五年级奥数—数的奇偶性(一)
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第7讲 奇偶性（一）
整数按照能不能被2整除，可以分为两类：
（1）能被2整除的自然数叫偶数，例如
0， 2， 4， 6， 8， 10，
12， 14， 16，„
（2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如
1，3，5，7，9，11，13，15，17，„
整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻
两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一
偶。因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其
中n为整数；因为奇数不能
被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性
质：
（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）
一定
是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或
差）是奇数，这两
个数肯定是一奇一偶。
（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任
意多个偶数
的和（或差）是偶数。
（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
（4）若干个数相乘，如
果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都
是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若
干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是
偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数
。
（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得
奇数。奇数肯定不能被偶数整除。
（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。
因为（2n）
2
=4
n
2=4×n
2
，所以（
2n）
2
能被4整除；
因为（2n+1）
2
=4n
2
+4n+1=4×（n
2
+n）+1，所以（2n+1）
2
除以4余
1。
（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。
（8）如果一个整数
有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；
如果一个整数有偶数个约数，那么这
个数一定不是平方数。
整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇
偶性一点关
系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，
便可利用整数的奇偶性加以解决。
例1下式的和是奇数还是偶数？
1+2+3+4+„+1997+1998。
分析与解：本题当然可以先求出算式的和，再来判断
这个和的奇偶性。但如果能不计算，
直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性
质（2），和的奇偶性
只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。1～1998中共有999个
奇数，999是奇
数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要求的和是奇数。
例2
能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？
1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。
分析与解：等号左端共有9个数参加加、减运算，
其中有5个奇数，4个偶数。5个奇
数的和或差仍是奇数，4个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶
数=奇数”，所以题目的
要求做不到。
例3 任意给出一个五位数，将组成这个五位数的
5个数码的顺序任意改变，得到一个
新的五位数。那么，这两个五位数的和能不能等于99999？
分析与解：假设这两个五位数的和等于99999，则有下式：
其中组成两个加数的5个数码完全相同。因为两个个位数相加，和不会大于 9+9=18，
竖式中和的个位数是9，所以个位相加没有向上进位，即两个个位数之和等于9。同理，十
位、百位、
千位、万位数字的和也都等于9。所以组成两个加数的10个数码之和等于
9+9+9+9+9=45，是奇数。
另一方面，因为组成两个加数的5个数码完全相同
，所以组成两个加数的10个数码之
和，等于组成第一个加数的5个数码之和的2倍，是偶数。
奇数≠偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于99999，所以假设不成立，即
这两个数的和不能等于99999。
例4 在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。
请问：握过奇数次手的人
数是奇数还是偶数？请说明理由。
分析与解：通常握手是两人的
事。甲、乙两人握手，对于甲是握手1次，对于乙也是握
手1次，两人握手次数的和是2。所以一群人握
手，不论人数是奇数还是偶数，握手的总次
数一定是偶数。
把聚会的人分成两类：A类是握手次数是偶数的人，B类是握手次数是奇数的人。
A类中每人握手
的次数都是偶数，所以A类人握手的总次数也是偶数。又因为所有人握
手的总次数也是偶数，偶数-
偶数=偶数，所以B类人握手的总次数也是偶数。
握奇数次手的那部分人即B类人的人数是奇数还
是偶数呢？如果是奇数，那么因为“奇
数个奇数之和是奇数”，所以得到B类人握手的总次数是奇数，与
前面得到的结论矛盾，所
以B类人即握过奇数次手的人数是偶数。
例5 五（2）班部分
学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。评分标准
是：答对一道给3分，不答的题，每道
给1分，答错一道扣1分。试问：这部分学生得分的
总和能不能确定是奇数还是偶数？
分
析与解：本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况入
手分析。因为每道题
无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有50道题，50个奇
数相加减，结果是偶数，所以每
个人的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数，所以这
部分学生的总分必是偶数。
练习7
1.能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22？
2.任意交换一个
三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数
相加，和是999。这位同学的计
算有没有错？
3.甲、乙两人做游戏。任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任
意的
顺序填在下图第一行的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然
后计算出所有同一列的两个数的差（大数减小数），再将这七个差相乘。游戏规则是：若积
是偶数，则甲
胜；若积是奇数，则乙胜。请说明谁将获胜。
4.某班学生毕业后相约彼此通信，每两
人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要
给甲写几封信。问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还
是偶数？
5.A市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题30道，记分方法是：底分15
分，
每答对一道加5分，不答的题，每道加1分，答错一道扣1分。如果有333名学生参赛，那
么他们的总得分是奇数还是偶数？
6.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同
一条直线上的红圈数都是奇
数？试讲出理由。
7.红星影院有1999个座位
，上、下午各放映一场电影。有两所学校各有1999名学生包
场看这两场电影，那么一定有这样的座位
，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学
生，为什么？
整数按照能不能被2整除，可以分为两类：
（1）能被2整除的自然数叫偶数，例如
0， 2， 4， 6， 8， 10，
12， 14， 16，„
（2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如
1，3，5，7，9，11，13，15，17，„
整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻
两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一
偶。因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其
中n为整数；因为奇数不能
被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性
质：
（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）
一定
是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或
差）是奇数，这两
个数肯定是一奇一偶。
（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任
意多个偶数
的和（或差）是偶数。
（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
（4）若干个数相乘，如
果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都
是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若
干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是
偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数
。
（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得
奇数。奇数肯定不能被偶数整除。
（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。
2n22
因为（2n）=42=4×n，所以（2n）能被4整除；
因为（
2n+1）
2
=4n
2
+4n+1=4×（n
2
+n）+1
，所以（2n+1）
2
除以4余1。
（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。
（8）如果一个整数有奇数个约数（包括
1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；
如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数
。
练习7
1.五个奇数的和不可能等于22。
2.与例3类似，这位同学计算有错误。
3.甲胜。
提示：七个整数中，奇、偶数
的个数肯定不等，如果奇（偶）数多，那么至少有一列的
两个数都是奇（偶）数，这列的差是偶数，七个
差中有一个偶数，七个差之积必是偶数，所
以甲胜。
4.偶数。
提示：因
为这次活动是有来有往，所以总的通信数是偶数。又因为写了偶数封信的人写
信的总数是偶数，所以写了
奇数封信的人写信的总数也是偶数。因为只有偶数个奇数之和是
偶数，所以写奇数封信的人数是偶数。
5.奇数。提示：每个同学的得分都是奇数。
6.不可能。
提示：假
设在同一条直线上的红圈数都是奇数，5条直线上的红圈总数就会是奇数（奇
数乘以奇数仍是奇数）。因
为每个红圈均在两条直线上，所以按各条直线上的红圈数计算和
时，每个红圈都被算了两次，所以红圈总
数应是偶数。这就出现了矛盾。所以假设在同一条
直线上的红圈数都是奇数是不可能的。
7.提示：如果每个座位上、下午坐的都是同一个学校的学生，那么每个学校来看电影的
学生数应当是偶
数，与每所学校有1999名学生来看电影矛盾。这个矛盾说明必有上、下午
坐的是不同学校的学生的座
位。