学游泳作文-上海大学录取分数线

关于如何学习
小学奥数
刘兵

一、 为什么要学习奥数。
要不要学习奥数一直是困绕很多家长和学生的问
题，其根本原因是很多 家长和学生不知道奥数到底学
什么，技能和思维是解决数学问题的两个重要条件，
两者相辅相成 ，只有思维，没有技能解决不了数学问
题，只有技能，没有思维也解决不好数学问题，小学
教材 注重的是学生数学技能的培养，而奥数注重的是
学生思维能力的培养。数学是锻炼思维的体操，思维能力的培养是数学学习中不可缺少的部分，可见，奥
数并不只是利益驱使下的产物。
奥 数能够比较准确地反映孩子智力的水平。在小
学阶段，如果奥数学不好，到了中学成绩就显出差别
了。有的学生小学成绩拔尖，到了初中就平平，再到
了高中就跟不上了。相反，如果奥数学得好，即使 其
它课程成绩一般，到中学了成绩会一路飙升。那些名
校小升初都要求考查奥数成绩，就是这个 原因。奥数，

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它源于教材，高于教材。更能 有效地开拓思路，启迪
思维，提高知识的运用能力。奥数体现的是孩子的智
力与潜力。对于逻辑 思维的训练，对于日后选择理工
科的学习很有必要。
学奥数可以扩大学生的眼界，打破很多学 生极易
养成的思维定势，训练学生的思维，培养学生从多个
视角去分析问题和解决问题的能力， 也有利于学生更
好的学习普通的数学，常常会让学生在“我怎么没想
到”的感叹声中不断加深对 数学的认识，在不知不觉
中取得进步。
很多家长常常提到这“奥数叫停”现象，目前，很多专家（专家未必是搞教育的）提到，学奥数的成不
了数学家，学奥数的学生只会做题，不会创造， 回答
这个问题其实很简单，学奥数的学生只会做题，不会
创造，那么不学奥数的学生就会创造了 么？事实上，
恰恰相反，很多数学家，都学过奥数，其实这种现象
是应试教育下的产物，而不应 仅仅归结在奥数的学习
上。正是因为传统应试教育的影响，缺乏思维能力是
目前学生普遍存在的 一个现象，因而，适当的思维能
力的训练对目前的学生是很有必要的。


2

而学习奥数的真正的问题是如何学和何时学的问
题。

二、何时学奥数？

思维能力的发展，必须以基本技能作为基础，因
而小学生的学习主要目标是 培养学生基本的数学技
能，过早学习奥数正如空中建楼，是不现实的，而思
维能力的培养，是数 学技能发挥的必要条件，适当培
养小学生的思维能力，也是必要的，因此，何时学习
奥数，学什 么内容不是决定于学生的年龄大小，而是
决定学生数学技能的掌握情况。

三、如何学习奥数？

小学生的数学学习目标是重点培养基本的数学技能，适当发展学生思维能力，更重要的是培养学生的
学习兴趣。
学习兴趣是什 么？如何培养学生的学习兴趣？也
是家长和学生比较困惑的问题，其实，培养学习兴趣
这个提法 比较片面，准确说应该是激发学生的学习动
机。影响学习动机的因素很多，比如教师，学习任务
等外部因素，兴趣，自主性，自我效能感，归因等内
部因素，我们说的学习兴趣只是学习动机的一个方面 。

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首先，如果学生 感到能胜任，就会产生兴趣；如
果学生感到无能为力，则会对任务兴趣索然。不基于
学生基本数 学技能的奥数课程，许多学生是无法胜任
的，这也是目前“奥数叫停”，“课程任务降低”的一个重要原因，其目的是为降低学习任务的难度，使学生能
够胜任，提高学生学习的兴趣。 但注意，并不 是学习
任务越低，学生的学习兴趣越高。我们将学习任务的
难度分为三类：一是，不经过思考就 能解决；二是，
经过一定的思考后能解决；三是，经过很长时间的思
考也不会。第一类任务可能 引起学生的枯燥感，第三
类任务可能导致学生的挫败感，这都不利于引发学生
的成就感，第二类 任务更容易带给学生自我效能感，
从而激发学习动机。所以，适当的学习难度，是可以
激发学生 的学习兴趣的，事实上，奥数能学好，即能
胜任的学生，也会对数学产生更浓厚的兴趣。小学奥
数的学习切忌盲目增加难读。

其次，即使学生起初对某门学科或活动不感兴趣，
但如果获得成功，他们也会产生兴趣。如果基于学生
的所掌握的基本技能，成绩不好的学生，也 可能因为
获得成功而对奥数产生兴趣。因此奥数的学习，不只

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是适合于“怪才”，“偏才”，只要基于学生数学技能情况
的学习，都是有益无害的。

