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初一数学知识点总结

（初一上学期）
代数初步知识
1、代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代
数式。
注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所 取得数应保证它所在的式子有意义，其
次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个 字母也是代数式。
2、列代数式的几个注意事项：
（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写。
（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号。
（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a。
（4）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成
形式；
（5）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，
则应分类，写做a-b和b-a .
3、几个重要的代数式：
（1）a与b的平方差是：a-b； a与b差的平方是：（a-b）。
（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：10a+b；则三位整数是：100a+10b+c。
（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：5m+n；偶数是：2n，奇数是：2n+1；三< br>个连续整数是：n-1、n、n+1。
（4）若b＞0，则正数是:a+b ，负数是：-a-b，非负数是：b，非正数是：-b。

222 2
222
3
的
a
有理数
1、有理数：
(1 )凡能写成
b
（a、b都是整数且a≠0）形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数
a
统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。
（注意：0即不是正数， 也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理
数）
(2)有理数中，1 、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数
分成四个区域，这四个区域的数 也有自己的特性。

(3)自然数是指0和正整数；a＞0，则a是正数；a＜0，则a是负数；a≥0 ，则a是正
数或0（即a是非负数）；a≤0，则a是负数或0（即a是非正数）。
2、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
3、相反数：
(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0。
(2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是- a-b；
(3)相反数的和为0时，则a+b=0；即a、b互为相反数。
4、绝对值：
(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
（注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离）。
(2)绝对值可表示为|a|。
(3)|a|是重要的非负数，即|a|≥0。（注意：|a|·|b|=|a·b|）。
5、有理数比大小：
（1）正数的绝对值越大，这个数越大；
（2）正数永远比0大，负数永远比0小；
（3）正数大于一切负数；
（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；
（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
（6）大数-小数 ＞ 0，小数- 大数＜ 0.
6、互为倒数：
乘积为1的两个数互为倒数。
（注意：0没有倒数；若 a、b≠0，那么
b
a
的倒数是；倒数是本身的数 是±1；若ab=1，
b
a
则a、b互为倒数；若ab=-1，则a、b互为负倒数。
7、有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（3）一个数与0相加，仍得这个数。
8、有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a 。
（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。
9、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）。
10、有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。

（2）任何数同零相乘都得零。
（3）几个数相乘，有一个因式为 零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的
个数决定。
11、有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba。
（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）。
（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac。
12、有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。（注意：零不能做除数）
13、有理数乘方的法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。注意：当n为正奇数时: (-a)=-a
或(a -b)=-(b-a) , 当n为正偶数时: (-a) =a
14、乘方的定义：
（1）求相同因式积的运算，叫做乘方。
（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂。
（3）a是重要的非负数，即a≥0；若a+|b|=0 ，则a=0，b=0。
（4）底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位。
15、科学记数法：
把 一个大于10的数记成a×10的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法
叫科学记数法。
16、近似数的精确位：
一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位。
17、有效数字：
从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数
字。
18、混合运算法则：
先乘方，后乘除，最后加减。注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的
原则。
19、特殊值法：
是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明。

n
222
nnnn
nn
或 (a-b)=(b-a) 。
nn
整式的加减
1、单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或 虽含有除法运算，但除式中
不含字母的一类代数式叫单项式。

2、 单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式
的系数；系数不为 零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。
3、多项式：几个单项式的和叫多项式。 4、多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多
项式的项 ；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若a、b、c、p、q是常
数）ax+bx+ c和x+px+q是常见的两个二次三项式。
5、整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式。
6、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。
7、合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变。
8、去（添）括号法则：去（添） 括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；
若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变 号。
9、整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并。
10、多项式的升幂和降幂排列：
把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到 小）排列起来，叫做按这个
字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行 升幂（或降幂）
排列。

22
一元一次方程
1、等式与等量：用“=”号连接而成的式子叫等式。注意：“等量就能代入”。
2、等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式。
3、方程：含未知数的等式，叫方程。
4、方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”。
5、移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1。
6、一元一次方程：
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是 零的整式方程
是一元一次方程。
7、一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。
8、一元一次方程的最简形式： ax=b（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。
9、一元一次方程解法的一般步骤：
整理方程 — 去分母 — 去括号 — 移项 — 合并同类项 — 系数化为1 —（检验方程
的解）。
10．列一元一次方程解应用题：

（1）读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”。
仔细读题，找出表示相等关系的关键字 ，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，
完成，增加，减少，配套等”，利用这些关键字列出文字 等式，并且据题意设出未知数，最
后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。
（2）画图分析法：多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体 现，仔细读题，依照题意画出有关
图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题 的关键，从而取得布
列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的 代数式
是获得方程的基础。
11、列方程解应用题的常用公式：
（1）行程问题：距离=速度·时间
（2）工程问题：工作量=工效·工时
（3）比率问题：部分=全体·比率
（4）顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；
（5）商品价格问题：售价=定价·折；利润=售价-成本， ；
（6）周长、面积、体积问 题
：C
圆
=2πR，S
圆
=πR，C
长方形
=2( a+b)，S
长方形
=ab， C
正方形
2
=4a，
S< br>正方形
=a
2
，S
环形
=π(R
2
-r2
),V
长方体
=abc ，V
正方体
=a
3
，V
圆柱
=πR
2
h ，V
圆锥
= πR
2
h。

