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四年级奥数：数阵图（一）

我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵 ，其解题的关键在于
“
重叠数
”
。
本讲和下一讲，我们学习三阶方阵 ，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列
的数阵图，解题的关键仍然是
“
重叠数< br>”
。我们先从一道典型的例题开始。

例
1
把
1～
9
这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一
竖列和每条 对角线上的三个数之和都相等。


分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对 角线上三个数字之和是几。我
们可以这样去想：因为
1
～
9
这九个数 字之和是
45
，正好是三个横行数字之和，
3=15
。也就是说，每一横行、 每一竖列以及每所以每一横行的数字之和等于
45÷
条对角线上三个数字之和都等于
1 5
。

在
1
～
9
这九个数字中，三个不同的数 相加等于
15
的有：


9
＋
5
＋1
，
9
＋
4
＋
2
，
8
＋6
＋
1
，
8
＋
5
＋
2
，

8
＋
4
＋
3
，
7
＋< br>6
＋
2
，
7
＋
5
＋
3
，< br>6
＋
5
＋
4
。

因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三
个数字。

因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，
所以它应同时出现在上述的四 个算式中，只有
5
符合条件，因此应将
5
填在中心
方格中。同理，四 个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角
线上，所以它应同时出现在上述的三个算式 中，符合条件的有
2
，
4
，
6
，
8
，因< br>此应将
2
，
4
，
6
，
8
填在四个角 的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。经
试验，有下面八种不同填法：


上面的八个图，都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如，第一行的后三
个图，依次由第 一个图顺时针旋转
90°
，
180°
，
270°
得到。又如 ，第二行的各图，
都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以，这八个图本质上是相同的，可以看作
是一种填法。

例
1
中的数阵图，我国古代称为
“
纵横图
”
、
“
九宫算
”
。一般地，将九个不同
3
（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角的数填在
3×线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻方。

在例
1
中 如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等，而不要求两条对
角线上的三数之和也相等，则解不唯一 ，这是因为在例
1
的解中，任意交换两行
或两列的位置，不影响每行或每列的三数之和 ，故仍然是解。

例
2
用
11
，
13
，< br>15
，
17
，
19
，
21
，
23< br>，
25
，
27
编制成一个三阶幻方。

1
～
9
也是一个等差数列。分析与解：给出的九个数形成一个等差数列，对照例
1
，
不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填
19
；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即
13
，
17
，
21
，
25
，而且对角两数的和相
等，即
13
＋
25=17< br>＋
21
；余下各数就不难填写了（见右图）。


3
与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入
3×
（三行三列）的九个方格中，
使得任一 行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图
称为三阶反幻方。
例
3
将前
9
个自然数填入右图的
9
个方格中，使得任一 行、任一列以及两条对角
线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。

分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻，所以这
9
个自然数

按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。经试验有下图所示的三种情况：

按照从
1
到
9
和从
9
到
1
逐一对这三种情 况进行验算，只有第二种情况得到
下图的两个解。因为第二种情况是螺旋形，故本题的解称为螺旋反幻方 。

例
4
将九个数填入左下图的九个空格中，使得 任一行、任一列以及两条




证明：因为每行的三数之和都等于
k
，共有三行，所以九个数之和等于
3k
。如右
上图所示，经过中心 方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于
k
，四
条虚线上的所有数之和等于
4k
，其中只有中心方格中的数是
“
重叠数
”
，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次。所以有

3=4k
，

九数之和
+
中心方格中的数
×
3=4k
，


3k+
中心方格中的数
×


3
方格 注意：例
4
中对九个数及定数
k
都没有特殊要求 。这个结论对求解
3×
中的数阵问题很实用。

3
的方格中，如果要求填入九个互不相同的质数，要求任一行、任一列 在
3×

以及两条对角线上的三个数之和都相等，那么这样填好的图称为三阶质数幻方 。
例
5
求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于
267
的三阶质数幻
方。

3
＝
89
。由于在两条对角线、中间 一分析与解：由例
4
知中间方格中的数为
267÷
行及中间一列这四组数中， 每组的三个数中都有
89
，所以每组的其余两数之和
必为
267-89
＝
178
。两个质数之和为
178
的共有六组：


5+173
＝
11
＋
167
＝
29
＋
149
＝
41
＋
137
＝
47+131
＝
71+107
。

经试验，可得右图所示的三阶质数幻方。

练习
16
3
的方格内，使得每一横行、每一竖列及两条对
1.
将九个连续自然数填入
3×
角线上的三个数之和都等于
66
。

3
的方格内，使其构成一个幻
2.
将
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，
11
，
13
，
15
，
17
填入
3×
方。


