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一元二次方程奥数题2

1．已知

、

是关于
x
的一元二次方程
x
2
(2m3)xm
20
的两个不相等的实数根，且满足
则
m
的值是


22
2．设a、b是方程x+x-2011=0的两个实数根，则a+2a+b的值为


3．若
mn2
，则
2m4mn2n1
的值为．

22
1


1

1
，
112

4．方程的解是．
(x1)(x2)(x2)(x3)3
< br>5．已知
α
、
β
是方程
x2x10
的两根，则

3
5

10
的值为


2
6．已知关于ｘ的方程（ａ－1）ｘ＋2ｘ－ａ－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数ａ有__ __个．



2
7．试确定一切有理数r，使得关于x的方程r x+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。




2
ab8

2
8．已知：a ，b，c三数满足方程组

，试求方程bx+cx-a=0的根。
2

abc82c48


22
9．方程x+ax+1=0和x－x－a=0有一个公共根，则a的值是


10、已知
x


1
2
32

x2



x1

1
5x 20000
，则的值是.
x2

11.已知
a
2
2004a10
，则
2a
2
4007a

2004
_________
.
2
a1
a
_________
。
b
12.若
ab1
，且
5a
2
2005a70
，
7b
2
2005b50
，则


13、已知方程
2x
2
2ax3a40
没有实数根，则代数式
a
2
8a162a_____
.



14.已知
ab8
，
abc
2
160
，则
abc__ ______
.



15.已知
m
2
m10
，则
m
3
2m
2
2006______ __
.





3
1
1< br>16.已知

是方程
xx0
的一个根，则
3
的 值为.
4







< br>2
17、已知是

、

方程
x
2
 x10
的两个实根，则

4
3

_______< br>




18、若关于
x
的方程




2
2axax1
只有一解，求
a
的值。

2
< br>x1
xx
x

19、若
x





11
1
，则
x
3

3
的值为 。 x
x
20、已知实数

、

满足

2
3

10
，

2
3

 10
，且

1
，则

2
3
< br>的值为 。





21、已知关于
x
的方程
ax
2
bxc0
的两根分别为
3
和 1，则方程
bx
2
cxa0
的两根为





22、实数
x
、
y
满足
x
2
xyy
2
2
，记
ux
2
xyy
2
，则
u
的取值范围是



23、已知实数
m
，
n
满足
m
2
m20090
，< br>


24、已知方程
x
2


2 k1

xk
2
20
的两实根的平方和等于11，
k
的取值是

25、设
a
，
b
是整数，方程
x
2
axb0
有一个实数根是
743
，则
ab ______
.


26、求所有有理数
q
，使得方程
qx
2


q1

x

q 1

0
的所有根都是整数。


3
111
，则

20090mn1n_____
.
2
nm
n

2 2
27、方程
x
+k
x
– 1 =0和方程
x
+
x
+k – 2 =0有且仅有一个相同的实数根，求系数k的值



2
28、关于
x
的方程2
x
-2
x
+3
m
- 1=0的两实根为
x
1
、
x
2
，且
x
1< br>x
2
>
x
1
+
x
2
-4，求
m
的范围。






22
29、关于
x
的一元二次方程(k-1)
x
-6(3k-1)
x< br>+72=0有两个自然数根，求k。




30.已知关于x的一元二次方程x-2kx+
2
1
2
k-2=0.
2
(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.
(2)设x
1< br>,x
2
是方程的根,且x
1
-2kx
1
+2x
1
x
2
=5,求k的值.




31、已知关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根。
（1）求n的取值范围；
（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值。








32、求k
为何值时，一元二次方程
x
(2k3)x2k40
，
（1）有两个异号根，且正根的绝对值较大；
（2）一根比3大，另一根比3小。





4
2
2

33、关于x的方程kx+(k+2)x+
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k的值；不存在说明理由。




34、已知
m
2
m10,n
2
n10
，且
mn1
．求


35已知< br>m
、
n
是有理数，方程
xmxn0
有一个根是
52
，则
mn
的值为_______.




36若两个方程
xaxb0
和
xbxa0
只 有一个公共根，则（ ）
A.
ab
B.
ab0
C.
ab1
D.
ab1



37是否存在某个实数
xmx 20
，使得方程
xmx20
和
x2xm0
有且只有一 个公
共的实根？如果存在，求出这个实数
m
及两方程的公共实根；如果不存在，请说明 理由。

38已知四边形
ABCD
中，
AB
∥
C D
，且
AB
、
CD
的长是关于
x
的方程
x 2mx(m)
的两个根。
⑴当
m
=2和
m2
时 ，四边形
ABCD
分别是哪种四边形？并说明理由。
2
2
k
=0有两个不相等的实数根，
4
mn1
的值。
n
2
22
222
1< br>2
2
7
0
4
BD
于点
P
、
BC
的中点，
Q
,
PQ1
,且
ABCD
,⑵ 若
M
、
N
分别是
AD
、线段
MN
分别交< br>AC
、
求
AB
、
CD
的长。


5