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多位数计算


教学目标

多位数的运算在奥数计算体系里面一般都扮演难题角色，因为多位数计算不仅能体现普通数字四则运
算的 一切考法，还有自身的“独门秘籍”，那就是“数字多的数不出来”，只能依靠观察数字结构发现数字规
律的方式掌握多位数的整体结构，然后再确定方法进行解题。
多位数的主要考查方式有
1.用带省略号的描述方式进行多位数的具体值四则计算
2.计算多位数的各个位数字之和
知识点拨
1. 利用
999
k个9

一、 多位数运算求精确值的常见方法
910
k
1
，进行变形
2. “以退为进”法找规律递推求解
二、 多位数运算求数字之和的常见方法
M×
99 9...9
的数字和为9×k．(其中M为自然数，且M≤
999...9
)．可以利 用上面性质较快的获得结果．
k个9k个9
例题精讲
模块一、多位数求精确值运算
【例 1】 计算：
555333

2007个52007个3

【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将
333
乘以3凑
2007个3
出一个
999
，然后在原式乘以3的基础上除以 3，所以
2007个3
原式
5559993555（ 1000-1）3（555000-555）3

2007个52007个92007个52007个02007个52007个02007个5

55544453185185184814814815

2006个5
2007个4
668个185668个148
【答案】
185185184814814815

668个185668个148

【巩固】 计算：
888333

2007个82007个3
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将
333
乘以3凑
2007个3
出一个
999
，然后在原式乘以3的基础上除以 3，所以
2007个9

原式
88899 93888（1000-1）3（888000-888）3
2007个82007个92007个82007个02007个82007个02007个8

888711123296296295703703704

2006个8
2006个1
668个296668个037
【答案】
296296295703703704

668个296668个037

【巩固】 计算
333359049

2004个3
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 我们可以把
3333
转化为
99993
，进而可以进行下一步变形，具体为：
2004个3
2 004个9
原式
333
(1000
2004个0
359049 9999359049999919683

2004个32004个92004个 9
01)196831968300...0196831968299...998031 7

2004个0
1999个9
【答案】
1968299...99 80317

1999个9

【巩固】 计算
666
2004个6
69333...3
的乘积是多少？
2008个3
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 我们可以将原题的多位数进行
999910
k
1
的变形：
k个 9
原式=
33332333333
=
3333
239 99
2004个32008个32004个3
9

0
-
199998

2008个9
=
1999=
1999
【答案】
1999

98
（
10 00
2008个0
01
）=
199998
×
10002008个02003个92003个92003个9
979998000
2003个9< br>02
.
2003个0
979998000
2003个9
02

2003个0
【巩固】 快来自己动手算算
（11199999 9777）3
的结果看谁算得准？
2007个1
2007个92007个92007个7
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题是提取公因数和凑整的综合。 < br>原式
=[999(111777)]3=999888 3 =(10001)8883

2007个9
2007个1< br>2007个72007个92007个82007个02007个8

= (888000888)3=888711123296296 295703703704

2007个82007个02007个82006个82006个1
668个296668个037
【答案】
296296295 703703704

668个296668个037

【巩固】 计算
999888666

2008个92008个82008个6
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题着重是给大家一种凑的思想，除数 是
666
，所以需要我们的被除数也能凑出
666

2008个62008个6
这就需要我们根据乘法的性质来计算了。所以：
原式
3333422266634111 666666

2008个3
2008个2
2008个62008个1
2008个62008个6

3444
13332

2008个4
2007个3
【答案】
13332

2007个3

【例 2】 请你计算
9999991999
结果的末尾有多少个连续的零？
2008个92008个92008个9
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 同学们观察会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，可以引导学生按照两种思路给学生展开
方法一：是学生喜欢的从简单情况找规律
9×9=81；99×99=9801 ；999×999=998001；9999×9999=99980001；……
所以：
99999999980001

2008个92008个920 07个92007个0
原式
99980001+1999
1000
2007个92007个02008个9
4016个0
方法二：观察一下你会发现，两个乘 数都非常大，不便直接相乘，其中 999 很接近 1 000
于是我们采用添项凑整，简化运算。
原式
=（10001）999100099999900099 91000999

2008个02008个92008个02008 个92008个92008个02008个92008个02008个9
，

999000100100

0
200个89个20080个20401个60
所以末尾有4016个0
【答案】4016个0

【例 3】 计算
22222222
的积
1998个21998个2
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 我们先还是同上例来凑成
9999
；
k个9

