巴黎圣母院摘抄-落户申请书怎么写

初二数学竞赛讲义
重难点有效突破

知识点梳理及重点题型举一反三练习
专题01 整式的乘除

阅读与思考
指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：， ，
，
学习指数运算律应注意：
1．运算律成立的条件；
，，．
2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；
3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展， 方法与多位数除以多位数的演算方法相似，
基本步骤是：
1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；
2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；
3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．
例题与求解
【例1】（1）若为不等式的解，则的最小正整数的值为 ．
（“华罗庚杯”香港中学竞赛
试题）
（2）已知
杯赛”试题）
（3）把展开后得，则
． （“祖冲之杯”
，那么 ． （“华

邀请赛试题）
（4）若则
． （创新
杯训练试题）
解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求 值，可考虑高
次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在允许取值范围内取任何一
个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．



【例2】已知，，则等于（ ）
A．2
邀请赛试题）
B．1 C． D． （“希望杯”
解题思 路：为指数，我们无法求出的值，而，所以只需求出
的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．



【例3】设
竞赛试题）
解题思路：设，这样 可用的式子表示，可用
都是正整数，并且，求的值．（江苏省
的式子表示，通过减少字母个数降 低问题的难度．

【例4】已知多项式
值．
，求的
解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比
较系数法．




【例5】是否存在常数
值，否则请说明理由．
解题思路：由条件可推知商式是一个二 次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×
商式”，运用待定系数法求出
组是否有解．




的值，所谓是否存在，其实就是关于待定系数的方 程
使得能被整除？如果存在，求出的
【例6】已知多项式
市竞赛试题）
能被整除，求的值． （北京
解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用 ．本题关键是能够通过分析
得出当
法．
和时，原多项式的值均为0，从而求出的值．当然本题也有其他解

能力训练
A级
1．（1）
（2）若
2．若
3．满足
4．
，则
，则
的
都是正数，且
． （福州市中考试题）
． （广东省竞赛试题）
．
的最小正整数为 ． （武汉市选拔赛试题）
，则中，最大的一个
是 ．
（“英才杯”竞赛试
题）
5．探索规律：
个位数是1；
是 ，
，个位数是3；，个位数是3；
的个位数字
，个位数是9；，个位数是7；
的个位数字
，
，个位数是9；…那么
是 ． （长沙市中
考试题）
6．已知
A．
7．已知
A． B．
B．
，则

的大小关系是（ ）
C．
，那么
C．
D．
从小到大的顺序是（ ）
D．
（北京市“迎春杯”
竞赛试题）
8．若
A． B．
，其中为整数，则
C．
与的数量关系为（ ）

（江苏省竞赛试题）

D．

9．已知
A．
则
B．
的关系是（ ）
C． D．
（河北省竞
赛试题）
10．化简得（ ）
A．
11．已知
B． C． D．
，
试求





12．已知






13．已知除以
的值．
．试确定的值．
，其余数较被除所得的余数少2，求的值．
（香港中学竞赛试题）

B级
1．已知则= ．
2．（1）计算：
竞赛试题）
= ． （第16届“希望杯”邀请
（2）如果，那么 ．
（青少年数学周“宗沪杯”
竞赛试题）
3．（1）与的大小关系是 （填“＞”“＜”“＝”）．
（2）
4．如果
请赛试题）
5．已知
与
则
的大小关系是： （填“＞”“＜”“＝”）．
= ． （“希望杯”邀
，则 ．
（“五羊杯”竞赛试题）
6．已知均为不等于1的正数，且则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）
7．若
A．1
8．如果

，则
B．0 C．—1
和
D．2
，则（ ）
的值是（ ）
有两个因式

A．7 B．8 C．15 D．21
（奥赛培训试题）
9．已知均为正数，又
，则
A．
10．满足
A．1

11．设
的值．







满足求
B．
的整数
B．2
C．
与的大小关系是（ ）
，
D．关系不确定
有（ ）个
C．3 D．4
12．若为整数，且
的值．
，，求
（美国犹他
州竞赛试题）

13．已知
（1）求
（2）求
（3 ）若
为有理数，且多项式
的值；
的值；
为整数，且．试比较
能够被整除．
的大小．
（四川省竞赛试题）






专题01 整式的乘除
例1(1)(
n
)
00
＞(6)
00
，
n
＞216，
n
的最小值为15．
22222
(2)原式＝x(x＋x)＋x(x ＋x)－2(
x
＋x) ＋2005＝
x
＋
x
－2＋2005＝2004
(3)令x＝1 时，
a
12
＋
a
11
＋
a
10
＋ …＋a
2
＋
a
1
＋
a
0
＝1， ①
令
x
＝－1时，
a
12
–
a
11
＋
a
l
0
－…＋
n
2
－
a
l< br>＋
a
0
＝729 ②
由①＋②得：2(
a
12
＋
a
l
0
＋
a
8
＋…＋
a< br>2
＋
a
0
)＝730．
∴
a
12
＋
a
10

