奥数(排列组合)
成人高考录取通知书-行政助理岗位职责
排列组合应用题的教学设计
致远高中 朱英 2007.3
解决排列组合应用题的基础是：正确应用两个计数原理，分清排列和组合
的区别。
引例1
现有四个小组，第一组7人，第二组8人，第三组9人，第四组10人，
他们参加旅游活动：
（1）选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法。
（2）每组选一名组长，共有多少种不同的选法4
评述：本例指出正确应用两个计数原理。
引例2
（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
评述：本例指出排列和组合的区别。
求解排列组合应用题的困难主要有三个因素的影响：
1、限制条件。2、背景变化。 3、数学认知结构
排列组合应用题可以归结为四种类型：
第一个专题 排队问题
重点解决：
1、如何确定元素和位置的关系
元素及其所占的位置，这是排列组合问题中的两个基本要素。以元素为主，
分析各种可能性，称
为“元素分析法”；以位置为主，分析各种可能性，称为“位
置分析法”。
例：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？
分析：这可以说是一道较简单的排列组合的题目了，但为什么有的同学能做出正
确的答案
4
3
(种)，而有的同学则做出容易错误的答案
3
4
(种)，而他们又错在哪
里呢？应该是错在“元素”与“位置”上了!
法一：元素分析法(以信为主)
第一步：投第一封信，有4种不同的投法；
第二步：接着投第二封信，亦有4种不同的投法；
第三步：最后投第三封信，仍然有4种不同的投法。
因此，投信的方法共有：
4
3
(种)。
法二：位置分析法(以信箱为主)
1
第一类：四个信箱中的某一个信箱有3封信，有投信方法
C
4
(种)；
第二类：四个信箱中的某一个信箱有2封信，另外的某一个信
箱有1封信，
有投信方法
C
3
2
P
4
2
种 。
第三类：四个信箱中的某三个信箱各有1封信，有投信方法
P
4
3
(种)。
因此，投信的方法共有：64 (种)
小结：以上两种方法的本质还是“信”与“信箱”的对应问题。
2、如何处理特殊条件——特殊条件优先考虑。
例：7位同学站成一排，按下列要求各有多少种不同的排法；
甲站某一固定位置；②甲站在中间，乙与甲相邻；③甲、乙相邻； ④甲、乙两
人不能相邻；
⑤甲、乙、丙三人相邻；⑥甲、乙两人不站在排头和排尾；⑦甲、
乙、丙三人中任何两人都不相邻；⑧甲
、乙两人必须相邻，且丙不站在排头和排
尾。
第二个专题 排列、组合交叉问题
重点解决：
1、先选元素，后排序。
例：3个大人和2个小孩要过河，现有3条船
，分别能载3个、2个和1个
人，但这5个人要一次过去，且小孩要有大人陪着，问有多少种过河的方法
？
分析：设1号船载3人，2号船载2人，3号船载2人，小孩显然不能进第3号
船，也不能
二个同时进第2号船。
法一：从“小孩”入手。
第一类：2个小孩同时进第1号船，此时必须要有大人陪着另外
2个大人同时进第2号船或分别进第2、3号船，先选3个大人之一进1号船，
1
有
N
1
C
3
1P
2
2
<
br>9
(种)过河方法
第二类：2个小孩分别进第1、2号船，此时第2号船上的小孩必须要有大人
陪着，另外
2个大人同时进第1号船或分别进第1、3号船，有过河方法
1
N
2
P
2
2
C
3
1P
2
2
18
(种)。
因此，过河的方法共有：
N
9
18
27
(种)。
N
N
2
1
法二：从“船”入手
第一类：第1号船空一个位，此时3条船的载人数分别为2、2、1，故2个
小孩只能分
别进第1、2号船，有过河方法
N
1
P
2
2
P
3
3
12
(种)；
第二类：第2号船空一个位，此时3条船
的载人数分别为3、1、1，故2个
小孩只能同时进第1号船，有过河方法
N
2
P
3
3
6
(种)；
<
br>第三类：第3号船空一个位，此时3条船的载人数分别为3、2、0，故2个
1
P2
2
C
3
2
90
小孩同时进第1号船或分别进第1、2号船，有过河方法
N
3
C
3
(种)。因此，过河的方法共有：
N
N
N
12
9
27
(种)。
N6
2、怎样界定是排列还是组合
例：①身高不等的7名同学排成一排，要
求中间的高，从中间看两边，一个
比一个矮，这样的排法有多少种？
②身高不等的7名同学排
成一排，要求中间的高，两边次高，再两边次高，
如此下去，这样的排法共有有多少种？
311
20
种 ②
p
1
答：①
c
62
p
2
p
2
=8 种
123本来①是组合题，与顺序无关，但有些学生不加分析，看到排队就联想排列，
这是一个误区。至于②
也不全是排列问题，只是人自然有高低，按人的高低顺次
放两边就是了。
又例：
7名同学排成一排，甲、乙、丙这三人的顺序定，则不同排法有多
少种？
分析，三人的顺序定
