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专题24 相交线与平行线
阅读与思考
在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行.
当两条直线相交或两条直线分别 与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内
角等位置关系角，善于从相交线中识别出以 上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公
共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶 点且有一条边在截线上，这是识图的关键．
两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据．
1．平行线的判定
(1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行；
(2)平行于同一直线的两条直线平行；
(3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．
2．平行线的性质
(1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行；
(2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；
(3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直.
熟悉以下基本图形：

例题与求解
【例1】 (1) 如图①，
AB
∥
DE
，∠
ABC
＝
80
，∠
CDE＝
140
，则∠
BCD
＝__________.
（安徽省中考试题）
(2) 如图②，已知直线
AB
∥
CD
，∠
C
＝
115
，∠
A
＝
25，则∠
E
＝___________.
（浙江省杭州市中考试题）
00
00

1

A
B
D
E
A
E
B
F
C 图1
C
D

图②

解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解.
【例 2】如图，平行直线
AB
，
CD
与相交直线
EF
，
GH
相交，图中的同旁内角共有( )．
A．4对 B．8对
C．12对 D．16对
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手．
A
EG
A
C
B
D
E
F
B

H
F
D
C

例2题图 例3题图
【例3】 如图，在 △
ABC
中，
CE
⊥
AB
于
E
，
DF
⊥
AB
于
F
，
AC

ED
，< br>CE
是∠
ACB
的平分线，求证：
∠
EDF
＝∠BDF
.
（天津市竞赛试题）
解题思路：综合运用垂直定义、角 平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前
注意分解图形．



【例4】 如图，已知
AB
∥
CD
，∠
EAF
＝
113
∠
EAB
，∠
FCF
＝∠
ECD
.求证：∠
AFC
＝∠
AEC
.
444
（湖北省武汉市竞赛试题）

2

解题思路：分别过点
E
，
F
作平行线，利用平行线的性质找角之间的关系.
A
E
C
F
D
B
D
E
2
F
A

1
B
C

例4题图 例5题图





【例5】如图，已知∠1＝ ∠2，∠
C
＝∠
D
，求证：∠
A
＝∠
F
.
解题思路：从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系，
是解这类问题的基本思路.







【例6】(1)已知平面内有4条直线
a
，
b
，c
和
d
，直线
a
，
b
和
c
相 交于一点，直线
b
，
c
和
d
也
相交于一点，试确定 这4条直线共有多少个交点？并说明你的理由．
(2)作第5条直线
e
与(1)中的直线
d
平行. 说明：以这5条直线的交点为端点的线段有多少条？
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：(1)先设直线
a
，
b
，
c
的交点为
P
，直线
b
，
c
，
d
的交点为
Q
， 证得
P
与
Q
实为同一
点，得出结论．
(2)绘出图形，帮助解答，注意平行线的性质.


3

能力训练
A
级

1．在同一平面内有
a
1
，
a
2
，
a
3
…，
a
10
十条直线，如果
a
1

a
2
，
a
2
⊥
a
3
，< br>a
3

a
4
，
a
4
⊥
a5
，
a
5

a
6
，
a
6
⊥
a
7
，…，那么
a
1
与
a
10
的位置关系是____________.
2．如图，已知
AE
∥
BD< br>，∠1＝
130
，∠2＝
30
，则∠
C
＝_____ _____．
（湖南省常德市中考试题）
3．如图，直线
a
，< br>b
都与直线
c
相交，下列命题中，能判断
a
∥
b的条件是_____________（把你认
为正确的序号填在横线上）
①∠1＝∠2； ②∠3＝∠6； ③∠1＝∠8；④∠5＋∠8＝
180
．
（陕西省中考试题）
0
00
AE
5
7
3
2
4
1
1
B
C
D
a
1
b
2
第4题图
2
8
6
第2题图

第3题图

4. 将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一< br>边上，则∠1＋∠2__________.
（山东省烟台市中考试题）
5．下面四个命题中正确的是( )．

4

A．相等的两个角是对顶角 B．和等于
180
的两个角互为邻补角
C．连结两点的最短线是过这两点的直线
D．两条直线相交所成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直
（“希望杯”邀请赛试题）
6．下列命题
①两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直．
②两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等．
③两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两直线垂直．
④两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直．
其中正确的有( )．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，
DH
∥
EG
∥
BC
，且
DC
∥
EF
，那么图中与∠
BFE
相等的角(不包括∠
BFE
)的个数是( )．
A.2 B．4 C．5 D．6
（山东省菏泽地区中考试题）
8．如图，
AB
∥
CD
∥< br>EF
∥
GH
，
AE
∥
DG
，点
C< br>在
AE
上，点
F
在
DG
上，设与∠
ɑ
相等的角的个数为
0
m
（不包括∠
a
本身），与∠
互补的角的个数为
n
．若
a
≠

，则
m
＋
n
的值是( )．
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
DH
A
B
E
A
G
E
D
C
βG
第8题图
F
α
B
F
第7题图
0
C< br>H

9．如图，已知
AB
∥
ED
，∠
NC B
＝
30
，
CM
平分∠
BCE
，
CN⊥
CM
，求∠
B
的度数．





5

10.如图，已知
E
是
AB
，
CD
外一点，∠
D
＝∠
B
＋∠
E
，求证：
AB
∥
CD
.

