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小学五年级奥数题修改版
一、 小数的巧算
（一）填空题
1. 计算 1.996+19.97+199.8=_____。

2. 计算 1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15 .15+17.17+19.19=_____。

3. 计算 2.89

4.68+4.68

6.11+4.68=_____。

4. 计算 17.48

37-17.48

19+ 17.48

82=_____。

5. 计算 1.25

0.32

2.5=_____。

6. 计算 75

4.7+15.9

25=_____。

7. 计算 28.67

67+3.2

286.7+573. 4

0.05=____。

（二）解答题
8. 计算 172.4

6.2+2724

0.38。

9.
。
10.计算 12.34+23.45+34.56+45.67+56.7 8+67.89+78.91+89.12+91.23。
二、数的整除性
（一）填空题
1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。

2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填
_____。

3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。

4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。

5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。
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6. 所有能被3整除的两位数的和是______。

7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____。
（
二）解答题

8. 173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,
所得到的3个四位数,依次 可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个
数字的和是多少？

9．在 1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11
整除，这个七位数最小 值是多少？

三 质数与合数
（一）填空题
1. 在一位的自然数中， 既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的
有_____；既是偶数又是质数的有__ ___。
答案：9，1，2。
解析：在一位自然数中,奇数有:1,3,5,7,9,其中仅有9为合数,故第一个空填9。
在一位自然数中,质数有2、3、5、7，合数有4、6、8、9，所以既不是合
数又不是质数的为1 。
在一位自然数中,偶数有2、4、6、8，所以既是偶数又是质数的数为2。
2. 最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____。
答案：202。
解析：最小的质数 是2,最接近100的质数是101,它们的乘积是2

101=202。
3．两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____。
答案：420。
解析：首先注意到41是质数,两个自然数的和与差的积是41,可见它们的差是1,
这是两个 连续的自然数,大数是21,小数是20,所以这两个自然数的积是
20

21=42 0。
4. 在下式□中分别填入三个质数,使等式成立。
□+□+□=50
答案：2、5、43。
解析：接近50的质数有43,再将7分拆成质数2与质数5的和.即
2+5+43=50。
另外,还有
2+19+29=50，
2+11+37=50。
[注]填法不是唯一的，如也可以写成

41+2+7=50。
5. 三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____。
答案：11,12,13。
解析：将1716分解质因数得：
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1716=2

2

3

11

13
=11

(2

2

3)

13
由此可以看出这三个数是11,12,13。
6. 找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____。
答案：88。
解析：先把1992分解质因数,然后把不同质数相加,求出它们的和。
1992=2

2

2

3

83
所以1992所有不同的质因数有:2,3,83。它们的和是
2+3+83=88。
7. 如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____。
答案：210。
解析：最小的四个质数是2,3,5,7,所以有四个不同质因数的最小自然数是
2

3

5

7=210。
(二）解答题 8．2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数。已
知一个长方形 的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位。问这个长方形的
面积至多是多少个平方单位?
答案：由于长+宽是 36

2=18，
将18表示为两个质数和 18=5+13=7+11，
所以长方形的面积是 5

13=65或7

11=77，
故长方形的面积至多是77平方单位。
9. 把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。
答案：先把7 ，14,20,21,28,30分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,
再分摊在两组中,使两 组数乘积相等。
14=7

2 20=2

2

5
21=3

7 28=2

2

7
30=2

3

5 7
从上面五个数分解质因数来看 ,连7在内共有质因数四个7,六个2,二个3,
二个5,因此每组数中一定要含三个2,一个3,一个 5,二个7。
六个数可分成如下两组(分法是唯一的):
第一组: 7、28、和30
第二组：14、21和20
且7

28

30=14
21

20=5880满足要求。
[注]解答此题的关键是审题,抓 住题目中的关键性词语：“使两组数的乘积相等”。实质上是
要求两组里所含质因数相同,相同的质因数 出现的次数也相同。
10. 学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之
间,问哪几种分法?
答案：把1430分解质因数得：
1430=2

