银行从业考试真题-自荐信标题

三角形五大模型

【专题知识点概述】
本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分
知识的综合运用能力。
重点模型重温

一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
AB
s
1
a
s
2
b
如右图
S
1
:S
2
a:b
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
S
△ACD
反之，如果S
△ACD
S
△BCD
，则可知直线
S
△BCD< br>；
CD
平行于
CD
．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四
边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比 等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，
面积比等于它们的高之比．

二、等分点结论（“鸟头定理”）
1

如图，三角形AED占三角形ABC面积的




三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”）

① S
1
︰S
2
=S
4
︰S
3
或者S
1
×S
3
=S
2
×S
4

② ②AO︰OC=（S
1
+S
2
）︰（S
4
+S
3
）

211
×=
346
A
s2
B
D
s
1
O
S
3
C
S4
梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）

① S
1
︰S
3
=a
2
︰b
2

s< br>2
a
s
1
S
4
S
3
b
②S
1
︰S
3
︰S
2
︰S
4
= a
2
︰b
2
︰ab︰ab
③S的对应份数为（a+b）
2


模型四：相似三角形性质
如何判断相似
(1)相似的基本概念：
两个三角形对应边城比例，对应角相等。
(2)判断相似的方法：
①
两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；
②
两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个
2

三角形相似。

b
c
b< br>a
h
c
h
B
a
C
C
B
H< br>H
A
A
a

①
A

bch
B

C

H

② S
1
︰S
2
=a
2
︰A
2


模型五：燕尾定理
S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；
A
S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；
D
F
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；
B
E
C

【重点难点解析】

1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形
2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”
【竞赛考点挖掘】
1. 三角形面积等高成比
2. “鸟头定理”
3. “蝴蝶定理”


3

【习题精讲】

【例1】（难度等级 ※）
如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、 F、G分别
是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影
部分的面积.





B
F
C
A
E
H
D
G
【例2】（难度等级 ※） < br>如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长
是3厘米，那么图中阴影部 分的面积是____平方厘米．

E
F
A


B
C
D
【例3】（难度等级 ※）

如图，在三角形ABC中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E、F分别为
AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？







A
F
E
D
B
C
【例4】（难度等级 ※※※）
如图，在面积为 1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角
4

形AEF和三角形CDF的面积之和。







【例5】（难度等级 ※※）
如右图BE=











BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几？
【例6】（难度等级 ※）
如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明
它们的面积相等．
D
A
A
F
B
G
E
C





B
E
D
C

【例7】（难度等级 ※）
如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点， 如果AB=24厘米，BC=8厘米，
D
Z

C
Y
B
5
A

求三角形ZCY的面积．








【例8】（难度等级 ※※）
如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行， ECH
的面积是7平方厘米，求EG的长。












32
d
23
a
c
x
b
12
【例10】（难度等级 ※※）

A
如图已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边
长为10厘 米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?
E





H
G
D
F
B
C
【例11】（难度等级 ※※）

如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影 部分的面
6

积为?






【例12】（难度等级 ※※※）

如图，平行四边 形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16
厘米。求平行四边形A BCD的面积。





【例13】（难度等级 ※※※）

A
D
如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△AD F与四边形
AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.


BEC
A
F
D
【例14】（难度等级 ※※※）

如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部
B
E
C
F
分， BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之
几？







【例15】（难度等级 ※）
7

某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四 个部分，△AOB面积为1平方
千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园 陆地的面积是6.92
平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？






【例16】（难度等级 ※※）

图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积
是多少平方厘米?










【作业】

1. 如图，三角形
ABC
中，
DC2BD
，
CE3AE
，三角形
ADE的面积是20平方厘米，三角形
AB C
的面积是多少？



2. 如右图所示，在长方形内画出一些 直线，已知边上有三块面积
分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？

B
D
C
A
E
8

3. 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，
求三角形ABC的面积。



4. 如图，平行四边形ABCD ，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，
HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边
形ABCD与四边形EFGH的面积比.





H
A
G
D
F
C
B
E
1
5. 如图，在△ABC中，延长BD=AB，CE=BC，F是AC的中点，
2
若△ ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？





D
B
A
F
C
E
【例1】（难度等级 ※）
如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H
为 AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.
【分析与解】
如右图，连接
BH< br>、
HC
，由
E
、
F
、
G
分别为AB
、
BC
、
CD
三边的中点有
AE
=
EB
、
BF
=
FC
、
CG
=
CD
.
因此
S
1=
S
2，
S
3=
S
4，
S
5=
S
6,而阴影部分面积
=
S
2+S
3+
S
6，空白部分面积=
S
1+
S
4+< br>S
5.所以阴影部分
面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影
部分 面积为28.