＋
a
8
＋
a
6
＋
a
4
＋
a
2
＋
a
0

＝365．
3
(4)所有式子的值为x项的系数，故其值为7．
y
例2 B 提示：25
xy
＝2 000， ①
y
80
x
＝2 000
x
， ②
y
＋
y
①×②，得：(25 ×80)
x
＝2000
x
，得：x＋
y
＝
xy
．
5232422
例3 设
a
＝m
4
，
b
＝
m
，
c
＝n，
d
＝
n
，由
c
－
a
＝19得，n－
m
＝19，即(n＋m) (n－m)＝
21312
2＝19
19，因19是质数，n ＋
m
，
n
－m是自然数，且n＋
m
＞
n
－ m，得＝1，解得
n
＝10，
m
＝3，
2
2
22
所以
d
－
b
＝10－3 ＝757
7
2222
例4 －8 提示：由题意知：2x＋3
xy
－2< br>y
－x＋8
y
－6＝2x＋3x
y
－2
y
＋ (2
m
＋n)x＋(2
n
－
35
m
)
y< br>＋
m
n．
2n－m＝8m＝－23＋17
∴mn＝－6，解得n＝3，∴－1＝－8
倒5提示 ：假设存在满足题设条件的p，
q
值，设(x
4
＋
p
x＋< br>q
)＝(x＋2x＋5)(x2＋mx＋
n
)，
即
2n＋5 m＝0p＝6
432
x＋
p
x
2
＋
q
＝< br>x
4＋(
m
＋2)x＋(5＋
n
＋2
m
)x ＋(2
n
＋5
m
)
x
＋5
n
，得5n＝q ，解得q＝25，
故存在常数p，q且
p
＝6，
q
＝25，使得x ＋
p
x
2
＋
q
能被x ＋2x＋5整除．
42
22

例6解法1 ∵x＋x－2＝(x＋2) (x－1)，
4
∴2x－3
x
3
＋
ax
2
＋7
x
＋
b
能被(x＋2)(x－1)整除，设商是
A
．
32
则2x
4
－3
x
＋
a
x＋7x
＋
b
＝
A
(x＋2)(
x
－
l)，
则x＝－2和x＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．
32
当
x
＝－2时，2x
4
－3
x
＋
a
x＋7
x
＋
b
＝32＋24＋4
a
－14＋b＝4a＋b＋42＝0， ①
32
当x＝1时， 2x
4
－3
x
＋
a
x＋7
x
＋
b
＝2－3＋
a
＋7＋
b
＝
a
＋b＋ 6＝0． ②
①－②，得3
a
＋36＝0，∴
a
＝－12，
∴ b＝－6－a＝6．
a－12
∴b ＝6 ＝－2
解法2 列竖式演算，根据整除的意义解
2

∵2 x
4
－3
x
＋
a
x＋7
x
＋
b< br>能被x＋
x
－2整除，
322
－12－a＝0a＝－12a
∴＝0，即b＝6，∴b ＝－2
A级
1．(1) －5 (2)53 2．8 3．7 4．6 5．7 9 6．A 7．D 提示：
a
＝
51412
(2)
1< br>，b－(3)
1
，c＝(5
3
)
11
，
d< br>＝(6)
11
8．A 9．B 10．C 11．4800 12．a＝4．b
＝4，
c
＝1
322322
13． 提示：令x ＋
k
x＋3＝(
x
＋3) (x＋
a
x＋6)＋
r
1
，x＋kx＋3＝( x＋1) (
x
＋
cx
＋
d
)＋
r
2
，令
x
＝－3，得r
1
＝9
k
－24．令x＝－1，得r
2
＝
k
＋2，由9
k
－24＋2＝
k
＋2， 得
k
＝3．
B级
189
1． 125
972000739
2． (1)49 提示：原式＝1998×2000＝1998×2000＝49 (2)12
3．(1) ＜ 15
16
＜16
15
＝2
64
，3 3
13
＞32
13
＝2
65
＞2
64
．
2 000
(2) ＞ 提示：设3 ＝
x
．
－－
4．4 5．512 提示：令
x
＝±2． 6．C提示：由条件得a＝c
3
，b＝c
2
，abc＝c
3
·c
2
·c
＝1 7．C 8．D
2
9．C 提示：设
a
2
＋a
3
＋…
a
1996
＝
x
，则
M＝（
a
1
＋x）(x＋
a
1
997
)＝
a
1
x
＋x＋
a
1
a
1
997
＋
a
1
997
x．
N
＝(
a
1
＋
x
＋
a
1
997
)x ＝a
l
x＋x
2
＋a
1997
x．M ＝N＝a
1
a
1997
＞0．
10．D