5

11

13
根据题目的要求 ,应在2、5、11及13中选用若干个数，使它们的乘积在100
到200之间，于是得三种答案：
（1）2

5

11=110；
（2）2

5

13=130；
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（3）11

13=143.
所以, 有三种分法:一种是分为13队,每队110人；二是分为11队，每队130
人；三是分为10队，每 队143人。
四 约数与倍数
1．28的所有约数之和是_____。
答案：56。
解析：28的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
1+2+4+7+14+28=56。
2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法。
答案：4。
解 析：因为105的约数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别
是1 05和1,35和3,21与5,15与7。所以能拼成4种不同的长方形。
3. 一个两位数,十位 数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的
积是24.这个两位数是_____。
答案：64。
解析：因为28=2

2

7,所以28的 约数有6个:1,2,4,7,14,28。在数字0,1,2,…，
9中，只有6与4之积，或者8与 3之积是24，又6-4=2，8-3=5。故符合题目
要求的两位数仅有64。
4. 李老 师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,
如果师生每人种的棵数一样 多,那么这个班共有学生_____人。
答案：28。
解析：因为667=23

29,所以这班师生每人种的棵数只能是667的约
数:1,23,29,667.显然,每人 种667棵是不可能的。
当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能。
当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题
目要求。
当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能。
所以,一班共有28名学生。
5. 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是_____。
答案：40或20。
解析：两个自然数的和是50,最大公约数是5,这两个自然数可能是5和45,15
和35, 它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20。
[注]这里的关键是依最大公约数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35。
6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,
最多 可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个。
答案：36,1,3。
解析：要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔
子相等，小朋 友的人数一定是36的约数，又要是108的约数，即一定是36和
108的公约数.因为要求最多可分 给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108
的最大公约数。36和108的最大公约数是36, 也就是可分给36个小朋友。
每个小朋友可分得梨: 36

36=1(只)，
每个小朋友可分得桔子: 108

36=3(只)，
所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只。
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7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片
_____块。
答案：56。
解析：剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米, 所
以它是48与42的公约数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48
与42的 最大公约数。
因为48=2

2

2

2

3,42=2

3

7,所以48与42的最大公约数是6。这 样,
最大正方形的边长是6厘米。由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪
7块,共 可剪(48

6)

(42

6)=8

7=56(块)正方形布片。
8．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不 互质，请
问有多少组这种解？
答案：三组。
解析：三个数都不是质数,至少是两个 质数的乘积,两两之间的最大公约数只能分
别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10 ,15及18,10,15三组。
9．和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？
答案：四个数的最大公 约数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公约
数应该是1111的约数。将1111作质因数 分解,得
1111=11

101
最大公 约数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别
除以101,所得商 的和应为11。现有
1+2+3+5=11,
即存在着下面四个数
101,101

2,101

3,101

5,
它们的和恰好是
101

(1+2+3+5)=101

11=1111,
它们的最大公约数为101，所以101为所求。
13
10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃 比赛，狐狸每次跳
4
米，黄鼠狼每次跳
2
米，它
24
3们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔
12
米设有一个陷井,当它们之
8
中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?
33
99
答案：黄鼠狼掉进陷 井时已跳的行程应该是
2
与
12
的“最小公倍数”，即
48
4
13
99
11
跳了狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是
4
和
12
的“最

=9次掉进陷井，
428
4
9999
9

=11次掉进陷井。 小公倍数”，即跳了
2
22
经过 比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是
1
4

9=40.5( 米)。
2
五 带余数除法
（一）填空题
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1．小东在计算除法时，把除数87写成78，结果得到的商是5 4，余数是8.正确
的商是_____,余数是_____。
答案：48,44。
解析：依题意得：被除数=78

54+8=4220，而4220=87

48+44,所以正确的商是
48,余数是44。
2. a

24=121……b,要使余数最大，被除数应该等于_____。
答案：2927。
解析：因为余数一定要比除数小,所以余数最大为23,故有，
被除数=24

121+23=2927。
3. 一个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个三位数是_____。
答案：831
解析：这个三位数可以写成：
37

商+17=36

商+(商+17)。
根据“被3 6除余3”。(商+17)被36除要余3。商只能是22(如果商更大的
话,与题目条件“三位数”不 符合)。
因此,这个三位数是37

22+17=831。
4. 393除以一个两位数,余数为8,这样的两位数有_____个,它们是_____。
答案：11,35,55,77。
解析：393减8,那么差一定能被两位数整除。
∵393-8=385，
385=5

