高中军训-文明礼仪教育

07 整式的加减
阅读与思考
整式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概 念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基
础，概括起来就是要掌握好以下两点：
1．透彻理解“三式”和“四数”的概念
“三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指 的是单项式的系数、次数和多项式的系数、
次数．
2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则”
“两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法
则、添括号法则及合并同类项法则．
物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同 字母的次数也相同的单项式
作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合 并同类项．这样，使
得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项．
例题与求解
[例1] 如果代数式
ax
＋
bx
＋
cx
－5，当
x
＝－2时的值是7，那么当
x
＝7时，该式的值是______．
(江苏省竞赛试题)
解题思路：解题的困难在于变元个数多，将
x
两个值代 入，从寻找两个多项式的联系入手．
[例2] 已知－1＜
b
＜0，0＜
a
＜1，那么在代数式
a
－
b
，
a
＋
b，
a
＋
b
，
a
＋
b
中，对于任意a
，
22
53
b
对应的代数式的值最大的是( )
A．
a
＋
b
B．
a
－
b
C．
a
＋
b
D．
a
＋
b

(“希望杯”初赛试题)
解题思路：采用赋值法，令
a
＝
2211
，
b
＝－，计算四个式子的值，从中找出值最大的式子．
22
2
[例3] 已知
x
＝2，
y
＝－4时，代数 式
ax
＋
式3
ax
－24
by
＋4986的值．
3
1
by
＋5＝1997，求当
x
＝－4，
y＝－
1
时，代数
22
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
解题思路 ：一般的想法是先求出
a
，
b
的值，这是不可能的．解本例的关键是：将给定 的
x
，
y
值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代 入求值．
[例4] 已知关于
x
的二次多项式
a
(
x－
x
＋3
x
)＋
b
(2
x
＋
x
)＋
x
－5．当
x
＝2时的值为－17，
求当
x
＝－2时，该多项式的值．

1
3223

(北京市“迎春杯”竞赛试题)
解题思路：解题的突破口是 根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于
a
，
b
的等
式．
[例5] 一条公交线路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人 ，
前7站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？
(“希望杯”初赛试题)
解题思路：前7站上车总人数等于第2站到第8站下车总人数．本例 目的是求第8站下车人数
比第7站上车人数多出的数量．
[例6] 能否找到7个整数，使得 这7个整数沿圆周排列成一圈后，任3个相邻数的和等于29？
如果，请举出一例；如果不能，请简述理 由．
(“华罗庚金杯”少年邀请赛试题)
解题思路：假设存在7个整数
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
，
a
6
，
a
7
排成一圈后 ，满足题意，由此展开推
理，若推出矛盾，则假设不成立．
能力训练
A级
1．若－4
x
m
－23
y
与
2
x
3y
7－2
n
是同类项，
m
2
＋2
n
＝ ______．
3
(“希望杯”初赛试题)
2．当
x
＝1，y
＝－1时，
ax
＋
by
－3＝0，那么当
x
＝－1，
y
＝1时，
ax
＋
by
－3＝______．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
3．若
a
＋
b
＜0，则化 简|
a
＋
b
－1|－|3－
a
－
b
|的结 果是______．
4．已知
x
＋
x
－1＝0，那么整式
x
＋2
x
＋2002的值为______．
232

2x y3z32,
5．设

则3
x
－2
y
＋z
＝______．
x4y5z36,

(2013年全国初中数学联赛试题)
6．已知
A
＝
a
＋
b
－
c
，
B
＝ －4
a
＋2
b
＋3
c
，若
A
＋
B
＋
C
＝0，则
C
＝( )．
A．5
a
＋3
b
＋2
c
B．5
a
－3
b
＋4
c

A．3
a
－3
b
－2
c
A．3
a
＋
b
＋4
c

7．同时都有字母
a
，
b
，
c
，且系数为1的7次单项式共有( )．
A．4个 B．12个 C．15个 D．25个
222222
222222
222222

2

(北京市竞赛题)
8．有理数
a
，
b
，
c
在数轴上的位置如图所示：
b a 0
第8题图
c

则代数式|
a
|－ |
a
＋
b
|＋|
c
－
a
|＋|
b
－
c
|化简后的结果是为( )．
A．－
a
B．2
a
－2
b
C．2
c
－
a
D．
a