11．由
a
x
2
＋
by
2
＝7，得(ax＋b
y
)(x＋
y
)＝7(x＋
y
)，
22333
即
ax
3
－
a
x
y< br>＋
b
x
y
＋
by
＝7(x＋
y
) ，(
a
x＋
by
)－
xy
(
ax
＋
by
)－7(x＋
y
)．
∴16＋3
xy
＝ 7(
x
＋
y
)． ①
3333
由
a
x ＋
by
＝16，得(ax＋
by
)(x＋
y
) ＝16(
x
＋
y
)，
22
即
ax
＋
a
x
y
＋
b
x
y
3
＋
by
＝16(
x
＋
y
)，（
a
x
4＋
by
)＋
xy
(
a
4 3 4 4
＋
b
)＝16(
x
＋
y
）．
∴42＋7
xy
＝16(
x
＋
y
）． ②
由①②可得，
x
＋
y
＝－14，
xy
＝－38．
由
a
（
a
＋
b
＋
b
＝42，得（
a
）＋
xy
（
a
＋
b
＋
b
）（
x
＋
y
）＝42×（－14），
）＝－588，
＋16×（－38）＝－588．
故＝20．
＋＋＋＝165． 12．两边同乘 以8得
∵
x
＞
y
＞
z
＞
w
且为整 数，
∴
x
＋3＞
y
＋3＞
z
＋3＞
w< br>＋3，且为整数．
∵165是奇数，∴
w
＋3＝0，∴
w
＝－3．
∴
∴
∴
＋
＋
＋
＋
＋
＝164．
＝41，∴
z
＋1＝0，∴
z
＝－1．
＝40．
＋＝5．
＝4．
两边都除以8得：
∴
y
－2＝0，∴< br>y
＝2．∴
∴
x
－2＝2，∴
x
＝4．
∴＝＝1．
＋3
x
－4， 13．（1）∵（
x
－1）（
x
＋4)＝
令
x
－1＝0，得
x
＝1；令
x
＋4＝0，得
x
＝－4．
当
x
＝1时，得1＋
a
＋
b
＋c＝0； ①
当
x
＝－4时，得－64＋16
a
－4
b
＋c ＝0． ②
②－①，得15
a
－5
b
＝65，即3
a
－
b
＝13． ③

①＋③，得4
a
＋c＝12．
（2）③－①，得2
a
－2
b
－c＝14．
（3）∵c≥
a
＞1，4
a
＋c＝12，
a
，
b
，c为 整数，
∴1＜
a
≤，则
a
＝2，c＝4．
又
a
＋
b
＋c＝－1，∴
b
＝－7，．∴c＞
a
＞b
．

专题02 乘法公式

阅读与思考
乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除 、数
值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：
1．熟悉每个公式的结构特征；
2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；
3．逆用 即将公式反过来逆向使用；
4．变用 即能将公式变换形式使用；
5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．

例题与求解
【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．
（全国初中数字联赛
试题）
解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个< br>整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．



【例2】（1）已知
14．
满足等式
B． C．
，则
D．
的大小关系是( )

（山西省太原市竞赛试题）
（2）已知
（ ）
A．2

（河北省竞赛试题）
B．3 C．4 D．5
满足，则的值等于

解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用 完全平方公式，揭示式
子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考 虑．


【例3】计算下列各题：
（1）
（2）
赛试题）
（3）．
；
；






（天津市竞赛试题）
（“希望杯”邀请
解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求
式恰当变形，使 之符合乘法公式的结构特征．





【例4】设
试题）
解题思路：由常用公式不能直接求出的结构，必须把表示相关多项式的
，求的值． （西安市竞赛
运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．

【例5】观察：
（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
（2）根据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）．
（黄冈市竞赛
试题）
解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．



【例6】设
（1）
（2）
满足
的值；
的值．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．





求：
能力训练
A级
1．已知
试题）
2．数
3．已知
能被30以内的两位偶数整除的是 ．
那么 ．
是一个多项式的平方，则 ． （广东省中考

（天津市竞赛试题）
4．若
5．已知满足
则 ．
则的值为 ．
（河北省竞赛试题）
6．若满足则等于 ．
7．等于（ ）
A．
8．若
A．正数
9．若
A．4
B． C．
，则
D．
的值是（ ）
D．可正可负 B．负数
则
C．非负数
的值是（ ）
B．1992
2
C．2
1992
D．4
1992
（“希望杯”邀请赛试题）
10．某校举行春季 运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加
120人，就能组成一个正方形 队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队
列．问原长方形队列有多少名同学？
（“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）





11．设
试题）



，证明：是37的倍数． （“希望杯”邀请赛

12．观察下面各式的规律：

写出第2003行和第











行的式子，并证明你的结论．
B级
1．展开式中的系数，当1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借< br>助“杨辉三角”求出
习报》公开赛试题）
的值为 ． （《学

2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相 对的两个面上的两数之和都相等，

如果13，9，3的对面的数分别为
为 ．
，则的值
（天津市竞赛试题）
3．已知满足等式则 ．
4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．
（全国初中数学联
赛试题）
5．已知
的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
，则多项式
6．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）
A．16种 B．14种 C．12种 D．10种
（北京市竞赛试题）
7．若正整数
A．1
满足
B．2
，则这样的正整数对
C．3 D．4
的个数是（ ）

（山东省竞赛试题）
8．已知
A．3
，则
B．9
的值是（ ）
C．27 D．81
（“希望杯”邀请赛试题）
9．满足等式
在，说明理由．





10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方
的 整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存

