郑州交通职业学院-新年畅想

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奥数的几个重要定理
费马小定理.
若(a,n)=1,n是质数，则
a
n1
1(modn)

例1、设正整数a,b,使15a+16b和16a－15b都是正整数的平方，求这两个平方数中 较小的
一个最小值.
解：（式子化）由已知，可设

15a16 br
2
16a15bt
abrt
2
2

r,tN


(求min(min(r
2
，t
2
)))

1
（变形）
15r16t481a
○
2

16r
2
15t
2
481b
○
2
481
＝1337

猜想r
2
,t
2
都是1337的倍数
即r,t都是13的倍数，且r,t都是37的倍数.
先证：r,t是13的倍数



事实上，若r,t至少有一个不是13 的倍数,则由15r
2
16t
2
481a

可知r,t都不是13的倍数，从而（r,13)1,(t,13）＝1

又16r
2
15t
2
(mod13)(消元：用费马小定理）
16r
2
t
10
15t
12
（mod13)
16r
2
t
10
151
((4rt
5
)
2
)< br>6
15
6


121(mod13)
矛盾

r,t都是13的倍数

若r,t至少有一个不是37的倍数，则r,t都不是37的倍数，于是

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16r
2< br>15t
2
(mod37)
16r
2
t
34
15t
36
2
（mod37)15(4rt
17
）
36
15
18
(mod37)(4rt
17
）
15
1 8
1(mod37)
225
9
1(mod37)
3
9< br>1(mod37)
27
3
1(mod37)
(10)
3
1(mod37)
10001(mod37)
1000(27)37 1
11(mod37)
361(mod37)

矛盾


r,t都是37的倍数
r,t都是481的倍数
r
2
, t
2
都是481
2
的倍数
猜想t
2
的最小值为48 1
2
22
证猜想：只需证，存在满足已知条件的a,b，使t481，事实上
1
，○
2
中令
rt481得
在○
222

(1516)481
2
a31481

481
(1615)481
2
b481

481< br>当a31481,b481时，满足已知条件，并且r
2
481
2< br>，t
2
481
2

故，所求最小值为481
2

高斯函数
这一讲介绍重要的数论函数
y[x]
，称为高斯函数，又称取整函数。 它是数学竞赛热
点之一。
定义一：对任意实数
x,[x]
是不超过
x
的最大整数，称
[x]
为
x
的整数部分。与它相伴随
的是 小数部分函数
y{x},{x}x[x].

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由
[x]
、
{x}
的定义不难得到如下性质：
（1）
y[x]
的定义域为R，值域为Z；
y{x}
的定义域为R，值域 为
[0,1)

（2）对任意实数
x
，都有
x[x]{ x},且0{x}1
。
（3）对任意实数
x
，都有
[x]x [x]1,x1[x]x
。
（4）
y[x]
是不减函数，即若
x
1
x
2
则
[x
1
][x
2
]
，其图像如图I －4－5－1；
y{x}
是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2。







图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2
（5）
[xn]n[x];{xn}{x}
。其中xR,nN
。
nn


（6）
[xy][x ][y];{x{x}{y}{xy};[

x]

[x],x< br>ii
i1i1
i
R
；特别地，
[
naa
]n[].

bb
（7）
[xy][x][y]
，其中x,yR

；一般有
[

x]

[x], x
ii
i1
i1
n
n
i
R

；特别地，
[
n
x]
n
[x],xR,nN
< br>。
（8）
[][
x
n
[x]
]
，其中< br>xR,nN

。
n
取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个
结论。

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定理一
：< br>xR,nN

，且1至x之间的整数中，有
[]
个是
n
的倍数。
xxxx
[]1,即[]nx([]1)n
，此式 说明：不大于x而是n的
nnnn
[x]
倍数的正整数只有这个：
n
【证明】因
[]
x
n
x
n
x
n,2n,,[ ]n.

n
定理二
：在
n
！中，质数
p
的最高方次数是
nnn
p(n!)[][
2
][
3
].

p
pp
【证明】由于
p
是质数，因此
n!
含
p
的方次数
p(n!)
一定是1，2，…，
n1,n
各数中所< br>含
p
的方次数的总和。由定理一知，1，2，…，n中有
[]
个
p
的倍数，有
[
n
p
n
]
个
p
2
的
2
p
倍数，…，所以
p(n!)[][
n
p
n
].

p
2
20002000
][
2
]

