福建二级建造师报名-工业品买卖合同

01 质数那些事
阅读与思考
一个大于1的自然数如果只能被1和本身整 除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以
外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数 ，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以
按约数个数将正整数分为三类：

单位1

正整数

质数


合数

关于质数、合数有下列重要性质：
1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．
2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．
3．若质数
p
|ab
，则必有
p
|
a
或
p
|
b
．
4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成
k
个质因数的乘积 (不考虑质因数
之间的顺序关系)：
k
12
N=
P
1< br>P
2
LP
k
，其中
P
1
P
2LP
k
，
P
i
为质数，
a
i
为非 负数(
i
=1，2，3，…，
k
)．
aa
a
正整 数N的正约数的个数为(1＋
a
1
)(1＋
a
1
)…(1＋
a
1
)，所有正约数的和为(1＋
P
1
＋…＋
a< br>k
a
1
a
2
P
1
)(1＋
P
2
＋…＋
P
2
)…(1＋
P
k
＋…＋
P
k
)．

例题与求解
【例1】已知三个质数
a
，
b
，
c
满足
a
＋
b
＋
c
＋
abc
=99，那么
abbcca
的值等
于____ _____________．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出
a
，
b
，
c
的值．



【例2】若
p为质数，
p
＋5仍为质数，则
p
＋7为( )
A．质数

35
B．可为质数，也可为合数
1

C．合数 D．既不是质数，也不是合数
(湖北省黄冈市竞赛试题)
解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．






【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．
(上海市竞赛试题)
解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考 虑这样的质
数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．







【例4】⑴ 将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数
n
，求证：
n
一定是
合数．
⑵ 若
n
是大于2的正整数，求证：
2
－1与
2
＋1中至多有一个质数．
⑶ 求360的所有正约数的倒数和．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排 出，不妨找出无
论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明
2
－1与
2
＋1中必有一个是合数，不能同
为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．


2
nn
nn

【例5】设
x
和
y
是正整数，
x
≠y
，
p
是奇质数，并且
112

，求
x＋
y
的值．
xyp
解题思想：由题意变形得出
p
整除
x
或
y
，不妨设
xtp
．由质数的定义得到2
t
－1=1或2
t
－
1=
p
．由
x
≠
y
及2
t
－1为质数即可得出结论．






【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质 数”[如2，3，
5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113 (131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…
都是质数]．求证： 绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．
(青少年国际城市邀请赛试题)
解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个 质数的十进制表示中，不可
能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2 或5整除．




能力训练
A级
1．若< br>a
，
b
，
c
，
d
为整数，
ab< br>
22

c
2
d
2

=199 7，则
a
2
b
2
c
2
d
2
=________．
2．在1，2，3，…，
n
这个
n
自然 数中，已知共有
p
个质数，
q
个合数，
k
个奇数，
m
个偶数，
则(
q
－
m
)＋(
p
－
k
)=__________．

3

3．设
a
，
b
为自然数，满足1176
a
=
b
，则
a
的最小值为__________．
(“希望杯”邀请赛试题)
4．已知
p
是质数，并且
p
＋3也是质 数，则
p
－48的值为____________．
(北京市竞赛试题)
5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( )
A．4 B．8 C．12 D．0
)
D．3个
6
11
3
6．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有 (
A．0个 B．1个 C．2个
(“希望杯”邀请赛试题)
7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大 9，这样的两位中，
质数有( )
B．3 个 C．5个 D．6 个 A．1个
(“希望杯”邀请赛试题)
8．设
p
，
q
，
r
都 是质数，并且
p
＋
q
=
r
，
p
<
q
．求
p
．







9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．
(上海市竞赛试题)





10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个

4

数，如此轮 流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你
如果想胜，应当选 甲还是选乙？说明理由．
(五城市联赛试题)





11．用正方形的地砖不 重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为
x
cm规格的地砖，恰用
n
块，若选用边长为
y
cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知
x
，
y
，
n
都是正整数，且(
x
，
y
)= 1，试问这块地有多少平方米？
(湖北省荆州市竞赛试题)








B级
1．若质数
m
，
n
满足5
m＋7
n
=129，则
m
＋
n
的值为_________ _．
p
p
q
q
2．已知
p
，
q
均为质数，并且存在两个正整数
m
，
n
，使得
p
=
m
＋
n
，
q
=
m
×
n
，则n
mn
m
的值为__________．
3．自然数
a，
b
，
c
，
d
，
e
都大于1，其乘积
abcde
=2 000，则其和
a
＋
b
＋
c＋
d
＋
e
的
最大值为__________，最小值为____ ________．
(“五羊杯”竞赛试题)
4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合 数之和的自然数都
染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则 第1 992个