差是完全平方数，求所有这样的两位数．
（天津市竞赛试题）




11．若




12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如
因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为
数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ （浙江省中
考试题）



和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘
，且， 求证：．

专题02 乘法公式
例1 73 提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．
例2 （1）B
x
－
y< br>＝（＋4
a
＋
a
）＋（
＋
－8
b
＋ 16）＝
＋
＋≥0，
x
≥
y
．
（2）B 3个等式相加得：
＋c＝3－1＋1＝3．
例3 （1）
＝0，
a
＝3，
b
＝－1，c＝1．
a
＋
b
（2）4 （3）－5050
例4 提示：由
a
＋
b
＝1，＋＝2得< br>ab
＝－，利用＋＝（＋）
（
a
＋
b
)－
a b
(＋)可分别求得＋＝，＋＝，＋＝，＋
＝，＋＝．
例5 （1）设
n
为自然数，则
n
（
n
＋1)(
n
＋2)(
n
＋3）＋1＝
（2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝．
例6（1）设
－②，得
ab
＋
b
c＋
a
c＝
∵
，
－
ab
－
b
c－
a
c）， －3
abc＝（
a
＋
b
＋c）（
∴
ab
c＝（）－（< br>a
＋
b
＋c）（－
ab
－
b
c－
a
c）＝×3－×1
×（2＋）＝．


（2）将②式两边平方，得
∴

＝4－2
＝4－2


A级
＝．
1．0或6 2．26，28 3．2 4．40 5．34 6．0 7．D 8．A 9．C
10.原有136或904名学生．设
m
，
n
均为正整数，且
m
＞
n
，
①－②得（
m
＋
n
）（
m
－
n
）＝24 0＝．
，都是8的倍数，则
m
，
n
能被4整除，
m
＋
n
，
m
－
n
均能被4整除．得或
，
∴
8
x
＝
或
－120＝136．
－1）＋（－1）＝999 999 999＋37×（＋38＋1），
－120＝904或8
x
＝
＋－2＝（11.因为
a
＝
而999 999 999＝9×111 111 111＝9×3×37 037 037＝27×37×1 001 001＝37×（27×1 001
001）．
所以37|999 999 999，且3 7|37×（
12.第2003行式子为：
第
n
行式子为：

B级
1．1．094
＝
＋38＋1），因此
a
是37的倍数．
＝
．证明略
．

2．76 提示：由13＋
a
＝9＋
b
＝3＋c得
a
－
b
＝－4，
b
－c＝－6，c－
a
＝10
3．13 4．156 5．D
6.C 提示：（
x
＋
y
）（
x
－
y
）＝2009＝7×7×41有6 个正因数，分别是1，7，41，49，287
和2009，因此对应的方程组为：

故（
x
，
y
）共有12组不同的表示．
7．B 8．C
9．提示：不存在符合条件的整数对（
m
，
n
），因为1954不能 被4整除．
10．设所求两位数为，由已知得＝（
k
为整数），得
而得或
解得或，即所求两位数为65，56
11. 设
②③, 得
, 则由
, 即
得

③
或


分别与联立解得


或
12. (1)


（2）
, 故28和2012都是神秘数
为4的倍数
,故两个连续奇（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数.
是神秘数 数的平方差不

专题3 和差化积----因式分解的方法（1）

阅读与思考
提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法， 通常根据多项
式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再
分解为止．
一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法：
1．换元法：
对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体， 用一个
新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等．
2．拆、添项法：
拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，
因式分解中进行拆 项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从
而可以运用分组分解法分解．

例题与求解
【例l】分解因式___________．
（浙江省中考题）
解题思路：把看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．


【例2】观察下列因式分解的过程：
（1）
原式＝
（2）
原式＝
．
．
；
；
第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．
仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
（1）；
（西宁市中考试题）
（2）．
（临沂市中考试题）
解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能 再分解，恰当分组是关键，经历“实
验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．

【例3】分解因式
（1）；
（重庆市竞赛题）
（2）；
（“缙云杯”邀请赛试题）
（3）．
（“五羊杯”竞赛试题）


解题思路：（1）式中系数较大 ，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中
、反复出现，可用两个新字母代替，突出式子 的特点；（3）式中前两项与后一项
有密切联系．


【例4】把多项式
A．
C．
B．
D．
因式分解后，正确的结果是（


）．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4
＋1．



【例5】分解因式：
（1）；
（扬州市竞赛题）
（2）；（请给出多种解法）
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（3）．
解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．

【例6】分解因式：．
（河南省竞赛试题）
解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．




能力训练


A 级
1．分解因式：
（1）＝___________________________
．

（泰安市中考试题）
（2）
2．分解因式：
（1）
（2）
3．分解因式：
4．多项式
＝__________________________．
（威海市中考试题）
＝_________________________；
＝_____________________________．
＝____________________________．
与多项式
，使
的公因式是____________________．
能 分解为两个整系数一次式的乘积，这样的5．在1~100之间若存在整数
有_______个．
6．将多项式
A．
C．
分解因式的积，结果是（ ）．
B．
D．


