金吉拉猫-一去二三里教案

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第一讲 因式分解(一)
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应
用于 初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法
灵活，技巧性强，学习这些方法与技 巧，不仅是掌握因式分解内容所必需
的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十 分独
特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组
分解法和十字相乘 法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解
的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即
为因式分解中常用的公式，例如：
(1)a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)；
(2)a
2
±2ab+b
2
=(a±b)
2
；
(3)a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)；
(4)a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)．
下面再补充几个常用的公式：
(5 )a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ca=(a+b +c)
2
；
(6)a
3
+b
3
+c
3
-3abc=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca)；
(7)a
n
-b
n
=(a-b)( a
n-1
+a
n-2
b+a
n-3
b
2
+ …+ab
n-2
+b
n-1
)其中n为正整数；
(8)an
-b
n
=(a+b)(a
n-1
-a
n-2
b+a
n-3
b
2
-…+ab
n-2
-b
n-1< br>)，其中n为偶数；
(9)a
n
+b
n
=(a+b)( a
n-1
-a
n-2
b+a
n-3
b
2
- …-ab
n-2
+b
n-1
)，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指
数、符号等正确恰当地选择公式．
例1 分解因式：
(1)-2x
5n-1
y
n
+ 4x
3n-1
y
n+2
-2x
n-1
y
n+4；
(2)x
3
-8y
3
-z
3
-6xyz；
(3)a
2
+b
2
+c
2
-2bc+2ca-2ab；
(4)a
7
-a
5
b
2
+a
2
b
5
-b
7
．
解 (1)原式=-2x
n-1y
n
(x
4
n
-2x
2
n
y
2
+y
4
)
=-2x
n-1
y
n
[(x
2
n
)
2
-2x
2
n
y< br>2
+(y
2
)
2
]
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=-2x
n-1
y
n
(x
2
n
-y
2
)
2

=-2x
n-1
y
n
(x
n
-y)
2
(x
n
+y)
2
．
(2)原式=x
3
+(-2y)
3
+(-z)
3
-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x
2
+4y
2
+z
2< br>+2xy+xz-2yz)．
(3)原式=(a
2
-2ab+b
2
)+(-2bc+2ca)+c
2

＝(a-b)
2
+2c(a-b)+c
2

=(a-b+c)
2
．
本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：
原式=a
2
+(-b)
2
+c
2
+2(-b) c+2ca+2a(-b)
=(a-b+c)
2

(4)原式 =(a
7
-a
5
b
2
)+(a
2
b
5
-b
7
)
=a
5
(a
2
-b
2
)+b
5
(a
2
-b
2
)
=(a
2
-b
2
)(a
5
+b
5
)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a
4
-a
3
b+ a
2
b
2
-ab
3
+b
4
)
=(a+b)
2
(a-b)(a
4
-a
3
b+a
2
b
2
-ab
3
+b
4
)
例2 分解因式：a
3
+b
3
+c
3
-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．
分析 我们已经知道公式
(a+b)
3
=a
3
+3a
2
b+3ab
2+b
3

的正确性，现将此公式变形为
a
3
+b
3
=(a+b)
3
-3ab(a+b)．
这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．
解 原式=(a+b)
3
-3ab(a+b)+c
3
-3abc
=［(a+b)3+c
3
］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c) ［(a+b)
2
-c(a+b)+c
2
]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc- ca)．
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说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结
论，例如：我们将公式(6)变形为
a
3
+b
3
+c
3
-3abc




显然，当a+b+c=0时，则a
3
+b< br>3
+c
3
=3abc；当a+b+c＞0时，则a
3
+b3
+c
3
-3abc
≥0，即a
3
+b
3+c
3
≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．
如果令x=a
3
≥0，y=b
3
≥0，z=c
3
≥0，则有

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
例3 分解 因式：x
15
+x
14
+x
13
+…+x
2
+x+1．
分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x
15
开始， x的次数
顺次递减至0，由此想到应用公式a
n
-b
n
来分解．
解 因为
x
16
-1=(x-1)(x
15
+x
14
+x
13
+…x
2
+x+1)，
所以

