奥数专题完全平方数
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学而思奥数网奥数专题 (数论问题完全平方数)
1、
五年级数论问题：完全平方数
难度：中难度高难度
一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
答：
2、五年级数论问题：完全平方数
难度：中难度高难度
求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方
答
3、 五年级数论问题：完全平方数
难度：中难度高难度
答：
求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数
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4、 六年级数论问题：完全平方数
难度：中难度高难度
求满足下列条件的所有自然数：
(1)它是四位数。(2)被22除余数为5。(3)它是完全平方数。
答：
5、 六年级数论问题：完全平方数
难度：中难度高难度
甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为
n元，全部卖完后，两人分钱方法
如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足
十元，轮到乙
拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(
答：
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1、五年级完全平方数习题答案：
解答：设此自然数为x，依题意可得
x-45=m^2; (1)
x+44=n^2 (2)
(m,n为自然数)
(2)-(1)可得 :
n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89
因为n+m>n-m
又因为89为质数，
所以：n+m=89; n-m=1
解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
2、五年级完全平方数习题答案：
解答：设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证
是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明
设这四个整数之积加上1为m，则
m为平方数
而n(n+1)是两个连续整数的积
，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1
是奇数。这就证明了m是一个奇数
的平方。
3、五年级完全平方数习题答案：
解答：
形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即
或
在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明 若，则
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
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若，则
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
综上所述，不可能是完全平方数。
4、六年级完全平方数习题答案：
解答：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
11｜N - 4或11｜N + 4
或
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
所以此自然数为1369, 2601, 3481,
5329, 6561, 9025。
5、六年级完全平方数习题答案：
解答:
n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。
如果完全平方数
的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即
乙最后拿的是6元，从而为平
均分配，甲应补给乙2元。
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