完整。（指名板演填写）检查线段图，让学生看图说说题意。
2．分析等量关系。
提问：这个问题有怎样的等量关系？（板书：客车行的路程十货车行的路程=总路程 速
度和×时间=总路程 ）
提问：大家观察题里已知的条件和问题，联系等量关系想一想， 例题可以用什么方法解
答？为什么列方程解答？
3．列方程解答。
引导：你能根据 等量关系式“客车行的路程十货车行的路程=总路程”列出方程求出结
果吗？请你试着列方程并且解方程 ，求出结果。如果有困难，可以和同学讨论。
交流：你怎样设未知数、列方程的？（板书设未知数并列方程）
方程里95×3表示什么？3x呢？方程表示的什么意思？
你是怎样解方程的？（由学生说明）
结合交流讲解：这个方程是一个新的方程，方程里95× 3能先计算，我们可以先计算
95×3的积，是285。（板书：285+3x=540）
引导：这个方程能接下去解吗？请你接下去在课本上继续解这个方程，求出结果。（指
名板演）
检查板演结果，有错的订正。
4．检验结果。
提问：结果可以怎样检验？能把结果代人原题检验吗？
学生说明代入原题检验，看结果是不是等于总路程，教师板书、计算，确认结果。
5．引导：还可以怎样列方程？与同学互相说一说。
交流：还可以怎样列方程？（指名口答，教师板书）这是根据什么等量关系列方程的？
提问：方程3×（95+x） =540可以怎样解，哪位同学说说你的办法？
说明：可以左 右两边都先除以3，使方程变成95+x=180，然后应用等式性质求出方程的
解。（板书）
6．比较、体验。
引导：例题和前面的复习题比较，两题有什么相同和不同的地方？（相 < br>同的都是相遇问题，都知道相遇时间。不同的是复习题知道两车速度，求总路程；例题
知道总路程 和一辆车的速度，求另一辆的速度。）
为什么复习题选择算术方法解答，例题用方程解答？解答时有相同的地方吗？
指出：相遇问题 里的数量关系是两边行驶的路程相加的和等于总路程。问题如果要求总
路程，按照数量关系只要直接用算 术方法解答；如果已知总路程，要求其中一个的速度，用
算术方法就要反过来分析怎样一步一步计算，列 方程解答只要直接对照数量关系式列出方
程，这样解答比较方便。解答时虽然选择的方法不同，但有一点 是相同的，这就是按同一个

数量关系列式子。
7．回顾反思。
引导 ：大家回顾一下解题过程，想想可以怎样列方程，互相说说列方程解决实际问题的
关键是什么。
交流：列方程解决实际问题的关键是什么？
那回顾一下这一段的学习，我们在列方程解决实际问题时，寻找等量关系可以有哪些方
法？ < br>指出：方程是根据等量关系列的，所以列方程解决实际问题的关键是找出问题里的等量
关系。在寻 找等量关系时，可以根据题里表示关系的条件确定等量关系，也可以利用计算公
式或画图表示，帮助我们 找出等量关系。
三、巩固提高
1．完成“练一练”。
让学生读题，并利用线段图整理条件和问题。
在图上怎样表示的？（板书画图、写出条件）
引导：请大家看图想一想题里的等量关系，列出方程解答o（指名板演）
交流：方程表示的什么意思？方程怎样解的？
指出：这个问题虽然是从同一地点出发，相背而 行，但数量关系和相遇问题完全一样。
甲、乙行驶的路程相加等于总路程，所以方程应该表示把甲船路程 加乙船路程，等于总路程，
也就是相距的400千米。这个方程的解，就是乙船的速度。解这里的方程， 一般是把能计算
的先算出来，再应用等式性质解方程。
2．做练习三第6题。
学生读题。
提问：题里已知什么条件，要求什么问题？
引导：这道题有什么等量关 系？（可以说出不同的关系式）你准备怎样解答？每人先想
一想，再完成在作业本上。如果有困难，可以 和同学讨论。（指名板演）
交流：这里根据问题设经过x小时相遇，你列方程时是怎样想的？方程怎样解的，结果
正确吗？ 还能列出不同的方程吗？（板书方程）这是根据什么等量关系列的方程？
追问：这道题和例题都是怎样的问题，有什么不同的地方？为什么也用方程解？
指出：这道题 和例题都是相遇问题，都知道总路程，但例题知道相遇时间和其中一个的
速度，要求另一个的速度；这道 题知道两个的速度，要求相遇时间。根据数量关系，都是已
经知道总路程，用算术方法都要反过来思考怎 样求问题，而用方程的方法，都只要根据等量
关系直接用含有未知数量的式子列出方程，所以用列方程的 方法解答比较方便。
3．说说下面各题分别适合用什么方法解答。
（1）小明和小芳同时从 两地出发，相向而行，小明每分行75米，小芳每分行65米，4

分钟相遇。两地间距离 是多少米？
（2）小明和小芳同时从相距560米的两地出发，相向而行，经过4分钟相遇。小明每< br>分行75米，小芳每分行多少米？
（3）小明和小芳同时从相距560米的两地出发，相向而行 ，小明每分行75米，小芳每
分行65米，经过几分钟相遇？
提问：这三道题都是怎样的问题 ，数量关系是怎样的？你能说说各用什么方法解答比较
合适吗？说出你的理由。
指出：这是相 遇问题的三类不同的问题，第（1）题求的是总路程，按数量关系可以直
接列算式计算总路程．适合用算 术方法解答；第（2）题已知总路程、相遇时间和其中一个
的速度，要求另一个的速度，第（3）题已知 总路程和两个的速度，要求相遇时间，都可以
根据数量关系直接用含有未知数的式子列方程解答，这样比 较方便。
四、总结作业
1．课堂总结。
提问：这节课列方程解答的哪类问题？你有哪些收获可以和大家交流？还有哪些体会？
2．布置作业。
课堂作业：完成练习三第4题第一行解方程，第5题和第7题。
家庭作业：完成练习三第4题第二行题。

