美国哈佛大学简介-凡客体自我介绍

山东省滨州市无棣县埕口中学七年级数学
第18届“希望杯”第1试试题

一、选择题（每小题4分，共40分）
1．a和b是满足ab≠0的有理数，现有 四个命题：①
a－22－a
的相反数是
2
；②a－b的相反
2
b＋4b＋4
数是a的相反数与b的相反数的差；③ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积；
④ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积．其中真命题有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2．在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是（ ）


（A） （B） （C） （D）
3．在代数式xy
2
中，x与y的值各减少25%，则该代数式的值减少了（ ）
（A）50% （B）75% （C）
27

64
（D）
37

64
A
30
x
D
4．若a＜b＜0＜c＜a，则以下结论中，正确的是（ ）
（A）a＋b＋c＋d一定是正数
（C）d－c－b－a一定是正数
（B）d＋c－a－b可能是负数
（D）c－d－b－a一定是正数
5．在图1中，DA＝DB＝DC，则x的值是（ ）
（A）10 （B）20 （C）30
B
（D）40
50
图1
C
6．已知a，b，c都是整数，m＝｜a＋b｜＋｜b－c｜＋｜a－c｜，那么（ ）
（A）m一定是奇数 （B）m一定是偶数
（C）仅当a，b，c同奇偶时，m是偶数 （D）m的奇偶性不能确定
7．三角形三边的长a，b，c都是整数，且[a，b，c]＝60，（a ，b）＝4，（b，c）＝3．（注：
[a，b，c]表示a，b，c的最小公倍数，（a，b）表示a ，b的最大公约数），则a＋b＋c
的最小值是（ ）
（A）30 （B）31 （C）32 （D）33
D
C
8．如图2，矩形ABCD由3×4个小正方形组成． 此图中，不是正方形的
矩形有（ ）

AB
图2

（A）40个 （B）38个 （C）36个 （D）34个
9． 设[a]是有理数，用[a]表示不超过a的最大整数，如[1.7]＝1，[－1]＝
－1，[0]＝ 0，[－1.2]＝－2，则在以下四个结论中，正确的是（ ）
（A）[a]＋[－a]＝0
（C）[a]＋[－a]≠0
（B）[a]＋[－a]等于0或－1
（D）[a]＋[－a]等于0或1
10．On the number axis，there are two points A and B corresponding to numbers 7 and b
respectively，and the distance between A and B is less than 10．Let m＝5－2b，then the range
of the value of m is（ ）
（A）－1＜m＜39 （B）－39＜m＜1 （C）－29＜m＜11 （D）－11＜m＜29
（英汉字典：number axis 数轴；point 点；corresponding to 对应于…；respectively 分别
地；distance 距离；less than 小于；value 值；range 范围）

二、填空题（每小题4分，共40分） 11．1－2＋3
1
2
5
6
19411711
1
1
－4＋5－6＋7－8＋9＝_______．
1230
2042567290
A
G
E
P
F

11

11

11

12．若m＋n－p＝0，则
m



n
－
p


＋n


－


－p

－

的值等于______．

mp


mn

D
Q
N
H
M
B
S
R
13．图3是一个小区的街道图，A、B、C、…X、Y 、Z是道路交叉的17
个路口，站在任一路口都可以沿直线看到这个路口的所有街道．现
XYZ
图3
C
要使岗哨们能看到小区的所有街道，那么，最少要设__________个岗哨．
14．如果m－
15．
11
＝－3，那么m
3
－
3
＝____________．
mm
1＋2＋3＋4＋5＋

＋2005 ＋2006
＝__________．
1

1

1< br>
1

1

1


1－< br>
1－

1－

1－



1－

1－


1004

1005

1006

1007

2005
2006

16．乒乓球比赛结束后，将若干个乒乓球发给优胜者．取其中的一半加半个发 给第一名；取
余下的一半加半个发给第二名；又取余下的一半加半个发给第三名；再取余下的一半加半个发给第四名；最后取余下的一半加半个发给第五名，乒乓球正好全部发完．这些乒
乓球共有__ ____个．
17．有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29 ，23，
21和17岁，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是__________岁．
1 8．初一（2）班的同学站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数，然后又自右向左从“1”
开始报 数，结果发现两次报数时，报“20”的两名同学之间（包括这两名同学）恰有15

人，则全班同学共有________人．
19．2
m< br>＋
2006
＋2
m
（m是正整数）的末位数字是__________ ．
20．Assume that a，b，c，d are all integers，and four equations (a－2b)x＝1，(b－3c)y＝1，
(c－4d)z＝1，w＋100＝d have always solutions x，y，z，w of positive numbers respectively，
then the minimum of a is ____________．
（英汉词典：to assume 假设；integer 整数；equation 方程；solution（方程的）解；positive
正的；respectively 分别地；minimum 最小值）

三、解答 题（本大题共3小题，第21题10分，第22、23题15分共40分）要求：写出推
算过程．
21．（1）证明：奇数的平方被8除余1．
（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．









22．如图4所示，三角形ABC的 面积为1，E是AC的中点，O是BE的中点．连结AO并
延长交BC于D，连结CO并延长交AB于F ．求四边形BDOF的面积．








A
E
C
F
B
O
D
图4

23．老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托 车，速度25千米
／小时．这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为20千米／小时．学生步行的
速度为5千米／小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间
不超过3 小时．