5

数是_______________．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
5．若
a
，
b
均为质数，且满足< br>a
＋
b
=2 089，则49
b
－
a
=_________．
A．0 B．2 007 C．2 008 D．2 010
11
(“五羊杯”竞赛试题)
6．设
a
为质数，并且7
a
＋8和8a
＋7也都为质数，记
x
=77
a
＋8，
y
= 88
a
＋7，则在以下
情形中，必定成立的是(
A．
x
，
y
都是质数
)
B．
x
，
y
都是合数
22
C．
x
，
y
一个是质数，一个是合数 D．对不同的
a
，以上皆可能出现
(江西省竞赛试题)
7．设
a
，
b
，
c
，
d
是自然数，并且
abcd
，求证：
a
＋
b
＋
c
＋
d
一定是合数．
(北京市竞赛试题)








8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：
⑴ 6个数中任意两个都互质；
⑵ 6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．







6
2222

9．已知正整数
p
，
q
都是质数，并且7
p
＋
q
与
pq
＋1 1也都是质数，试求
pq
的值．
(湖北省荆州市竞赛试题)





10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：
(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？
(2) 能否 让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能
办到，请举出一例；若 不能办到，请说明理由．



01 质数那些事
例1 34
例2 C
例3 3符合要求 提示：当
p
=3
k
＋ 1时，
p
＋10=3
k
＋11，
p
＋14=3(
k
＋5)，显然
p
＋14是合数，当
qp
p
=3
k< br>＋2时，
p
＋10=3(
k
＋4)是合数，当
p
=3
k
时，只有
k
=1才符合题意．
例4 （1）因1＋2＋…＋20 04=
1
×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换< br>2
这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．
（2）因
n是大于2的正整数，则
2
－1≥7，
2
－1、
2
、2
＋1是不小于7的三个连续的正
整数，其中必有一个被3整除，但3不整除
2< br>，故
2
－1与
2
＋1中至多有一个数是质数．
（3 ）设正整数
a
的所有正约数之和为
b
，
d
1
，d
2
，
d
3
，…，
d
n
为
a
的正约数从小到大的排列，
nnn
nnnn

7

< br>于是
d
1
=1，
d
n
=
a
．由于< br>S
1111

中各分数分母的最小公倍数
d
n
=
a
，故
d
1
d
2
d
3
d
n
S
=
d
n
d
n1
d
dd
2
d
n
b
32

1
=< br>1
=，而
a
=360=
235
，故
b
= （1＋2＋
2
2
＋
2
3
）×（1
d
nd
n
d
n
d
n
a
2
＋3＋
3
）×（1＋5）=1170．
b
11701
==
3
．
a
3604
例5 由
xy22xy
=，得
x
＋
y
==
k
．（
k
为正整数），可得2
xy
=
kp
，所以
p
整除2
xy
且
p
为奇质数 ，
p
xyp
故
p
整除
x
或
y
，不 放设
x
=
tp
，则
tp
＋
y
=2
ty
，得
y
=
tp
为整数．又
t
与2
t< br>－1互质，故2
t
2t1
－1整除
p
，
p
为质数，所以2
t
－1=1或2
t
－1=
p
．若2
t
－1=，得
t
=1，
x
=
y
=
p
，与
x
≠
y
矛盾；
若2
t
－1=
p，则
xy2
=，2
xy
=
p
（
x
＋
y
）．∵
p
是奇质数，则
x
＋
y
为偶数，
x
、
y
同奇偶性，
p
xy
p

x y

apyap
必有某数含因数
p
．令
x
=< br>ap
，
ay
=，2
ay
=
ap
＋
y
．∴
y
=，
222a1
p1
p1p

p1

故
a
，2
a
－1互质，2
a
－ 1整除
p
，又
p
是质数，则2
a
－1=
p
，
a
=，故
x
=，
p
=
2
22
只能同为
xy
=
p

p1

p1
< br>p1

∴
x
＋
y
=＋=。
2
2
2
2
例6 设
N
是一个同时含有数字1，3 ，7，9的绝对质数．因为
k
0
=7931，
k
`
=179 3，
k
2
=9137，
k
3
=7913，
k
4
=7193，
k
5
=1937，
k
6
=713 9除以7所得余数分别为0，1，2，3，4，5，6．故如下7个正整
数：
4

N
0
C
1
C
2
C
n4
7931
=L
L10k
0
，

N1
C
1
C
2
C
n4
1793
=L
L10k
1
，
…
4

N
6
C
1
C
2
C
n4
7139
=L
L10k
6
，
4
其中，一定有一个能被7整除，则这个数就不是质数，故矛盾．

A级
1．1998 2．－1 3．63 4．2000 5．D 6．A 7．B
8．由
r
=
p
＋
q
可知
r
不是最 小的质数，则为奇数，故
p
，
q
为一奇一偶，又因为
p
＜< br>q
．故
p
既是质