7
11=(5

7)

11=(5

11)
< br>7=(7

11)

5，
∴385能被两位数11，35，55，77整除。本题的答案是4个:11,35,55,77。

5. 31453

68765

987657的积,除以4的余数是_____。
答案：1。
解析：∵31453

4=7863…1
68765

4=17191…1
987657

4=246914…1
1

1

1=1
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∴31453

68765

987657的积除以4余数是1。
6. 888……8乘以666……6的积，除以7余数是_____。

50个8 50个6
答案：5。
解析：因为111111能被7整除,所以888888和66666 6均能被7整除。而50=6

8+2,
故得被乘数与88被7除的余数相同,乘数与 66被7除的余数相同,进而得:被乘
数被7除余4,乘数被7除余3。所以乘积与(4
3=)12被7整除的余数相同。因
此得乘积被7除的余数是5。
7. 如果时针现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990圈之后是_____点钟。
答案：16。
解析：因为分针旋转一圈为一个钟头,所以分针旋转24圈,时针旋转2圈.若以现
时18点整 为起点与终点,这样时针又回到18点整的位置上。
由1990

24=82…余22，可知那时时钟表示的时间应是16点整。
（二）解答题
8．幼儿园某班学生做游戏，如果每个学生分得的弹子一样多，弹子就多12颗 ，
如果再增加12颗弹子，那么每个学生正好分得12颗，问这班有多少个学生？原
有多少颗弹 子？
答案：依题意知，原来每个学生分相等的若干颗，余12颗，则学生人数大于12.
同时 由增加12颗后每个学生正好分得12颗,即12+12=24(颗),24能被班级人数
整除,又24 能分解为
24=1

24=2

12=3

8=4

6
由班级人数大于12,可知符合题意的是24人。所以,共有 弹子数
12

24-12=276(颗)。
9．已知：a=1……1991,问：a除以13,余数是几？


1991个1991
答案：用试除的方法可知:1可以被13除尽。原数a有1991个1 991.
因为1991除以3余2,所以a与19911991除以13所得余数相同。又199119 91
除以13余8,所以a除以13的余数也是8。
10．100个7组成的一百位数,被13除后,问：
(1)余数是多少？
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(2)商数中各位数字之和是多少？
答案：因为777777

13=59829,即777777能被13整除,把这100个 7,从第一个
起,每6个分成一组,100

6=16…4，共16组还多4个。
每一组除以13的商都是59829,7777除以13的商是598,余数是3。
所以,100个7组成一百位数除以13后,余数是3,商数中各位数字之和是
(5+9+8+2+9)

16+(5+9+8) =550。
六 中国剩余定理
（一）填空题
1. 有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12余数是_____。
答案：7。
解析：因为除以3余数是1的数是1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…
除以4余数是3的数是3,7,11,15,19,23,27,31…
所以，同时符合除以 3余数是1，除以4余数是3的数有7，19，31，…
这些数除以12余数均为7。
2. 一个两位数,用它除58余2,除73余3,除85余1,这个两位数是_____。
答案：14。
解析：用一个两位数除58余2,除73余3,除85余1,那么58-2=56,
73-3 =70,85-1=84能被这个两位数整除,这个两位数一定是56、70和84的公约
数.
2 56 70 84

7 28 35 42

4 5 6
由可可见,56、70、84的 两位数公约数是2

7=14，可
见
这个两位数是14。

3. 学习委员收买练习本的钱,她只记下四组各交的钱,第一组2.61元,第二组
3.19 元,第三组2.61元,第四组3.48元,又知道每本练习本价格都超过1角,全
班共有_____人 。
答案：41
解析：根据题意得：
319-261=练习本单价

第二、一组人数之差，
348-319=练习本单价

第四、二组人数之差。即
练习本单价

第二、一组人数之差=58,
练习本单价

第四、二组人数之差=29，
所以,练习本单价是58与29的公约数,这样,练习本的单价是29分,即
0.29元。
因此,全班人数是
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(2.61

2+3.19+3.48)

