少先队入队申请书-自我评定

2014级奥数培训学案
第四讲 函数的概念和性质
第一节 函数的相关概念
【基础知识】
1．函数的定义
函数的三要素 ：对应法则
f
、定义域A、值域

f(x)|xA

.
(1)求定义域
（2）解析式
①
换元法
已知
f


g

x



的表达式，求
f(x)
的表达式

②
待定系数法
已知所求函数的类型（如：一次、二次函数、反比例函数）
③
代换法
已 知
f(x)
的解析式，求
f


g

x< br>


的解析式
④基本不等式

⑤
构造方程组
已知条件是含有
f(x)
及另外一个函数的等式，可 抓住等式的特征
对等式的进行赋值，从而得到关于
f(x)
及另外一个函数的方程组
(3)值域 方法有单调性法、配方法
f(x)ax
2
bxc(a 0)
、换元法
ax
bx
2
yaxb
y
c x
、不等式法
d
c
(bc0)
、判别式法(
ydxexc
axbxc
2
2
).
2． 反函数，若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f
-1
: A→B叫原函
数的反函数，通常写作y=f
-1
(x).求反函数的过程是：①在解析 式y=f(x)中反解x得x=f
-1
(y)，
②将x， y互换得y=f
- 1
(x)，③指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y=
反函数是y=1-
3.分段函数
4：复合函数
gx
如果
yf

u

,ug

x

，那么
yf

< br>g

x



叫做
f
和
g
的复合函数，其中

为内
1
x
1
1x
的
(x

0). 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称．
函数，
f

u

为外函数。
注意：
g(x)的值域是f(x)的定义域的子集

【课前练习】

x1 x0


1

< br>
1、已知
f

x



0 x0
，则
f

f



。


2



x1 x0

2、：求下列函数的定义域，并用区间法表示：
（1）
f(x)
x3x4
x12
2
（2）
f(x)
1
1
1
1
1
x

3、：求下列函数的解析式：

2014级奥数培训学案
(1)、若
f

x


x1
x
，则方程
f

4x

x
的根是
(2)、若
f(x1）x2x
,则
f(x)
=___________ __
(3)、已知f(x)是一次函数, 且
f


f

x



4x1
, 求
f(x)
的解析式。
4. 函数y=
x1
【典例
】
x1
， x∈(1， +∞)的反函数是_______．
例1 (1) 当x为何值时，
lglglglglglgx
才有意义.
（2）若log
4
(x+2y)+log
4
(x-2y)=1，则∣x∣-∣y∣的最小值是 。




例2. 求下列函数的解析式:
（1）已知< br>f(x)
满足
2f(x)f(
1
)3x
，求
f( x)
；
x
（2）若
3f

x1

2 f

1x

2x
，求
f(x)
.




例3. 求下列函数的值域:
⑴
y
2x5
13x
3x
x4
2
(2)
y
2x5
13x
2

x

1,4


⑶yx
xx1< br>xx6
2
2
x3x2

2
（4）
y





（5）
y
xx2
x1
2
（6）
y

2014级奥数培训学案
例4.已知
f(x)(
x1
x1
)(x1)
.
2
（1）求
f(x)
的反函数；

11

上的每一个
x
都成立，求
m
的取值

4
,
2


（2）若不等式
(1
范围.

x)f
1
(x)m(mx)
对
作业
一、填空题
1. 已知
f
1
2
x
2

x

axbx
，
c
若
f

0

0
，且
f

x1

f

x

x1
，则
f(x)

2
1
2
x
。
2.
yx1x
的值域为_______________
。
3. 当
x

3,1

时，函数
y
13x
2x1
的值域
4. 设
f(x)
满足
3f

x

2f

1


4x
，则
f(x)
。


x

二、解答题
1、（1）若函数
yf(x)
的定义域为[1，1]，求函数
yf(x
x
1
4
)f(x 
1
4
)
的定义域。
（2）已知函数
f(x)
的 定义域为[－1，1]，求
f(ax)f()
的定义域，其中
a
＞0。 < br>a
2、已知函数
f

x

ax2ax
2
1
a
的定义域是
R
，则
a
的取值范围是 。
2
3．已知集合
Ayyx2x3,x2
，当
xA
时，求函数
y

2x
3x1
的值域
4.设
f(x)x2txt,x

1,1

,求


f(x)
max


min
.
2