说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，< br>这一技巧在等式变形中很常用．
2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的 逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简
常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相 互抵消为
零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，
即把多项式中 的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合
相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆 项、添项的目的是使多项式
能用分组分解法进行因式分解．
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例4 分解因式：x
3
-9x+8．
分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，
注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x
3
-9x-1+9
=(x
3
-1)-9x+9
=(x-1)(x
2
+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x
2
+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x
3
-x-8x+8
=(x
3
-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x
2
+x-8)．
解法3 将三次项x
3
拆成9x
3
-8x
3
．
原式=9x
3
-8x
3
-9x+8
=(9x
3
-9x)+(-8x
3
+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x
2
+x+1)
=(x-1)(x
2
+x-8)．
解法4 添加两项-x
2
+x
2
．
原式=x
3
-9x+8
=x
3
-x
2
+x
2
-9x+8
=x
2
(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x
2
+x-8)．
说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法 分解因式时，要拆哪些
项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变
换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
例5 分解因式：
(1)x
9
+x
6
+x
3
-3；
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(2)(m
2
-1)(n
2
-1)+4mn；
(3)(x+1 )
4
+(x
2
-1)
2
+(x-1)
4
；
(4)a
3
b-ab
3
+a
2
+b
2
+1．
解 (1)将-3拆成-1-1-1．
原式=x
9
+x
6
+x
3
-1-1-1
=(x
9
-1)+(x
6
-1)+(x
3
-1)
=(x
3
-1)(x
6
+x
3
+1)+(x
3-1)(x
3
+1)+(x
3
-1)
=(x
3
-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x
2
+x+1)(x
6
+2x
3
+3)．
(2)将4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m
2
-1)(n
2
-1)+2mn+2mn
=m
2
n
2
-m
2
-n
2
+1+2mn+2m n
=(m
2
n
2
+2mn+1)-(m
2
-2mn+n
2
)
=(mn+1)
2
-(m-n)
2

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3)将(x
2
-1)
2
拆成2(x
2
-1)
2
-(x
2
-1)
2
．
原式=(x+1)
4
+2(x
2
-1)
2
-(x
2
-1)
2
+(x-1)
4

=［(x+1)
4
+2(x+1)
2
(x-1)
2
+(x- 1)
4
]-(x
2
-1)
2

=［(x+ 1)
2
+(x-1)
2
]
2
-(x
2
-1 )
2

=(2x
2
+2)
2
-(x
2
-1)
2
=(3x
2
+1)(x
2
+3)．
(4)添加两项+ab-ab．
原式=a
3
b-ab
3< br>+a
2
+b
2
+1+ab-ab
=(a
3
b-ab
3
)+(a
2
-ab)+(ab+b
2
+ 1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b
2
+1)
=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b
2
+1)
=[a(a-b)+1](ab+b
2
+1)
=(a
2
-ab+1)(b
2
+ab+1)．
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说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不
易想到添加+ab-ab，而且添加项 后分成的三项组又无公因式，而是先将前
两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会 到拆项、
添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．
3．换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并
用一个新的字母替代这个整体来运算 ，从而使运算过程简明清晰．
例6 分解因式：(x
2
+x+1)(x
2
+x+2)-12．
分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们
不妨将x
2
+x看作一个 整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y
的二次三项式的因式分解问题了．
解 设x
2
+x=y，则
原式=(y+1)(y+2)-12=y
2
+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x
2
+x-2)(x
2
+x+5)
=(x-1)(x+2)(x
2
+x+5)．
说明 本题也可将x
2< br>+x+1看作一个整体，比如今x
2
+x+1=u，一样可以
得到同样的结果， 有兴趣的同学不妨试一试．
例7 分解因式：
(x
2
+3x+2)(4x
2
+8x+3)-90．
分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．
解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x
2
+5x+3)(2x
2
+5x+2)-90．
令y=2x
2
+5x+2，则
原式=y(y+1)-90=y
2
+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x
2
+5x+12)(2x
2
+5x-7)
=(2x
2
+5x+12)(2x+7)(x-1)．
说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．
例8 分解因式：
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(x
2
+4x+8)2+3x( x
2
+4x+8)+2x
2
．
解 设x
2
+4x+8=y，则
原式=y
2
+3xy+2x
2
=(y+2x)(y+x)
=(x
2
+6x+8)(x
2
+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x
2
+5x+8)．
说明 由本题可知，用换元法分 解因式时，不必将原式中的元都用新
元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可 以一
起变形，换元法的本质是简化多项式．
例9 分解因式：6x
4
+7x
3
-36x
2
-7x+6．
解法1 原式=6(x
4
+1)＋7x(x
2
-1)-36x
2