2
2

99992222100001
＝
22222222＝


2222

99
1998个21 998个2

1998个9

1998个2

1998个0

1998个2

1

1

10000 14444444400004444
＝


＝


9

9
1998个4

1998个 0

1998个4

1998个4
1998个0
1
＝
4444355556
、
9
1997个4
1997个5
我们知道
444
9个4
4
能被9整除，商为：049382716．又知1 997个4，9个数一组，共221组，还剩
下8个4，则这样数字和为8×4=32,加上后面的3， 则数字和为35，于是再加上2个5，数字和为
45，可以被9整除．
4444355
能被9整除，商为；我们知道
5555
能被9整除，
8个4
9个5
商 为：061728395；这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5，而6个5和1个、6，数字和36，可以被9整除．
55556
能被9整除，商为0617284．于是 ，最终的商为：
6个5
49382728395
382795
012345 67981

7284

7284

220个个0617 28395
【答案】
493827
220个个061728395

【例 4】 计算：
345679
99个012345679
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
12345679100000181

99个000000001
9999999991000001

99个000000001
999999999999999999

10 0个999999999
【答案】
999999999999999999

100个999999999

【巩固】
34567981

【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2008年，武汉，明心奥数
【解析】 原式
(12345679100000000012345679)81

12345679100000000181

9999999991000000001

99
18个9
9

【答案】
99
18个9
9


【例 5】 求
333333...33...3
的末三位数字.
2007个3
【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式的末三位和每个数字的末三位有关系，有2007个3，2006个30，2005个300 ，
则
200732006302005300602160180601500667 701
，原式末三位数字为701
【答案】
701


模块二、多位数求数字之和

【例 6】 求
33333336666666
乘积的各位数字之和.
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 方法一：本题可用找规律方法：
3×6=18 ； 33 × 66 =2178 ；333 × 666 =221778；3333 × 6666 =22217778；……
所以：
33....366....6
22...2 177...78
，则原式数字之和
26176863

n个3 n个6
(n-1)个2(n-1)个7
原式
99999992222222

(100000001)2222222

222222200000002222222

22222217777778

所以，各位数字之和为
7963

【答案】
63


【巩固】 求111 111 × 999 999 乘积的各位数字之和。
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 观察可以发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中 999 999 很接近 1 000 000, 于是我们
采用添项凑整，简化运算。
原式=111111×(1000000-1)
=111111×1000000-111111×1
=0-111111
=9
数字之和为
9654

【答案】
54


【例 7】 如果
A333333333
，那么A的各位数字之和等于 。
2010个3
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2010年，学而思杯，5年级
10A3033033303330
，所以 【解析】
2010个39A333033
2010次
333327300
，
A3 33273009370370
668个370
370369700
，数字和为< br>2010个32006个32006个3
66810256705
.
【答案】
6705


【例 8】 若
a1515153333
，则整数
a
的所有数位上的数字和等于（ ）．
1004个152008个3
（
A
）
18063
（
B
）
18072
（
C
）
18079
（
D
）
18054

【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】选择

【关键词】2008年，第十三届，华杯赛
【解析】
a1515153333 505050
1004个152008个3
599995050505（10000< br>2008个0

01）
1004个5和1003个02008个91004个 5和1003个0
505050
1004个50
500000
2007个0
05050505505050
1003个50
50494949
100 4个49
495

1004个5和1003个0
所以整数
a
的所有数位上的数字和
100351004(49)518072
．
【答案】（
B
）
18072


【巩固】 计算
666
2004个6
66666725
的乘积数字和是多少?
2003个6
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 我们还是利用
9999100001
，来简便计算， 但是不同于上式的是不易得出凑成
999
k个9k个0k个9
9
，
于 是我们就创造条件使用：
66666666725

2004个62003个6
22
22
（
100001
）]×[×（
10000
）+1]×25
[9999
×
(99991)]25
=[×< br>3
2004个9
3
2004个9
33
2004个02004个 0
11
25
=××[2×
10000
-2]×[2×（
10 000
）+1]×25=×[4×
10000
-2×
10000
-2 ]
33
9
2004个02004个04008个02004个0
10050
=×
9999
-×
9999
=100×
1111< br>-50×
1111

9
9
4008个12004个1
4008个92004个9
=
111100555
4008个1
50
=
11110555
2004个1
50

2004个52004个 5
所以原式的乘积为
11110555
2004个1
2004+5×2004 =12024．
50
，那么原式乘积的数字和为1×
2004个5
【答案】
12024


【例 9】 试求1993×123×999999乘积的数字和为多少?
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 我们可以先求出1993×123的乘 积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是1993×123还是有点繁琐．
设1993×1 23=M，则(1000×123＝)123000是0；令M＝
abcdef