第十课时 列方程解实际问题练习
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学>五年级下册第16～17页练习三第8～15题，思考题。
教学目标：
1．使学生进一步掌握形如ax±bx=c和ax±bc=d的方程的解法，能找 出稍复杂的实际
问题里数量之间的相等关系，正确列方程解决稍复杂的实际问题。
2．使学生 经历对实际问题数量关系的分析，依据问题的等量关系建立方程的过程，进
一步培养分析推理、抽象概括 等思维能力，进一步体会方程与模型思想，提高分析、解决问
题的能力。
3．使学生在积极参 与数学活动的过程中，了解一些实际问题可以列方程解决，体会方
程的应用价值，感受数学的作用；养成 独立思考、主动反思和自觉检验等习惯。
教学重点：
列方程解决稍复杂的实际问题。
教学难点：
分析和找准实际问题里的等量关系。
教学准备：
每人准备计算器。
教学过程：
一、揭示课题
1．回顾内容。
引导：现在回顾一下，前两节课我们列方程解决的是怎样的实际问题，根据实际问题列
出的是怎样的方程 ？请同桌同学互相举例子说一说，如果不很清楚，可以到课本上看一看。
交流：你能举例子说一说前两节 课列方程解决的是怎样的实际问题吗？（学生举例）
前两节课解的又是怎样的方程？请你出出两个这样 的方程。（根据学生举例板书两个相
应类型的方程，注意数据可以计算）
2．揭示课题。 < br>说明：通过前两节课的学习，大家基本掌握了解这样的方程，并能根据实际问题的数量
关系，列出 这样的方程求出问题的结果。今天，我们就练习这方面的内容，进一步提高解方
程的能力，进一步理解稍 复杂实际问题的等量关系，并增强列方程解决稍复杂实际问题的能
力。
二、练习解方程
1．解方程。
让学生解黑板上板书的方程，指名板演。
交流：方程左边有两个x的 方程，我们是怎样解的？（检查解方程过程，重点检查第一

步是怎样变形的）左边几个x 加上或减去两数之积的方程是怎样解的？（检查解方程过程，
重点检查第一步是怎样变形的）
说明：像这样左边有两个x的方程，我们可以先把左边化简成几乘x的积等于右边的数，
求出方程的解； 左边几个x加上或减去两数之积的方程，一般是把能计算的先算出结果，再
求出方程的解。所以，解方程 时，可以把能化简的或能计算的先化简或先计算，再求方程的
解。
2．做练习三第8题。
让学生做前两题，指名板演。检查板演题，让学生说说怎样解的。
强调：从这里两题可以看出 ，解方程时能化简的先化简，能计算的先计算，这样就能把
方程变得更简单，很容易得出方程的解。
三、练习列方程解决实际问题
1．做练习三第9题。
（1）让学生读题，说说条件和问题。
引导：你能找到等量关系，列方程解答吗？请你把这道题解答出结果。（指名板演）
提问：你是怎样设未知数的？为什么要设丹顶鹤为x只，用2. 2x表示天鹅的只数？
方程 是根据什么列的？（板书：天鹅只数十丹顶鹤只数=960）从哪里知道天鹅只数十丹
顶鹤只数=960 的？
检查解方程的结果及求天鹅只数的方法。
提问：可以怎样检验结果是不是正确？（根据学生交流分两步检验）
（2）改变条件。 出示把题里第一个条件改为“一个自然保护区里天鹅比丹顶鹤多360只”，其他条件和
问题不变的 实际问题。
要求学生读题，想想等量关系有什么变化，可以怎样解答。
让学生独立解答。
交流：这里的未知数是怎样设的？方程是怎样列的，表示的是怎样的等量关系？（板书
方程和等 量关系式）方程是怎样解的？（板书解方程过程和求2.2x的结果）
（3）比较：大家自己比一比两道题有什么联系和区别，看看两个方程分
别表示的什么意思， 再和同桌说说你有什么体会。交流：这两道题不同在哪里？列出的
方程为什么不同？你从这两题的比较中 ，有哪些体会可以和大家交流？
指出：这两题都是知道天鹅和丹顶鹤只数的倍数关系，不同的是第一题 知道两种只数的
和，第二题知道两种只数的差，所以题里的等量关系就不同，由此列出的方程也不同。可 见
列方程解决实际问题的关键是找准等量关系，才能正确地列出方程。找等量关系可以根据条
件 思考，比如已知两种只数的和，等量关系就是两种只数相加等于960只；已知两种只数的
差，就是两种 只数相减等于360只。