引起兴趣和好奇心可以提高个体的唤醒水平。奥
数内容中不乏有趣，新奇的内容， 都可以引起学生的
学习兴趣和好奇心。事实上，很多伟大的科学家，取
得成功的最初都是因为对 某个问题的好奇心或兴趣。

任务价值也是小学生学习奥数过程中，影响学习动机的一个不可忽视的因素，任务价值可分为以下三
类：

1、成就价值，它 表明学生在任务中表现良好的重要性。
成就价值与个体的需要及取得成功的意义相关，比如，
一 个人想使自己表现得很聪明，并且相信测验中的高
分能表明其聪明，那么测验对其有很高的成就价值。
这也是很多学生在学习奥数后，成绩不上升反而下降
的重要原因之一，很多学生，在学习基础课 程时，有
很高的成就感，在学习奥数后，由于老师和家长的急
切心里，对学生的理解和支持不够 ，成为了奥数学习
中的“笨学生”，使学生学习的成就感丧失，导致成绩
下降，因此，好的学习 环境也是学好奥数的一个重要

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条件，奥数题 解决不了，不是基本技能出了问题，只
是思维方法不够理想，不要因此给学生过分的指责。

2、内在价值或兴趣价值，它是指个体从活动本身获得
乐趣，奥数真正培养培养学生思维能力的 ，是奥数中
原理，思维方法，大量重复的练习，可能导致学习任
务增加，使学生失去学习的乐趣 。因此，奥数的学习
应该注重原理和方法的学习。

3、效用价值，即帮助个体达 到一个短期或长期目标的
价值，如学习外语能和外国朋友交流。对小学生来说，
这方面概念较为 模糊。正确的奥数学习是以培养学生
的学习兴趣，培养学生的思维能力为目的的，以竞赛
和升学 为目的的奥数只是应试教育下的产物，一方面
不能真正起到培养思维能力的作用，另一方面可能磨
灭学生的成就感，导致学生的学习动机的丧失。

四、特色个性化奥数教育

有人问，为什么有的学生学了奥数变得很聪明，
而有学生学了奥数成绩反而更不理想呢 ？根据学生所
掌握的数学技能的不同，因材施教，这是奥数学习最
基本的前提。只有适当难得的 学习任务，才能有效激

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发学生的学习动机，培养学生的思维能力，奥数的学
习，更应该注意因材施教。
我们常常会看到这样一种现象：不少同学整天埋
头学习，习题做了好几本，资料看了一大堆，但学习成绩总是提不高，竞赛成绩不理想，这是为什么？
究其原因，就是因为没有吃透教材的 基本原理，
没有掌握解题的科学方法，吃透原理，是学好各门功
课的基本保证；掌握方法，是攻 克奥数难题的有力武
器。学习奥数的目的是锻炼学生的思维能力，奥数的
中数学原理，思维方法 ，才是培养学生思维能力的根
本，只有注重原理和方法的奥数课程，不仅能减轻学
生任务，更能 有效地培养学生的思维能力。
本中心就是期望为同学们提供最为全面、最为贴身、
最为实用 、最为有效的奥数个性化学习。以教育心理
学为指导，结合学生的认识水平，以“突出思维训练、
激发学习动机、培养解题技能，拓展实用知识”为宗旨，
根据不同学生不同学习情况，贴身制订不同的 课程和
学习任务，以培养学生的学习兴趣的目的，着重数学
原理，思维方法的讲解，在不增加学 生的学习任务的
同时，提高学生的思维能力。



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本课程由本公司精心选拔的优秀奥赛教师主讲，
讲课思路清晰顺畅， 原理讲解透彻，注重方法点拨和
思维开拓，方法灵活巧妙，启发恰到好处；既有例题
分析，又有 针对性训练，题型系统全面。











附：

一、学奥数到底有什么用 < br>目前对于绝大部分学奥数的孩子和他们的家长来
说，目的只有一个，那就是通过各种竞赛获奖从而 得
到一个上重点中学试验班的机会，这个本身是无可厚
非的，因为现在的升学制度决定了奥数已 经成为升学

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的一个重要手段。通过和家长的 一些接触我们也了解
到很多家长认为现在学奥数是权谊之计，这个东西以
后根本没用。我们认为 这个观点是有失偏颇的，虽然
我们目前学的某些内容，比如抽屉原理等，可能以后
在初中甚至高 中的课本里我们都根本不可能接触到
的，但是我们学习的其实是一些思想方法，更具体的
说，是 培养数学的素养，培养一种解决问题的能力。
实践证明，认真学过奥数的同学，对于学校的数学学
习是非常轻松的，而且到中学的时候，至少在理科方
面，那绝对是游刃有余的。