E
M
A
B
C
D
N



11.平面上有10条直线，无任何3条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？
（吉林省竞赛试题）

E
A
B
C
D
< br>12.如图，已知
CD
∥
EF
，∠1＋∠2＝∠
ABC
，求证：
AB

GF
.
（重庆市竞赛试题）





6

B级
1. 如图，∠
A
＝
60
，∠1＝∠2，则∠
ADC
的度数是___________.
2．如图，直线
a
∥
b
，那么
x
的度数是____________.
（五城市联赛试题）
0
A
120°
a
A
E
D
x
B1
2
C
第1题图
D
30°
48°
30°
第2题图
B
b
C'
第3题图
0
D'
C
F

3．如图，把一个长方形纸片沿
EF
折叠后，点
D
，C
分别落在
D
'，
C
'的位置，若∠
EFB
＝
65
，则∠
AED
'＝__________.
（山东省中考试题）
4．如图，已知
DE
∥
BC
，∠2＝
70
，∠1＝
40
，那∠
EBA
的度数是________ _____.
00
C
1
1
2
4
k
E
2

A
D
B
3

l

第4题图 第5题图
5. 如图，直线< br>k
∥
l
，∠4－∠3＝∠3－∠2＝∠2一∠3＝
d
＞0．其 中∠3＜
90
，∠1＝
50
，则
∠4最大可能的整数值是( )．
A. 107 B．108

7
00
00

C．109 D．110
6. 如图，
AB
∥
CD
∥
EF，
EH
⊥
CD
于
H
，则∠
BAC
＋∠
ACE
＋∠
CEH
等于( )．
A．180 B．270
C．360 D．450
(北京市竞赛试题）
7．如图，两直线
AB
，
CD
平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ ( )．
A．630 B. 720
C．800 D. 900
（“希望杯”邀请赛试题）
00
00
00
00
00
A
A
B
C
H
D
E
F
C
1
E
B
F
G
D

2
5
3
4
H
6
第6题图 第7题图
8．两条直线< br>a
，
b
互相平行，直线
a
上顺次有10个点
A
1
，
A
2
…，
A
10
，直线
b
上顺次有9个点
B
1
，
B
2
，…，
B
3< br>，将
a
上每一个点与
b
上每一个点相连可得线段．若没有三条线段相交 于同一点，则这些
线段的交点个数是( )
A. 90 B.1620 C.6480 D.2006
9．如图，已知两条平行线
AB
，
CD
被直线
EF
所截，交 点分别为
G
，
H
，
P
为
HD
上任意一点， 过
P
点的直线交
HF
于
O
点，求证：∠
HOP＝∠
AGF
－∠
HPO
.
E
AB
C
O
F
P
D


8

10．如图，在△
ABC
中，
AB
＝7 ，
AC
＝11，点
M
是
BC
的中点，
AD
是∠
BAC
的平分线，
MF
∥
AD
.求
FC
的长．

(2013年“《数学周报》”杯竞赛试题)
A
F
B
DM
C


11．平面上有七条两两不平行的直线，试证：其中必有直线的交角小于26．
（莫斯科八年级竞赛试题）

















0

9

12． ⑴如图①，
MA
1
∥
NA
2
，则∠
A
1< br>＋∠
A
2
＝_________.
如图②，
MA
1
∥
NA
3
，则∠
A
1
＋∠
A
2< br>＋∠
A
3
＝_________.
如图③，
MA
1
∥
NA
4
，则∠
A
1
＋∠
A
2< br>＋∠
A
3
＋∠
A
4
＝_________.
如图④，
MA
1
∥
NA
5
，则∠
A
1< br>＋∠
A
2
＋∠
A
3
＋∠
A
4
＋∠
A
5
＝_________.
从上述结论中你发现了什么规律？请在图②，图③，图④中选一个证明你的结论.
M
A
1

