奥数之循环小数
成都理工大学专科-爱与责任演讲稿
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而
循环小数又分为
纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化
成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、
混循环小数呢？我们先看
下面的分数。
（1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，
化
因为40=2
3
×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。
（2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和
5。
（3）中的分数
都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数
2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环
小数中的不循环部分
的位数与
5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。
于是我们得到结论：
一个最简分数化为小数有三种情况：
（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化
成有限
小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个
数的个数；
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能
化成纯循环小数；
（
3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，
那么这个分数一定能化成混循环小数
，并且不循环部分的位数等于分母
中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
例1判断
下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小
数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能
化成混循环小数的，不循环
部分有几位？
分析与解：上述分数都是最简分数，并且
32=2
5
，21=3×7，250=2×5
3
，78=2×3×13，
117=3
3
×13，850=2×5
2
×17，
根据上面的结论，得到：
不循环部分有两位。
将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可
能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法
就不一定清楚了。我们
分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环
小数化成分数的方法。
1.将纯循环小数化成分数。
将上两式相减，得将上两式相减，得
从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。
纯循环小数化成分数的方法：
分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9
的个数与循环节的位数相同。
2.将混循环小数化成分数。
将上两式相减，得
将上两式相减，得
从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。
混循环小数化成分数的方法：
分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所<
br>组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，
末几位数字都是0，其
中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循
环部分的位数相同。
掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数的
运算了。
例6
计算下列各式：