2．做练习三第1 2题。
（1）让学生默读习题，指名说说有什么条件，求的什么问题。
提问：这是哪一类问题？等量关系是怎样的？（板书：轿车路程十大客车路程=总路程）
让学生独立解答，用计算器计算结果。（指名板演）
交流：设什么为x，列出的方程表示什么意思？
检查解方程的过程，确认结果。
让 学生口答答案后说明：相遇问题的等量关系就是这两辆车行驶的路程相加等于总路
程，在设未知数后只要 按两车路程相加等于全长274.08千米列出方程，解方程就能求出结
果。
（2）启发：我 们已经求出轿车和大客车1.2小时后在途中相遇。那你能把这1.2小时相
遇作为条件，把题目改成求 其中一辆车速度是多少千米／时的问题吗？同桌同学讨论一下，
可以改成怎样的实际问题。
提问：你改成的是怎样的实际问题？（根据交流，出示其中一道改编题）
引导：改变一个条件 和问题，变成了求一个速度的相遇问题。你能找到等量关系列出方
程解答吗？自己完成。
交流：怎样设未知数的？（板书设未知数）方程怎样列？根据什么列的？（板书方程）
说说你是怎样解方程的。（板书解方程）
（3）比较：这两题不同在哪里？这两题列方程时是 怎样想的？你对相遇问题的解答有
什么体会？
指出：相遇问题的等量关系是两部分路程的和等 于总路程，虽然两题的条件和问题不同，
但都可以根据这个等量关系列方程，所以这两个方程都表示轿车 路程十大客车路程一总路
程，只是其中未知数表示的意义不同。所以如果相遇问题里要求其中一个的速度 或相遇时间，
只要掌握这个数量关系，就可以按照数量关系列方程解答。
3．做练习三第1 5题。
让学生独立读题，比较两个实际问题有什么相同和不同。
引导：现在我们已经明确了两题的题意，请大家找出等量关系，自己解答。（指名两人
板演）
交流：这两题都用什么方法解答的？第（1）题怎样设未知数和列方程的？根据怎样的
等量关系 列方程的？（板书：上衣价钱十裙子价钱=总价）方程解得对不对？
第（2）题未知数表示的什么，怎 样列方程的？这个方程表示怎样的等量关系？解方程
的过程有没有错误？
比较：这两题的方程有什么联系？为什么数量关系是相同的？
指出：这两题的方程表示的数量 关系是相同的。因为这两题和相遇问题类似，两题都是
购买上衣和裙子，都已知总价1520元，数量关 系应该都是上衣价钱十裙子价钱=总价，所以

这两题可以按相同的数量关系列方程解答， 只是x表示的未知数不同。
四、练习总结
1．总结收获。
提问：这节课主要练习 解决的是怎样的问题？你有哪些新的认识？你对列方程解决实际
问题还有哪些收获？
2．完成思考题。
学生读题，帮助理解、明确题意。
引导：可以画个图看看甲追上 乙反映的是怎样的情境，当甲第一次追上乙时，他们俩跑
步的时间有什么关系，跑的路程有什么关系，应 该怎样解答？交流：你是怎样画图的？（根
据交流板书画图，表示题意）当甲追上乙时，他们俩跑的时间 、路程分别有什么关系？甲比
乙多跑了多少米？让学生说说有怎样的等量关系，可以怎样解答。
学生解答，指名板演。
交流：方程根据什么列的？求出的结果是多少？
3．布置作业。
课堂作业：完成练习三第10 、11、13、14题。
家庭作业：完成练习三第8题后两题。

第十一课时 简易方程整理与练习（1）
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第18～19页整理与练习“回顾与整 理”和
“练习与应用”第1～6题。
教学目标：
1．使学生进一步认识方程，了解 方程的解和解方程的含义，进一步认识等式的性质和
掌握简易方程的解法；能按步骤列方程解决一些简单 的实际问题。
2．使学生通过知识的回顾、整理，进一步了解方程知识间的联系；进一步认识列方程< br>解实际问题的步骤和思路，感受方程思想，提高分析问题和解决问题的能力。
3．使学生主动参 与知识整理、练习应用，了解知识的应用，体会数学的价值，培养应
用意识，提高学习数学的积极性。
教学重点：
整理、应用方程的知识。
教学难点：
体会知识之间的联系。
教学过程：
一、引入课题，回顾整理
1．引入课题。
谈话：我们本学期 第一单元就学习了简易方程。今天大家就一起来整理第一单元的知识。
（板书课题）通过整理、练习，进 一步巩固、掌握本单元内容。
2．回顾整理。
（1）引导：同学们回顾一下本单元内容，你学到了哪些知识？同桌先互相说一说。
交流：你在本单元学到了哪些知识？
指出：这一单元我们认识了方程、等式性质和解方程，知 道了什么是方程的解；还学习
了列方程解决一些实际问题，掌握了列方程解决实际问题的思路和方法。
（2）引导：现在我们先来讨论这些内容，进一步整理知识。出示：
①方程、方程的解、解方程的含义各是怎样的？举例说一说。
②等式有哪些性质？用等式性质解方程要注意些什么？
③列方程解决实际问题一般经过哪些步骤？
引导：现在请四人小组讨论上面这些问题，先说说 什么是方程’再举一个方程的例子，
说说方程的解和解方程的含义；再讨论等式的性质和用等式性质解方 程要注意些什么；然后
讨论一下列方程解决问题一般经过哪些步骤。
（3）交流：什么是方程？请举出方程的例子说一说o（根据交流板书一个简单方程）
什么是 方程的解和解方程？黑板上这个方程的解是什么呢，怎样解这个方程？（板书解