=6［(x
4
-2x
2
+1)+2x
2］+7x(x
2
-1)-36x
2

=6[(x
2
-1)2+2x
2
]+7x(x
2
-1)-36x
2

=6(x
2
-1)
2
+7x(x2
-1)-24x
2

=[2(x
2
-1)-3x］［3(x
2
-1)+8x]
=(2x
2
-3x-2)(3x
2
+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
说明 本解法实际上是将x
2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代
替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代 替整体．
解法2


原式=x
2
[6(t
2
+2)+7t-36]
=x
2
(6t
2
+7t-24)=x
2
(2t-3)(3t+8)
=x
2
[2(x-1x)-3][3(x-1x)+8]
=(2x
2
-3x-2)(3x
2
+8x-3)

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=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
例10 分解因式：(x
2
+xy+y
2
)-4xy(x
2
+y
2
)．
分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保
持不变，这样的多项式叫作二元对称 式．对于较难分解的二元对称式，经
常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．
解 原式=[(x+y)
2
-xy]
2
-4xy[(x+y)
2
-2xy]．令x+y=u，xy=v，则
原式=(u
2
-v)
2
-4v(u
2
-2v)
=u
4
-6u
2
v+9v
2

=(u
2
-3v)
2

=(x
2
+2xy+y
2
-3xy)
2

=(x
2
-xy+y
2
)
2
．
练习一
1．分解因式：

(2)x
10
+x
5
-2；


(4)(x
5
+x
4
+x
3< br>+x
2
+x+1)
2
-x
5
．
2．分解因式：
(1)x
3
+3x
2
-4；
(2)x
4
-11x
2
y
2
+y
2
；
(3)x
3
+9x
2
+26x+24；
(4)x
4
-12x+323．
3．分解因式：
(1)(2x
2
-3x+1)
2
-22x
2
+33x-1；
(2)x
4
+7x
3
+14x
2
+7x+1；
(3)(x+y)
3
+2xy(1-x-y)-1；
(4)(x+3)(x
2
-1)(x+5)-20．
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第一讲 因式分解(一)
多项式的 因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应
用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题 的有力工具．因式分解方法
灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独
特的作用．初中数学教材中 主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组
分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上 ，对因式分解
的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即
为因式分解中常用的公式，例如：
(1)a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)；
(2)a
2
±2ab+b
2
=(a±b)
2
；
(3)a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)；
(4)a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)．
下面再补充几个常用的公式：
(5 )a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ca=(a+b +c)
2
；
(6)a
3
+b
3
+c
3
-3abc=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca)；
(7)a
n
-b
n
=(a-b)( a
n-1
+a
n-2
b+a
n-3
b
2
+ …+ab
n-2
+b
n-1
)其中n为正整数；
(8)an
-b
n
=(a+b)(a
n-1
-a
n-2
b+a
n-3
b
2
-…+ab
n-2
-b
n-1< br>)，其中n为偶数；
(9)a
n
+b
n
=(a+b)( a
n-1
-a
n-2
b+a
n-3
b
2
- …-ab
n-2
+b
n-1
)，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指
数、符号等正确恰当地选择公式．
例1 分解因式：
(1)-2x
5n-1
y
n
+ 4x
3n-1
y
n+2
-2x
n-1
y
n+4；
(2)x
3
-8y
3
-z
3
-6xyz；
(3)a
2
+b
2
+c
2
-2bc+2ca-2ab；
(4)a
7
-a
5
b
2
+a
2
b
5
-b
7
．
解 (1)原式=-2x
n-1y
n
(x
4
n
-2x
2
n
y
2
+y
4
)
=-2x
n-1
y
n
[(x
2
n
)
2
-2x
2
n
y< br>2
+(y
2
)
2
]
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=-2x
n-1
y
n
(x
2
n
-y
2
)
2

=-2x
n-1
y
n
(x
n
-y)
2
(x
n
+y)
2
．
(2)原式=x
3
+(-2y)
3
+(-z)
3
-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x
2
+4y
2
+z
2< br>+2xy+xz-2yz)．
(3)原式=(a
2
-2ab+b
2
)+(-2bc+2ca)+c
2