M
A
1

A
2

A
4

M
A
1

A
2

A
3

N
图①
A
2

N
A
3

图②
M
A
2

A
3

A
4

N
A
5

图④
（第21题）
N
A
n

A
6


N
图③
A
1

A
2

A
3

A
4

A
5

图⑤
M
A
1

（2） 如图5，
MA
1
||NA
n
，则
A
1
 A
2
A
3
A
n

.
（3）利用上述结论解决问题：如图已知
AB||CD
，
ABE
和
CDE
的平分线相交于
F
，
E140

，求
BFD
的度数.
A
F
B
E
C

D
图⑥


10

专题24 相交线与平行线
例1 （1）40° 过点
C
作
CF
∥
AB
，则∠
BCF
＝∠
ABC
＝80°．∠
DCF
＝180°—140°＝40°，∴
∠
BCD
＝80°－40°=40°.
（2）90° 过点
E
作
EM
∥
AB
，∴
AB
∥
CD
，∴
EM
∥
CD
，∠
AEM< br>=180°
—
25°=155°. ∠
CEM
=180°
—< br>115°=65°，∴∠
E
=∠
AE—
∠
CEM
=1 55°-65°=90°.
例2
D
提示：原图可分解为8个基本图形.
例3 提示：由
DF
∥
CE
得，∠
BDF
=∠< br>BCE
，∠
FDE
=∠
DEC
，
AC
∥DE
，得∠
DEC
=∠
ECA
.
例4 过
E
作
EM
∥
AB
.∴
AB
∥于
CD
，∴
EM
∥
CD
.
∴∠
AEC
=∠
A EM
+∠
CEM
=∠
EAB
+∠
ECD
.同理：∠
AFC
=∠
FAB
+∠
FCD
.∴∠
AEC
=∠
FAB
+∠
FCD
+∠
EAF
+∠
ECF< br>=∠
AFC
+¼∠
EAB
+14+∠
ECD
=∠AFC
+¼∠
AEC
.故∠
AFC
=¾∠
AEC
.
例5 提示：先证
BD
∥
CE
，再证
DF
∥
BC
.
例6 （1）直线
a
，
b
，
c< br>，
d
共有1个交点，理由如下：设直线
a
，
b
，c
的交点为
P
，直线
b
，
c
，
d的交点为
Q
.这意味着点
P
和点
Q
都是直线
b
和
c
的交点.而两条不同直线至多有一个交点.因此
P
和
Q
必为同一个点.即4条直线
a
，
b
，
c
和
d
相交于同一个点.因此
这4条直线只有一个交点.
(2)不妨设（1）中交点为< br>O
.因为作的第5条直线
e
与（1）中的直线
d
平行，所以直 线
e
和直线
d
没有公共点，因此这些
e
不过点
O< br>.而直线
a
，
b
，
c
与直线
e
必然 都相交.
如图所示.
设直线
e
与直线
a，b，c
分别相 交于点
A
，
B
，
C
.这时有
A
，
B
，
C
，
O
共四个不同的点.可以连出
OA
，OB，OC，AB，AC，BC
共6条不同的线段.
A
级
1.
a
1

a
10

2.20° 3.①②③④ 4.90° 5.D 6.B 7.C 8.D
提示：
m
=5 ，
n
=6，
m
+
n
=5+6=11. 9.60° 10.提示：过点
E
作
EF∥AB
. 11如
图所示.
12.作
CK
∥
FG
，延长
GF
，
CD
交 于
H
点，则∠1+∠2=∠
ABC
，故∠
ABC
+∠
BCK
=180°，
即
CK
∥
AB
，
AB
∥
GF
.



11

B
级
1.120°2.72°3.50°4.30°5.C 提示： ∠2=50°+
d
，∠3=50°+2
d
，∠4=50°+3
d，又∵∠
3=50°+2
d
<90°，∴
d
<20°，∠4=5 0°+3
d
<110°.故∠4的最大整数值为109°.
6.B 7.D
8.B 提示：由题意知每一个交点由
a
上两点和
b
上两点所确定. 在
a
上
取两点有种情况，在
b
上取两点有种情
况，故交点个 数为45*36=1620个.
9.提示：过点
O
作
CD
的平行线.
10.如图，设N
是
AC
的中点，连接
MN
，则
MN
∥
AB
.
又
MF
∥
AD
，∴∠
FMN
= ∠
BAD
=∠
DAC
=∠
MFN
.
∴
FN
=
MN
=½
AB
.
因此
FC
=
FN
+
NC
=½
AB
+12
AC< br>=½(
AB
+
AC
）=½（7+11）=9.
11.提示： 在平面上任取一点
O
，将已知的七条直线平移过点
O
，它们把以
O< br>为圆心的圆周角分成14
个彼此相邻的角a₁,a₂,……，。其中的每一个都和原来某两条直线 交角中的一个相等，假设
12.(1)180° 360° 540° 720° 证明略.（2）（
n
-1）180°
（3）过
F
作
FG< br>∥
AB
，则
AB
∥
FG
∥
CD
.
则∠
BFD
=½（∠
ABE
+∠
CDE
），又∠< br>ABE
+∠
CDE
+∠
E
=360°，得∠
ABE< br>+∠
CDE
=220°，故∠
BFD
=110°

12