3.
用
2
，
4
，
6
，
12
，
14
，
16
，
22
，
24
，
26
九个偶数编制一个幻方。


4.
在下列各图空 着的方格内填上合适的数，使每行、每列及每条对角线上的
三数之和都等于
27
。


5.
将右图中的数重新排列，使得每行、每列及两条对角线上的 三个数之和都
相等。


3
的方格内，使得每一横行、每一竖列及两条对角线上
6.
将九个质数填 入
3×
的三个数之和都等于
21
。

7.
求九个数之和为
657
的三阶质数幻方。


第
17
讲

数阵图（二）

例
1
在右图的九个方格中填入不大于
12
且互不相同的九个自然数（其中已填好
一个数）， 使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于
21
。


解：由上一讲例
4
知中间方格中的数为
7
。再设右下角的数为
x，然后根据任一

行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于
21
， 如下图所示填上各数（含
x
）。

因为九个数都不大于< br>12
，由
16
－
x≤12
知
4≤x
，由x+2≤12
知
x≤10
，即
4≤x≤10
。
考虑到< br>5
，
7
，
9
已填好，所以
x
只能取
4
，
6
，
8
或
10
。经验证，当
x
＝
6
或
8
时，
九个数中均有两个数相同，不合题意；当
x
＝
4
或
10
时可得两个解（见下图）。
这两个解实际上一样 ，只是方向不同而已。



例
2
将九个数填入右图的空格 中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和
都相等，则一定有


< br>证明：设中心数为
d
。由上讲例
4
知每行、每列、每条对角线上的三个 数之和都
等于
3d
。由此计算出第一行中间的数为
2d——b
，右下 角的数为
2d-c
（见下图）。


根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到


3d-c-
（
2d-b
）＝
3d-a-
（
2d-c
），


3d-c-2d
＋
b
＝
3d-a-2d
＋c
，


d——c
＋
b
＝
d——a
＋
c
，


2c
＝
a
＋
b
，


a
＋
b

c
＝
2
。

值得注意的是，这个结论对于
a
和
b
并没有什么限制，可以是自 然数，也可
以是分数、小数；可以相同，也可以不同。

例
3
在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角
线上的三个数之和都 等于
90
。


3
＝
30
；由本讲例2
知，右上角的数为（
23
解：由上一讲例
4
知，中心数为90÷
2
＝
40
（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。

＋
57
）
÷

例
4
在右图的每个空格中填 入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的
三个数之和都相等。


解：由例
2
知，右下角的数为


2=9
；由上一 讲例
4
知，中心数为（
5
＋
9
）
÷2=7
（见左下图）， （
8
＋
10
）
÷
3=21
。由 此可得右下图的填且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于
7×
法。

例
5
在下页上图的每个空格中填一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的
三个数 之和都相等。


2=9
（左下图）。因为左下图中两条虚解：由例
2
知，右下角的数为（
6
＋
12
）
÷
线上的三个数 之和相等，所以，


“
中心数
”
＝（
10＋
6
）
-9
＝
7
。

其它依次可填（见右下图）。

3
方阵的问题时，上讲的例
4
与本讲的例
2
很有 由例
3
～
5
看出，在解答
3×
用处。


练习
17

1.
在左下图的每个空格中填入一个数字，使得每行 、每列及每条对角线上的
三个数之和都相等。


2.
在右上图 的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的
三个数之和都等于
24
。


3.
下列各图中的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每 条对角线
上的三个数之和都相等，求
x
。



4.
在左下图的空格中填入七个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三
个数之和都等于< br>48
。



5.
在右上图的每个空格中填入一个 自然数，使得每行、每列及每条对角线上
的三个数之和都相等。


6.< br>在右图的每个空格中填入不大于
12
且互不相同的九个自然数，使得每行、
每列 、每条对角线上的三个数之和都等于
21
。



第
18
讲

数阵图（三）

数阵问题是多种多样的，解题方法也是多种多样的，这就需要我们根据题目
条件灵活解题。
< br>例
1
把
20
以内的质数分别填入下图的一个
○
中，使 得图中用箭头连接起来的四
个数之和都相等。


分析与解：由上图看出，三 组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数
之和必然相等。
20
以内共有2
，
3
，
5
，
7
，
11
，< br>13
，
17
，
19
八个质数，两两之和
相等的有