方程的过 程）
追问：这个方程的解是多少？黑板上哪部分的内容是解方程？
说明：（结合板书的方程 和解方程说明）含有未知数的等式是方程，使方程两边相等的
未知数的值叫方程的解，求方程的解的过程 是解方程。比如这里求出的x等于的这个数就是
这个方程的解，而像黑板上求未知数的整个过程就是解方 程。[结合说明板书：
方程（含有未知数的等式）→解方程→方程的解]
提问：我们刚才解 方程应用了什么知识？等式有哪些性质？用等式性质解方程时要注意
些什么？说明：等式的性质包括两边 都加上或减去同一个数、都乘或除以同一个不是0的数，
等式仍然成立。解方程就是应用了等式的性质， 但要注意一要通过应用等式性质使方程左边
变成x，二要方程两边同时加或减、乘或除以同一个数（0除 外），求出的才是方程的解。
（4）交流：列方程解决实际问题一般经过哪些步骤？其中关键是哪一步？
说明：列方程解决 问题的一般步骤是先弄清题意，再找数量之间的相等关系，然后根据
等量关系列方程，解方程求出问题的 结果，最后检验答案是不是正确，确认结果。其中关键
的一步是找等量关系式，因为问题里的等量关系是 正确列方程的依据。
二、练习应用，提升技能
1．做“练习与应用”第1题。
让学生判断，是方程的在下面画线。
交流：哪些是方程？为什么90-a=40、2a - 5b=3也是方程？15÷6、6n<3.6为什么不是
方程？
2．做“练习与应用”第2题。
（1）让学生独立解前四个方程，指名两人板演。
检查解方程，结合说说怎样想的，应用了等式的哪个性质，选择两道检验方程的解。
说明：我 们解方程的根据是等式的性质，在得出方程的解以后，还要注意把方程的解代
入原方程，检验是否正确， 避免计算中发生错误。
（2）学生独立解后两个方程，指名两人板演。
交流：解第一个方程应用了等式的哪个性质？解后一个方程第一步怎样做的？接着怎样
想的？
指出：解方程要注意书写格式，解方程时每一步都要有依据，计算时要细心，结果要注
意检验。
（3）解方程：4.5-x =0.9。
出示方程，让同桌先互相说说怎样解这个方程，再独立解方程。
交流：这个方程x前面是减号，你是怎样解的？（板书解方程第一步）
这样解方程哪里和前面的有点不一样？那接着怎样解？（完成解方程）
说明：这样的方程，可 以应用等式性质在两边都加上x，然后把左右两边交换位置，使

x回到左边再求出方程的 解。
3．对比练习。
（1）学校女教师人数比男教师多54人，男教师有30人，女教师有多少人？
（2）学校女教师人数比男教师多54人，女教师有84人，男教师有多少人？
让学生读题，了解条件和问题。
提问：这两题有什么相同和不同？都有怎样的数量关系？
板书：男教师人数+54=女教师人数。
引导：根据条件，对照数量关系想一想，这两题各选择什么方法解答比较方便？为什么？
指出 ：根据数量关系，第（1）题关系式中男教师人数已经知道，只要按关系式直接列
算式就能求出结果，用 算术方法比较合适。而第（2）题关系式中是已知女教师人数，需要
反过来思考怎样求男教师人数，这是 逆向思考，思考过程比较难一些；如果列方程解答，把
男教师人数看作x，就能直接用未知数按关系式列 方程，变成顺向思考，所以用方程解法比
较方便。
让学生列方程解答第（2）题，检查、订正。
说明、回顾：当要求的问题根据数量关系需要逆 向思考时，列方程解答比较合适。在列
方程时，关键是找对等量关系。现在回顾一下，上面这个问题是怎 样想到等量关系的？（板
书：找等量关系：根据条件的联系找）
除了根据条件的联系找等量关 系，还可以怎样找到题里的等量关系？（板书：利用画图
方法找用计算公式表示）
4．找等量关系训练。
说明：找问题里数量之间的相等关系，一般可以根据条件想等量关系， 也可以画图表示
题意，利用直观图找等量关系，有些问题还可以利用计算公式直接表示出等量关系。下面 我
们来根据图形或条件找一找等量关系各是什么。
根据条件说等量关系。
①杨树棵数是柳树的4倍；
②买上衣和裙子一共用去98元；
③一批苹果运走口千克，还有120千克；
④鸡蛋的个数比鸭蛋的4倍少1 5个；
⑤三角形的面积是26平方分米。
5．解决简单实际问题。
（1）做“练习与应用”第3题。
让学生读题，说说已知条件和问题。
提问：展开 后正好铺满30平方米的长方形是什么意思，题里数量间有怎样的关系？（板
书：长×宽=面积）

求这卷薄膜的长可以用什么方法？为什么？
让学生独立解答，指名板演。
交流：方程表示的什么意思？
说明：像这样已知长方形面积，反过来要求长是多少的问题，一 般用面积计算公式表示
数量间的相等关系，再根据等量关系列方程解答。
（2）做“练习与应用”第4题。
让学生读题，互相说说题里的等量关系。
提问： 这道题有怎样的等量关系？（板书：我国人均土地面积×3=世界人均土地面积）
你是根据什么想到这个 等量关系的？
让学生根据等量关系独立解答，指名板演，然后检查评讲，说说怎样列方程、解方程的，
确认结果。
6．做“练习与应用”第6题。
让学生读题，独立完成；同时指名板演。
交流：怎样设未知数的，怎样列方程的？这个方程表 示怎样的等量关系，你是怎样想的？
检查解方程过程和结果，口头检验、确认结果。
三、全课总结，完成作业
1．全课总结。
提问：通过这节课的整理与练习，你对知 识之间的联系有哪些认识？对方程和方程的应
用有哪些收获？还有哪些体会和大家分享？
2．完成作业。
完成“练习与应用”第5题。

