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第一讲 三角形中的心
一、重心
1.定义：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心.
2.性质：
（1）重心到顶点的距离是其到对边中点距离的2倍；
（2）重心与三角形任意两个顶点组成的三个小三角形的面积相等；
（3）重心到三角形三个顶点距离的平方和最小；
（4）设G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则
1
①
AD< br>2
(2AB
2
2AC
2
BC
2
)
4
②
G(
x
A
x
B
x
C
y
A
y
B
y
C
,)
.
33
二、外心
1.定义：三角形外接圆圆心叫做三角形的外心.
2.性质：
（1）外心是三角形三条中垂线的交点，它到三角形各顶点距离相等；
（2）设R为三角形ABC的外接圆半径，则
R
A
abc
；
4S
ABC
三、垂心
O
1.定义：三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心；
C
B
2.性质：
E
（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；
（2）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；
（3）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆；
注：（1）欧拉线：三角形的外心O、重心G、垂心H三点共直线（欧拉线），且GH=2OG． （2）欧拉公式(定理)：设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,外心与内心的距离为d,则d2
=R
2
－2Rr．
注：欧拉不等式R≥2r．
四、内心
A
1.定义：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．
2.性质：
（1）内心是三角形三条角分线的交点，即内心到三角形各边距离相等；
Pb
（2）设
BCa,ACb,ABc,
内切圆⊙I的半径为r， ⊙I切AB于点P，
AI的延长线交BC于N，交△ABC外接圆于点D，则
①
B IC90
H
c
I
abc
A
； ②DB=DI=DC； ③
S
ABC
r
；
2
2
B
N
D
a
C
五、旁心
1.定义：三角形旁切圆的圆心叫做旁心．
2.性质：
（1）旁心是三角形的一内角平分线与两外角平分线交点；
（2）设△ABC的旁切圆圆心分 别记为
I
a
,I
b
,I
c
，其半径分别记为
r
A
,r
B
,r
C
．则
11
；
I
a
I
b
I
c

1
(AC).
BI
a
C90A,BI
b
CBI
c
CA,
（对于顶角B，C也有类似的式子）
22
2
第1页

例1点A在∠KMN的内部，点B在KM上，点C在MN上，如
果∠ CBM=∠ABK，∠BCM=∠CAN，求证：△BCM的外心在AM上．





M
例2（2002第23届IMO试题）已知BC 为⊙O的直径，A为 ⊙
O上一点，0°<∠AOB<120°，D是弧AB（不含C的弧）的中点，
过O平行于DA 的直线交AC于I，OA的垂直平分线交⊙O于E，F，
D
证明：I是△CEF的内心．
E

B





例3已知在等 腰△ABC中，CD是∠BCA的角平分线，O是它的外
心．过O作CD的垂线交BC于点E，过E作C D的平行线交AB于点F，
求证：BE=FD．







C

K
B
A
N
A
C
F
I
O
C
B
F
E
O
H
A
D
第二讲 几个重要定理
一、梅涅劳斯（Menelaus）定理：设△ABC的 三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶
ARBPCQ
点的直线的交点分别为 P、Q、R，则有
1
．
RBPCQA
ARBPCQ
注：梅 涅劳斯（Menelaus）定理的逆定理也成立，即由
1
可推P、Q、R三点共线．
RBPCQA
二、塞瓦(Ceva)定理：设P
、
Q
、
R分 别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AP、BQ、CR所在
ARBPCQ
直线交于 一点，则
1
．
RBPCQA
例4（1996年全国高中数学联赛试题 ）设⊙O
1
与⊙O
2
和△ABC的三条边所在直线都相切，切点分别为
E，F，G，H，直线EG与FH交于点P，求证：PA⊥BC．

P

G

H
O
1

A
O
2



EBDCF
第2页

例5一个圆与△ ABC的三边BC、CA、AB所在直线分别相交于
A

点P与P、Q与Q、R与R，如 果AP、BQ、CR三线共点，求证：
Q
AP

、BQ

、CR

三线共点或互相平行．

R

R




B
P

三、西姆松（Simson）定理：从△ABC 的外接圆上任意一点P向
B
三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、 F，
则D、E、F共线，（这条直线叫西摩松线）．
例6(2003年IMO试题)设四边形 ABCD是一个圆内接四边形，从
P
M
点D向直线BC, CA和AB作垂线，其垂足 分别为P,Q和R，求证：
PQ=QR等价于∠ABC的平分线，∠ADC的平分线和AC这三条直线< br>相交于一点．
C





四、托勒密（ Ptolemy）定理：圆内接四边形ABCD对角线之积
等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB ·CD+AD·BC．






注：（1）逆命题成立；
（2）（广义托勒密定理）在凸四边形ABCD中，有
AB·CD+AD·BC≥AC·BD．
例7（1998年IMO预赛试题）设M，N是△A BC内部的两个
点，且满足∠MAB=∠NAC，∠MBA=∠NBC，求证：
AMANBM BNCMCN
1.

