成山头-闻王昌龄左迁龙标遥有此寄原文

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初一 第2试
2019年4月10日 上午9：00至11：00
一、选择题(每小题4分，共40分。)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正
确的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1. 有理数a，b满足20a11| b |=0 (b0)，则
a
是 (A) 正数 (B) 负数 (C) 非正数 (D) 非负数 。
b
2
B
N
Q
2. 如图1，直线MN直线PQ，射线OA射线OB，BOQ=30。
A
若以点O为旋转中心，将射线OA顺时针旋转60后，这时图
M
中30的角的个数是 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 。
P
3. 有理数a，b在数轴上对应的位置如图2所示，
1b
|a1||a|
ba
那么代数式的值是
a1a
|ab|
|b1|
a
1
b
1
0
图2
O
图1
(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 。
F
4. 如图3，ABCD，AEFG，BIHE都是平行四边形，且E是DC的
D
S
2
E
中点，点D在FG上，点C在HI上。△GDA，△DFE，△EHC，
△BCI的面积依次记为S
1
，S
2
，S
3
，S
4
，则 (A) S
1
S
2
>S
3
S
4

G
S
1
(B) S
1
S
2
3
S
4
(C) S
1
S
2
=S
3
S
4
(D) S
1
S
2
与S
3
S
4
大小关系不确
定 。
2
H
S
H
3
C
S
4
I
B A
图3
5. If x is a prime number, y is an integer, and x
21x
=
2
y3
, than xy
2
= (A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64 。
(英汉小辞典：prime number 质数，integer：整数)
A
6. 如图4，ABCDEFGH，AEDG，点C在AE上，点F在DG上。设
D
C
与

相等的角的个数为m，与

互补的角的个数为n，若


，则mn
E
F
的值是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 。




H
G
7. 甲用1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利10%，
图4
而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了10%。最后甲按乙卖给甲的
价格的九折将这些股票卖给了乙，若上述股票交易中的其它费用忽略不计，
则甲 (A) 盈亏平衡 (B) 盈利1元 (C) 盈利9元 (D) 亏损1.1元 。
8. 梯形的上底长5，下底长10，两腰分别长3和4，那么梯形的面积是 (A) 18 (B) 22.5 (C) 26.25
(D) 30 。
A
9. 已知| x |3，| y |1，| z |4且| x2yz |=9，则x
2
y
2019
z
3
的值是
(A) 432 (B) 576 (C) 432 (D) 576。
10. 如图5，BP是△ABC中ABC的平分线，CP是ACB的外
角的平分线，如果ABP=20，ACP=50，则AP=
(A) 70 (B) 80 (C) 90 (D) 100 。
二、填空题 (每小题4分，共40分)
11. 若y
2
=2xa，则4x
2
4ax4x
2< br>y2ay
2
y
4
a
2
1= 。
12. 如图6，有两个长度相同的滑梯BC和EF，滑梯BC的高度
AC等于滑梯EF在水平方向上的长度DF，则ABCDFE
= 度。
20
50
B
B
图5
C
E
M
C
A
图6
B D
F

13. 能被7整除的各个数码均不相同的最小的十位数是= 。
14. 如图7，，，，都是由9个边长为1厘米的正方形组成的33平方厘米的正方形，
其 中的阴影四边形的面积分别记为S
1
，S
2
，S
3
和S4
。则S
1
，S
2
，S
3
和S
4中最小的与最大的
和是 平方厘米。


S
2
S
4
S
3

S
1

   

图7
a
3
c
15. 已知x= 1时，3ax2bxcx2=10，其中a：b：c=2：3：6，那么
2
= 。
b
532
16. 将长与宽分别为6与4的长方形纸片剪去3个等腰直角三角形后，剩余部分的面积最小是
= 。
17. 有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙。如果它们从同
一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔1分钟相遇一次。现在，它们从同一点同时出发，
沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了4圈，此时它们行驶了 分钟。
18. 如图8，长方形ABCD的长为8，宽为5，E是AB的中点，
8
C
D
点F在BC上，已知△DEF的面积为16，则点D到直线EF
的距离为 。
19. If A=
81081181220102011
is a positive interger, then the
810
n
5
A
16
E
图8
F
B
1
3
maximum value of positive interger n is 。
20. 自然数n的各位数字中，奇数数字的和记为S(n)，偶数数字的和记为E(n)，例如S(134)=13
=4，E(134)=4，则S(1)S(2)…S(100)= ，E(1)E(2)…E(100)= 。
三、解答题 每题都要写出推算过程。
21. (本题满分10分)
甲乙两车在A，B两城连续地往返行驶。甲车从a城出发，乙车 从b城出发，且比甲车早出发1
小时，两车在途中分别距离A、B两城为200千米和240千米的C处 第二次相遇。相遇后，乙
车改为按甲车的速度行驶，而甲车却提速了，之后两车又再C处第二次相遇。之 后如果甲车再
提速5千米时，乙车再提速50千米时，那么两车在C处再次相遇，求乙车出发时的速度。
22. (本题满分15分)
如图9所示，C=90，Rt△ABC中，A=30，
B’
Rt△A’B’C中，A’=45。点A’、B分别在线
B
段AC、B’C上。将△A’B’C绕直角顶点C顺时
针旋转一个锐角