7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（ ）．
A．
C．
B．
D．


（“希望杯”邀请赛试题）

8．把
A．
9．多项式
A．
C．

分解因式，其中一个因式是（ ）．
B． C．
有因式（ ）．
B．
D．


（“五羊杯”竞赛试题）
D．
10．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（
一定是偶数
一定是负数
）．
A．一定是奇数 B．
C．可为奇数也可为偶数 D．
11．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）





12．先化简，在求值：
，其中 ，
；
；
； （“祖冲之杯”邀请赛试题）
； （重庆市竞赛试题）
；
．
．

B 级

1．分解因式：＝_______________．
（重庆市竞赛试题）
2．分解因式：＝_____________．
（“五羊杯”竞赛试题）
3．分解因式：＝_________________________．
（“希望杯”邀请赛试题）
4．分解因式：＝______________________．
（“五羊杯”竞赛试题）
5．将
A．
C．
因式分解得（ ）．


（陕西省竞赛试题）
6．已知是△ABC三边的长，且满足，则此三角形是（
B．
D．
）．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定
7．
A． B．
的因式是（ ）．
C． D． E.
（美国犹他州竞赛试题）
8．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）


； （湖北省黄冈市竞赛试题）
； （江苏省竞赛试题）
； （陕西省中考试题）
； （“祖冲之杯”邀请赛试题）
； （“五羊杯”竞赛试题）
． （太原市竞赛试题）

9．已知乘法公式：


利用或者不利用上述公式，分解因式：






10．分解因式：
（1）
（2）
（3）







11．对方程







12．已知在△ABC中，
求证：．
，
，求出至少一组正整数解．
（莫斯科市竞赛试题）
；
；
．
．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）

（天津市竞赛试题）

专题03 和差化积-------因式分解的方法(1)
例1.
例2. (1) 原式
(2) 原式
例3.(1)


(2)
(3)





例4. D
例5.(1)


(2)
(3)
提示: 原式
提示: 原式
提示: 原式







例6. 解法1 原式

解法2 原式


A级

1. (1)
(2)
2. (1)
(2)
3.
4.

5. 9
6. D
7. A
8. D
9. A
10. A
11. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
12. 原式
当

原式




提示: 原式
提示: 原式

提示: 令


B 组

1. (1)
(2)
3.
5. D
6. B
7. A 提示: 原式
8. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)

提示: 原式



提示: 令

(6)
9. 由公式有



10. (1)
(2)
(3)




11. 有或
解得
12.
或



是三角形三边长,
,故

由条件只有

专题04 和差化积---- 因式分解的方法（2）

阅读与思考
因式分解还经常用到以下两种方法
1．主元法
所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元 素，视其他变元为常量，
将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法．
2．待定系数法
即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定 的字母系数，把所
求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方 法，
用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；
（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；
（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．

例题与求解
【例l】
A．
C．
B．
D．
因式分解后的结果是（


）．
（上海市竞赛题）
解题思路：原式是一个复 杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某
个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结 构，寻找解题突破口．




【例2】分解因式：
（1）；
（“希望杯”邀请赛试题）
（2）．
（天津市竞赛题）

解题思路：两个多项式的共同特点是：字 母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨
考虑用主元法分解．

【例3】分解因式

解题思路：因






【例4】为何值时，多项式有一个因式是
的最高次数低于的最高次数，故将原式整理成字母的二次三项式．
．
（“希望杯”邀请赛试题）
（“五羊杯”竞赛试题）
解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法
入手．






【例5】把多项式写成一个多项式的完全平方式.
（江西省景德镇市竞赛题）
解题思路：原多项式的最高次项是
求出





【例6】如果多项式
积（为整数），则的值应为多少？
（江苏省竞赛试题）
解题思路：由待定系数法得到关于
求出的值．
的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，
能分解成两个一次因式，的乘
即可．
，因此二次三项式的一般形式为，

能力训练


A 级
1．分解因式：＝___________________________
．

（“希望杯”邀请赛试题）
2．分解因式：＝_______________________
（河南省竞赛试题）
3．分解因式：＝____________________________．
（重庆市竞赛试题）
4．多项式的最小值为____________________．
（江苏省竞赛试题）
5．把多项式
A．
C．
6．已知
分解因式的结果是（
B．
D．


的个数
）
能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数
是（ ）．
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6个
7．若被除后余3，则的值为（ ）．
（“CASIO杯”选拔赛试题）
A．2 B．4 C．9 D．10
8．若，，则的值是（ ）．
A． B． C． D．0
（大连市“育英杯”
竞赛试题）