ABACBABCCACB
A
Q
P
A
Q
C
R
D
B
E
D
C
B
N

M
C

A


五、根轴定理
根轴：到任意的两个圆(不是同心圆)的幂相等的点的集合是一条直线，这条直线称为这两圆的根轴．
根轴定理：根轴是一条垂直于两圆连心线的直线．
注：若两圆相交，则根轴就是两圆公共弦所在直线；若两圆相切，则根轴就是两圆的公切线所在直线．
第3页

例8(2001年全国高中数学联赛加试试题)已知在△A BC
M
中，O为外心，三条高线AD,CE,CF交于点H，直线ED和
AB交于点M ，直线FD和AC交于点N，求证：
（1）OB⊥FD，OC⊥DE；
A
（2）OH⊥MN．

F
G

C
B

O
H
E


C
B
D

A




N


例9设⊙O与直线l相离，作OP⊥l，垂足为P，点Q
Q< br>P
l
是直线l上不同于P的任一点，过点Q作⊙O的两条切线QA，
QB，切点 分别为A，B，AB与OP相交于点K，过点P作PM
C
⊥QB， PN⊥QA，垂足分别为M，N，求证：直线MN平分
N
M
线段KP．
A
K



O

B


六、定差幂线定理
定差幂线定理：若线段PQ与MN相交于H，则PQ⊥MN的充要条件是M P
2
-NP
2
= MQ
2
-NQ
2
.
推论1 已知两点A和B，则满足MA
2
- MB
2
=k (k为常数)的点M的轨迹是垂直于的一条直线.
推论2(施坦纳定理)由△ABC所在平面上的点 A
1
,B
1
,C
1
分别向边BC,CA, AB作垂线，则 垂线共点的充要
条件的：A
1
B
2
-BC
1
2+ C
1
A
2
-AB
1
2
+B
1C
2
-CA
1
2
=0.
例10在△ABC中，AB =AC，D是BC的中点，DE⊥AC，E为垂足，F是DE的中点，求证：BE⊥AF.

A








E


F

BC
D
第4页

例11在四边形ABCD中，AB,CD的垂直平分线相交于点P，
D
AD, BC的垂直平分线相交于Q，M,N分别是AC, BD的中点，
C
P
求证：PQ⊥MN.


N

M

Q


AB


A

例12△ABC的三条高线AA
1
, BB
1
, CC
1< br>相交于点H，求证：
C
1
从A,B,C分别作B
1
C
1
,C
1
A
1
, A
1
B
1
的垂线也必相交于一点，且该
点为△ABC的外心.

H
B
1
O



B
C
A
1



D

例 13(2003年国家队集训)凸四边形ABCD的对角线相交于
A
P
点M，P,Q分 别是△AMD和△CMB的重心，R,S分别是△CMD
R
S
和△AMB的垂心，求证 ：PQ⊥RS.
M


Q


B
C

七、密克尔定理
定理1(三角形的密克尔定理)设在一个 三角形每一边所在直线上取一点，过三角形的每一顶点与两条
邻边所在直线上所取的点作圆，则这三个圆 共点.
定理2(完全四边形的密克尔定理)四条一般位置的直线形成的四个三角形，它们的外接圆共点.
例 14(2009年第35届俄罗斯)A
1
和C
1
分别是平行四
边形A BCD的边AB和BC上的点，线段AC
1
和A
1
C相
A
D
交于点P，△AA
1
P和△CC
1
P的外接圆的第二个交点Q< br>Q
A
1
位于△ACD内部，求证：∠PDA=∠QBA.

P


B
C
C
1




第5页

例15(第35届IMO) △ABC是一个等腰三角形，AB=AC，假如
（1）M是BC的中点，O是直线AM上的点，使得OB垂直于AB；
（2）Q是线段BC上不同于B和C的任意点；
（3）E在直线AB上，F在直线AC上，使得E,G和F是不同的三
个共线点.







八、帕斯卡定理
帕斯卡定理:设六边形ABCDEF内接于圆(与顶点次序无
Y
关, 即ABCDEF无需为凸六边形), 直线AB与DE交于点X,
直线CD与FA交于点Z, 直线EF与BC交于点Y. 则X、Y、
Z三点共线.将直线XYZ称做帕斯卡线.

B

A
F
B
E
Q
M
C
O
X
K
F
A
Z
E
D
N


C

M

A

C
1

Y
B
1
例16 如图,过△ABC的顶点A、B、C各作一直线使之交于一点P, 而
分别交△ABC的外接圆于A1
、B
1
、C
1
.又在外接圆上任取一点Q, 则QA
1
、
P
Q
QB
1
、QC
1
与BC、CA、 AB对应的交点X、Z、Y三点共线.

C
B
X


A
1

例17 (第48届IMO 预选题)已知△ABC 为确定的三角形, A
1
、B
1
、
Z
C
1
分别为边BC、CA、AB 的中点, P 为△ABC外接圆上的动点, PA
1
、
PB
1
、PC
1
分别与△ABC 的外 接圆交于另外的点A
2
、B
2
、C
2
.若A、B、C、A< br>2
、B
2
、C
2
是不同的点, 则直线
AA
2
、BB
2
、CC
2
交出一个三角形. 证明: 这个三角形的面积
C
不依赖于点P.
P
B
1
A
C
1
C
2
第6页 A
1
B
0
A
2
B
B
2
C0
A
0