0.29
=11.89

0.29
=41(人)。
[注]这里为了利用练 习本单价是总价的公约数这一隐含条件,将小数化成整数来考虑,
为解决问题提供了方便.这里也可直接 找261、319和348的公约数，但比较困难.上述解法
从一定意义上说是受了辗转相除法的启示。
4. 五年级两个班的学生一起排队出操,如果9人排一行,多出一个人；如果10
人排一行， 同样多出一个人.这两个班最少共有_____人。
答案： 91
解析：如果将两个班的人 数减少1人,则9人一排或10人一排都正好排完没有剩
余,所以两班人数减1是9和10的公倍数,又 要求这两班至少有几人,可以求出9
和10的最小公倍数,然后再加上1.所以,这两个班最少有9
10+1=91(人)。
5. 一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余1，这个数最小是____。
答案：210。
解析：一个数能被3,5,7整除,这个数一定是3,5,7的公倍数.3,5,7的公倍数依
次为: 105,210,315,420,……，其中被11除余数为1的最小数是210，所以这个
最小数是 210。
6. 同学们进行队列训练,如果每排8人,最后一排6人；如果每排10人，最后一
排少4人，参加队列训练的学生最少有_____人。
答案：46人。
解析：如果总人数 少6人,则每排8人和每排10人,均恰好排完无剩余。由此可
见,人数比10和8的最小公倍数多6人 ,10和8的最小公倍数是40,所以参加队
列训练的学生至少有46人。
7. 把几十个苹 果平均分成若干份,每份9个余8个,每份8个余7个,每份4个余
3个.这堆苹果共有_____个。
答案：71。
解析：依题意知,这堆苹果总个数,添进1个苹果后,正好是9,8,4的倍数 .因为
9,8,4的最小公倍数是9

8=72,所以这堆苹果至少有9
< br>8-1=71(个)。
[注]本题为什么求9,8,4的最小公倍数呢?这是根据限制条件“这 堆苹果共几十个”决
定的.若限制条件改为“这堆苹果的个数在100-200之间”的话，那么这堆苹 果共有
9

8

2-1=141（个）。因此，在解答问题时，一定 要把条件看清楚，尤其要注意“隐含条件”
的应用。

（二）解答题
8． 有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后
总是剩下3个。这盒乒 乓球至少有多少个?
答案：如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个1 2个的
数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少
有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3。
2 8 10 12

2 4 5 6

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2 5 3
故8,10, 12的最小公倍数是2

2

2

5

3 =120。所以这盒乒乓球有123个。
9. 求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整数。
答案：设所求数为
x
,则< br>x
+2就能同时被6,8,10整除.由于[6,8,10]=120,所以
x
=120-2=118。
10. 一盒围棋子,三只三只数多二只,五只五只数多四只,七只七只数多 六只,若
此盒围棋子的个数在200到300之间,问有多少围棋子?
答案：设有
x
个围棋子,则
x
+1是3,5,7的倍数,
x
+1是[3,5,7]=3

5

7=105的
倍数,
x
+1=210,
x
=209。
七 奇数与偶数
（一）填空题
1. 2，4，6，8，……是连续的偶数，若五个连续的偶数的和是320， 这五个数
中最小的一个是______。
答案：60。
解析：这五个连续偶数的第 三个(即中间的那一个)偶数是320

5=64。所以，最
小的偶数是60。
2. 有两个质数,它们的和是小于100的奇数,并且是17的倍数.这两个质数是
_____。
答案：2,83。
解析：因为两个质数的和是奇数,所以必有一个是2。小于100的17的 奇数倍有
17,51和85三个,17,51与2的差都不是质数,所以另一个质数是85-2=83。
3. 100个自然数,它们的和是10000,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多,
那 么,这些数里至多有_____个偶数。
答案：48
解析：由于100个自然数的和是10 000,即100个自然数中必须有偶数个奇数,又
由于奇数比偶数多,因此偶数最多只有48个。
4. 下图是一张靶纸,靶纸上的1、3、5、7、9表示射中该靶区的分数.甲说:我打
了六 枪,每枪都中靶得分,共得了27分.乙说:我打了3枪,每枪都中靶得分,共得
了27分。




1 3 5 7 9



已知甲、乙两人中有一人说的是真话，那么说假话的是_____。
答案：甲
解析：由于分数都是奇数,6个奇数之和为偶数,不可能是奇数27,所以说假话的
是甲。
5. 一次数学考试共有20道题,规定答对一题得2分,答错一题扣1分,未答的题
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不计分。考试结束后,小明共得23分。他想知道自己做错了几道 题,但只记得未
答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下,他答错了_____道题。
答案：3。
解析：小明做错的题的数目一定是奇数个,若是做错1个,则应做对12个才会得
12

