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第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛

班级 姓名 指导老师 得分
高二 第2试
2012年4月8日 上午9：00至11：00
一、 选择题（每小题4分 ，共40分。）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表
示正确答案的英文字母写在每题后面 的圆括号内。
1. 已知集合
P{x|0x5,xZ}
，
Q{y |yx
2
1,xP}
，则
PQ
中的元素个数是（ ）
(A)3

(B)6

(C)8

(D)9

2. 方程
log


1
13
xsin(
22
x)
的实根的个数是（ ）
(A)2

(B)4

(C)6

(D)8

3. 命题
p:
不经过第一象限的图象所对应的函数一定不是幂函数，命题
q:
函数yx
2
x
的单调
递增区间是
[2,0)[2,)< br>，则下列命题中，真命题是（ ）
(A)pq

(B)(p)q

(C)(p)(q)

(D)p(q)

4. 设
a,c
是正实数，则对于每个实数< br>t
，抛物线
yax
2
txc
的顶点在
xO y
平面内组成的
图形是（ ）
(A)
一条直线
(B)
一条抛物线
(C)
一条抛物线的一部分而不是全部
(D)
双曲线的一支
5. The minimum value of the function
yx
2
2x5x
2
4
is （ ）
(A)4

(B)32

(C)25

(D)17

6. 若对于任意实数
x
，都有
t
2
5t2x4x2
恒成立，则
t
的取值范围是（ ）
(A)[1,4]

(B)[4,1]

(C)(,1][4,)

(D)(,4][1,)

7. 已知数列
{a
4< br>n1
n
}
的通项公式为
a
n
(
9
)(
2
3
)
n1
(nN
*
)
，则 数列
{a
n
}
（ ）
(A)
有最大项，没有最小项
(B)
有最小项，没有最大项
(C)
既有最大项又有最小项
(D)
既没有最大项也没有最小项

8. 已知函数
f(x)(
1tan
2
x
1tan
2
x
)
2，则
f(x)
的最小正周期是（ ）
(A)2


(B)
3

2


(C)


(D)
2

9. 双曲线
x
2

y
2
2
1
在点
(2,2)
处的切线方程是（ ）
(A)yx2

(B)yx3

2

(C)y2x

2

(D)y2x3

2
10. 已知向量

OA

(2,0),

OB

(2,2),

BC

( 2cos

,2sin

)(0

2

)
，则向量

OA

与

OB

的夹角的取值范围是（ ）

(A)[
7

1< br>6
,

1
6

]

(B)
7
[

1
12
,

12

12

](C)[
3
,
5

3
]

(D)[
5

4
,
7

4
]

二、 填空题（每小题4分，共40分）
11. 函数
f(x)ln
x
x1
的定义域是
12. 三角式
6tan10

42cos80

的值等于
13. 已知数列
{a
1a
n
n
}
中，
a
1
2,a
n1

1a
，记数列
{a
n
}
的前
n
项的乘积为

n
，
n
则

2012


14. How many positive roots does the equation
(x
1
)
2012
2
x
2012
2 x
1
2
0
have?
15. 不等式
cos2

22cos

1
的解集是
16. 已知向量

a,

b,

c
是三 个具有公共起点的非零向量，且

a2,

b2,
又

a


b1,(

a

c,

b

c)

，
则当

3
a

c7
时，向量

a
与

c
的夹角是
17. 若数列
{x
3,x
x2
n
1
n
}
满足条件
x
1n1

2x
，则该数列的通项公式
{x
n
}

n
18. 已知点
M
是
ABC
所在平面内的一点，且满足
MA
2
MB
2
MC
2
4
，那么ABC
三条边
长之积
ABBCCA
的最大值是

1

19. 如图1，正方体
ABCDABCD
中，
EEFFBB
，

平面
AEEA
与平面
ABBA
成
15
角，平面
A FFA
与平
''''''
'''''''
面
ADDA
成< br>30
角，如果正方体的棱长为1，那么几何
体
AEFAEF
的体积等于

20. 已知
A,B
是抛物线
y4x
上的两个动点，且
A B3
，则当
AB
的
2
'''
''

y
2
1(0x1,0y2)
在第一象限内的一段弧记为
AB
，23.（本题满分15分）椭圆
C:x
4
点
P(x,y)
在弧
AB
上，如图2.
（1） 用
t(P)
表示椭圆
C
在
P
点处的切线的单位向量，方向是依椭圆的逆时针走向，求向量
t(P)
2

（2） 令函数
f(P)t(P)

OP
，写 出函数
f(P)f(x)
的解析式；
（3） 求函数
f(P)
的 最大值及取得最大值时的点
P
的坐标，并确定函数
f(P)f(x)
的值域 。
的解析式；
中点
M
到
y
轴的距离最短时，点
M
的横坐标是

三、 解答题（每题都要写出推算过程）
21.（本题满分10分）解不等式log
2
(x
2
a
(x1x)log
a
2x10x1)log
a
3(a0,a1)










22.（本题满分15分）已知正三棱锥底面的一个顶点与它所对的侧面的重心的距离为4，
求此正三棱锥的体积的最大值。







2

3