乐陵一中-银行工作小结

三年级奥数 第十一讲-奇偶分析
一：奇数和偶数的概念：整数可以分成奇数和偶 数两大类.能被2整除的数叫做偶数（双数），不能被
2整除的数叫做奇数（单数）。因为偶数是2的倍 数，所以通常用2k这个式子来表示偶数（这里k是
整数），因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通 常用式子2k+1来表示奇数（这里k是整数）。特
别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数.最小的 奇数是１，最小的偶数是０．

二：奇数与偶数的运算性质：
（1）奇数个奇数相加减得奇数 （2）偶数个奇数相加减得偶数。
（3）奇数加减偶数得奇数。（加减一个奇数会改变结果的奇偶性）
（4）任意个偶数相加减得偶数。（加减一个偶数不会改变结果的奇偶性）
（5）任意个奇数相乘得奇数。（6）偶数乘以任何数得偶数。
（7） 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数.



【例1】
【解析 】(2135-1987)÷2=74,那么共有74+1=75个奇数相加，奇数个奇数的和肯定是奇数。

【例2】
【解析】利用奇×偶=偶；偶×奇=偶
每个加数都是一个奇数乘一个偶数或者一个偶数乘一个奇数，因而都为偶数，它们的和也是偶数．

【练习】
【解析】从第二项起，均是一个偶数乘以一个奇数，一个偶数与一个奇数 的乘积必是偶数，任意个偶数相
加得偶数，再加上1，那么最后的结果是奇数。

【例3】
【解析】中间的数，是三个连续奇数的平均数
【解】中间的数是15÷3=5，这三个连续奇数是3、5、7；它们的积是3×5×7=105.

【例4】
【解法一】因为1+2+3＋…＋1999
=
（1+1999）1999
19991000

2
又因为1000是偶数，1999是奇数．奇数×偶数=偶数．所以，原式的和是偶数．
【解法二】因为1999÷2=999……1,
所以1～1999的自然数中，有999个偶数，1000个奇数．
因为999个偶数之和一定是偶数．
1000个奇数之和是偶数．
因为偶数＋偶数=偶数．
所以原式之和一定是偶数．

【例5】
【解析】由于奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数. 3是奇数，所以，每个数加上3后，奇偶性与原 来相反，
也就是说，在3，6，9，12，……中，每一个数与前一个数的奇偶性不同. 这行数的第一 个数是奇数，并
且是奇偶相间，由此可知，这行数的奇偶性与其序数的奇偶性相同．所以第2011个数 是奇数.

【评析】由此可以得到以下一条性质：加上(或减去)一个偶数，奇偶性不变 ，而加上(或减去)一个奇数，
奇偶性改变．
奇偶分析-活学活用

【例6】
【解析】不管哪一只茶杯，要从杯底朝上变为杯口朝上必须翻转奇数次，7只茶杯翻 转的总次数是7个奇
数的和，仍为奇数．而每次翻动，使4个茶杯各翻转1次，不管多少次翻动，7只茶 杯翻转次数的总和都
是4的倍数，是偶数，奇数不等于偶数，所以不管翻动多少次都不能使这7只茶杯的 杯口全部朝上．
【例7】
【解析】每人有基础分15分，每答1道题，分数将增加或减少一 个奇数（增加5分、1分或减少1分）．因
而答30道题，将增加或减少30个奇数．由于30是偶数， 30个奇数相加减，结果必为偶数，但15是奇数，
所以每个人的得分是奇数（=15±偶数）,199 3个人的得分总和也是奇数．

【例8】
【解析】130人排成一列，按第一次报 的数顺次给这130人编上号码1、2、3、4、…、130．最后留下的
这名同学决不是l、3、5、 7、9、…、129．否则第一次就被淘汰了，他也不是2×I、2×3、2×5…2×65，
否则第二 次报数后又要被淘汰．依此类推，不被淘汰的人，号码应为1到130中含因数2最多的数，也就
是2× 2×2×2×2×2=128。