（初一下学期）
二元一次方程组
1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方 程是二元一次
方程。
（注意：一般说二元一次方程有无数个解）
2、二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组。
3、二元一次方程组 的解：使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的
值，叫二元一次方程组的解。注意 ：一般说二元一次方程组只有唯一解（即公共解）。
4、二元一次方程组的解法：
（1）代入消元法
（2）加减消元法
（3）注意：判断如何解简单是关键。
5、二元一次方程组的应用：
（1）对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一 些，但解方程组可能比较

麻烦，反之则“难列易解”。
（2）对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值。
（3）对于方 程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可
以求出任何两个未知数的关系 。

一元一次不等式（组）
1、不等式：用不等号“＞”“＜”“≤”“≥”“≠”，把两个代数式连接起来的式子叫不等式。
2、不等式的基本性质：
不等式的基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一 个整式，不等号的方
向不变。
不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。
3、不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解；不等式所有解的集 合，叫做这个
不等式的解集。
4、一元一次不等式：
只含有一个未知数，并且未知 数的次数是1，系数不等于零的不等式，叫做一元一次不
等式；它的标准形式是ax+b＞0或ax+b ＜0 ，(a≠0)。
5、一元一次不等式的解法：
一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似，但一定要注意不等式性质3的应
用。
（注意：在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点）
6、一元一次不等式组：
含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
注意：ab＞0 
ab＜0 
a

a0

a0
或

；
0


b0b0
b

a
a0

a0

am
或

； ab=0  a=0或b=0；

 a=m 。
0


b

b0

b0

am
7、一元一次不等 式组的解集与解法：
所有这些一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；解 一元
一次不等式时，应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定这个不等式
组的解集。

8、一元一次不等式组的解集的四种类型：设 a＞b

xa

xa

xb

xb


不等式组的解集是xa不等式的组解集是xb
>
b
a< br>>
b
a



xa

xb


不等式组的解集是ax b
>

xa

xb


不等式组解集是空集
b
a
>
b
a


9、几个重要的判断：
xy0

xy0

x、y是正数
，
x、y是负数
,

xy0

xy0


xy0

xy0
x、y异号且正数绝对值大，x、y异号且负数绝对值大.


xy0

xy0



整式的乘除
1、同底数幂的乘法：
a·a=a ，底数不变，指数相加。
2、幂的乘方与积的乘方：
(a)=a ，底数不变，指数相乘；(ab)=ab ，积的乘方等于各因式乘方的积。
3、单项式的乘法：
系数相乘，相同字母相乘，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里。
4、单项式与多项式的乘法：
m(a+b+c)=ma+mb+mc ，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
5、多项式的乘法：
(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd ，先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所
得的积相加。
6、乘法公式：
（1）平方差公式：(a+b)(a-b)= a-b，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的
平方差。
（2）完全平方公式：
① (a+b)=a+2ab+b, 两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。
② (a-b)=a-2ab+b , 两个数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。
222
222
22
mnmnnnn
mnm+n

③ (a+b-c)=a+b+c+2ab-2ac-2bc
7、配方：
< br>p

（1）若二次三项式x+px+q是完全平方式,则有关系式：

q
。

2

2
2222
2
（2）二 次三项式ax+bx+c经过配方，总可以变为a(x-h)+k的形式，利用a(x-h)+k
①可以判断ax+bx+c值的符号。
②当x=h时，可求出ax+bx+c的最大（或最小）值k。
1

（3 ）注意：
x
2


x

2
。 x

x

2
2
2
222
1
2
8、同底数幂的除法：a÷a=a ，底数不变，指数相减。
9、零指数与负指数公式:
（1）a=1 (a≠0)； a=
0-n
mnm-n
1
a
n
,(a≠0). 注意：0，0无意义。
-5
0-2
（2）有了负指数，可用科学记数法记录小于1的 数，例如：0.0000201=2.01×10 。
10、单项式除以单项式:
系数相除，相同字母相除，只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。
11、多项式除以单项式：先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
12、多项式除以多项式：
先因式分解后约分或竖式相除；注意：被除式- 余式=除式·商式。
13、整式混合运算：
先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内。

线段、角、相交线与平行线
几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）
1、角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的部
分，这条射线叫角的平分线.（如图）
O

A
C
几何表达式举例：
(1) ∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
(2) ∵∠AOC=∠BOC
B