第十二课时 简易方程整理与练习（2）
教学内容：
苏教版义务教 育教科书《数学》五年级下册第19～20页整理与练习“练习与应用”第
7~12题、“探索与实践” 第13～15题、“评价与反思”。
教学目标：
1．使学生加深对方程的认识，进一步掌握 解方程的方法，正确地解含有三步计算的方
程，能列方程解决稍复杂的实际问题，能应用方程的知识解决 一些数学问题。
2．使学生进一步了解实际问题的数量关系，加深对列方程解决实际问题方法的理解，
进一步提高解方程的能力，增强相应的技能及方程思想；在应用方程知识的过程中，发展分
析、 推理等思维能力。
3．使学生进一步体会方程在解决实际问题中的应用，体会方程的作用；能主动思考 、
善于思考，提高学好数学的信心。
教学重点：
解方程和列方程解稍复杂的实际问题。
教学难点：
理解稍复杂问题的数量关系。
教学过程：
一、揭示课题
1．引入课题。
谈话：今天，我们继续整理和 练习简易方程的知识。通过整理、练习，要进一步掌握解
方程的方法，进一步掌握列方程解稍复杂实际问 题的思路和方法，提高解方程的能力和列方
程解决实际问题的能力。（板书课题）
2．激活知识。
提问：请大家围绕方程的知识回顾一下，应用等式性质解方程要注意些什么？ 列方程解
决实际问题的关键是什么？找等量关系可以有哪些方法？
二、练习与应用
1．做“练习与应用”第7题。
让学生解前两个方程，指名两人板演。
交流：解第一个方程时是怎样想的？第二个呢？可以怎样检验？
提问：解这两个方程要注意什么？
指出：解方程时，能化简的要先化简，能计算的要先计算，然后应用等式性质求方程的
解。 2．做“练习与应用”第8题。
让学生读题，同桌互相说说题里的等量关系。
提问：找到怎 样的等量关系？（板书：猎豹每秒速度一运动员每秒速度=20）你从哪里

知道的？
要求什么问题？（在数量关系下面对应位置板书： ？ ？ ）用什么方法解答？
引导 ：这里猎豹每秒速度、运动员每秒速度可以怎样表示呢？请大家想办法分别表示出
来，再列方程解决。（ 同时指名板演）
交流：为什么这样设未知数，根据是什么？方程表示什么意思？检查解方程的过程，确
认结果。
说明：列方程解决问题的关键是找准题里的等量关系；这里是根据猎豹和运动员每秒速
度相差2 0米找到等量关系。两个未知数量之间有倍数关系时，一般可以设1倍的数量为x，
那么是几倍的数量就 可以表示成几个x，这样就可以根据等量关系列方程，求出结果。
3．做“练习与应用”第9题。
让学生读题，说说已知什么，要求什么数量。
引导：能找到等量关系，列方程解答吗？大家独 立完成，对数量关系分析如果有困难，
可以和同学商量，或者画线段图帮助分析；解答后同桌互相交流自 己的解法。
交流：方程表示什么等量关系？这个等量关系是怎样想到的？（板书等量关系式）方程中哪一部分表示甲队的米数，哪一部分表示乙队的米数？
检查解方程与结果。
指出：根 据题里两队合开隧道720米的条件，等量关系是两队米数相加等于720米；也
可以画线段图表示题意 ，帮助找等量关系。然后对照等量关系就很容易列出方程，求出结果。
4．做“练习与应用”第12题。
学生读题，交流条件和问题。
提问：根据哪个条件可以找等量关系？
引导：请大家找出等量关系并按等量关系解答。（同时指名板演）
交流：这里有怎样的等量关系？（板书等量关系）为什么这里的等量关系要用减法表示？
让学生说说列方程和解方程的过程，确认结果。
5．体验解题方法。
提问：上面解 题时都是根据什么找等量关系的？为什么第9题等量关系用加法式子表
示，其余两题用减法式子表示？
指出：列方程解决实际问题，首先要找准等量关系，然后才能对照等量关系列方程解答。
这里解 决问题都是根据题里条件间的联系确定等量关系的．其中第9题条件表示的是两个部
分数量的和，所以用 加法表示等量关系；其余两题条件表示的是两个部分数量的差，所以用
减法表示等量关系。
三、探索与实践
1．做“探索与实践”第13题。
让学生先想一想，应用方程的知识想到可以怎样按要求分成两段。

提问：这两段有怎样的等量关系？（板书：第一段十第二段=线段总长）
应用方程知识，这两段的长度分别可以怎样表示？用什么方法解决问题？
说明：应用方程的知 识，根据长度间的倍数关系，可以把1倍的长度看成x，4倍的长
度看成4x，列方程求出x的长度。因 此可以先量出线段的长，再列方程解决分成两段的长
度各是多少，然后分一分。
让学生独立解答，交流结果，并检验长度的倍数关系。
2．做“探索与实践”第14题。
（1）让学生明确题意和要求。
学生按要求选择、计算和填表。
（2）引导：请大 家观察每组3个数和它们的和，并比较三组数，你有什么发现？在小
组里讨论、交流。
提问：你有什么发现吗？说给大家听一听。
说明：（引导学生发现后）连续3个自然数里，每 相邻的两个数之间都相差1；移多补
少，b正好是3个数的平均数；3个数的和等于中间数b的3倍。
（3）引导：根据我们发现的数与数的关系，想一想如果用含有b的式子表示a应该怎
样写?表 示c呢？请大家先试着写出来，然后再想想用含有b的式子怎样表示a、b、c的和，
写出表示3个数和 的式子。
交流：你是怎样分别表示a和c的？a、b、c的和呢？（板书字母式子）
（1）让学生阅读教材上第（3）题，独立解答，指名板演。
检查交流，明确方程应列成3b=99，先求出6是33，再求a和c各是多少。
提问：通过这道题的探索，你有哪些体会或经验？
说明：数与数之间有一定的规律，可以通过 观察、比较和分析、归纳发现规律；数与数
之间的规律可以用含有字母的式子表示，这样表示关系概括、 简洁、明了，便于表达和理解、
记忆；只要我们善于应用学过的知识观察、分析问题，就能用数学方法探 索、解决一些实际
问题。
3．做“探索与实践”第15题。
（1）让学生阅读猜数的过程。
提问：他们是按怎样的方法说出结果的？（板书：先乘3，再减2—一结果）
引导：你能和同学玩这个游戏吗？请同桌同学按这样的方法互相玩一玩，想想要用怎样
的方法。
提问：你是应用什么方法解决的？
说明：实际上，这是把同学想的数看作未知数x，列出一个 方程3x-2=已知的结果，用
解方程的方法来猜出想的什么数。
（2）启发：你们同桌两人还能共同设计一个计算方法，然后玩这个游戏吗？