9．分解因式：
（1）；
（吉林省竞赛试题）
（2）；
（昆明市竞赛试题）
（3）；
（天津市竞赛试题）

（4）；
（四川省联赛试题）
（5）
（天津市竞赛试题）






10．如果
么应为多少？
（兰州市竞赛试题）






15．已知代数式

能分解为关于的一次式乘积，求的值．
能够分割成两个多项式和的乘积（为整数），那
（浙江省竞赛试题）

B 级

1．若有一个因式是，则＝_______________．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．设可分解为一次与二次因式的乘积，则＝_____________．
（“五羊杯”竞赛试题）
3．已知是的一个因式，则＝________________________．
（“祖冲之杯”邀
请赛试题）
4．多项式的一个因式是，则的值为__________．
（北京市竞赛试题）
5．若有两个因式和，则＝（ ）．
A．8 B．7 C． 15 D．21 E．22
（美国犹他州竞赛试题）
6．多项式的最小值为（ ）．
（“五羊杯”竞赛试题）
7．若（为实数），则M的值一定是（ ）．
A．4 B．5 C．16 D．25
A．正数 B．负数 C．零 D．整数
(“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题）
8．设满足，则＝（ ）
A．（2，2）或（－2，－2） B．（2，2）或（2，－2）
C．（2，－2）或（－2，2） D．（－2，－2）或（－2，2）
（“希望杯”邀请赛试题）
9．为何值时，多项式




10．证明恒等式：



．
（北京市竞赛试题）
能分解成两个一次因式的积？
（天津市竞赛试题）

11．已知整数，使等式
求的值．




12．证明：对任何整数，下列的值都不会等于33．





对任意的均成立，
（山东省竞赛试题）


（莫斯科市奥林匹克试题）

专题04 和差化积------- 因式分解的方法(2)
例1. A 提示: 将原式重新整理成关于的二次三项式
例2. (1) 提示: 原式
(2) 提示: 原式
例3. 原式

例4. 提示:
展开比较对应项系数得解得
k
＝12．
例5 原式＝．
例6 设< br>x
2
－（
a
＋5）
x
＋5
a
－1＝ （
x
＋
b
）（
x
＋
c
）＝
x2
＋（
b
＋
c
）
x
＋
bc
．
∴
①×5＋2得
bc
＋5（
b
＋
c
）＝－26， < br>bc
＋5（
b
＋
c
）＋25＝－1，（
b
＋ 5）（
c
＋5）＝－1．
∴或
∴或故
a
＝5．
A级
1．（3
a
＋2
b
－
c
）（3a
－2
b
＋
c
）
2．（x＋3y）（x＋2y＋1）
3．（x＋y＋1）（x－y＋3）
4．－18
5．C
6．D
7．D
8．D
9．（1）（2< br>a
＋
b
）（
a
－
b
＋
c
） ；
（2）（
a
＋
c
－2
b
）
2
；
（3）（
x
－2）（
x
2
－
x
＋
a
）；



可设原式

（4）（
x
－2
y
＋3）（2
x
－3
y
－4）；
（5）（x＋1）（y＋1）（x－1）（y－1）．
10．提示：由题意得
①×4＋②，得（
b
＋4）（
c
＋4）＝－1，
推得
2
或故
a
＝4．
11．∵
x
－3< br>xy
－4
y
＝（
x
＋
y
）（
x－ 4
y
），
∴可设原式＝（
x
＋
y
＋m
）（
x
－4
y
＋
n
），展开比较对应项系数 得
b
＝－6或9．
B级
1．
k
＝－5
2．－2 提示：原式＝
x
（
x
＋3
x
－
k
）－2
y
（
x
＋2），令
x
＝－2．
3． 5提示：令原式＝（
x
－
y
＋4）·
A
，取 一组
x
，
y
的值代入上式．
4．－3
5．C 提示：< br>x
＝－1，
x
＝－2是方程
x
＋
ax
＋bx
＋8＝0的解．
6．C 提示：原式＝（
x
－2
y
）＋（2
x
＋3）＋16
7．A 提示：原式＝2（
x
－2
y
）＋（
x
－2 ）＋（
y
＋3）≥0，且这三个数不能同时为零，
M
＞0．
8．C
9．
k
＝－3 提示：因＋3
x
＋2＝（
x
＋1） （
x
＋2），故可令原式＝（
x
＋
my
＋1）·（
x
十
ny
＋2），
展开比较对应项系数求出
k
．
10．提示：左边＝（
a
＋
b
）－2
ab
＋（
a< br>＋
b
＋2
ab
）
＝（
a
＋
b
）－2
ab
＋（
a
＋
b
）＋4
ab
（
a
＋
b
）＋4
ab

＝2（
a
＋
b
）＋4
ab
（
a
＋
b
）＋2
ab
＝2（
a
＋b＋ab）

22222 2222
222222222222
22222222
222
22
3 2
2
x
2
＝右边．
11．将原等式展开
x
＋（
a
＋
b
＋
c
）
x
＋
ab
－
l
0
c
＝
x
－10
x
－1 1．
22
∴
①×10＋②得
ab
＋10
a
＋1 0
b
＝－111．
∴（
a
＋10）（
b
＋10）＝－11．∴或或或
∴或< br>54
或
3
或
23
代入①得
c
＝0或20．
45422
12．原式＝（
x
＋3
xy
）－（5
x y
＋15
xy
）＋（4
xy
＋12
y
）＝
x
（
x
＋3
y
）－5
xy
（
x
＋ 3
y
）