时，边A’B’分别交AB、AC
于P、Q，且△APQ为等腰三角形。求锐角


C
45
30
A
B’
B


A’
C
P
Q
45
30
A
的度数。
图9
23. (本题满分15分)
若矩形的长、宽和对角线的长度都是数，求证：这个矩形的面积是12的倍数。

A’

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初一 第2试简答

一、选择题
1. B， 2. A， 3. D， 4. C， 5. C， 6. D， 7. B， 8. A， 9. D， 10. C，
二、填空题
11. 1， 12. 90， 13. 1023456798， 14. 7， 15.
5
6432
， 16. ， 17. 12， 18. ， 19.
2
35
150， 20. 501；400， 21. 80千米时。 22. 15，60。
23.
[证法1] 设矩形的长、宽和对角线长分别为a，b，c且a，b，c都是整数，则根据勾股定理知
a
2
b
2
=c
2
，我们只需证明a，b，c中必有一个能 被3整除，也必有一个能被4整除。
(1) 先证“a，b中必有一个能被3整除”。
若a，b都不是3的倍数，则a2
与b
2
必被3除余1，则c
2
必被3除余2，但完全平
方数被3除只能余0或1，故矛盾。所以a，b中必有3的倍数，即ab为3的倍数。
(2) 再证“a，b中必有一个能被4整除”。
将a
2
 b
2
=c
2
中的a，b，c的公约数约去，得x
2
y2
=z
2
，其中x，y，z两两互质。我
们只需证明“x，y中必有一个能被4整除”即可。首先x，y不能全是奇数，因为，
若x，y均为奇数，则x
2
与y
2
必都被4除余1，于是z
2
必被4除余2，但完全平方
数被4除只能余0或1，故矛盾。所以x，y不能全是奇数。因为x，y互质，所以，
x，y也不能全是偶数，因此x，y只能是一奇一偶，不妨设x=2p1，y=2m (其中p，
m均为整数)，此时z是奇数，设z=2q1 (q为整数)，代入y
2
=z
2
x
2
中，得
4m
2
=(2q1)
2
(2p1)
2
=4(q
2
qp
2
p)，即m
2
=q(q1)p(p1)，因 为q(q1)与p(p1)都
是两个连续整数的乘积，所以q(q1)与p(p1)都能被2整除，于是m
2
为偶数，因
此m为偶数，设m=2n (n为整数)，则y=2n=22m=4m，于是y能被4整除。
综上，a，b中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除。又因为(3，4)=1，所以
ab能被12整除，即这个矩形的面积必为12的倍数。
[证法2] 设a，b都不是4的倍数，则a，b均为奇数；或a，b中的一个为奇数，另一个为被4
除余2的数；或a，b都是被4除余2的数。
(1) 若a，b均为奇数，则a2
与b
2
必被4除余1，则c
2
必被4除余2，但完全平方数被
4除只能余0或1，矛盾。
(2) 若a，b中一个是奇数，另一个是被4除余2的数；不妨设a=2k1，b=2(2m1) (其
中k，m均为整数)，则a
2
=4k
2
4k1=4k(k1)1。因 为连续整数之积k(k1)能被2
整除，所以a
2
被8除 余1，而b
2
=2
2
(2m1)
2
=16m(m1) 4，于是b
2
被32除余4，所
以a
2
 b
2
被8除余5，即c
2
被8除也余5，但完全平方数被8除只能余0或1或 4，
矛盾。
(3) 若a，b都是被4除余2的数。设a=2(2k1)，b=2(2m1) (其中k，m均为整数)，
则由a
2
b
2
=c
2
知 c
2
为偶数，于是c为偶数，设c=2n，则a
2
b
2
= (2n)
2
=4n
2
，即
2
2< br>(2k1)
2
2
2
(2m1)
2
=4n
2
，约去公因子4，得(2k1)
2
(2m1)
2
=4n< br>2
，变成两个奇数平
方和的情形，根据(1)得出矛盾。
综上，假设“a，b都不是4的倍数”不成立，所以“a，b中必有一个能被4整除”成立。

因为(3，4)=1，所以ab能被12整除。即这个矩形的面积必为12的倍数。