9

【例2】（难度等级 ※）
如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3
厘米，那么图 中阴影部分的面积是____平方厘米．
【分析与解】
上排4个阴影三角形的高都等于BF，底边之和恰好为AB，他们
的面积之和为
面积
之和为
1
BFAB
；下排4个三角形的高都等于CF，底边之和恰好为CD ，他们的
2
11
CFCDCFAB
.所以阴影部分面积为:
22
1111
BFABCFABBCAB346
(平方厘米).
2222

【例3】（难度等级 ※）

如图，在三角形ABC中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E、F分别为
AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？
【分析与解】

A
F
E
D
1
首先，< br>S
ABC
BCAD24
平方厘米，而F是AC中点，
2
111
所以
S
ABF
S
ABC
.又E是AB中点， 所以
S
EBF
S
ABF
S
ABC
6< br>平方厘米.
224

B
C
【例4】（难度等级 ※※※）
如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角
形AEF和三角形CDF的面积之和。

【分析与解】
连接DE,于是 三角形AEF的面积=三角形EFD的面积，所求被转化为三角形EDC的面积。
因为F是AD中点，所 以三角形AEC的面积和三角形EDC的面积相等，设S

BDE为1
份,
则S

AEC=S

EDC为3份 因此S

ABC一共7份，
每份面积为
A
13
所以S

EDC占3份为。
77
B
E
F

C
D
10

【例5】（难度等级 ※※）
如右图BE=BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几？
【分析与解】
上图中，三角形AEC与三角形ABC的高相等，而BE=BC，于是EC= BC，
S
AEC
2


S
A BC
3
又由于三角形AED与三角形AEC的高相等，而CD=
AD=
1AC,于是
4
A
S
3
3
AC,
AED


S
AEC
4
4
A
332
所以，三角形AED的面积=×三角形AEC的面积=××三
443
1
角形ABC的面积 =×三角形ABC的面积

2

D
C
D
B
E
B
E
A
C
【例6】（难度等级 ※）
D
如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它
们的面积 相等．

【分析与解】

连接
BE

显然有
S
ABE

B
E
C
11
S
ABCD< br>，
S
ABE
S
AEGF

22
所以
S
ABCD
S
AEGF


【例7】（难度等级 ※）
如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点， 如果AB=24厘米，BC=8厘米，
求三角形ZCY的面积．
【分析与解】
D< br>Z
A
Y
B
C
S
ABCD
ABBC19 2
平方厘米
因为
Y
是
BD
中点，
Z
是< br>DY
中点，所以
111111
S
ZCY
(S
 CDB
)[(S
ABCD
)]S
ABCD
24

222228

11

【例8】（难度等级 ※※）
如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行， ECH
的面积是7平方厘米，求EG的长。
【分析与解】
d
23
a
32
c
x
b
12
11
×EG×AE +×EG×EB = 7平方厘米
22
即




1
×EG×AB=7平方厘米；EG=3.5厘米
2
A
E
H
G
D
F
【例10】（难度等级 ※※）

如图已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD
的边长为 10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少
平方厘米?
【分析与解】
连接
CF
由
ABCD
和
CEFG
都是正方形有< br>BDCDCF45

所以
BDCF
.
由平行线间距离相等知三角形
BDF
和三角形
BDC
同底等高
所以
S
BFD
S
BCD


B
C
1
S
ABCD
50

2
【例11】（难度等级 ※※）

如图，一个长方形被切成8块，其中三块 的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面
积为?
【分析与解】
12

如右图，已知
a+b+x=23+a+32+12+b
所以 x=23+32+12
x=67.

【例12】（难度等级 ※※※）

如图，平行四边形ABC D周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16
厘米。求平行四边形ABCD的 面积。
【分析与解】
BC×14=CD×16，BC：CD=16：14，
BC+CD=
7575
16
，BC=×=20
22
16 14
B
A
D
ABCD面积=14×20=280（平方厘米）



E
C
F
【例13】（难度等级 ※※※）
< br>如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边
形AECF的面积彼此相等 ，求三角形AEF的面积.
【分析与解】
F
A
D
因为△ABE、 △ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四
BEC
边形AECF的面积与△ABE、△ ADF的面积都等于正方形面积
的三分之一，也就是：

S
四 边形AECF
S
△ABE
S
△ADF

1
6 612

3
在△ABE中，因为AB＝6.所以BE＝4，同理DF＝4，因此CE＝CF＝2，
∴△ECF的面积为2×2÷2＝2．
所以
S
△AEF
S
四边形AECF
S
△ECF
=122=10
（平方厘米）．

【例14】（难度等级 ※※※）

如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，
13

BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？

【分析与解】
由
BDDC
BD=DC有
BD
11S
甲
S
ABC
32

11
BC
；由
BE3
，
AE6
，有
BEAB
.由鸟头定理有
23
151
S
ABC
，
S
乙
SABC
S
甲
S
ABC
，故
S
甲
S
乙
.
665
【例15】（难度等级 ※）
某公园的外轮廓 是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，
△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2 平方千米，△COD的面
积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的
面 积是多少平方千米？
【分析与解】
由任意四边形的蝴蝶定理有
S
AOB
S
COD
S
AOD
S
BOC

所以
S
AOD
1321.5
平方千米，故公园总面积为
1321.57.5
平方千米，人工湖面积为
7.56.920.58< br>平方千米

【例16】（难度等级 ※※）

图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积
是多少平方厘米?

【分析与解】

如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG．
设△AEG的面积为x，显然 △EBG、△BFG、△FCG的面积均为x，则△
1100
2010100
即
x
，那么正方形
3
2
400
内空白部分的面积为
4x
.
3
400800

所以原题中阴影部分面积为
2020
(平方厘米)．
33
ABF的面积为3x，
S
ABF


14