＋4
y
（
x
＋3
y
）＝（
x
＋3
y
）（
x
－5
xy
＋4
y
）＝（
x
＋3
y
）（
x
－4y
）＝（
x
＋3
y
）（x＋y）
（x－y）（x＋2y）（x－2y）．
当
y
＝0时，原式＝
x
≠33;当
y
≠0时，
x
＋3
y
，
x< br>－
y
，
x
－2
y
，
x
＋2
y
，
x
＋
y
互不相同，而
33不可能分解为4个以上不同因 数的积，所以，当
x
取任意整数，
y
取不为0的任意整
数，原式≠3 3．
5
4422222

专题05 和差化积

——因式分解的应用
阅读与思考：
因式分解是代数变形的有力工具，在以后的 学习中，因式分解是学习分式、一元二次方
程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：
1．复杂的数值计算；
2．代数式的化简与求值；
3．简单的不定方程（组）；
4．代数等式的证明等.
有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果：
1.
2.
3.
4.
5.
；
；
．
;
;
例题与求解
【例1】已知，，那么的值为___________ .
（全国初中数学联
赛试题）
解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求
a
，
b
之间的关系，代入关系求值．


【例2】
a
，
b
，
c
是正整数，
a
＞
b
，且 ，则等于( ).
A. －1 B．－1或－7 C．1 D.1或7
（江苏省
竞赛试题）
解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，
在字母允 许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等
变形，它是研究代数式、方程 和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒
等变形的有力工具．

求代数式的值的基本方法有；
(1)代入字母的值求值；
(2)代入字母间的关系求值；
(3)整体代入求值．
【例3】计算：(1)
试题）
（“希望杯”邀请赛
（2）
试题）
（江苏省竞赛
解题思路：直接计算，则必然繁难，对 于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母
分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究< br>





【例4】求下列方程的整数解．
(1)
试题）
(2)
试题）
的规律．
; （上海市竞赛
. （四 川省竞赛
解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程
组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．
解不定方程的常用方法有：
(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．
用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.

【例5】已知，，求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3)．
解题思路：先分解因式再代入求值.





【例6】一个自然数
3
恰等于另一个自然数的立方，则称自然数为完全立方数，如33
27＝3，27就是一个完全立方数．若
证
试题）
解题思路：用字母表示数，将





：是
＝19951993×19951995－19951994×19951992，求
一 个完全立方
数． （北京市竞赛
分解为完全立方式的形式即可．

能力训练

A 级
1. 如图，有三种卡片，其中边长为
方形卡片6张，边长为
形的边长为 ________．
（烟台市初中考试题）
的正方形卡片1张，边长分别为，的长
的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方

2．已知
省竞赛试题）
3．方程
邀请赛试题）
4. 如果
省竞赛试题）
是完全平方式，那么
，则

的值为__________．（江苏
的整数解是__________． （“希望杯”
的值为__________． （海南
5. 已知()，则的值是( )．
A．2，
6．当
B．2 C．
，
D．
的值为( )．

A. －1 B．0 C．2 D．1
7．已知
系是( )．
A. M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定
（“希望杯”邀请赛试题）
8．为某一自然数，代入代数式中计算其值时，四个同学算出如下 四个结果，
，，则
M
与
N
的大小关
其中正确的结果只能是( )．
A. 388944 B.388945 C.388954 D.388948
（五城市联赛试题）
9．计算：
(1)
题）
（北京市竞赛试

(2)
试题)






10. 一个自然数
2
(安徽省竞赛
恰好等于另一个自然数
2
的平方，则称自然数
222
为 完全平方数，如
是一个完64＝8，64就是一个完全平方数，若
全平方数．
＝1998＋1998×1999＋1999，求证：
（北京市竞赛试题）






16．已知四个实数
，
(1)求的值；
，，的值．
（湖州市竞赛试题）






，，
，
，，且，，若四个关系式
，同时成立.
(2)分别求，
B 级
1．已知是正整数，且是质数，那么____________ .
（“希望杯”邀请赛试题）

2．已知三个质数
________ .
的乘积等于这三个质数的和的5倍，则＝
（“希望杯”邀请赛试题）
3．已知正数，

赛试题）
4．在日常生活中如取款、上网等都需要密 码，有一种用“因式分解”法产生的密码，
方便记忆．原理是：如对于多项式
取＝9，
，因式分解的结果是，若
，于是
，取＝10，＝10
，满足，则
＝_________ . （北京市竞
＝9时，则各个因式的值是：
就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码， 对于多项式
时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．
（浙江省中考试题）
5．已知，，是一个三角形的三边，则
( )．
A.恒正 B．恒负 C．可正可负 D．非负
(太原市竞赛试
题)
6．若
A.
C.
7．方程
是自然数，设，则( )．
是完全平方数
是完全平方数
的值
一定是完全平方数 B．存在有限个，使
一定不是完全平方数 D．存在无限多个，使
的正整数解有( )组．
A.3 B．2 C．1 D．0
（“五羊杯”竞赛试题）
8．方程的整数解有( )组．

A.2 B．4 C．6 D.8
（”希望杯”邀请赛试题）
9．设
N
＝69＋5×69＋10×69＋10 ×69＋5×69＋1.试问有多少个正整数是
N
的因数？
（美国中学生数学竞赛试题）