＝(a-b)
2
+2c(a-b)+c
2

=(a-b+c)
2
．
本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：
原式=a
2
+(-b)
2
+c
2
+2(-b) c+2ca+2a(-b)
=(a-b+c)
2

(4)原式 =(a
7
-a
5
b
2
)+(a
2
b
5
-b
7
)
=a
5
(a
2
-b
2
)+b
5
(a
2
-b
2
)
=(a
2
-b
2
)(a
5
+b
5
)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a
4
-a
3
b+ a
2
b
2
-ab
3
+b
4
)
=(a+b)
2
(a-b)(a
4
-a
3
b+a
2
b
2
-ab
3
+b
4
)
例2 分解因式：a
3
+b
3
+c
3
-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．
分析 我们已经知道公式
(a+b)
3
=a
3
+3a
2
b+3ab
2+b
3

的正确性，现将此公式变形为
a
3
+b
3
=(a+b)
3
-3ab(a+b)．
这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．
解 原式=(a+b)
3
-3ab(a+b)+c
3
-3abc
=［(a+b)3+c
3
］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c) ［(a+b)
2
-c(a+b)+c
2
]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc- ca)．
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说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结
论，例如：我们将公式(6)变形为
a
3
+b
3
+c
3
-3abc




显然，当a+b+c=0时，则a
3
+b< br>3
+c
3
=3abc；当a+b+c＞0时，则a
3
+b3
+c
3
-3abc
≥0，即a
3
+b
3+c
3
≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．
如果令x=a
3
≥0，y=b
3
≥0，z=c
3
≥0，则有

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
例3 分解 因式：x
15
+x
14
+x
13
+…+x
2
+x+1．
分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x
15
开始， x的次数
顺次递减至0，由此想到应用公式a
n
-b
n
来分解．
解 因为
x
16
-1=(x-1)(x
15
+x
14
+x
13
+…x
2
+x+1)，
所以

说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，< br>这一技巧在等式变形中很常用．
2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的 逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简
常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相 互抵消为
零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，
即把多项式中 的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合
相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆 项、添项的目的是使多项式
能用分组分解法进行因式分解．
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例4 分解因式：x
3
-9x+8．
分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，
注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x
3
-9x-1+9
=(x
3
-1)-9x+9
=(x-1)(x
2
+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x
2
+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x
3
-x-8x+8
=(x
3
-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x
2
+x-8)．
解法3 将三次项x
3
拆成9x
3
-8x
3
．
原式=9x
3
-8x
3
-9x+8
=(9x
3
-9x)+(-8x
3
+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x
2
+x+1)
=(x-1)(x
2
+x-8)．
解法4 添加两项-x
2
+x
2
．
原式=x
3
-9x+8
=x
3
-x
2
+x
2
-9x+8
=x
2
(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x
2
+x-8)．
说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法 分解因式时，要拆哪些
项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变
换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
例5 分解因式：
(1)x
9
+x
6
+x
3
-3；
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(2)(m
2
-1)(n
2
-1)+4mn；
(3)(x+1 )
4
+(x
2
-1)
2
+(x-1)
4
；
(4)a
3
b-ab
3
+a
2
+b
2
+1．
解 (1)将-3拆成-1-1-1．
原式=x
9
+x
6
+x
3
-1-1-1
=(x
9
-1)+(x
6
-1)+(x
3
-1)
=(x
3
-1)(x
6
+x
3
+1)+(x
3-1)(x
3
+1)+(x
3
-1)
=(x
3
-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x
2
+x+1)(x
6
+2x
3
+3)．
(2)将4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m
2
-1)(n
2
-1)+2mn+2mn
=m
2
n
2
-m
2
-n
2
+1+2mn+2m n
=(m
2
n
2
+2mn+1)-(m
2
-2mn+n
2
)
=(mn+1)
2
-(m-n)
2

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3)将(x
2
-1)
2
拆成2(x
2
-1)
2
-(x
2
-1)
2
．
原式=(x+1)
4
+2(x
2
-1)
2
-(x
2
-1)
2
+(x-1)
4