2-1=23分,这样小明共做13个题,未做的题的个数7不是偶数；若是做 错3
个，则应做对13个才能得13

2-3=23分，这样未答的题是4个，恰为偶 数个。
此外小明不可能做错5个或5个以上的题.故他做错的题有3个。
7. 有一批文章共 15篇,各篇文章的页数分别是1页、2页、3页……14页和15
页的稿纸，如果将这些文章按某种次 序装订成册，并统一编上页码。那么每篇文
章的第一页是奇数页码的文章最多有_____篇。
答案：11。
解析：根据奇数+偶数=奇数的性质,先编排偶数页的文章(2页,4页,…， 14页)，
这样共有7篇文章的第一页都是奇数页码。
然后,编排奇数页的文章(1页,3页 ,…，15页)，根据奇数+奇数=偶数的
性质，这样编排，就又有4篇文章的第一页都是奇数页码。
所以,每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多是7+4=11(篇)。
7. 一本书中间的 某一张被撕掉了,余下的各页码数之和是1133,这本书有_____
页,撕掉的是第_____页和 第_____页。
答案：48,21,22。
解析：设这本书的页码是从1到
n
的自然数,正确的和应该是
1
1+2+…+
n
=
n
(
n
+1)
2
由题意可知，
1
n
(
n
+1)>1133 < br>2
1
1
由估算，当
n
=48时，
n
(
n
+1)=

48

49=1176，1176-1133=4 3。根据书页的
2
2
页码编排,被撕一张的页码应是奇、偶，其和是奇数，43=21 +22。所以,这本书有
48页,被撕的一张是第21页和第22页。
（二）解答题
9．如下图，从0点起每隔3米种一棵树。如果把3块“爱护树木”的小木牌分
别挂在3棵树上，那么 不管怎么挂，至少有两棵挂牌树之间的距离是偶数（以米
为单位）。试说明理由。





3 6 9 12 15 18 21 24

0

答案：相距最远的两块木牌的距离,等于它们分别与中间一块木牌的距离之和。
如果 三块木牌间两两距离都是奇数,就会出现“奇+奇=奇”，这显然不成立，所以
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必有两块木牌的距离是偶数。
13．如图所示，一个圆 周上有9个位置，依次编为1~9号.现在有一个小球在1
号位置上。第一天顺时针前进10个位置,第 二天逆时针前进14个位置。以后,第
奇数天与第一天相同,顺时针前进10个位置,第偶数天与第二天 相同,逆时针前
进14个位置。问:至少经过多少天,小球又回到1号位置。


1







8
9
2
3
7
6
5
4

答案：顺时针前进10个位置,相当于顺时针前进1个位置；逆时针前进14个 位
置，相当于顺时针前进18-14=4（个）位置。所以原题相当于:顺时针每天1个
位置, 4个位置交替前进,直到前进的位置个数是9的倍数为止。
偶数天依次前进的位置个数:
5,10,15,20,25,30,35,40，……
奇数天依次前进的位置个数：
1，6，11，16，21，26，31，36 ，41，……
第15天前进36个位置，36天是9的倍数，所以第15天又回到1号位置。
八 周期性问题
（一）填空题
1. 某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_____。
答案：二。
解析：因为7< br>
4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，
且2月1日与2 月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日
起到这年6月1日共经过了31+30+ 31+1=93(天)。
因为937=13…2，所以这年6月1日是星期二。
2. 1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期_____。
答案：日。
解析：依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有
365

10+2=3652（天）。
因为3652

7 =521…5，1989年12月5日是星期二所以再过十年的12月5日是
星期日。
3. 按下面摆法摆80个三角形,有_____个白色的。

……
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答案：39。
解析：从图中可以看 出,三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就
是这一排列的周期为6，并且每一周期有3个 白色三角形。
因为80

6=13…2，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所 以共有白色三角
形13

3=39（个）。
4．节日的校园内挂起了一盏盏 小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿
各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后 面都紧接着有3盏彩灯,
小明想第73盏灯是_____灯。
答案：白。
解析：依 题意知,电灯的安装排列如下:白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,……这一
排列是按“白，红，黄 ，绿”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4。
由73