现在小学阶段在奥数班里认真学习的同学基本上
都考进了本市最好的中学，而且在班上 大部分都是拔
尖的，这里我们所说的拔尖不是单单数学一科，而是
综合成绩，因此学奥数学得比 较好的同学基本上都去
了名牌大学。为什么呢？因为小学奥数学得好，初中
的数理化基本上不用 下任何功夫，因为知识虽然是新
的，但学起来的难度比我们的奥数简单的多，而那些
没学过奥数 的同学可能就比较吃力，初中里理科占三
门课，学生们省下这三门课的时间去多背些英文单词，
多看看语文等等，学习成绩当然会比较好，学习起来
也比较轻松。

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当然，刚才说的问题可能比较长远一点，为的是
让大家明白学奥数对将来的发展是有用的，而且并不
会因此而耽误你其他科目或者兴趣的发展，奥数不是
苦差事，关键是学习的方法。下面说一下关于该怎么
学奥数的问题。

二、怎样学好奥数
经常有家长问我们：“我们的孩子刚开始接触奥
数，怎么样能快 速提高？”我们想大家都知道欲速则不
达的道理，想一举把所有内容用短短的时间全学会，
囫囵 吞枣的结果是：各个内容你可能都见过，老师提
到什么方法你可能也知道，但是给你出几个题你可能就做不出来了，这也就是为什么总有一部分同学在做
综合测试的时候一塌糊涂的原因啦。

学奥数最佳的起步时间应该是三四年级，这个时
期的启蒙教育特别重要，能 不能尽快入门，或者说“开
窍”，就看这两年啦。学奥数有诀窍吗？根据成功同学
的经验，答案 是没有。但如果非要我们说一个的话，
那就是在学奥数的时候，力求通过多做题，从而把每
一个 专题的解题规律理解透彻，并熟练掌握其解题技

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< br>巧，进而能举一反三，触类旁通。现在让我们一起分
享一下卢※辉同学（2006年全国华罗庚金 杯赛二等奖
获得者，华师附中，先烈东小学2006届毕业生）的
经验：“学奥数没有捷径，唯 一能提高成绩的方法就是
多做题，及时总结方法，然后要活学活用。世界上没
有笨人，只有懒人 。又想偷懒又想提高成绩的人，是
不可能成功的。我的经验是：星期一到星期五每天腾
出一小时 学习奥数，半小时复习以前的知识，半小时
学新的方法，然后做一些有关的练习题。上奥数课时，
要认真听讲，老师讲解的题回家后要自己再做一遍。
因为经常老师讲解的时候听得很明白，到了自己做 ，
能否做出来是另一回事。这样坚持下来，奥数成绩就
会提高……。”

既然做题这么重要，那么应该抱着怎样的态度去
做题呢？有的同学把做题当作一项繁重的任务来看，家长要求每天做多少自己就掰着指头做多少道题来达
到家长的要求，这样是不可取的。最正确的做题 方法
应该是抱着找出自己哪块知识有问题的想法去做，通
过做练习找出自己问题所在，再集中的 有针对性的加
强这方面的练习，达到差漏补缺的目的。


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三、家长怎样帮助孩子学好奥数。

家长都知道 孩子学习奥数是很辛苦的,但大多数
家长都不知道怎样帮助孩子。有的家长面对很陌生的
奥数题 目一筹莫展；有的家长则面对似曾相识的奥数
题目苦苦思索；有的家长则为孩子买了大量的奥数的
书籍等等。让孩子学好奥数，这是我们老师、学生和
家长共同的目标。其实为了能实现这个很难达到的 目
标，我们的家长也有很多事情要做。

（一）只要您有心，您一定能帮上自己的孩子。
有的家长自己是学文科的，根本就 没有接触过奥
数，不知道怎样帮助自己的孩子学习，所以就撒手不
管了，结果可想而知。
（二）帮助孩子树立目标，并激励他去实现。
首先我们看一看黄※阳（今年全国华 罗庚金杯赛
三等奖获得者，华师附中初一级新生，现先烈东小学
六年级毕业生）的成功经验：“ 首先要明确目标。我从
小就对数学有兴趣，兴趣是最好的学习动力，所以在
一年级时父母和老师 就帮我明确了考上华师附中的目
标。而要达到这个目标，最好先考上广州市奥校，这
样考上华师 附中的机会将会大很多。因为市奥校是一
所专门在业余时间培训奥数的学校，我从中获益良