【例9】
【解析】相邻两个运动员号码数是奇数 ，那么每个运动员的号码数肯定是奇偶相间。27个数中奇数比偶数
多，那么不能满足条件。

【例10】
【解析】a+b与a-b的奇偶性相同，所以(a+b)×(a-b)要么是奇数 ，要么是4的倍数（不仅仅是2的倍数），
而126不是4的倍数，所以不可能符合要求。

【附加题】
【解析】此题单从具体的数来，无从下手．但抓住其操作过程中奇偶变化规律，问 题就变得很简单了．如
果原来三个数为1，3，5，为三奇数，无论怎样，操作一次后一定为二奇一偶， 再往后操作，可能有以下
两种情况：一是擦去一奇数，剩下一奇一偶，其和为奇，因此换上去的仍为奇数 ；二是擦去一偶数，剩下
两奇，其和为偶，因此，换上去的仍为偶数．总之，无论怎样操作，总是两奇一 偶，而66，88，237是两
偶一奇，这就发生矛盾．所以，原来写的不可能为1，3，5．




1．
【解析】这1994个自然数中，若第一 个数是奇数，则最后一个数是偶数，若第一个数是偶数，则最后一
个是奇数，所以无论第一个是什么数， 奇数和偶数都一样多，都有1994÷2=997（个），997个偶数相加是
和偶数，997个奇数相 加和是奇数，奇数+偶数=奇数，所以它们的总和是奇数。
2.
【解析】这11个奇数中间 的一个数，是这11个数的平均数，即1991÷11=181，第6个数是181，那么最
小的数是1 81-5×2=171.
3.

【解析】把这24个偶数前后配对，共12 对，每对和都相等，所以每对和是1992÷12=166.中间两个数，
也就是第12、13个数的和 也是166.所以第12个偶数是（166-2）÷2=82，最大的偶数是82+（24-12）×
2 =106.
4．
【解析】把前后两个看成一堆，中间两个看成一对，两对的和相等，所以每对和是16，第二个书是7， 第
三个数是9，第一个数是5，最后一个数是11.
5．
【解析】三个连续偶数 的和比最小的大14，那么第二个和第三个偶数的和是14，这三个偶数是4，6，8.
6. 【解析】3，4，5，6，7，8，9这些数中，偶数与任何数相乘都是偶数，只有奇数与奇数相乘时才得到 奇
数，那么有3，5，7，9这四个数两两相乘得到的数是奇数，共有6个乘积，都是奇数，6个奇数之 和是偶
数。那么所有数的和都是偶数。
7．
【解析】给每棵树分别编号为0、1、 2、3、4、5、6、7、8、9、10.这些数中既有奇数又有偶数，那么三
块牌子必定至少有两块牌 子对应的树的序号的奇偶性是相同的，如果存在两数的奇偶性相同，那么这两数
之差肯定是偶数，这两树 之间的距离也是偶数。
8．
【解析】不管b是奇数还是偶数，a和c中肯定至少有一个是奇数,那么a－1, C－3中至少有一个 是偶数，
偶数乘以乘以任何整数都是偶数，所以a－1,b－2，C－3的乘积一定是偶数．
9．某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道．评分标准是：答对一题给3分，不答给1分，答错倒扣
1分．请你说明：该班同学得分总和一定是偶数．
【解析】该同学每题的得分肯定是个奇数，那么他 的总得分就是50个奇数相加减，偶数个奇数相加减结
果肯定是偶数，所以每个同学的得分肯定是偶数， 任意个偶数相加都是偶数，所以该班同学的得分总和一
定是偶数。
10．
【解析 】把这159名学生编号1、2、……159号，要使第一次不被淘汰，就不能站在1、3、5……159这些位置上，要使第二次不被淘汰，也不能站在2×1，2×3，2×5……2×79这些位置上。依次类推， 要想
给老师鲜花，就要站在159内含因数2最多的位置上，即2×2×2×2×2×2×2×=128 号位置上。