4=18…1,可知第73盏灯是白灯。
5. 时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后,时针表示的时间是
____。
答案：13时。
解析：分针旋转一周为1小时,旋转1991周为1991小时。一天24小
时,1991

24=82…23，1991小时共82天又23小时.现在是14时 正,经过82天仍
然是14时正,再过23小时,正好是13时。
[注]在圆面上,沿着圆周 把1到12的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组
成了我们天天见到的钟面。钟面虽 然是那么的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数
学问题,周期现象就是其中的一个重要方面。
6. 把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数“1992”在_____列。
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
1

10

…

2
9
11
18
…
…
3
8
12
17
…
…
4
7
13
16
…
…
5
6
14
15
…
…

答案：3。
解析：仔细观察题中表格。
1 2 3 4 5 (奇数排)
第一组
9 8 7 6 (偶数排)
10 11 12 13 14 (奇数排)
第二组
18 17 16 15 (偶数排)
19 20 21 22 23 (奇数排)
第三组
27 26 25 24 (偶数排)

可发现规律如下:
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(1)连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数,偶数 排自右往左四
个数的规律循环排列；
(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用9除 有如下规律:第1列用9
除余数为1,第2列用9除余数为2,…，第5列用9除余数为。
(3)10

9=1…1，10在1+1组，第1列
19

9=2…1，19在2+1组，第1列
因为1992

9= 221…3，所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3
列数的位置上。
4
7. 把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是_____。
7
答案：7。
4
解析：=0.57142857……
7
它的循环周期是6，具体地六个数依次是：
5，7，1，4，2，8
110

6=18…2
因为余2，第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7。
（二）解答题
8. 紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个
位数.例 如8

9=72,在9后面写2,9

2=18,在2后面写8,……得到一 串数字:
1 9 8 9 2 8 6……
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
答案：依照题述规则多写几个数字:86884……
可见1989后面的数总是不断循环重复 出现286884，每6个一组，即循环周期为
6.因为(1989-4)

6=33 0…5，所以所求数字是8。
9. 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两
位数是多少？
答案：1991个1990相乘所得的积末尾两位是0,我们只需考察1990个1991相乘
的积末尾两位数即可。1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末尾两位数
是81,3个1 991相乘的积末尾两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位
数分别是61,51,41 ,31,21,11,01,11个1991相乘积的末两位数字是91，……，
由此可见，每10个1 991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10。因为
1990

10=199,所 以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01。
14．在一根长100厘米的木 棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至
左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐 段锯开，那么长度是1厘米
的短木棍有多少根？
答案：因为100能被5整除,所以自右至左 染色也就是自左至右染色.于是我们可
以看作是从同一端点染色。
6与5的最小公倍数是3 0,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会
出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所 示。


6
12 18 24
30 96
100
. . . . . .
.

5 10 15 20 25
90
95
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由图示可知长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期
中,6-5=1,5

5-6

4=1。剩余10厘米中有一段。所以锯开后长1厘米的短木棍共
有7段.综合算式为:
2

[(100-10)

30]+1
=2

3+1
=7(段)。
[注]解决这一问题的关键是根据整 除性把自右向左每隔5厘米的染色,转化为自左向右的染
色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为 易。
九 图形的计数
（一）填空题
1．下图中一共有（ ）条线段。









答案：30
解析：图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有6

5=30条线段。
2. 如下图,O为三角形A
1
A
6
A
12
的边A
1
A
12
上的一点,分别连结OA
2
,OA
3
,…OA
11
，
这样图中共有_____个三角形 。




答案：37。
解析：将△A
1A
6
A
12
分解成以OA
6
为公共边的两个三角形。△ OA
1
A
6
中共有
5+4+3+2+1=15(个)三角形,△OA
6
A
12
中共有6+5+4+3+2+1=21(个)三角形。这样,
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图中共有15+21+1=37(个)三角形。
3. 下图中有_____个三角形。


A


D




C
B

答案：15。
解析：这样的问题应该通过分类计数求解。此题中的三角形可先分成含顶点C< br>的和不含顶点C的两大类。含顶点C的又可分成另外两顶点在线段AB上的和在
线段BD上的两小 类.分类图解如下:

A A



D



B C B
C



A

D


B
D

C
B


所以原图有
(3+2+1)+(3+2+1)+3
=15(个)三角形。


4. 下图中共有_____个梯形。







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答案：18。
解析：梯形一共有三行,每行都有3+2 +1=6(个),所以一共有6

3=18(个)梯形。
5. 数一数
(1)一共有( )个长方形。
(2)一共有( )个三角形。

D
C


A

B
(1) (2)
答案：108,36。
解析：(1)因为长方形是由长和宽组成的,因此可分别考虑 所有长方形的长和宽的
可能种数。按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数,将< br>它们相乘就是所有长方形的个数。
98
因为AB边上有8+7+6+…+2+1== 36条线段，AD边上有2+1=3条线段，
2
所以图中一共有36

3=1 08个长方形。
(2)三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6(个),所以一共有6

6=36(个)三角
形。
6. 在下图中,所有长方形的个数是______。















答案：30。
解析：图形 中共有1
2
+2
2
+3
2
+4
2
=30个 正方形。



7. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有4< br>
4个钉(如右图)。以每个
钉为顶点,你能用皮筋套出正方形和长方形共_____个 。








































答案：44。
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解析：因 为正方形是特殊的长方形,所以可以把正方形看成长方形,这样就不必分
别求正方形和长方形的个数,仍 用分类计数的方法求解。
先考虑有一组对边平行于BC的长方形有多少个。这一类按其水平边的位置< br>可分为6小类,即位置在BF、FE、EC、FC、BE、BC。同样,其竖直边也分为6
类。所 以这一类有6

6=36个长方形。

A
D





B
F




E
C
另一类是没有边平行于BC的.这一类又分类两小类,分解图如下 页图所示,
其中分别有6个和2个长方形。






































 



所以，一共可套出正方形和长方形36+6+2=44个。

(二）解答题
8. 右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之
比。
1

2
3

4

5

6

7


(16)6
答案：白色小三角形个数=1+2+3+…+6==21，
2
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黑色小三角形个数=1+2+3+ …+7=
所以它们的比=
(17)7
=28，
2
213
=。
284
12. 下图中,AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是
O
多少？

A B

C D



E F


M
N


答案：解法一：本图中三角形的 个数为(1+2+3+4)

4=40(个)。下面求梯形的个
数，梯形由两底唯一确 定.首先在AB,CD,EF,MN中,考虑两底所在的线段,共有
(4

3)

2=6(种)选法；对上述四条线段中确定的两条线段，共有10（10=4+3+2+1）
个梯形。共60个梯形，故所求差为20。
解法二：在图 中可数出4个三角形,6个梯形,梯 形比三角图形图形多2个。
而在题图中,这种恰有10个。.故题图中,梯形个数与三角形的个数之差为
2

10=20(个)。
13．现在都是由边长为1厘米的红色、白色两种 正方形分别组成边长为2厘米、
4厘米、8厘米、9厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的 四边的
小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要
组成这样 4个大小不同的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方形多少
个？
答案：边长2厘米的正方形:
2

2=4(个) ……红色
边长4厘米的正方形
(4-1)

4=12(个) ……红色
(4-2)

(4-2)=4(个) ……白色
边长8厘米的正方形
(8-1)

4=28(个) ……红色
(8-2)

(8-2)=36(个) ……白色
边长9厘米的正方形
(9-1)

4=32(个) ……红色
(9-2)

(9-2)=49(个) ……白色
所以,红色小正方形共有
4+12+28+32=76(个)，
白色小正方形共有
4+36+49=89(个)。
[注]本题的要求是由边长为1 厘米的红色和白色两种正方形,分别组成边长
是2厘米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形, 可以看作方阵问题来解。
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四周的小正方形是涂 红色的,可看成是空心方阵。因此,涂红色正方形的个数等于
4

(n-1)。其他小 正方形是涂白色的，可当作实心方阵。所以，涂白色的正方形
的个数等于(n-2)

(n-2).比如,由边长为1厘米的正方形组成边长为9厘米的正
方形,涂红色的小正方形的个数是: 4

(9-1)=32(个),涂白色的小正方形的个数
是:(9-2)
< br>(9-2)=49(个)。





后续


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