让学生自己设计游戏，并玩一玩。
四、总结评价
1．全课总结。
提问：通过这节课的整理与练习，你对方程的知识有哪些收获？还有哪些体会？
2．评价与反思。
让学生根据“评价与反思”的内容，自己涂☆评价学习表现。交流自我评价 结果，教师
评价、鼓励。
3．布置作业。
完成“练习与应用”第7题后两题，第1 0、1 1题。

第二单元 折线统计图

一、教学内容
折线统计图：教材第21～29页的“例1～例2”以及练习四。
二、教材分析
本 单元内容是在学生已经学会用统计表和条形统计图表示数据，并已积累较多的统计活
动经验的基础上进行 教学的。通过教学，可以使学生进一步掌握描述数据的方法，增强处理
和分析数据的能力，感受统计在现 实生活中的广泛应用。
三、学情分析
学生学习统计主要是为了学会用统计的方法分析和解决 问题，发展初步的数据分析观
念。因此，不宜让相对繁琐的制图操作干扰学习的重点。教学本单元的例题 和习题时，要么
让学生看图分析，提出问题、解决问题；要么让学生在已经确定了纵轴、横轴并画好网格 的
图中描点、连线，用不同的折线表示相关的数据。这样，既突出了绘制折线统计图的关键环
节 ，又能使学生更加关注统计活动的全过程，从而更加全面地理解和掌握统计方法，积累统
计活动经验。
四、教学目标
1.使学生经历用折线统计图表示数据的过程，了解折线统计图表示数据的基本 方法和特
点，能读懂常见的折线统计图，能根据要求完成相应的折线统计图。
2.使学生能根 据折线统计图所表达的信息，进行相应分析、比较和简单的判断、推理，
体会数据对于分析和解决问题的 意义，了解对于同样的数据可以有不同的分析方法，需要根
据问题的背景选择合适的方法，进一步积累统 计活动经验。
3.使学生进一步体会统计在现实生活中的广泛应用，提高开展统计活动的兴趣，增加动
手实践、合作交流的意识。
五、教学重、难点
教学重点：了解折线统计图表示数据 的方法和特点；教学难点：引导学生由数据本身能
说明什么逐步过渡到基于数据进行一些有意义的判断和 预测。
六、课时安排
单式折线统计图…………………………………1课时
复式折线统计图…………………………………1课时
练习………………………………………………1课时
机动………………………………………………1课时

第一课时 折线统计图
教学内容：
苏教版义务教育教科 书《数学》五年级下册第21～22页例1和“练一练”，第25页练
习四第1题。
教学目标：
1．使学生认识单式折线统计图，了解折线统计图的结构和特点，能读懂折线统计 图；
能收集简单数据，并用单式折线统计图表示数据；能简单分析折线统计图的数据，了解数据
反映的实际情况。
2．使学生在认识折线统计图，收集数据、运用折线统计图表达数据的过程中，进一 步
掌握统计方法，积累统计活动的经验，体会并了解折线统计图的优点，提高用折线统计图处
理 简单数据的技能，增强数据分析观念。
3．使学生主动参与统计活动，形成相互合作、积极思考的学习 意识，感受统计与现实
生活的密切联系，体会统计在日常生活里的作用。
教学重点：
认识折线统计图并用折线统计图表示数据。
教学难点：
分析数据，体会数据蕴含的规律或特点。
教学准备：
学生收集自己从一年级开始每年体检的身高数据；教师收集2 ～ 3幅折线统计图。
教学过程：
一、回忆统计，导入新课
1．回顾统计。
回顾：我们从一年 级的数学学习开始，就学习过许多统计的知识与方法。大家回忆一下，
统计有什么用处？我们都学习过哪 些统计的内容和方法？
说明：我们知道，为了解决一些实际问题，或者了解某个问题的实际情况，我们 需要用
统计的方法获得数据，分析数据反映的具体事实，并根据事实作出判断或推测。在统计内容
和方法上，大家学会了调查收集数据，分类整理数据，用统计表和条形统计图表示数据，以
及分析数据 表达的信息。
2．引入新课。
引入：为了提高统计能力和根据需要表达数据，我们今天要学 习表达数据的新形式。大

