n1)(2n1)
（4）利用自然数平方和的公式：1 + 2 + 3 + … + n =，可以计算得S
n
=

b
k

6
k1

n(2n1 )
n(n1)(2n1)n(n1)
=

(
2 k – 2 k + 1 ) = 2

m
– 2

m
+ n = 2 ×
– 2 ×
+ n =。
62
3
k1
k1k1
22
nnn
2
第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1999年4月18日 上午8：30—10：30
一、选择题（每小题6分）
1、已知y = f ( x ) 是定义在R上的单调函数，则（ ）
（A）函数x = f
– 1
( y ) 与y = f ( x )的图象关于直线y = x对称
（B）函数f ( – x ) 与f ( x )的图象关于原点对称
（C）f
– 1
( x )和f ( x )的单调性相反
（D）函数f ( x + 1 ) 和f
– 1
( x ) – 1的图象关于直线y = x对称
2、已知a ，b，c彼此不等，并且它们的倒数成等差数列，则
（A）
ab
=（ ）
cb
aaaa
（B）– （C） （D）–
ccbb
a
2
y = 1的焦距是4，则a =（ ）
2
3、已知椭圆a
2
x
2
–
（A）
15131513
（B） （C） （D）
4444
4、棱长为1的正方体和它的外接球与一个平面相交得 到的截面是一个圆及它的内接正三角形，
那么球心到该截面的距离等于（ ）
（A）
3
（B）
333
（C） （D）
3612
1
5、在复平面内由，
i1
，( i – 1 )
3
对应的点构成的三角形的最大内角等于（ ）
i
22
（A）π – arccos （B）– arccos （C）45 （D）120
1313
6、P是双曲线f上任意一点，F是 f的一个焦点，l是与F对应的准线，P到l的距离为d，f的
准线间距为L，焦距为c，则下列关系式 中成立的是（ ）
（A）
|PF|c|PF|L|PF||PF|
cL
> （B）= （C）= （D）=
dddd
Lc
Lc
7、若函数y = log
1
| x + a |的图象不经过第二象限，则a的取值范围是（ ）
2
（A）( 0，+ ∞ )， （B）[1，+ ∞ ) （C）( – ∞，0 ) （D）( – ∞，– 1 ]
8、若函数y = cos
2
x

– 3 cos x + a 的最小值是–
3
，则a
y
的值域是（ ）
2

（A）[ 2
–
9
2
，2] （B）[ 2
3
2
–
3
2
，2] （C）[ 2
9
2
–
3
2
，2 ] （D）[ 2，2]
9
2
9、函数y = –
4x
2
（x ≤ 1）的曲线长度是（ ）
（A）
2

4

8

（B） （C）2 π （D）
333
p
n1q
n
10、已知n∈N，常数p，q均大于1，且都不等于2，则
lim
n2
=（ ）
n1
n
p2q
（A）
p11p
1111
1111
或 （B）–或– （C）或或
2
（D）–或–或
2

p2qp2q
2 q2q
p
2q
pp
2q
p
二、填空题（每小题6分）
11、将一个三棱锥和一个三棱柱接成一个多面体，这个多面体的面数最少可达到 。
12、某个圆的圆心在双曲线的一条准线上，并且圆经过双曲线的一个顶点和一个焦点，则双曲线< br>的离心率是 。
13、若无穷等比数列{ a
n
}满 足
lim
n
a
1
a
4
a
7a
3n2
3
=，则该数列的公比是 。
4
a
1
a
2
a
n
14、已知函数f ( x ) = lg ( a x
2
– 2 x + 1 )的值域是一切实数，则实数a的取值范围是 。
15、适合方程tan 19 x ° =
cos99sin99
的最小正整数x =________。
cos99sin99
1111
16、数列，，，，… 的前n项和等于__ _____。
3153563
17、实数x，y满足方程x
2
+ y
2
= 6 x – 4 y – 9，则2 x – 3 y的最大值与最小值的和等于 。
18、直线l ：a x – y – ( a + 5 ) = 0（a是参数）与抛物线f ：y = ( x + 1 )
2
的相交弦是AB，则弦
AB的中点的轨迹方程是 。
19、在一支长15cm粗细均匀的圆柱形蜡烛的下端固定一个薄金属片（体积不计），使蜡烛恰好
能竖直地浮于水中，上端有1cm高的部分露在水面以上，已知蜡烛的比重为0.85 g cm
3
，现在
点燃蜡烛，当蜡烛被水淹没时，它的剩余长度是 。 < br>20、某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停一次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走一
层的 不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度为S，为使S最小，电梯
应当停在第 层。
答案：一、D、B、C、C、A、C、D、A、B、C；
二、11、5；12、2；13、
n
213
；14、[ 0，1 ]；15、36；16、；17、24；
2n1
6

18、y = 2 x
2
– 7（x ≥ 4或x ≤ – 2）；19、
三、解答题（每题15分）
25
；20、14。
3
x
2
21、已知点A(
5
，0 )和曲线y =
1
（2 ≤ x ≤ 2
5
）上的点P
1
，P
2
，…，P
n
，若| P
1
A |，| P
2
A
4
1
1
|，…，| P
n
A | 成等差数列并且公差d∈ (，)，求n的最大值。
5
5
解：设P
1
( x
1
，y
1
)，P
2
( x
2
，y
2
)，…，P
n
( x
n
，y
n
)，且2 ≤ x
1
< x
2
< … < x
n
≤ 2
5
，
2
2
x
n
5< br>5x
n
85x
n
16
则| P
n
A | =
(x
n
5)y
=
(x
n
5)
= x
n
– 2，
1
=
2
4
4
22
n
2
∴ | P
n
A | – | P
1
A | = ( n – 1 ) d，
∴ ( n – 1 ) =
|P
n
A||P
1
A|
55
=( x
n
– x
1
) ≤( 2
5
– 2 ) < 25 – 5
5
≤ 13，∴ n ≤ 14。
d
2d2d
22
22、设x
1
，x
2
，x
3
，y
1
，y
2
，y
3
是实数，且满足x
1
+ x
2
2
+ x
3
≤ 1。
22222
证明不等式：( x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ x
3
y
3
– 1 )
2
≥ ( x
1
+ x
2
2
+ x
3
– 1 ) ( y
1
+ y
2
+ y
3
– 1 )。
22222
证明：当x
1
+ x
2
2
+ x
3
= 1时，原不等式显然成立。当x
1
+ x
2
+ x
3
< 1时，
22222
2
可设f ( t ) = ( x
1
+ x
2
2
+ x
3
– 1 ) t
– 2 ( x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ x
3
y
3
– 1 ) t + ( y
1
+ y
2
+ y
3
– 1 )，
= ( x
1
t – y
1
)
2
+ ( x
2
t – y
2
)
2
+ ( x
3
t – y
3
)
2
– ( t – 1 )
2
，
∴ f ( 1 ) = ( x
1
– y
1
)
2
+ ( x
2
– y
2
)
2
+ ( x
3
– y
3
)
2
> 0，又是开口向下的抛物线，
22222
从而△= 4 ( x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ x
3
y
3
– 1 )
2
– 4 ( x
1
+ x
2
2
+ x
3
– 1 ) ( y
1
+ y
2
+ y
3
– 1 ) ≥ 0，
22222
即( x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ x
3
y
3
– 1 )
2
≥ ( x
1
+ x
2
2
+ x
3
– 1 ) ( y
1
+ y
2
+ y
3
– 1 )。