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多……。”从以上例子我们可清楚地意识到目标对于学
生来说是非常重要的。
学生有了目标之后，我们的家长还有一个非常重
要的任务，就是激励学生、帮助学生去努力实现目标。< br>在整个奥数紧张的学习中，学生难免会疲倦，甚至会
产生厌倦的情绪。当学生疲倦的时候，让孩子 休息固
然重要，但家长更应该鼓励他，激励他坚持下去。当
学生厌倦的时候，反复的单一的说教 和批评往往很难
奏效。根据我们的经验，这时，给孩子将一些名人成
功成长的经验和学生认识的 前几届学生（亲戚朋友的
孩子）升学的经验和教训会比较有效。对于这一点，
就需要求我们家长 在生活中有意识的搜集这一方面的
信息。
（三）及时和老师联系，以便更好的了解自己的孩子
的学习。
有的学生家 长认为把学生交给老师就万事大吉
了，这种想法其实是很危险的。事实证明，只有学生、
教师和 家长共同的努力才能使得学生取得最大的进
步。辅导老师毕竟和学生在一起的时间有限，而且辅
导班的授课一般是根据大部分同学的水平进行授课，
如果条件允许，尽可能的选择一对一教学，真正做对
“因材施教”，因为每个学生都有自己不同的擅长的知

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识和知识缺陷，要想更好的补充学生的知识缺陷，一
是老师的引导， 再就是家长在课下的时候和学生一起
努力才行。
（四）根据自己孩子的弱项，有针对性的帮助他把弱
项变成强项；
如果是 小班教学，上课时，教师只能根据大部分
人的水平进行授课，这就决定了每个学生不同的弱项
不 可能都在课上解决，这就需要学生自己在课下自己
努力解决。而如果是“一对一”教学，一般每个学生< br>的弱项教师都会通过上课了解并尽量及时地和家长联
系，这时家长就需要根据自己孩子的情况调其 重点学
习的方向。
（五）做好孩子的后勤保障工作；
一提到后勤保障工作，大 多数家长只是注意让孩子吃
饱穿暖，而忽略了学生的信心。家长的鼓励和平时的
言语对学生的信 心影响是很大的。家长应该多以鼓励
的话来安慰孩子，激励孩子。一句赞美的话要比一百
句批评 的话更有效。不要总是拿自己的孩子和别人的
孩子比，要多拿自己的孩子的现在和过去比，看到孩
子的进步，鼓励她去取得更大的进步。
说了这么多，希望能对同学们有所帮助，祝愿大家在
日后的奥数学习中学有所成。

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2013年7月













鸡兔同笼
学法探讨
大约在1500年前，《孙子算经》中 就记载了这个有
趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有

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三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话
的意思是：有若 干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，
有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡
和兔？
先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以
算出在假设下共有几只脚，把这样得 到的脚数与题中
给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有
一只鸡；将所差的脚数除 以2，就可以算出共有多少只
鸡。这种解题方法就是前面第十讲所介绍的假设法。
概括起来，解 鸡兔同笼问题的基本关系式是：
鸡数=（每只兔脚数×兔总数－实际脚数）÷（每
只兔子脚数－每只鸡的脚数）
兔数=鸡兔总数－鸡数
当然，也可以先假设全是鸡。
关于“鸡兔同笼”你还有什么需要补充？请你写
在下面：


例题选讲
【例1】（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，
鸡兔各几只？
【分析】如果 46只都是兔，一共应有

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4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了
184-128=56只 脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减
少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才< br>能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只
要用28只鸡去置换28只兔就行了 .所以，鸡的只数就是
28，兔的只数是46-28=18。
【解答】
【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体
会？有什么需要补充？请你写在下面：


【练习15―1】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，
数脚有44只。 问：小梅家的鸡与兔各有多少只？




【例2】鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，
问鸡与兔各多少只？
【分 析】这个例题与前面例题是有区别的，没有给
出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？
假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200

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（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只， 而实
际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已
知多了（200-80）=120 （只），这是因为把其中的兔换
成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔
的脚数减 少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）
=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（ 只）.有鸡
（100-20）=80（只）。
【解答】
【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体
会？有什么需要补充？请你写在下面：
【练习15―2】有鸡兔共20只，兔的脚比鸡多20
只，鸡兔各几只？



【例3】100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，
小和尚1人分1个馍。问 ：大、小和尚各有多少人？
【分析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演
变而得。如果将 大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍
看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题。
【解答】
【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体
会？有什么需要补充？请你写在下面：
【练习15―3】100个和尚分100个馒头，大和尚每
人分3个，小和尚每3人分1个。问：大、 小和尚各有
多少人？

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巧算图形的周长

一、学法探讨：
围成一个封闭图形的所有线段或曲线的长度总
和，叫做这 个图形的周长。我们已经学习了长方形和
正方形的周长，这些图形是标准图形，我们可以用公
式 直接求出周长。长方形的周长=（长+宽）×2，若用
字母C表示长方形的周长，a表示长方形的长，b 表示长
方形的宽，则长方形的周长计算公式用字母表示为：
C=(a+b)×2。正方形的周长 =边长×4，若用字母C表示
正方形的周长，a表示正方形的边长，则正方形的周长
计算公式用 字母表示为：C=a×4或C=4a。
当然，我们遇到的图形不可能全都是标准的长方
形或正 方形，有些是不标准的图形或者是组合图形，