5432

10．当我们看到下面这个数学算式时，大概会觉得算题的人
用错了运算法则吧， 因为我们知道．但是，如果你动手计算一下，就会发
现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多 个这种算式：
，
你能发现以上等式的规律吗？





11.按下面规则扩充新数：
已有，两数，可按规则
，，，…
扩充一个新数，而以，，三个数中
任取两数 ，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：
(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；
(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．
（重庆市竞赛试题）




12.设
(1)若
(2)当
( 3)若
，，为正整数．被
与
的值；
的值．
（江苏省竞赛试题）

整除所得的商分别为
互质；
，.
，互质，证明
，互质时．求
，的最大公约数为5，求

专题05 和差化积
——因式分解的应用
例1 或
例2 D 提示：（a－b）（a－c）＝7．a－b>0，a－c>0．
例3 （1） 提示：设1997＝a，则原式＝
（2）221 提示：
例4 （1）x＝1，y＝－1 提示：（2x－3）（2＋3y）＝1；
（2）提示：（2x＋y）（x＋ 2y）＝2007×1＝669
×3＝223×9＝（－1）×（－669）＝（－9）×（－223） ．
例5 （1）a
2
b＋ab
2
＝ab（a＋b）＝2×3＝6．
（2）a
2
＋b
2
＝（a＋b）
2
－2ab＝3< br>2
－2×2＝5．
（3）
例6 提示：设m＝19951993，则a＝．
A组
1．a＋3b
2．36
3．（x，y）＝（6，5）或（4，5）
4．1或－3
5．A
6．D
7．B
8．A
．
9．（1）3 （2）
则.
提示：设a＝22223，b＝11112，则原式＝．10.设，

11.(1)由
(2)由

∴,从而
,得
,
,而
,故.
,得
,
,又.
当时,,解得,,；
当

时,,解得,,；
B 级
1. 3 提示：原式=
2. 78
3. 8 提示：
4. 101030或103010或301010
5. Ｂ 提示：原式=
6. Ｃ 提示：
9. 提示：原式=
7. Ｃ 8. Ｃ
，共有个因数.


，
10. ===

11. (1)499就是扩充三次的最大数
(2)，
∴
∴
取
取
可得新数
可得 新数
,设扩充后的新数为

，则总可以表示为
,又
12.(1) 设s为与
，式中为整数. 当时,
,故1999可以通过上述规则扩充得到.
的最大公因数，则
.可见,是的因数,∵
互质.
.又
与互质，∴
都是正整数，
.
,
，
互质, ∴
（
也互质,可见
于是
,
即
(2) ∵
∴
而
与互质,同理可得:
,∴
整除
,
.因与
整除116，即
具有相同的奇偶性,且
∴或,解得或,∵互质, .
∴
(3)若
即
,

设
,∴
,则
,
.∴
同(2)有
.

,且
.
.根据(2)有

专题06 从地平面到脚手架
------分式的运算
阅读与思考
分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程
等． < br>分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基
本性质、运 算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键
是根据题目的特点恰当地 通分，通分通常有以下策略与技巧：
1．分步通分，步步为营；
2．分组通分，化整为零；
3．减轻负担，先约分再通分；
4．拆项相消后通分；
5．恰当换元后通分，
学习分式时．应注意：
(1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的
特殊情形；
(2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在．
分式问题比起整式问题，增加了几个难点；
(1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；
(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序；
(3)需要考虑字母的取值范围，
例题与求解
【例1】＝_________时，分式的值为0.
（杭州市中考试题）
解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式



【例2】 已知，以，
就不为0．
，则
的值为( )．

A.1 B． C．2 D．
（太原市竞赛试题）
解题思路：不宜直接通分，运用已知条件
分.




【例3】计算：
，对分母分解因式，分解后再通
(1)
（武汉市竞赛试题）
(2)
（天津市竞赛试题）
（3）
（赣州市竞赛试题）
（4）
（漳州市竞赛试题）
解题思路：由于各个分 式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分
的相关策略与技巧；对于(4)，注意到 题中各式是关于或的代数式，考虑设，
，则，通过换元可降低问题的难度．
当一个数学问题不 能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。
这便是解题的分解策略．解绝对值问 题时用的分类、分段讨论；解分式问题时用的分步分组
通分、因式分解的分组分解法以及裂项求值等都是 分解策略的具体运用.

【例4】求最大的正整数，使得能被＋10整除．
（美国数学邀请赛试题）
解题思路：运用长除法或把两个整式整除的问题转化为一个分式的问题加以解决.
类似于分数 ，当一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么就可以将分式化为
整数部分与分式部分的和，分 式的这种变形称为拆分变形，是拆项变形的一种．





【例5】已知，，，求的值．
（太原市竞赛试题）
解题思路：设法求出







【例6】(1)设
则
（北京市竞赛试题）
(2)计算：
的值．
，，均为非零实数，并且
等于
，
多
，
少< br>，
？

（上海市竞赛试题）