∴OC是∠AOB的平分线
几何表达式举例：
(1) ∵C是AB中点
∴ AC = BC
2、线段中点的定义：
点C把线段AB分成两条相等的线
段，点C叫线段中点.(如图)




AC
B

(2) ∵AC = BC
∴C是AB中点

3、等量公理：(如图)
（1）等量加等量和相等；（2）等量减等量差相等；
（3）等量的等倍量相等；（4）等量的等分量相等.
A
B
C
几何表达式举例：
(1) ∵AC=DB
∴AC+CD=DB+CD
即AD=BC
(2) ∵∠AOC=∠DOB
D
A
CDB
（1）
O
E
（2）
∴∠AOC-∠BOC=∠DOB-∠BOC
即∠AOB=∠DOC
A
C
(3) ∵∠BOC=∠GFM
M
又∵∠AOB=2∠BOC
O
B
F
G
（3）
∠EFG=2∠GFM
∴∠AOB=∠EFG

A
C
B
EGF
（4）
(4) ∵AC=
11
AB ，EG=EF
22
又∵AB=EF
∴AC=EG
4、等量代换： 几何表达式举例：
∵a=c
b=c
∴a=b
5、补角重要性质：
同角或等角的补角相等.(如图)

1
3
几何表达式举例：
∵a=c b=d
又∵c=d
∴a=b

几何表达式举例：
∵a=c+d
b=c+d
∴a=b
几何表达式举例：
∵∠1+∠3=180°
∠2+∠4=180°
又∵∠3=∠4
2
4

∴∠1=∠2
几何表达式举例：
∵∠1+∠3=90°
6、余角重要性质：
同角或等角的余角相等.(如图)


1
3
∠2+∠4=90°
又∵∠3=∠4
2
4


∴∠1=∠2
7、对顶角性质定理：
对顶角相等.(如图)

C
A
O
D
B
几何表达式举例：
∵∠AOC=∠DOB

∴ ……………

8、两条直线垂直的定义：
两条直线相交成四个角，有一个角是直
角，这两条直线互相垂直.(如图)

A


C
O
D
B
几何表达式举例：
(1) ∵AB、CD互相垂直
∴∠COB=90°
(2) ∵∠COB=90°

∴AB、CD互相垂直


9、三直线平行定理：
两条直线都和第三条直线平行，那么，这
两条直线也平行.(如图)

A
C
E

B
D
F
几何表达式举例：
∵AB∥EF

又∵CD∥EF
∴AB∥CD


10、平行线判定定理：
两条直线被第三条直线所截：


几何表达式举例：
(1) ∵∠GEB=∠EFD
∴ AB∥CD

G
（1）若同位角相等，两条直线平行；(如图)
（2）若内错角相等，两条直线平行；(如图)
（3）若同旁内角互补，两条直线平行.(如图)


11、平行线性质定理：
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角
相等；(如图)
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角
相等；(如图)
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内
角互补.(如图)

A
C
H
F
E
A
C
H
F
E
(2) ∵∠AEF=∠DFE
∴ AB∥CD
B
D
(3) ∵∠BEF+∠DFE=180°

∴ AB∥CD
几何表达式举例：
(1) ∵AB∥CD


G
B
D
∴∠GEB=∠EFD
(2) ∵AB∥CD

∴∠AEF=∠DFE
(3) ∵AB∥CD
∴∠BEF+∠DFE=180°

几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）
一、基本概念：
直线、射线、线段、角、直角、平角、周角、锐角、钝角、互为补角 、互为余角、邻补
角、两点间的距离、相交线、平行线、垂线段、垂足、对顶角、延长线与反向延长线、 同位

角、内错角、同旁内角、点到直线的距离、平行线间的距离、命题、真命 题、假命题、定义、
公理、定理、推论、证明。
二、定理：
1、直线公理：过两点有且只有一条直线。
2、线段公理：两点之间线段最短。
3、有关垂线的定理:
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。
4、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
三、公式：
直角=90°，平角=180°，周角=360°，1°=60′，1′=60″。
四、常识：
1、定义有双向性，定理没有。
2、直线不能延长；射线不能正向延长，但能反向延长；线段能双向延长。
3、命题可以写为 “如果………那么………”的形式，“如果………”是命题的条件，“那
么………” 是命题的结论。
4、几何画图要画一般图形，以免给题目附加没有的条件，造成误解。
5、数射线、线段、角的个数时，应该按顺序数，或分类数。
6、几何论证题可以运用“分析 综合法”、“方程分析法”、“代入分析法”、“图形观察法”四
种方法分析。
7、方向角：

北
西北
东北
（1） （2）
北偏西
30°
30°




西
西南
东
60°
南
东南
南偏东
60°
8、比 例尺：比例尺1:m中，1表示图上距离，m表示实际距离，若图上1厘米，表示实际距
离m厘米。 < br>9、几何题的证明要用“论证法”，论证要求规范、严密、有依据；证明的依据是学过的定义、
公 理、定理和推论。