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要求这些图形的周长时，我们要紧扣周长的概念，善
于发现图中的规律，分析复杂图形中各段边长之 间的
关系，从而巧妙地求出周长。在解决问题时，一是要
重视操作，即摆一摆、画一画；二是要 善于转化，将
不规则图形转化成规则图形，转化中可以采用线段平
移法，即不改变线段的长度， 将线段平行移动，以简
化问题。
二、例题选讲：
【例题1】 下图是一幢楼房的平面图形，请你求
出这个平面图形的周长？（单位:米）
【分析】仔细观察图形，我们发现
不能直接用长方形
2
4
1
B
2
A
4
5
1
5
或者正方形的周长公式进行计算，但是我
们知道周长的概念就
是围成这个图形6条线段的总长度，通过
观察，我们可以把A、
B两条线段进行平移（成虚线），我们发现通过平移
以后，原来
的图形就变成了一个长方形（如右图），并且长是5

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米，宽是4米。
当然本题除了应用平移的方法外，也可以用分割图形
的方法算出
周长，同学们你们可以试试看。
【解答】


【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体
会？有什么需要补充？请你写在下面：



【练习7-1】试求下图的周长(单位：厘米)。
3
6
4
5

7



【例题2】 用三个边长3分米的正方形，拼成一个
长方形（如下图），求这个长方形的

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周长？
【分析】 我们可以清楚的看到长 方形的长是由3
条正方形的边长组成，而宽是由1条正方形的边长组
成的，利用长方形的周长公 式可得长方形的周长。也
可以这样想，长方形的周长是由8条正方形的边长组
成，所以长方形的 周长为正方形一条边长的8倍。当
然也可先算出3个正方形的周长和，再去掉组合后合
并的边。
【解答】


【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体
会？有什么需要补充？请你写在下面：



【练习7-2】 用15个边长2厘米的小正方形摆成如
下图的形状，这个图形的周长是多少厘米？



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【例题3】 如下图所示，一个大正方形被分成了
三个相同的小长方形。如果每个长方形的周 长是16米，
那么这个大正方形的周长是多少米？
【分析】 我们通过观察很容易发
现，原来大正方形的上下边就是小长方
形的长，左右边是由3个长方形的宽组
成，而我们知道正 方形的边长相等，所以小长方形的
长＝3个宽的长度，而长方形的长＋宽＝16÷2＝8
（米） ，所以通过等量代换，我们可以算出小长方形
的宽是8÷4＝2（米），小长方形的长即原大正方形的< br>边长是2×3＝6（米），从而可算出大正方形的周长。
【解答】



【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体
会？有什么需要补充？请你写在下面：

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【练习7-3】 一个大正方形被分成了5个相等的长
方形（如图所示）。每个长方 形的周长都是36厘米，
求大正方形的周长是多少厘米？









和倍问题
一、基本知识与方法：
这一讲我们来讲一下生活中常见的问题之二：和
倍问题，那什么是和倍问题？和倍问题是已知大 小两
个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数类型的题

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目。为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关
系，常采用画线 段图，使数量关系直观形象，更好地
帮助我们分析理解题意，确定正确的解题方法。
和倍应用 题在解答时先确定一倍的量，将一倍的
量看做1份，将几倍的量看做几份，再用总量除以总份
数 （1份＋几份）得到1份的量。和倍问题的数量关系
式是：
① 和÷（倍数＋1）＝1倍数（即较小数）
② 和－较小数＝较大数，或较小数×倍数＝较大
数
你还有什么需要补充的，请你写在下面：




二、例题选讲：
【例题1】 毛毛和点点共有280元钱.毛毛的
钱是点点的4倍，毛毛和点点各有多少元钱？
【分析】设 点点的钱为1份，则毛毛的钱为点
点的4倍，那么毛毛和点点所有钱的和是点点的5倍。

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即5份的数量是280元，求出1份的数量也就求出 了
点点的钱数，然后再求毛毛的钱数.用下图表示它们的
关系：
点点
毛毛
280元
4倍

【解答】



【练习15－1】两个数的和是682，其中一个数的个位
是0，若把0去掉，则与另一个加数相同。这 两个数
各是多少？


【例题2】红星小学有图书120万册，洪雅小学有
图书30万册，红星小学给洪雅小学多少万册，红星小
学的图书是洪雅小学的2倍？
【分析】通过题目我们可知，红星、洪雅小学的
图书总和是不变的。最后要求红星图书是洪雅图书的2< br>
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倍，那么红星、洪雅两校图书总和相当于洪 雅现有图
书的3倍。依据解和倍问题的方法，先求出洪雅小学现
有图书多少万册，再与原有图书 册书相比较，即可求
出正确的答案。
根据上述讲解，仿照例题1，在下面空白处画出线
段图。


【解答】

【练习15－2】妹妹有课外书22本，姐姐有课外
书38本，姐姐给 妹妹多少本后，妹妹课外书比姐姐多2
倍?