7< br>7
此定理说明：其中M不含
p
的因数。例如，由于
7(2000!) [
n!p
p(n!)
M
，
+…=285+40+5=330，则 2000！=7
330
·M，其中7 M。
12n1
定理三
： （厄米特恒等式）
xR,nN,则[x][x][x][x][nx]

nnn
【证法1】引入辅助函数
12n2n11
f(x)[nx] [x][x][x][x][x].
因
f(x)
…
nnnnn
11
f(x)
对一切
xR
成立，所以
f( x)
是一个以为周期的周期函数，而当
x[0,]
时，
nn
直接计 算知
f(x)0
，故任意
xR
，厄米特恒等式成立。
【证法2 】等式等价于
n[x][{x}][{x}
1n1
][{x}]n [x][n{x}].
消去
nn
n[x]
后得到与原等式一样的等式，只不 过是对
x[0,1)
，则一定存在一个
k
使得

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k1k
即
(k1)nx k
，故原式右端
[nx]k1.
另一方面，由
k1
x< br>k
知，
x
，
nn
nn
k1k1k12k2 kiki1kn2kn1
x,x,,x,,x
nnn nnnnnnn
在这批不等式的右端总有一个等于1，设
kt
1
这时，
1,即tnk
。
[x][x]

n
n
nknk1n1
]0
，而
[x][x]1
，因此原式的左端是
k1
个1
nnn
之和，即左端
k1.故左=右。
[x
【评述】证法2的方法既适用于证明等式，也适用于证明不等式。，这 个方法是：第一步
“弃整”，把对任意实数的问题转化为
[0,1)
的问题；第二步对
[0,1)
分段讨论。
高斯函数在格点（又叫整点）问题研究中有重要应用。 下面给出一个定理。
定理四
：设函数
yf(x)在[a,b]
上连续而且 非负，那么和式
atb

[f(t)](t为[a,b]
内的
整 数）表示平面区域
axb,0yf(x)
内的格点个数。特别地，有
（1）位于三角形：
yaxb0,cxd
内的格点个数等于；

[axb](且x
为整数）
cxd
（2）
(p,q)1，矩形域
[0,
qp
;0,]
内的格点数等于
22

0xq2

[
pqp1q1
x]

[y ].

q22
0yp2
p
222
（3）
r 0
，圆域
xyr
内的格点个数等于
14[r]8
0x r2

[r
2
x
2
]4[
r
2]
2
。
（4）
n0
，区域：
x0,y0,xyn
内的格点个数等于
2
n
[

x
][n]
2
。
0xn
格点
[赛点直击]
1．格点，是指方格纸上纵线和横线 的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线

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与纵线为x轴和y轴，且设一个方格的边长为1，那么，格点就是平面直角坐标系
中 宗横坐标都为整数的点。因此，格点又称为整点。
2．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念。
3．格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
4．格点关于格点的对称点为格点。
5．设格点多边形内部有I个格点，边界上有p个格点，则格点多边形的面积为
SI
[赛题精析]
p
。
1
（见例5）
2
54
x
的距离中的最小值
35
例1 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线
y
是 （ ）
A．
3434
11
B． C． D．
17085
2030
思路点拨：可以引进整点坐标，利用点到直线的距 离公式，建立整点到直线距离的二元
函数。通过对距离函数最值的探求获得问题的解。而不同角度的探求 又能得到不同的解法。
解法一 已知直线可写成
25x15y120
整点

x
0
,y
0

到直线的距离为
d
25x
0
15y
0
12
534

由
x
0
，
y
0
均可为整数知
25x
015y
0
12
必为整数，从而
d
为无理数，否定C,D.
若选A，则
25x
0
15y
0
121

即
25x
0
15y
0
1

有
25x
0
15y
0
13

或
25x
0
15y
0
11

但25x
0
15y
0
5

5x
0
 3y
0

是5的倍数，不会取-13，-11。故否定A，从而选B
解法二 距离d的大小完全有
25x
0
15y
0
12
来确定，当
25x
0
15y
0
12
最小时，d
也相应的取 最小值。由于
25x
0
15y
0
5(5x
0
 3y
0
)
是5的倍数，故
25x
0
15y
0122
。另一方面，当
x
0
2,y
0
4< br>时，
25x
0
15y
0
122
.
< br>d
取最小值
234
。故选B。

85
534
评注：（1）直线
25x15y120
上设有格点，因为如果有，则

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1225x15y5(3y5x)
是5的倍数，与 相矛盾。 （2）格点
(2,4)
到直线
y
54
x
的距离 是平面上的格点到直线距离中最小的，但
35
这样的点不至
(2,4)
一 个，点
(4,6)
等直线
25x15y10
（即
5x3 y2
）上的
无数多个格点都是这样的点。
（3）当
(x
0,y
0
)
取遍平面上不同的格点时，
d
25x15y12
534
的取值从小到大形成
了以
3434
为首项，为公差的无穷等差 数列。对以上这样基本事实要能真正理解，我们
8534
对本例的认识就深刻了。