5
＋
19
＝
7
＋
17
＝
11
＋
13
，

于是得到下图的填法。


例
2
在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上 的方
格中的四个数字都是
1
，
2
，
3
，
4
。



分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，
a
处只能填
1
，从而
b
处填
3
；
进而推知
c
处填
4
，
d
处填
3
，
e
处填
4
，
……
右下图为填好后的数阵图。


例
3
将
1
～
8
填入左下图的
○
内，要求按照 自然数顺序相邻的两个数不能填入有
直线连接的相邻的两个
○
内。

分析与解：因为中间的两个
○
各自只与一个
○
不相邻 ，而
2
～
7
中的任何一个数都
与两个数相邻，所以这两个
○
内只能填
1
和
8
。
2
只能填在与
1
不相邻的
○
内，
7
只能填在与
8
不相邻的
○内。其余数的填法见右上图。

例
4
在右图的六个
○
内 各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于
20
，
而且每个三角形（共5
个）顶点上的数字之和都相等。



分析与解：因为大三角 形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六
个
○
，又因为每个三角形顶点 上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字
2
＝
10
。
10< br>分为三个质数之和只能是
2
＋
3
＋
5
，之和为
20÷
由此得到右图的填法。


例
5
在右图所示立方体 的八个顶点上标出
1
～
9
中的八个，使得每个面上四个顶
点所标数字 之和都等于
k
，并且
k
不能被未标出的数整除。


分析与解：设未被标出的数为
a
，则被标出的八个数之和为
1
＋
2
＋
…
＋
9-a
＝
45-a
。
由于每个顶点 都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为


6k
＝
3×
（
45-a
），


2k
＝
45-a
。


2k
是偶数，< br>45
－
a
也应是偶数，所以
a
必为奇数。

若
a
＝
1
，则
k
＝
22
；

若
a
＝
3
，则
k
＝
21
；

若
a
＝
5
，则
k
＝
20
；

若
a
＝
7
，则
k
＝
19
；

若
a
＝
9
，则
k
＝
18
。

因为
k
不能被
a
整除，所以只有
a＝
7
，
k
＝
19
符合条件。

由 于每个面上四个顶点上的数字之和等于
19
，所以与
9
在一个面上的另外三个顶点数之和应等于
10
。在
1
，
2
，
3< br>，
4
，
5
，
6
，
8
中，三个数之和 等于
10
的
有三组：


10
＝
1
＋
3
＋
6
＝
1
＋
4
＋
5
＝
2
＋
3
＋
5
，

将这三组数填入
9
所在的三个面上，可得右图的填法。



练习
18

1.
将
1
～
6
这 六个数分别填入左下图中的六个
○
内，使得三条直线上的数字的
和都相等。



2.
将
1
～
8
这八个数分别填入右 上图中的八个方格内，使上面四格、下面四
格、左边四格、右边四格、中间四格及四角四格内四个数相加 的和都是
18
。


3.
在下页左上图的每个方格中填入 一个数字，使得每行、每列以及每条对角
线上的方格中的四个数都是
1
，
2< br>，
3
，
4
。



4.
将
1
～
8
填入右上图的八个空格中，使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数都不是相邻的两个自然数。


5.20
以内共有
10
个奇数，去掉
9
和
15
还剩八个奇数。将这八个奇数填入右
图的八个
○
中（其中
3
已填好），使得用箭头连接起来的四个数之和都相等。

6.
在左下图的七个
○
内 各填入一个质数，使每个小三角形（共
6
个）的三个
顶点数之和都相等，且为尽量小的 质数。


7.
从
1
～
13
中选出
12
个自然数填入右上图的空格中，使每横行四数之和相
等，每竖列三数之和也相等。



答案


练习
16






练习
17



3.
（
1
）
11
；

（
2
）
9
。


2=5
，所以

提示：（
1
）右下角的数为（
3+7
）
÷
2-5=11
。


x=8×
2=7
，中心数为

（
2
）右下角的数为（
5+9
）
÷
2-7=9
（
6+9
）
-7=8
，所以
x=8×

2=20
，中心数为
48÷3=16
。

提示：左下角的数为（
13+27
）
÷


提示：右下角的数为（
20+16
）
÷2=18
，

中心数为（
8+18
）
÷2=13
。



提示：与例
1
类似。


练习
18


1.
有下面四个基本解。