9．已知
a
＋
b
＝0，
a
≠
b
，则化简
ba
(
a
＋1)＋(
b
＋ 1)得( )．
ab
A．2
a
B．2
b
C．＋2 D．－2
10．已知单项式0.25
xy
与单项式－0.125< br>x
bcm
－12
n
－1
y
的和为0.625
axy
，求
abc
的值．
nm
11．若
a
，b
均为整数，且
a
＋9
b
能被5整除，求证：8
a＋7
b
也能被5整除．
(天津市竞赛试题)
B级
1．设< br>a
＜－
b
＜
c
＜0，那么|
a
＋
b
|＋|
b
＋
c
|－|
c
－
a
|＋ |
a
||＋
b
|＋|
c
|＝______．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
2．当
x
的取值范围为______时，式子 －4
x
＋|4－7
x
|－|1－3
x
|＋4的值恒为一个常 数，这个值
是______．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
3．当
x< br>＝2时，代数式
ax
－
bx
＋1的值等于－17，那么当
x< br>＝－1时，代数式12
ax
－3
bx
－5的
值等于_____ _．
4．已知(
x
＋5)＋|
y
＋
y
－6|＝0 ，则
y
－
222
33
1
xy
＋
x
2
＋
x
3
＝______．
5
(“希望杯”邀请赛试题)
5．已知
a
－
b
＝2，
b
－
c
＝ －3，
c
－
d
＝5，则(
a
－
c
)(b
－
d
)÷(
a
－
d
)＝______． < br>6．如果对于某一特定范围内
x
的任意允许值，
P
＝|1－2
x
|＋|1－3
x
|＋…＋|1－9
x
|＋|1－10
x< br>|
的值恒为一个常数，则此值为( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
(安徽省竞赛试题)
7．如果(2
x
－1)＝
a
0
＋
a
1
x
＋
a
2
x
＋
a
3
x
＋
a
4
x
＋
a
5
x
＋
a
6
x
，那么
a
0
＋
a1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4＋
a
5
＋
a
6
等于
______；
a
0
＋
a
2
＋
a
4
＋
a
6
等于______．
A．1，365 B．0，729 C．1，729 D．1，0

3
623456

(“希望杯”邀请赛试题)
8．设
b
，
c
是整数，当
x
依次取1，3，6，1 1时，某学生算得多项式
x
＋
bx
＋
c
的值分别为3，5，21，93．经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是( )．
A．当x
＝1时，
x
＋
bx
＋
c
＝3 B．当
x
＝3时，
x
＋
bx
＋
c
＝5 < br>C．当
x
＝6时，
x
＋
bx
＋
c
＝ 21 D．当
x
＝11时，
x
＋
bx
＋
c
＝93
(武汉市选拔赛试题)
9．已知
y
＝
ax
＋
bx
＋
cx
＋
dx
＋
e
，其中
a
，< br>b
，
c
，
d
，
e
为常数，当
x＝2时，
y
＝23；当
x
＝－
2时，
y
＝－3 5，那么
e
的值是( )．
A．－6 B．6 C．－12 D．12
(吉林省竞赛试题)
10．已知
a
，
b
，c
三个数中有两个奇数，一个偶数，
n
是整数，如果
s
＝(a
＋
n
＋1)·(
b
＋2
n
＋
2)(
c
＋3
n
＋3)，那么( )．
A．
s
是偶数 B．
s
是奇数
C．
s
的奇偶性与
n
的奇偶性相同 D．
s
的奇偶性不能确定
(江苏省竞赛试题)
11．(1)如图1，用字母
a
表示阴暗部分的面积；
(2)如图2，用字母
a
，
b
表示阴暗部分的面积；
(3 )如图3，把一个长方体礼品盒用丝带打上包装(图中虚线为丝带)，打蝴蝶结的部分需丝带(
x
－
y
)cm，打好整个包装需用丝带总长度为多少？
x
a
a
a a
a
y
b
图1

图2

z
图3
753
22
22
2
b
12．将一个三位数
abc
中间数码去掉，成为一个两位数
ac
，且满足
abc
＝9
ac
＋
4c
，如155＝
9×15＋4 ×5．试求出所有这样的三位数．