牛吃草问题

学法探讨

著名的英国数学家牛顿（1643—1727）在他的著作< br>《普通算术》中提出了一道关于牧场上的牛吃牧草的

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问题，引起大家的喜爱，后来人们称这类有趣的问题
为“牛吃草问题”也叫“牛顿问题”。
我们来看下面问题：
“一袋饲料可供10头猪吃20天，问这袋饲料可供
25头猪吃多少天？
解答这个问 题比较简单：以1头猪1天吃的饲料为
衡量饲料的数量单位（记为头·天）则这袋饲料共有
10 ×20=200（头·天），用来喂25头猪，可以喂200
÷25=8（天）
再看看下面的“牛吃草问题“：
“牧场上长满牧草，每天均匀生长（即每天都长了
同 样多的新草），这片牧场可供10头牛吃20天，可供
15头牛吃10天。问：供25头牛可吃多少天？
我们“牛吃草问题”与前面的“饲料喂猪问题”比
较，牛吃草问题要复杂得多，原因是：袋中的 饲料的
数量是固定不变的，10头猪在20天恰好吃完袋中的
饲料，但牧场上的草每天都在生长 ，10头牛在20天
中不但吃完了牧场上现有的草，而且吃完了这20天中
长出来的新草。它与 15头牛10天中的吃的草的数量
并不一致。草的数量随天数而改变增加了问题的难度
这也正好 是这类问题的魅力所在。
本讲讨论“牛吃草问题”的基本类型以及它的变型。

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解答这类问题的关键是从变化中找到不变的量，即
求出每天长出新草的数量和原有的草量。 < br>解题时通常都是把一个个体（1头牛）在1个时间
单位（1天）内完成的工作量（所吃的草）作为 衡量
牧草（或其它物体）的数量单位。从而逐步弄清：
1、原有的初始工作量是多少。
2、每个时间单位均匀增加的份额是多少。
3、把参加完成工作者分成两部分，一部分解决原
始工作量，另一部分解决均匀增长的工作量。
4、原始工作量完成之时，均匀增长也同时停止。

关于“牛吃草的问题”你还有什么需要补充？请写
在下面。





例题选讲




【例题1】牧场上现有牧草的数量为120（头·天），

29

而每天长出新草的数量为2（头·天）。
问：（1）这片牧场可供10头牛放牧多少天？
（2）要在这片牧场上放牧10天，可以放牧多
少头牛？
【分析】这是个简化了的“牛吃草问 题”，因为每
天长出新草的数量为2。恰够2头牛每日食用。如果
只放牧2头牛，则牧场上的草 量不会改变，保持平衡。
因此我们只要设想从放牧牛的总数中分出2头牛专吃
每天长出的新草， 那么问题就转化为草的数量固定不
变了。这样便可按通常的方法求出问题的解答。
【解答】





【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体
会？有什么需要补充？请你写在下面：



【练习19-1】某牧场现有牧草的数量为100

30

（头·天），牧场每天长出的新草数量为1（头·天），
问：
（1）这块牧场可供6头牛放牧多少天？
（2）要在这片牧场上放10天，可以放牧多少头
牛？

【例题2】牧场上 云满牧草，每天匀速生长，这片牧
场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问：
（1） 这片牧场可供25头牛吃多少天？
（2） 这片牧场可供多少头牛吃25天？ 【分析】要求出牧场上现有牧草的数量，以及每天
长出新草的数量，我们可以通过比较问题中给出的 两
个条件来求：
10头牛20天所吃的草的数量为：10×20=200
（头·天）
15头牛10天所吃的草的数量为：15×10=150
（头·天）
两相比较可知， 10天中长出的新草的数量主：
200-150=50，在而每天长出的新草的数量为：50÷
10=5，故牧场上现有牧草的数量主：200-5×20=100
（或150-5×10=100）， 于是问题就可按例1的方法
求解。

31

【解答】





【体会】通过本题学习我们 看到求出牧场原有牧草
的数量及每天长出新草的数量是解“牛吃草问题”的
关键。你还有什么体 会？请写在下面。



【练习19-2】一片草地，每天都匀速长出青草 ，这
片青草可供27头牛吃6天或23头牛吃9天，那么这
片草地可供21头牛吃几天？



“牛吃草问题”与追及问题
与行程问题中的追及问题比较， 我们会发现牛吃草
问题与追及问题本质上是类似的。许多牛一同吃草，
牧草“消耗”的速度较快 ，而牧草生长的速度较慢，