8

数又是偶数，则
p
=2．
9．设十个连续合数为
k
＋2，
k
＋3，
k
＋4，…，
k
＋10，
k
＋11，这里
k
为自然数，则只要取
k
是2，
3，4，… ，11的倍数即可．
10．选甲．提示：相邻的两个自然数总是互质数，把相邻自然数两两分为一组， 这两数总是互质的，
（2，3），（4，5），（6，7），…，（1992，1993），1994， 甲擦掉1994，无论乙擦哪一个数，甲
就擦那一组的另一数，以此类推，最后还剩一对互质数． 11．设这块地面积为
S
，则
S
=
nx
=（
n
＋124）
y
．
∴
nxy
=124
y
∵
x
＞
y
（
x
，
y
）=1
2
∴（
x
，
y
）=1 （
xy
，
y
）=1 得
xy
｜124
2< br>2
2

22

2
22
2
22
2
∵124=
2
×31，
xy
=（
x
＋
y
）（
x
－
y
）
22
∴


xy31

xy62
，或



xy1

xy2

x16

x32
， 或

（舍）
y15y30

∴

124y
2
此时
n
=
2
=900．
xy
2∴
S
=
nx
=900×
16
=230400c
m
=23．04
m
。

B级
1．19或25
2．
22
22
31
提示：
q
=
mn< br>，则
m
、
n
只能一个为1，另一个为
q
．
3
3．133 23 4．2001
5．B 提示：唯有
a
=2，
b
=2089－
2
=2089－2048=41是质数，符合题意．
6．A 提示：当
a
=3时，符合题意；当
a
≠3时，
a< br>被3处余1，设
a
=3
n
＋1，则7
a
＋8=21< br>n
＋15，
8
a
＋7=24
n
＋15，它们都不是质 数，与条件矛盾．故
a
=3．
2222
7．
a
－
a
，
b
－
b
，
c
－c，
d
－d都 是偶数，即
M
=
abcd
2
222
11
< br>2222

－（
a
＋
b
＋c＋d）是偶数．因
9

为
ab
=
cd
，所以
abcd
=2（
ab
）是偶数，从而有
a
＋
b＋c＋
d=
abcd
2222222222

2222< br>
－
M
=2（
a
2
b
2
）－M
，它 一定是偶数，但
a
＋
b
＋
c
＋d
＞2，于是
a
＋
b
＋
c
＋
d
是个合数．
8．取六个数
a
i
＝
i
×(1×2×3×4×5×6)＋1 (
i
＝1，2，…，6)，则其中任意两个数都是互质的，
事实上，假设
a< br>2
与
a
5
不互质，设
d
是
a
2与
a
5
的最大公约数，则
d
必是(5－2)×1×2×3×4× 5×6，
即3×1×2×3×4×5×6的一个因子，但从
a
2
＝2×1×2 ×3×4×5×6＋1知，
d
不整除
a
2
，这与假
设
d
是
a
2
与
a
5
的最大公约数矛盾，故
a
2
与
a
5
互质．
9．由
pq
＋11＞ 11且
pq
＋11是质数知，
pq
＋11必为正奇数，从而
p
＝2或
q
＝2．
(1)若
p
＝2，此时7
p
＋
q
及2
q
＋11均为质数．设
q
＝3
k
＋1，则
q
＋14＝3(
k
＋5)不是质数；设
q
＝3< br>k
＋2，则2
q
＋11＝3(2
k
＋5)不是质数，因此q
应为3
k
型的质数，当然只能是
q
＝3．
(2)若
q
＝2，此时7
p
＋
q
与2
p
＋11均为 质数，设
p
＝3
k
＋1，则7
p
＋2＝3(7
k< br>＋3)不是质数；设
p
＝3
k
＋2，则2
p
＋11＝ 3(2
k
＋5)不是质数，因此，
p
应为3
k
型的质数，< br>p
＝3． 综合(1)，(2)知
p
＝3，
q
＝2 或
p
＝2，
q
＝3，所以
p
十
q
＝17．
10．(1)能办到 提示：注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数， 显然它
们只能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列：不妨先将奇数排成一排：1，3，5 ，7，…，
41，在每两数之间留空，然后将所有的偶数依次反序插在各空白中，得1，40，3，38 ，5，36，7，
34，…，8，35，6，37，4，39，2，41.这样任何相邻两数之和都是4 1或43.满足题目要求．
(2)不能办到 提示：若把1，2，3，…，40，41排成 一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质
数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶．但现有20 个偶数，21个奇数，总共是41个号
码，由此引出矛盾，故不能办到，
qp


10