奥数数字数位问题
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三．数字数位问题
1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数
123456789.....2005,
这个多位数除以9余数是多少?
解：
首
先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那
么这个数也能被9整除；如果
各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就
是这个数除以9得的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19，20~29…
…90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的
数字之和就是10+20+30+…
…+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500
同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位上的数字之和
可以被9整除（这
里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少
2
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
2的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。
2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于
B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B =
100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100
3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 +
C16的近似值市6.4,那么它的准确
值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈1
02.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整
数，可能是102，也有可能是
103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375
4．一个三位数的各位数字之和是17
.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个
三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,
则新的三位数比原三位
数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程1
00a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。
5．
一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原
来的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。
6
．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和
恰好是某自然数的平方,
这个和是多少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。
7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法
加横线，请将整
个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142
8．有一个四位数
,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,
如果个位数字与百位数字互换,千位
数字与十位数字互换,新数就比原数增加
2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。
9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数
除以个位数字与十
位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以
10．如果现在
是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟
之后的时间将是几点
几分?
答案是10：20
解：
（28799……9（20个9）+1）6024
整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是
10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是1
0：20