32

赶不上“消耗 ”的速度，所以牧草终究被牛吃完；正
如乙在前面跑，甲在后面追，甲的速度比乙快，乙终
究被 甲追上。我们解下面追及问题并且与牛吃草问题
进行比较，可以加深对这两类问题及其内在联系的理解
问题：甲、乙两人赛跑，乙在前面跑，甲在后面追。
若甲每秒跑8米，则30秒可追上 乙；若甲每秒跑9
米，则24秒可追上乙。
问：（1）若甲每秒跑10米，多少时间可追上乙？
（2）若甲在15秒时追上乙，他每秒应跑多少米？
解：如图所示：
甲30秒追上乙：8×30=240
甲24秒追上乙：9×24=216

甲在30秒中跑过的路程为：8×30=240米；甲在
24秒中跑过的路程为：9×24=216米 。两相比较，可
知乙在30-24=6秒中跑过的路程为：240-216=24米，
所以乙的 速度为：24÷6=4（米秒）；甲、乙之间原有
的距离为240-4×30=120（米）
（1）若甲每秒跑10米，则可以设想他用每秒4米
“抵消”乙的速度，而用每秒6米“缩短”甲、乙之
间原有的距离，所以甲追上乙所需的时间为：120÷

33

（10-4）=120÷6=20（秒）
以上追及问题的解答和我们本讲所举例说明的牛
吃草问题的解答其思路完全一样。









整数的巧算
学法探讨
在进行整数的加、减、乘、除四则运算时，为了
提高计算速度和计算的准确 性，常常要灵活地应用四
则运算的运算定律和运算性质，如交换律、结合律、
分配律等。应用四 则运算的运算定律和运算性质，有
时要先对算式进行适当地变形。这些都是提高整数计
算速度和 准确性必须具备的能力。四年级同学常用的
“巧算”方法有“凑整”、“找规律”等。
我们一起来将小学阶段学过的运算定律和运算性

34

质整理一下：
加法、乘法交换律：a+b=b+a；a×b=b×a。
加法、乘法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)，（a×b）
×c=a×(b×c)。
乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c。
减法的性质：a－b－c=a－（b+c）。
除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c)，
去（添）括号（带着符号搬家）：a－(b－c)=a－b
＋c=a＋c－b a÷(b÷c)=a÷b×c=a×c÷b。
关于“整数的巧算”你还有什么需要补充？请你
写在下面：




例题选讲
【例1】计算：32+17+68+83。
【分析】观察算式 发现32与68可以凑成100，17
和83也可以凑成100。因此利用加法的交换律与结合
律，我们可以用“凑整”法来解答。
【解答】


35

【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体
会？有什么需要补充？请你写在下面：




【练习1―1】计算42+71+85+29+58。




【例2】计算：2134-1568+568-45-55。
【分析】四则混合运算中，括号 的运用是非常广
泛的，通过添加和去除括号，我们也可以达到“凑整”
的目的。
【解答】




36

【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体
会？有什么需要补充？请你写在下面：




【练习1―2】计算：9586－586－1197+197－
1003+3。





【例4】计算：1111×1111。
【分析】找规律：1×1＝1，11×11＝121，111
×111＝12321，……
【解答】





37

【体会】在解决这个问题的过程中，你有什么体
会？有什么需要补充？请你写在下面：




【练习1―4】计算：22222×22222（1997年我爱
数学夏令营计算竞赛试题）。









一些特殊数字的巧算
数学是奇妙的，也是富有规律的，在遇到一些特
殊数字的计算时，我们要 充分运用这些数字自身独特
的规律与技巧，使计算更加方便、快捷、准确。

38

十几乘以十几的巧算：
方法：任何两个“ 十几”的数相乘，他们的积都
是把一个乘数加上另一个乘数的个位写在前面，再把
两个乘数的个 位相乘的积写在后面，满十要进位，简
单的可以记作：先加后乘。


个位相乘结果写在后面
例如：① 12 × 13 ＝ 15 6


解题步骤：先是12＋3＝15放前，再将2×3＝6放
后，最后连写，所以结果为：156。

对于两个相同的并接近整百或整千数的巧算：
如果两个数接近整百数，再利用上面 介绍的方法
来算就显得有些复杂了，既然接近整百数，我们是否
能借鉴它们的整百数的特点来解 决它呢？当然可以，
这里再介绍一种方法“补数法”，当然它不仅可以解

相加结果写在前面
39

决两个两位数相乘，对接近整千的三位数相乘，不用
竖式，同样可以直接得出正确答案。 方法：任何两个相同的数相乘，自己减去自己的
补数，写在前面，补数乘补数写在后面，如不足两位 ，
在十位上添“0”。
例如：① 98 × 98 ＝ 96 04