家要能认识这种新的表达形式及特点，学会用这种形式表示数据 、分析数据。那究竟是怎样
的形式呢？我们一起看具体问题。
二、认识新知，了解特点
1．体会身高变化情况。
出示例1的统计表。
提问：这是已经学习过的统计表。你能从统计表里知道些什么？
张小楠的身高是怎样变化的？
引导：你能用手指比划画一条线，表示他每个年龄身高增加的情况吗？大家和老师一起，
用手指 试着画画这条线看。（带领学生一起，用手指同方向画折线表示年龄的变化，结合手
势画线说明每个数据 的“折点”）
同学们已经用手指画线表示了身高增加的情况，你能像这样在纸上画出一条曲线来表示< br>吗？自己试着画一画，表示出张小楠身高增长的变化。（指名板演）
观察：你觉得我们画的这条线有什么作用？能看出张小楠每个年龄的身高怎样变化的
吗？
说明：从大家画的线上可以看出身高每年在增长：他在6岁时是1 1 6厘米，7岁时长
到1 1 8厘米，8岁时又长到1 2 1厘米……（结合引导观察适当修正并在每个身高处点“点”）
我们 把表示身高数据变化的这样一条曲线叫作“折线”，（板书：折线）这条折线能直接表示
出身高逐年增长 的情况。
2．认读折线统计图。
（1）启发：既然折线能表示数据变化的情况，那如果要准 确地表示身高变化的数据，
你觉得需要把折线画在哪里？
说明：为了准确地表示张小楠身高变 化情况，可以把这条折线像条形统计图一样，画在
表示了年龄和身高数据的格子图上，这就是今天要学习 的数据表达的新形式o（出示折线统
计图）像这样的统计图，就叫作折线统计图。（完成课题板书） < br>（2）引导：观察折线统计图，看看它和条形统计图有什么相同的地方，哪儿不同？同
桌互相讨论 一下。
提问：和条形统计图比，折线统计图有哪些相同和不同的地方？
说明：折线统计图也 要有反映统计内容的标题、统计日期；通常在横向底线表示出项目，
在纵向左边线上表示数量刻度。和条 形统计图不同的是，用折线表示数据。
提问：这里数量刻度上一格表示多少厘米？你知道最下面这一格为什么要表示1 1 0
厘米，是怎样表示的吗？

你知道折线怎样画出来的吗？
说明：因为最小的数据是1 1 6厘米，为了统计图的美观，不让下面这一段空着，这一
格用曲线表示0 --110厘米。画折线时， 可以根据左边线表示的数量刻度，先画出表示每个
年龄的身高数据的“点”，再依次连接这些点成为折线 ，表示数量变化。这里的点表示数据
是多少，折线表示数据怎样变化的。
提问：你知道了张小楠身高的哪些数据，谁来说一说？
3．分析数据。
出示看图讨论题，让学生四人小组讨论。
交流：随着年龄增长，张小楠的身高是怎样变化的？她从6岁到1 2岁一共长高了多少
厘米？
从折线统计图上怎样看出哪一年身高增长得最快？那图上可以怎样看出她哪几年身高
增长快一些 ，哪几年身高增长慢一些？
说明：这里的折线越陡峭，说明数据变化越快；折线越平缓，说明数据变化 越慢。所以
从6岁到8岁，身高增长要慢一些；从8岁到1 1岁这几年身高增长得快一些；后来从1 3
岁到1 4岁时，身高增长又开始始慢了。
提问：你能根据她的身高增长特点，估计到1 3岁生日时，身高大约多少厘米吗？
你还从统计图里想到些什么？
4．认识特点。
引导：现在把折线统计图和前面统计表比较一下，表示的数据相同吗？哪个能更清楚地
看出身高的变化 情况？为什么？
指出：比较折线统计图和统计表，可以看出它们都能表示数据是多少，但要看出身高数
据的变化，统计表要把数据作比较才知道数据增长或减少，但折线统计图上的折线能直接看
出数 据变化情况。所以，折线统汁图的特点是既能直观表示数据多少，又能形象地反映数据
变化情况。 （板书特点：直观表示数据多少 形象地反映数据变化情况）
三、统计实践，提升能力
1．做练习四第1题。
让学生阅读统计图，说说人的正常体温一般是多少，明确正常体温在3 7℃左右。
提问：从统计图上看，他的体温大体是怎样变化的？图上怎样看出体温的一上升和下
降？ 你能说说这位病人体温变化的具体情况吗？让学生根据统计图下面三个问题先独立思
考，自己寻求答 案。

交流：哪位能根据统汁图说明前两个问题？
怎样根据折线统计图判断几 时到几时体温上升最快和下降最快？怎样看出19时起体温
趋于平稳的？
你能看出折线统计图有什么优点吗？
提问：你还能从图中知道些什么？
小结：根据 折线统计图里的折线，可以看出病人每个时刻的体温情况，也可以看出病人
体温上升和下降、趋于平稳的 情况和状态，还能根据折线的陡峭和平缓判断上升或下降的速
度，这就是折线统计图的特点。大家还看出 了病人发烧经过几个小时后体温才逐步趋向平稳
的，体温最高时达到多少摄氏度，哪个时段体温基本不再 变化等情况。
2．做“练一练”。
提出问题：想知道你上小学后身高是怎样变化的，在哪个年级身高长得最快吗？
那你可以用什么办法解决？怎样表达数据才能直接看出你住每个年级身高增长变化情
况？ 统计实践：请你把事先收集的从一年级歼始每年体检的身高数据，先填写在统计表里，
再完成折线统 计图。
分析交流：上面的问题解决了吗？
你从一年级到五年级，一共长高了多少厘米？看看 自己身高变化情况，你从哪个年级到
哪个年级时身高增长得最快？
全班谁的身高增长最快呢？ 请增长比较快的同学来交流交流，比比谁在一年级到五年级
身高增长得最快。（交流比较，确认增长最快 的）
现在要找出全班同学中身高增长最快的时问大多集中在哪个年级到哪个年级的时候。大
家 找出自己长得最快的那个年级时段。接着大家举手表示。（了解从一年级起每个年级各有
多少人，发现一 般都在哪个年级段里长得最快）
提问：根据统计结果，你还能想到什么？
3．欣赏、了解折线统计图表达的相关数据。
出示收集的一些折线统计图，让学生说说各是统计的什么内容，知道了哪些内容。
提问：除了 这里用折线统计图，你还能想到哪些内容的统计用折线统计图表示数据比较
合理？举出一些可以用折线统 计图表示数据的统计内容。
四、全课总结，交流收获
提问：这节课学习的什么内容？你有哪 些认识和收获想和大家交流？你对折线统计图还
有些什么体会？