，实质是从7个位置中选出三个位置，然后按规定的顺
34
p
4
=840种。
序放置这三人，其余4人在4个位置上全排列。故有排法
c
7
3、枚举法
三人互相传球，由甲开始传球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍
回到甲手中，则不同的传球方
式共有
（A）6 种 （B）8 种 （C）0 种 （D）12 种
解：（枚
举法）该题新颖，要在考试短时间内迅速获得答案，考虑互传次数
不多，所得选择的答案数字也不大，只
要按题意一一列举即可。
丙
甲
乙
甲
丙
乙
丙
丙
乙
丙
甲
甲
甲
甲
甲
乙
丙
乙
甲
第三个专题 分堆问题
重点解决：
1、均匀分堆和非均匀分堆
关于这个问题，课本P146练习10如此
出现：8个篮球队有2个强队，先任
意将这8各队分成两个组，（每组4个队）进行比赛，这两个强队被
分成在一个
小组的概率是多少？
由于课本后面出现这样的练习题，所以前面应对这些问题有所
分析，尤其为什么
均匀分堆有出现重复？应举例说明。
例：有六编号不同的小球，
① 分成3堆，每堆两个
② 分成3堆，一堆一个，一堆两个，一堆三个
③ 分成3堆，一堆一个，一堆一个，一堆四个
在①、②、③的条件下，再分别给三个小朋友玩，每人一堆，有多少种分法？
分析：①、②、
③都是分堆，其中①是三个均匀分堆，有3！重复，③是两
个均匀分堆，有2！重复，如此类推。②是非
均匀分堆，不可能出现重复。在教
学中应用数字表示球，通过列举法说明重复的可能，以及避免重复。
例：有六编号不同的小球，
① 分成3堆，每堆两个
②
分成3堆，一堆一个，一堆两个，一堆三个
③ 分成3堆，一堆一个，一堆一个，一堆四个
在①、②、③的条件下，再分别给三个小朋友玩，每人一堆，有多少种分法？
分析：①、②、
③都是分堆，其中①是三个均匀分堆，有3！重复，③是两
个均匀分堆，有2！重复，如此类推。②是非
均匀分堆，不可能出现重复。在教
学中应用数字表示球，通
过列举法说明重复的可能，以及避免重复。
22
12
4
答案：①
C
6
C
4
②
C
6
C
5
③
C
6
④再乘以
P
3
3
3!
2、为什么有重复，怎样避免重复
例：从4名男生、5名女生中任选3人参加学
代会，至少男生、女生各一名
的不同选法有多少种？
有些学生这样想：先从4人中选一人，再
从5人中选一人，最后在剩下的7
111
C
人中选一人， 结果是
C
4
5
C
140
结果是错误的。因为后面的7人与
7
前面已选的人可能出现重
2112
复，正确的答案是
C
。
4
C
5
C
4
C
5
70
又例：
有4个唱歌节目，4个舞蹈节目，2个小品排成一个节目单，但舞蹈
和小品要相隔，不同的编排有多少种
方法？
有些学生这样想，先定位4个唱歌，有5个位插入小品两个位，此时有7个位再
插入4个舞蹈，故的表达式是
P
4
4
P
5
2
P
7
4
。
其实，这里又出现了重复，正确的列式是
P
6
6
P
7
4
2P
5
5
P
7
4
第四个专题 直接法和间接法的区别及运用
重点解决：
1、选择集合的元素有交集问题；
例：七人并坐一排，要求甲不坐首位，乙不坐末位，共有几种不同的坐法？
法一：直接法 <
br>第一类：甲在第2-6号位中选一而坐，接着乙在第1-6位中余下的5个位中
115
择
一而坐，剩下的任意安排
N
1
C
5
5
3000
(种)；
C
5
P
第二类：甲在
第7号坐，剩下的任意安排，有坐法数
N
2
P
6
6
72
0
(种)。
因此，不同的坐法数共有
N
N
N
3000
720
3720
(种)。
12
法二：间接法
七人并坐，共有坐法数
P
7
7
(种)。甲坐首位，有
P
6
6
种方法；乙坐末位，
亦有
P
6
6
种方法。甲坐首位、乙坐末位都
不符合题目要求，所以应该从扣除，
但在扣除的过程中，甲坐首位且乙坐末位的情况被扣除了2次，因此
还须补回一
2、选择元素中有至少、至多等问题。
在100件产品中，有98件合格品，2件
次品，从100见产品中任意抽取3
件，（1）至少有一件是次品的抽法有多少种？（2）至多有一件次
品的抽法有多
少种？
22
答：（1）解法1：
C
100
C
98
9604
121
解法2 ：
C
2
C
97
C
2
2
C
9604
97
312
C
2
C
98
161602
（2）
C
98
个
P
5
5
。因此，不同的坐法数有
NP
7
7
2P
6
6
P
5
5
3720
（种）
以上的处理，主要有如下几个好处：
①教学比较自然、流畅，容易对近似概念进行
比较，找到其相同点和不同点，
更深刻的从外延到内涵掌握概念及其数学意义。
②把相关概念
弄清楚后，能给学生有足够的工具，使学生解决应用题时不在
被工具而困扰，形成良好知识结构，解决问
题的思路容易畅通
③重点突出，学生就比较容易把每一个难点和重点给予突破，减轻学生的负
担又能实现学生的学习落到实处。
④在提高教学质量的前提下，又能提高效率。