解题步骤：98的补数是2，一是自己减去补数，即
98－2＝96；二是补数自己乘自己2× 2＝4，然后连写，
所以结果为：9604。
我们再举一个三位数的例子，看看吧。
② 988 × 988 ＝ 976 144


解题步骤：988的补 数是12，一是自己减去补数，
即998－12＝976；二是补数自己乘自己12×12＝144，< br>然后连写，所以结果为：976144。

98－2
补数2×2
988－12
补数12×12
40

找规律
【例题1】观察下面的数列，找出其中的规律，并
根据规律，在括号中填上合适的数：
① 2、5、8、11、（ ）、17、20，……
② 19、17、15、13、（ ）、9、7，……
【分析】①不难发现，从第2项开始，每一 项减去
它前一项所得的差都等于3，也就是说每相邻两项的
差是3。接下来括号中应填什么数应 该难不倒你了。
② 我们也不难发现，每相邻两项的差都是2，括
号里应填什么数请你完成。
【解答】


【体会】综合例题1中的①、②可知：数列①中，
随 项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列①
是递增的；数列②中，随项数的增大，每一项的值却< br>依次减小，即数列②是递减的，但是除了上述的不同

41

点之外，这两个数列都有一个共同的特点：相邻两项
的差都是相等的 ，也可以说成相邻两项“等差”，我
们把类似这样的数列，称为等差数列。
【练习5－1】观察下面的数列，找出其中的规律，
并根据规律，在括号中填上合适的数：
9、13、17、（ ）、25、……


【例题2】观察下面的数列，找出其中的规律，并
根据规律，在括号中填上合适的数：
① 1、3、9、27、（ ）、243，……
② 64、32、16、8、（ ）、2，……
【分析】数列①中，我们发现从相邻两项的差是
看不出规律的，但是从第2项开 始，每一项都是其前
一项的3倍，即：3＝1×3，9＝3×3，27＝9×3，接
下来，括号 中应填什么数请你完成。
数列②与①类似，从第1项开始，每一项是其后
一项的2倍，接下来 ，括号中应填什么数请你完成。
【解答】

42

【体会】综合例题2中的①、②可知：数列①是递增
的数列，数列② 是递减的数列，但它们都有一个共同
的特点：相邻两项的商都是相等的，像这样的数列，
我们把 它称为等比数列。在以后的学习中，我们会学
习有关等比数列的知识。
【练习5－2】观察下面的数列，找出其中的规律，
并根据规律，在括号中填上合适的数：
4、12、36、（ ）、324、，……


加法原理

我们先看下面的问题：
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还
可 以乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有2班，轮
船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙< br>地共有多少种不同的走法？
因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走
法，乘轮船 有3种走法，每一种走法都可以从甲地到
达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到一
地 共有
4＋2＋3＝9
种不同的走法。
一般地，有如下原理：
加法原理 做一件事，完成它可以有n类办法，在
第一类办法中有
m
种不同的方法，在第二类办法 中有
m
种不同的方法，……，在第n类办法中有
m
种不同的
1
2
n

43

方法。那么完成这件事共有
Nmmm
种不同的方
法。
应用加法原理的关键是分类，即将所有计数对象依
据同一标准，分为不重、不漏的若干类。
应用加法原理的解题步骤是：
12n


例1．有人顺序写数1，2，3，…9，10，11，…一直
写到1000一共写了多少个0？


例2．1995的数字和是1＋9＋9＋5＝24。问：小于2000
的 四位数中数字和等于24的共有多少个？





乘法原理
我们先看下面的问题：由A村去B村的道路有3
条，由B村去C村的道路有2条（图 15-1）。从A村
经B村去C村，共有多少种不同的走法？

44

这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3
种走法中 的每一种走法到达B村后，再从B村到C村
又有2种不同的走法。因此，从A村经B村去C村共
有3×2＝6种不同的走法。
一般地，有如下原理：
乘法原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤：
做第一步有m
1
种不同的方法，
做第 二步有m
2
种不同的方法，做第n步有
m
种不同的
方法，那么完成这 件事共有
Nmmm

种不同的方法。
应用乘法原理的关键是分 步，即将一个复杂的过
n
12n
程分解为若干个连接进行的简单过程。分步时要注意< br>其合理性，各步骤顺次完成后就完成了原事件。
应用乘法原理的解题步骤是：


例1．某条铁路上共计有八个车站。
（1）问这些车站间共有多少种普通客票？
（2）假如任两站间的票价互不相同，问这八站之

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间有多少种票价？
例2．如图15-2，从A经P到B，沿着最短路线
走，共有多少种不同路线？









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