则M×999999＝M×（1000000-1）＝1000000M-M
＝
abcdef000000
-
abcdef

＝
abcdef

f1

999999
+1－
abcdef

＝
abcdef

f1

9a
 
9b

9c

9d

9e

9f

+1
＝
abcdef

f1< br>
9a

9b

9c

9 d

9e

9f1


那么这个数的数 字和为：a+b+c+d+e+(f－1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+ (9－
f+1)=9×6=54．所以原式的计算结果的数字和为54．
【答案】
54


【巩固】 下面是两个1989位整数相乘：111...11111...11
。那么乘积的各位数字之和是多少?
1989个11989个1
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 解法一：
在算式中乘以9， 再除以9，则结果不变．因为
111...11
能被9整除，所以将一个
111... 11
乘以9，
1989个11989个1
另一个除以9，使原算式变成：
9 99......99123456790......012345679
=
（1000. .....001）123456790......012345679

1989个9 共1988位数1989个0共1988位数
=
123456790............ 00123456790......012345679

共1988位数1989个0共1988位数

=
12345 6790......456789876543209......98765432

共1 988位数共1980位数
得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987 654320”及一个“12345678”和一个
“987654321”，所以各位数之和为： < br>（12345679）220（98765432）220

+
（12345678）（987654321）179 01

解法二：
1
111...11111...11999...9 9111...11999...99N
，其中N＜
999...99
9
1989个9
1989个11989个11989个91989个11989个9
所以
111...11111...11
的各个位数字之和为：9×1989=17901
1989个11989个1
【答案】
17901


【巩固】 试求
9999999...999
256个9
9999
512个9
99999
乘积的数字和为多少?
1024个9
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 设
9999999...99999999M

256个9512个9< br>则原式表示为
M999
1024个9
9
。
9
×< br>999
512个9
注意到9×99×9999×99999999×…×
999
256个9
9
＝M，
则M<10×100×100013×1000000 00×…×
1000
256个0
0
×
1000
512个0< br>0
＝
1000
k个0
0

其中k=1+2+4+8+16+…+512=1024－l=1023
即M<
10 000
，即M最多为1023位数，所以满足的使用条件，那么M与
999
1023个 01024个9
9
乘积的数字和
为1024×9=10240—1024=9216． 原式的乘积数字和为9216．
【答案】
9216


【例 10】 计算：
78978929999
结果的各位数字之和是
670个7892009个9
【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式
789789


300001



670个789

2009个0

236936936700< br>936
93
00
102

23693
6 6个9
69359102
个669
2009个0
789
个670
10211
789
66个96
各位数字之和是
23669 1859669311
=
6702114070

【答案】
14070


模块三、多位数运算中的公因式
【例 11】 （1）
2222

2008个20082009个20 092008个20092009个2008
（2）
2

41

2009个20092008个4100
【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 ⑴原式
20081000 10001
2007个0001
00012009100010001
2008个 0001
00012009100010001
2007个0001
00012 008100010001
2008个0001
0001

0

⑵原式


（20091
）
（41100）
2008个00012009个4100

（2009100010001
2008个0001

0001
）
（41
1
）
2008个0001
200941

49

【答案】⑴
0
⑵
49


【巩固】 计算（1）
220082008220092009

（2）
222302230223

【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 （1）原式
200910 00100020081000120081000100012009100010

（2）原式
(2007100010001)(223100010001)
20072239

【答案】（1）
0
（2）
9


【巩固】 计算：
333332332333332333333332

【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2005年，我爱数学夏令营
【解析】 原式
333(3323323321)332(3333333331)

333(33210010011)332(33310010011)

333332

665

【答案】
665


【巩固】 计算：
5125511512512
2008个511
512511

2008个512
【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
512（5115115111）-511(5125125121)

2009个5112009个512
5125111001001
2008个001< br>0015125115121001001
2008个001
001511< br>
5125111023

【答案】
1023


【巩固】 计算：（1998+19981998+8+…
8
）÷（1999+19991999+9…
1998个1998
1999
9
）×
1998个1999
【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算
【解析】
8
＝1998×
1

1998个19981998个1001
原式＝1998（1+10001+100010001+…
1
1998个1001
）÷［1999×
（1+10001+100010001+…
1
）］×1999＝1 998÷1999×1999＝1998.
1998个1001
【答案】
1998


【巩固】 计算：
5555566666744445666666155555

【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2004年，小学奥林匹克
【解析】 原式
555556666665555544445666666155555

(5555544445)666666100000

66666500000

【答案】
66666500000


34444444441
【例 12】 计算：
2389
。
275277527775277777777527777777775

【考点】多位数计算之提取公因式 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2008年，学而思杯，6年级
3413111313441311111131
【解析】 ，，，，
 
2752511252775255111125
3444444444131 131
，即这
9
个数都等于，

2777777777525525
原式

【答案】

279

5
31
(123
25
9)
279

5