初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算
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第一讲
有理数的巧算
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关
概
念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善
于根据题
目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，
从而提高运算能力，发展思
维的敏捷性与灵活性．
1．括号的使用
在代数运算中，可以根据运算法则和运算
律，去掉或者添上括号，以此来改变运
算的次序，使复杂的问题变得较简单．
例1
计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．
例2
在数1，2，3，„，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的
最小非负数是多少？
2．用字母表示数
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
这是一个对具
体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过
程变为(a+b)(a-b)=__
_________
于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________ <
br>这个公式叫――___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的
证明过
程，可直接利用该公式计算．
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例3
计算 3001×2999的值．
练习1 计算 103×97×10009的值． 练习2
计算：
练习3 计算：(2+1)(2
2
+1)(2
4
+1)(2
8
+1)(2
16
+1)(2
32
+1)．
练习4
计算：
．
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3．观察算式找规律
例4
某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
87，91，94，88
，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，
95，
88．
例5 计算1+3+5+7+„+1997+1999的值．
2399100
例6
计算 1+5+5+5+„+5+5的值．
例7 计算：
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练习一
1．计算下列各式的值：
(1)-1+3-5+7-9+11-„-2009+2011；
(2)11+12-13-14+15+16-17-18+„+99+100；
(3)1991×1999-1990×2000；
(4)472634
2
+472635
2
-472633×472635-472634×472636；
1111
(5)
13355720092010
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(6)1+4+7+„+244；
1111
(7)
1
2
3
2000
3
333
7199
--＋－
(8)
1-
3122900
2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．
81，72，77，
83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，
7
4，85．
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第一讲 有理数的巧算答案
例1 计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．
分析
直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第
一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．
解
原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)
=211×(555+445)+(445+555)×789
=211×1000+1000×789
=1000×(211+789)
=1 000 000．
说明
加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．
例2
在数1，2，3，„，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最
小非负数是多少？
分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，„，1998<
br>之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，„，1998中有1998÷2
个奇
数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非
负数不小于1．
现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．
这启发我们将1，2，3，„，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即
(1-2
-3+4)+(5-6-7+8)+„+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=
1．
所以，所求最小非负数是1．
说明
本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．
例3 计算
3001×2999的值．
解
3001×2999=(3000+1)(3000-1)=3000-1=8 999 999．
22
例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89
，92，95，88．
分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些
数均在90上下，
所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20
个数与90
的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×
20+(-3)+1+4+(-2)
+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(
-2)
=1800-1=1799，
平均分为 90+(-1)÷20=89.95．
例5 计算1+3+5+7+„+1997+1999的值．
分析
观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两
项之和与距首末两
项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．
解 用字母S表示所求算式，即
S=1+3+5+„+1997+1999． ①
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再将S各项倒过来写为
S=1999+1997+1995+„+3+1． ②
将①，②两式左右分别相加，得
2S=(1+1999)+(3+1997)+„+(1997+3)+(1999+1)
=2000+2000+„+2000+2000(500个2000)
=2000×500．
从而有 S=500 000．
例6 计算 1+5+5
2
+5
3
+„+5
99
+5
100
的值．
分析 观
察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，
所得新和式中除个
别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．
99100
解
设S=1+5+52+„+5+5， ①
所以
23100101
5S=5+5+5+„+5+5． ②
②—①得
101
4S=5-1，
例7 计算：
分析
一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利
用如下一个关系式
来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．
解 由于
所以
说明
本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数
巧算中很常用．
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