=［(x+1)
4
+2(x+1)
2
(x-1)
2
+(x- 1)
4
]-(x
2
-1)
2

=［(x+ 1)
2
+(x-1)
2
]
2
-(x
2
-1 )
2

=(2x
2
+2)
2
-(x
2
-1)
2
=(3x
2
+1)(x
2
+3)．
(4)添加两项+ab-ab．
原式=a
3
b-ab
3< br>+a
2
+b
2
+1+ab-ab
=(a
3
b-ab
3
)+(a
2
-ab)+(ab+b
2
+ 1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b
2
+1)
=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b
2
+1)
=[a(a-b)+1](ab+b
2
+1)
=(a
2
-ab+1)(b
2
+ab+1)．
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说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不
易想到添加+ab-ab，而且添加项 后分成的三项组又无公因式，而是先将前
两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会 到拆项、
添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．
3．换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并
用一个新的字母替代这个整体来运算 ，从而使运算过程简明清晰．
例6 分解因式：(x
2
+x+1)(x
2
+x+2)-12．
分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们
不妨将x
2
+x看作一个 整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y
的二次三项式的因式分解问题了．
解 设x
2
+x=y，则
原式=(y+1)(y+2)-12=y
2
+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x
2
+x-2)(x
2
+x+5)
=(x-1)(x+2)(x
2
+x+5)．
说明 本题也可将x
2< br>+x+1看作一个整体，比如今x
2
+x+1=u，一样可以
得到同样的结果， 有兴趣的同学不妨试一试．
例7 分解因式：
(x
2
+3x+2)(4x
2
+8x+3)-90．
分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．
解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x
2
+5x+3)(2x
2
+5x+2)-90．
令y=2x
2
+5x+2，则
原式=y(y+1)-90=y
2
+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x
2
+5x+12)(2x
2
+5x-7)
=(2x
2
+5x+12)(2x+7)(x-1)．
说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．
例8 分解因式：
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(x
2
+4x+8)2+3x( x
2
+4x+8)+2x
2
．
解 设x
2
+4x+8=y，则
原式=y
2
+3xy+2x
2
=(y+2x)(y+x)
=(x
2
+6x+8)(x
2
+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x
2
+5x+8)．
说明 由本题可知，用换元法分 解因式时，不必将原式中的元都用新
元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可 以一
起变形，换元法的本质是简化多项式．
例9 分解因式：6x
4
+7x
3
-36x
2
-7x+6．
解法1 原式=6(x
4
+1)＋7x(x
2
-1)-36x
2

=6［(x
4
-2x
2
+1)+2x
2］+7x(x
2
-1)-36x
2

=6[(x
2
-1)2+2x
2
]+7x(x
2
-1)-36x
2

=6(x
2
-1)
2
+7x(x2
-1)-24x
2

=[2(x
2
-1)-3x］［3(x
2
-1)+8x]
=(2x
2
-3x-2)(3x
2
+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
说明 本解法实际上是将x
2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代
替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代 替整体．
解法2


原式=x
2
[6(t
2
+2)+7t-36]
=x
2
(6t
2
+7t-24)=x
2
(2t-3)(3t+8)
=x
2
[2(x-1x)-3][3(x-1x)+8]
=(2x
2
-3x-2)(3x
2
+8x-3)

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=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
例10 分解因式：(x
2
+xy+y
2
)-4xy(x
2
+y
2
)．
分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保
持不变，这样的多项式叫作二元对称 式．对于较难分解的二元对称式，经
常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．
解 原式=[(x+y)
2
-xy]
2
-4xy[(x+y)
2
-2xy]．令x+y=u，xy=v，则
原式=(u
2
-v)
2
-4v(u
2
-2v)
=u
4
-6u
2
v+9v
2

=(u
2
-3v)
2

=(x
2
+2xy+y
2
-3xy)
2

=(x
2
-xy+y
2
)
2
．
练习一
1．分解因式：

(2)x
10
+x
5
-2；


(4)(x
5
+x
4
+x
3< br>+x
2
+x+1)
2
-x
5
．
2．分解因式：
(1)x
3
+3x
2
-4；
(2)x
4
-11x
2
y
2
+y
2
；
(3)x
3
+9x
2
+26x+24；
(4)x
4
-12x+323．
3．分解因式：
(1)(2x
2
-3x+1)
2
-22x
2
+33x-1；
(2)x
4
+7x
3
+14x
2
+7x+1；
(3)(x+y)
3
+2xy(1-x-y)-1；
(4)(x+3)(x
2
-1)(x+5)-20．
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