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛
初一 第2试 参考答案
一、选择题
1、C ，提示：①②④正确，③错误。
2、C ，提示：正方体的平面展开图中一个顶点能连出4个正方形。
3、C ，提示：
xy
2
(x25%x)(y25%y)
3 7
2
xy

64
4、C ，提示：（A）
ab0,cd0, abcd
不确定，A错；
（B）
dc0,a0,b0 dcab0
，B错；
（C）
dc0,a0,b0, dcba0
，C 对；
（D）
cd0,a0,b0 cdba
不确定，D错。
5、A ，提示：如图，
DADBDC,CADACD30
，
DBADAB50,DBCDCBx
，
xx30305050180
，
x10
。
6、B ，提示：因为
m
中如果有
a,b,c
出现，则都是以它们的 偶数倍形式出现的。
7、B ，提示：
(a,b)4,(b,c)3
，则
a4,b43
，则
a4
，
b43
，又
[a, b,c]60
，
则
c35,abc31
。
8、A ，提示：共有矩形60个，共有是正方形的有20个。
9、D ，提示：当
a1
时 ，
[a][a]0
，当
a
10、C ，提示：
1
时，
[a][a]0(1)1
。
2，
b710,10b710,3b17
17b3,34 2b6,2952b11
，即
29m11
。
1
提示： 123456789
26122
9
11、
1
，
1
1

1
33
1
5 
1

1
7
1
9
1
10
261220304290
1111111

1
261220304290

1111111
1
22334910

1119
11
221010
二、填空题

12、
3
，






111111
提示：m()n()p()
npmpmn
mmnnnp

npmpmn
mpnpmn
()()()
nnmmpp
111
3
13、4 ，提示：如图四点：D、N、Y、F
11111
22
( m)(m1)(m)[(m)3]
14、
36
，提示：
m
3
mm
2
mm
(3) [(3)
2
3]36
m
3

15、4026042； 提示：







16、31；提示：设这些乒乓球有
x
个，则发给第一名：
发给第二名：< br>(x
1234520052006
111111
(1)(1 )(1)(1)(1)(1)
1
1234520052006

1

1
2(1234520052006 )
2006(12006)
2
2
20062007
4 026042
11
x
个；
22
111111
x)
2
x
2
个， < br>222222
111111
发给第三名：
3
x
3
个 ，发给第四名：
4
x
4
个，发给第五名：
5
x
5
个。
222222
1111131
则
(
2

3

4

5
)(x1)x
，
x,x 31
。
2222232
17、18 ；提示：设甲，乙，丙，丁四人的年龄为
a,b,c,d
，则


abc
d29

3


abc3d

abd
c23

ab3cd


3



acd
b21

a3bcd

3

3abcd

bcd


a17
3



①+②+③+④ 得
6(abcd)270,abcd45
⑤，将⑤分别代入①,②,③,④，求得
①

87
69

63

51
②
③
④
a3,b4,c12,d21
，
da21318
。
1,2,19,20,
18、53 ，提示：
,n19,n18,
15个
,n1,n
2 ,1
，
1915953
。
n,n1,,n18,n19,
15个
20,19,
19、0 ，提示 ：
2
m2006
2
m
2
m
(2
2 006
1),2
4n1
的末位数字是2 ，
2
2006
的末位数字 是4 ，
2
2006
1
的末位数字是5，故
2
m
(2
2006
1)
是0 。

a2b0

a2b1

b3c0

b3c1

20、2433， 提示：

，又
a,b,c,d
为整数，


c4d0c4d1



d1000

d1001
d101,c14d405,b13c1216
，
a12b2433

三、21、（1）证明：设奇数为
2k1
，则
(2k1)2
4k
2
4k14k(k1)1
；
（i）当k
为奇数时，
4k(k1)
能被8整除，故
4k(k1)1
被8除余1；
（ii）当
k
为偶数时，
4k(k1)
能被8整 除，故
4k(k1)1
被8除余1。
故奇数的平方被8除余1。
（2 ）证明：
2006825086
，10个奇数的平方和为：
8k108m 2
，
故2006不能表示为10个奇数的平方之和。
22、解：如图，
S
ABC
1
，
E
为
AC
中点，
O< br>为
BE
中点，
S
ABE
S
BCE

11
，
S
ABO
S
AEO
S
B CO
S
CEO

，
24
S
OBF
FOOBFO

，
S
CEO
COOECO
设
S
OBF
y,S
OBD
x
，

S
AFOFO
SS

，即
OBF

AFO
S
ACO
COS
CEO
S
ACO
1
y
11 1311
y
4
y,y,y
。 ，

，
y< br>111
216441612

444
S
BDO
DO OBDO
S
CDO
DO
SS

，， 即
BDO

CDO
，
S
AEO
AOOEA OS
ACO
AOS
AEO
S
ACO
1
x< br>x
4
11
,x,S
四边形BDOF

。
111
126

444
23、解：让一A 同学先步行，老师乘摩托车带B 同学行驶小时后，让B同学步行至博物馆，
老师返回接A同学，并带他 到博物馆，则有
20t5(3t)33,t1.2
；
当
t 1.2
时，
201.224,51.26,24618
，
18 (255)0.6,0.653
，
336324,24201.2，
1.21.20.63
，能到，
故，让A同学先行，老师乘摩托车带B同学行驶1.2 小时，也就是24千米后，让B步行
至博物馆，老师返回接A 同学，这样，3小时后，三人同时到达博物馆。