北京八一中学-吃星星

第十七讲 神奇的数字
我们首先来玩一个数字“读心术”的小游戏：
我会在纸上写上数字XX，然后把纸扣在桌上。同学们做以下
几步：
1. 在计算器上按同一个数字3次，如555（除0外）
2. 算出三位数的和（如5+5+5=15）
3. 用这个数除以它各位数上的和（55515）
每位同学记住自己的答案，然后可以看老师游戏前写的数
字. 37
大家谈谈发现了什么？

下面一起来训练我们的大脑肌群，……解答以下谜题
慢慢的大家会发现数字的力量、美妙和振奋人心的一面。
1. 把所有美国人的头发根数全部 加起来，记着A;把所有中
国人的头发根数全部乘起来，记着B。A和B哪个大。




2. 试求数列1，4，7，10，13，……的第100项.
等差数列3，7，11，15，……的第99项是多少？
（这道题我们第7讲时讲过公式，同 学们还记得吗，现
在尽量不用已学公式，自己来找出更简单的解题规律）
公式：末项=首项+公差×（项数－1）
规律：观察各项数字(298)
各项序列： 1 2 3 4 5 N
3的倍数 3 6 9 12 3N
数列 1 4 7 10 13 3N+1

第一项不在3的倍数之中，所以我们把这组数字看成是99项，用3N+1就可以算出答
案。
第二组数据规律明显是4N-1，那么第99项就是4X99-1=395


3. 年终总结大会上，领导A发言说：“本年度公司的销售业
绩取得了可喜的成绩。我做了一 些简单的计算，从第二
季度开始，每个季度的销售总和都高于上一个季度。”领
导B发言确说： “今年公司的销售业绩不容乐观。我把每
四个月作为一个阶段，将全年划分为了三个阶段。结果
发现从第二阶段开始，每个阶段的销售总和都低于上一
阶段。”他们所说的话有可能同时成立吗？ 可能：假如12个月的销量如下：3，3，3，6，2，2，9，1，1，
12，0，0，每季度的 销量和分别是9，10，11，12，那么每四个
月的销量总各则是15，14，13
这种例子很容易出来， 先找出四个递增的数的以及3个递减的
数，使得这两组数的总和相同。
用方程组解也可：
A1+a2+a3=9 ……


4. 数字序列3，2，1，1，0，0，0非常有意思：整个序列
里面正好有3个0、2个1、1个2、1个 3、0个4、0
个5、0个6.类似的例子还有吗？让我们来探究一下。
（1）试试写下遵循此规律的4个数
1,2,1,0
2,0,2,0


（2）试试写下遵循此规律的5个数，100个呢？
（这些数字相互关联，相互制 约，如果N不算太大，通
过简单的实验和分析即可得出结论，要解决N=100时的
情况，不可 盲目尝试，我们要找规律）
2,1,2,0,0
N=6无解
N=7 3,2,1,1,0,0,0,

N=8 4,2,1,0.1,0,0,0
N=9 5,2,1,0,0,1,0,0,0
N=1O 6,2,1,0,0,0,1,0,0,0
N=100 96,2,1,0,0,0,0……0,1,0,0,0





5. 还记得小时候有一道经典的奥数题，大概是让你把两个
数字1，两个数字2，两个数字3 排成一行，使得其中两
个数字之间正好夹着1个数字，两个数字2之间夹着两
个数字，两个数字 3之间夹着3个数字。稍作尝试便可
得出正确答案:2,3,1,2,1,3。如果把逆序后的数列视着
本质相同的数列，那么上面这个答案是咱们唯一的。和
刚才一样，请考虑下面几个问题：
（1） 是否能把1，1，2，2，3，3，4，4排成一排，
使它们满足类似的要求。

4,1,3,1,2,4,3,2
（2） 是否能把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5排成
一排，使它们满足类似的要求。
不存 在，我们需要将10个数字放入10个格子内，
奇数要么都在奇数格子里，要么都在偶数格子里，
而偶数都是一奇一偶格子，而此题我们有5个奇数
5个偶数格子。无论如何我们也不能即无重复又无< br>遗漏的填满。偶数都会听话的各占一格奇偶，重点
就在奇数上，由于每对奇数只占其中一种格子， 我
们必须要有偶数对奇数。因此只有
N=3,4,7,8,11,12……即形如4M或4m- 1时，
LANGFORD数据才成立
（这个问题是由 Langford 在1958年提出的，
因此我们把满足要求的数列叫做Langford数据。）

6. 想一个九位数，它恰好由数字1到9组成，并且第一位

能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，以此类
推，一直到整个数能被整除。3816547 29（362880个组
各中的唯一答案）
（例如，123456789就符合要求，虽然1 能被1整除，
12能被2整除，123能被3整除，1234就不能被4整除
了，这个问题我们 可以用数字迷一般的推理方法解决）
设这个数为ABCDEFGHI 其实第5位E一定是5,进一步 分析,偶数位一定是偶数
（BDFH={2,4,6,8}）,奇数位一定是奇数（ACGI={1,3 ,7,9}）.继续分析,4能整除 10*C+D,故
D=2 或 6,加之8能整除 10*G+H,故D,H={2,6},所以B,F={4,8}.接着分析,3 能整除 100* D+
10 * 5+ F,所以DEF={258 ,654},ABC,GHI能被3整除 如果DEF= 258,
则,ABC={147,741},GHI={369,963},但1472589,741 2589均不能被7整除,不符合条件,故
DEF=654,B=8,H=2.又7能整除A8C654 G,故7整除（A+4C+G）,而G={3,7},如果G=3,ABC为
{189,789,981 ,987}均不满足条件,故G=7,此时ABC={183,189,381,981}中只有381符合条件 ,故
ABCDEFGHI=381654729