4

07 整式的加减
例1 －17
例2
B

例3 1998提示：由已知得4< br>a
－
b
＝996，待求式＝－3×（4
a
－
b
）＋4986.
例4 原多项式整理得：（
a
＋1）
x
＋（2< br>b
－
a
）
x
＋（3
a
＋
b
）
x
－5..又由题意知，该多项式为二次多
项式，故
a
＋1＝0， 得
a
＝－1.把
a
＝－1，
a
＝2代入得：4（2
b
＋1）＋2×（
b
－3）－5＝－
17.
解得
b
＝－1，故原多项式为－
x
－4
x
－5.
当
x
＝－2时，－
x
－4
x
－5＝－4＋8－5＝－1.
例5 设前7站上车的乘客数量依次为
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
，
a
6
，
a
7
人，从第2 站到第8站下车的乘客
数量依次为
b
2
，
b
3
，< br>b
4
，
b
5
，
b
6
，
b< br>7
，
b
8
人，则
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＝
b
2
＋
b
3
＋
b
4
＋
b
5
＋
b
6
＋
b
7
＋
b
8
.又∵
a
1＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋a
5
＋
a
6
＝100，∴
b
2
＋b
3
＋
b
4
＋
b
5
＋
b6
＋
b
7
＝80，即100＋
a
7
＝80＋
b

8
2
2
33
，前6站上车 而在终点下车的人数为
b
8
－
a
7
＝100－80＝20（ 人）.
例6 如图，由题意得
a
1
＋
a
2
＋< br>a
3
＝29,
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＝29,
…
a
6
＋
a
7
＋
a
1
＝29,
a
7
＋
a
1
＋
a
2
＝29,
将上述7式相加得，3（
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
）＝29×7.
∴
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＝67< br>2
.
3
这与
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
为整数矛盾.
故不存在满足题设要求的7个整数.
A级
1. 29 2. －6 3. －2 4.2003
5. 10 提示：3
x
－2
y
＋
z
＝2×（2
x
＋
y
＋3
z
）－（
x
＋4
y
＋5
z
）＝2×23－36＝46－36＝10.
6.
C

7.
C
提示：设满足条件的单项式为
abc
的形式，其中< br>m
，
n
，
p
为自然数，且
m
＋
n< br>＋
p
＝7.
8.
C
9.
D

10. 1.2 提示：由题意得
b
＝
m
－1＝
n，
c
＝2
n
－1＝0，0.625
a
＝0.25＋（－0.125）.
mnp

5

11. 提示：8
a
＋7
b
＝8（
a
＋9
b
）－65
b
.
B级
1. －
a
＋
b
＋
c

2. ≥
4
7
1 提示：
x
的系数之和为零，须使4－7
x
≤0且1－3
x
≤0.
3. 22
4. －94 提示：由（
x
＋5）
2
＋|
y
2
＋
y
－6|=0得
x
＝－5，
y
2
＋
y
＝6.
y
2
－
1
x y
＋
x
2
＋
x
3
5
＝
y
2
＋
y
＋（－5）
2
＋ （－5）
3
＝6＋25－125＝－94.
5. －
1
2

6.
B
提示：利用绝对值的几何意义解此题.
x
的取值范围在
1
8
与
1
7
之间
7.
A
提示：令
x
＝1，可得
a
6
0
＋a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a4
＋
a
5
＋
a
6
＝[2×1－1]=1①
令
x
＝－1，可得
a
6 6
0
－
a1
＋
a
2
－
a
3
＋
a
4－
a
5
＋
a
6
＝[2×（－1）－1]＝3＝729②
①＋②，得2（
a
0
＋
a
2
＋
a
4
＋
a
6
）＝730，即
a
0
＋
a
2
＋
a
4
＋
a
6
＝365.
8.
C
9.
A

10.
A
提示：原式＝
a
＋
b
＋
c
＋6
n
＋6是偶 数.
11. 提示：（1）4.5π
a
2
S阴影＝
12
（
a
＋
a
＋
a
）
2
＝4. 5π
a
2

（2）
1
2
ab
－
1
2
b
2
＋
1
4
π
b
2
S阴影＝
1
2
（
a
＋
a
）
b
－（
b2
－
1
2
4
π
b
）
＝
1
2
a b
－
1
2
b
2
＋
1
4
π
b
2

（3）3
x
＋3
y
＋2
z
总长1＝2
x
＋4
y
＋2
z
＋（
x
－
y
）＝3
x
＋3
y
＋2
z
.
12. 因为
abc
＝100
a
＋10
b
＋
c
，
ac
＝10
a
＋
c
.由题意得100
a
＋10
b
＋
c
＝9（10
a
＋
c
）＋4
c
.
化简得5（
a
＋
b
）＝6
c
（0≤
a
，
b
，
c
≤9，且
a
≠0）
又∵5是质数，故

< br>c5,

a1,2,3,4,5,6,

ab6,
， 从而



b5,4,3,2,1,0,
则符合条件的
a bc
＝155，245，335，425，515，605.

6