(完整版)小学奥数最值问题

余年寄山水
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2020年09月11日 00:18
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生日快乐英语-培训班学习心得体会


最值问题

内容概述

均值不等式,即和为定值的两数的 乘积随着两数之差的增大而减小.各种求最大值或最
小值的问题,解题时宜首先考虑起主要作用的量,如 较高数位上的数值,有时局部调整和枚
举各种可能情形也是必要的.

典型问题

2.有4袋糖块,其中任意3袋的总和都超过60块.那么这4袋糖块的总和最少有多少块?

【分析与解】 方法一:设这4袋为A、B、C、D,为使4袋糖块的总和最少,则每袋< br>糖应尽量平均,有A、B、C袋糖有20、20、21块糖.

则当A、B、D三袋糖 在一起时,为了满足条件,D袋糖不少于21块,验证A、B、C、D
这4袋糖依次有20,20,2l ,2l时满足条件,且总和最少.

这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块.

方法二:设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖,

abc61①

1

abd61②


,①+②+③+④ 得:3(a+b+c+d)≥244,所以a+b+c+d≥81,因为
3

ac d61③


bcd61④
a+b+c+d均是整数,所以a+b+ c+d的和最小是82.

评注:
不能把不等式列为

abc60 ①


a+b+d60 ②


a+c+d60 ③


b+c+d60 ④
,如果这样将①+②+③+④得到
3( a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80,因为a、b、c、d均是整数,所以a+b+c+d的和最 小是81.至于为什么会出
现这种情况.如何避免,希望大家自己解决.

4.用1 ,3,5,7,9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用O,2,4,6,
8这5个 数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ.求算式ABC×DE- FGH×IJ的计算结果的
最大值.

【分析与解】 为了使ABC×DE- FGH×IJ尽可能的大,ABC×DE尽可能的大,FGH×IJ
尽可能的小.


则ABC×DE最大时,两位数和三位数的最高位都最大,所以为7、9,然后为3、5,最后三位数的个位为1,并且还需这两个数尽可能的接近,所以这两个数为751,93.

则FGH×IJ最小时,最高位应尽可能的小,并且两个数的差要尽可能的大,应为468×20.

所以ABC×DE-FGH×IJ的最大值为751×93-468×20=60483.

评注:
类似的还可以算出FGH×IJ- ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795.

6.将6, 7,8,9,10按任意次序写在一圆周上,每相邻两数相乘,并将所得5个乘积相加,
那么所得和数的 最小值是多少?


【分析与解】 我们从对结果影响最大的数上人手,然后考虑次大的,所以我
们首先考虑10,为了让和数最小,10两边的数必须为6和7.

然后考 虑9,9显然只能放到图中的位置,最后是8,8的位置有两个位置可放,而且也
不能立即得到哪个位置 的乘积和最小,所以我们两种情况都计算.
8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;
9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313.
所以,最小值为312.

8.一个两位数被它的各位数字之和去除,问余数最大是多少?

【分析与解 】设这个两位数为
ab
=lOa+b,它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+ 9a,
所以lOa+b≡9a(mod a+b),

设最大的余数为k,有9a≡k(mod a+b).

特殊的当a+b为18时, 有9a=k+18m,因为9a、18m均是9的倍数,那么k也应是9的
倍数且小于除数18,即0, 9,也就是说余数最大为9;

所以当除数a+b不为18,即最大为17时,


m=7+9t
:余数最大为16,除数a+b只能是17,此时有9a=15+17 m,有

(t
a=15+17t

为可取0的自然数),而a是一位数,显然不满足;
:余数其次为15,除数a+b只能是17或16,


除数a+b=17时,有9a=15+17m,有

显然也不满足;


m=6+9t
,(t为可取0的自然数),a是一位数,
a=13+17t

m=3+9t
除数a+b=16时,有9a=15+16m, 有

(t为可取0的自然数),因为a是一位数,
a=7+16t

所以a只能取7,对应b为16-7=9,满足;

所以最大的余数为15,此时有两位数79÷(7+9)=4……15.

10.用 1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字各一次,组成一个被减数、减数、差都是三
位数的正确 的减法算式,那么这个算式的差最大是多少?

【分析与解】 考虑到对差的影响大小 ,我们先考虑百位数,为了让差最大,被减数的百
位为9,减数的百位为1,如果差的百位为8,那算式 就是如下形式:剩下的6
个数字为2、3、4、5、6、7,因为百位数字为8,所以我们可以肯定被减 数的十位数字比减
数要大,而且至少大2,因为1已经出现在算式中了,算式的可能的形式如下:

得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差,或者小1,可能的算式形式如下:

但这 时剩下的数都无法使算式成立.再考虑差的百位数字为7的情况,这时我们可以肯
定减数的十位数比被减 数要大,为了使差更大,我们希望差值的十位为8,因此,算式可能
的形式为:

再考虑剩下的三个数字,可以找到如下几个算式:
,所以差最大为784.



12. 4个不同的真分数的分子都是1,它们的分母有2个是奇数、2个是 偶数,而且2个分
母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等.这样的奇数和偶数很多,小明 希望
这样的2个偶数之和尽量地小,那么这个和的最小可能值是多少?

【分析与解】 设这四个分数为上
零自然数)


1111
、、、(其中m、n、a、b均为非
2m
2n2a+12b+1
11111111< br>+=+,则有-=-,
2m
2n2a+12b+1
2m
2b+12a +12n
我们从m=1,b=1开始试验:
1111111111
=+=+,=+=+,
263443
12
4 66
1111111111
=+=+,=+=+,
4205885
30
6
1010
11111
=+=+,﹍
65
101212
111
我们发现,和分解后具有相同的一项,而且 另外两项的分母是满足一奇一偶,
56
10
满足题中条件:
1111
+=+,所以最小的两个偶数和为6+10=16.
5
15
6
10

14.有13个不同的自然数,它们的和是100.问其中偶数最多有多少个?最少有多少个?

【分析与解】 13个整数的和为100,即偶数,那么奇数个数一定为偶数个,则奇数最
少为2个,最多为12个;对应的偶数最多有11个,最少有1个.

但是我们必须验证看是否有实例符合.

当有11个不同的偶数,2个不同的奇数时 ,11个不同的偶数和最小为
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132, 而2个不同的奇数和最小为1+3=4.它们的和最小为
132+4=136,显然不满足:

当有9个不同的偶数,4个不同的奇数时,9个不同的偶数和最小为
2+4+6+8+10+1 2+14+16+18=90,而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16,还是大于100,仍
然不满足;

当有7个不同的偶数,6个不同的奇数时,7个不同的偶数和最小为< br>2+4+6+8+10+12+14=56,6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11:36,满足 ,如2,4,6,8,10,
12,22,1,3,5,7,9,11的和即为100.
< br>类似的可知,最少有5个不同的偶数,8个不同的奇数,有2,4,8,10,16,1.3.5,


7,9,11,13,15满足.

所以,满足题意的13个数中,偶数最多有7个,最少有5个.






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