附：整除规律
整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除.
整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除.
整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除,那么这个数就能被3整除.
整除规则第四条（4）：最后两位能被4整除的数,这个数就能被4整除.
整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除.
整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除,那么这个数就能被6整除.
整除规 则第七条（7）：1.把个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,差是7的倍数,
则原数能 被7整除（.2）末三位与前几位的差能被7整除。
整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数,这个数就能被8整除.
整除规则第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除,那么这个数就能被9整除.
整除规则第十条（10）：若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除
整除规则第十一条 （11）：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这
个数能被11整除.11 的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!过程唯一不同的是：
倍数不是2而是1!
整除规则第十二条（12）：若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除.
整除规则 第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如
果差是13的 倍数,则原数能被13整除.如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续
上述「截尾、倍大 、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.
整除规则第十四条（14）：a 若一个整数的个位数 字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,
如果差是17的倍数,则原数能被17整除.如果差太大 或心算不易看出是否17的倍数,就需要继
续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断 为止.b 若一个整数的末三位与3
倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除.
整除规则第十五条（15)：a 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,< br>如果差是19的倍数,则原数能被19整除.如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继
续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.b 若一个整数的末三位与7
倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除.
整除 规则第十六条（16）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除,则这个
数能被23 整除
整除规则第十七条（17）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除,则这个
数能被29整除
整除规则第十八条（18）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整 除,则这个数能被73
整除
整除规则第十九条（19）：若一个整数的末四位与前面的数的差 能被137整除,则这个数能被
137整除
整除规律举例
整除规则第七条（7）： 把个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,差是7的倍数,则
原数能被7整除.
例：①147,截去个位数字后为14,用14-7*2=0,0是7的倍数,所以147也是7的倍数. ②2198,截去个位数字后为219,用219-8*2=203；继续下去,截去个位数字后为20,用
20-3*2=14,14是7的倍数,所以2198也是7的倍数.

设p=a1+a2*10+a3*10^2+...+a(n-1)*10^ (n-1)+an*10^n
q=a2+a3*10+...+a(n-1)*10^(n-2)+an*10^(n-1)-2a1
2p+q=21(a2+a3*10+...+an*10^(n-1))
又因为21=7*3,所以若p是7的倍数,那么可以得到q是7的倍数

。
被7整除：（比较麻烦一点）
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个
位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要 继续
上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚
判断为止。例如，判断133是否7 的倍数的过程如下：
13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139
是否7的 倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2
＝49，所以6139是7的倍数，余类推。





7. 想一个九位数，它恰好由数字1到9组成，并且每两个
相邻数字组成的两位数都在九九乘法表里出现过。


728163549这个答案也是唯一的。

8. (1)我 们用1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字，填入
一个3X3的方阵，要求每一行，每一列以及 对角线上的
三个数加起来结果都是一样的。这样的数字方阵就叫做
“幻方”（magic square）
2 7 6 9 5 1 4 3 8

(2)是否有可能在一个3X3的方阵中填入9个互不相同的
正整数，使得每一行， 每一列和两条对角线上的三个灵
数乘积相等？
每个数都平方，或都添O法



9.1x3x5x7x9x……x99结果的末位数是多少？
显然，整个积是5的倍数，因面末尾是0可5，所有乘
数都是奇数，积也是奇数，所以是5



10.1x2x3x……x20=24329020081？6640 000，结果能被9
整除。中间隐去的那个数字是什么？不用计算器，想办
法确定出这个数字。
（提示：用整除判定法）7，目前各位数字之各是47
为什么和是9能被9整除，方法
例：
67248
=6X10000+7X1000+2x100+4x10+8
=6x9999+6+7x999+7+2x99+2+4x9+4+8
=(6x9999+7x999+2x99+4x9)+(6+7+2+4+8)
前面的结果是9的倍数，那么剩下的也要是9的倍数



11.最后，我们来做一个大家熟悉的算术游戏---算24.
用哪四个相同的正整数能算出2 4？这样的正整数一共
有11个，你能把它们都找出来吗？注意，这里算24的
规则和平常一样 ，只允许加减乘除，可以添加括号。


3X3X3-3=24

4X4+4+4=24
5X5-55
24+(24-24)X24
12X{(12+12)}12} 12+12+12-12
22+(22+22)22
26-(26+26)26
48{(48+48)48}
(23X23+23)23
(25X25-25)25
既然说到了24，我们顺便做几个算24的谜题吧。请用
下列每组数算出24，规则和上面一样,注意可调换数字
位置但数字大小不可改，如4和4不可改为44 ：
（1）4，4，10，10 (10X10-4)4
（2）5，10，10，13 （10X13-10） 5
（3）3，7，9，13 7X9-3X13
（4）1，5，5，5 (5-15)X5
（5）3，3，7，7 (3+37)X7
（6）3，3，8，8 8(3-83)