第二课时 复式折线统计图
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第23～24页例2和“练一练”，第 25页练
习四第2题。
教学目标：
1．使学生认识复式折线统计图，了解复式折线 统计图表示数据的特点，能读懂复式折
线统计图；能收集简单数据，用复式折线统计图表示数据；能简单 分析复式折线统计图的数
据，了解数据反映的一般情况或规律。
2．使学生感受用复式折线统 计图统计数据的过程和方法，体会并了解复式折线统计图
的作用和优点；积累统计活动的经验，提高用复 式折线统计图处理简单的数据的技能；体会
数据蕴含规律，增强数据分析观念。
3．使学生主 动参与实验、统计活动，产生对实验研究问题的兴趣，体会实验对于研究
问题的作用；感受统计与现实生 活的密切联系，体会统计在日常生活或研究问题中的作用。
教学重点：
认识复式折线统计图并用复式折线统计图表示数据。
教学难点：
分析数据，体会数据蕴含的规律。
教学准备：
按4人一组分组，每两个小组准备1 个保温瓶（盛有70℃以上热水），每个小组准备同
样大小的玻璃杯2个、陶瓷杯和陶瓷碗各1个、秒表 和测量用温度计各1个。
教学过程：
一、回顾内容，引入新课
回顾：大家回顾一 下，上节课我们学习的什么内容？折线统计图是怎样表示数据的，这
样表示数据有什么好处？
引入：我们已经认识了折线统计图，知道折线统计图是用点确定每个数据的位置，用一

条 折线表示数据的变化情况。这样表示数据，不仅可以反映数据的多少，还能直接看出数据
的变化情况。为 了进一步掌握用折线统计图表示和反映数据的情况，今天继续学习折线统计
图。（板书：折线统计图）
二、创设情境，学习新知
1．创设情境。
（1）提问：我们生活里经常使用保温杯，你知道保温杯的作用是什么吗？
你见到过哪些不同 材料做成的保温杯？想一想，这些不同材料制作的保温杯，比如不锈
钢的、玻璃的、陶瓷的保温杯，保温 的时间性能都会相同吗？
我们有的同学感觉保温杯保温的性能应该是相同的，有的认为可能是不同的。 那实际情
况会怎样呢？大家来看一组数据，你发现什么？
（2）出示例2的统计内容和统计表，让学生独立阅读例题、数据。
提问：这里是哪两种保温 杯保温性能的对比实验？从实验数据统计表中，你知道李小洁
是怎样实验的吗？
哪些同学能说说统计表里的数据？
从实验统计表里的数据看，哪种保温杯的性能更好？你是怎样知道的？
2．引入复式折线统计图。
引导：我们从实验统计的数据中可以看出，对比实验时，每隔30 分钟测量、记录一次
数据，经过1 50分钟，一共测量、记录了5次数据。通过比较每次记录的数据， 可以发现
陶瓷保温杯里开水温度下降速度要快得多，这说明不锈钢保温杯的保温性能要好得多。
大家根据学习过的统计方式想一想，如果不比较每次温度变化的数据，就能一眼直接看
出杯里开水温度 是怎样变化的，哪个温度下降得快，用什么方式表示数据比较方便？
用怎样的折线统计图，能直观比较出这两个杯子的保温性能哪个好一些呢？
指出：大家都想到 了，用折线统计图表示实验的数据，就能直接看出温度的变化情况。
如果把两条折线画在同一幅图一卜， 可以直观地看出哪个温度保持得比较好，保温性能要好
一些。像这样把两个不同的数量分别用折线表示在 同一幅统计图上，就是复式折线统计图。
（把课题补充板书成：复式折线统计图）
3．认识复式折线统计图。
出示例2里的复式折线统计图。
引导：请大家观察这里的统计图。从图上你能知道些什么？
交流：横向底线上分别表示的什么 ，纵向左边线上刻度表示的什么？这里实线表示的什
么，虚线表示的什么？

两 条折线在0分钟时都从95℃开始画起，表示的什么意思？两条折线已经画出的这部
分表示什么意思？
引导：你能根据表中的数据，接着完成复式条形统计图吗？请在课本上完成。
交流统计图，说说怎样描点、画折线的，画两条折线时要注意什么。
提问：能根据复式折线统计图，说说两个保温杯里热水温度是怎样变化的吗？（指名交
流） < br>说明：现在我们完成的折线统计图，用两条折线表示两组不同的数据，我们叫它复式折
线统计图； 上节课学习的折线统计图中只表示一组数据，只有一条表示数据的折线，那是单
式折线统计图。为了在复 式折线统计图里区分两条折线分别表示的不同数量，和复式条形统
计图一样，要注明相应折线的图例。一 般折线图例都是像这里一样，以实线和虚线区分的。
4．分析数据。
让学生阅读例2的讨论 题，先独立思考，并在统计图里找一找，再在小组里讨论、交流，
统一问题的结果。
交流：哪 个小组的代表来交流一下你们对这几个问题的结论？并且在图上来指一指、说
一说，向全班同学说明结果 。
从图中你们还能知道些什么？（比如，杯子里温度高时，陶瓷保温杯里水温下降速度比
较快 ；到60分后两个保温杯里水温下降的速度差不多；在30分钟内温度相差逐渐扩大，从
接近60分钟开 始，温差大体保持在二十七八度的样子，等等）
引导：现在，你回想一下单式折线统计图的特点，把它 和复式折线统计图比一比，想想
复式折线统计图有哪些特点，等会和大家交流。
提问：和单式折线统计图比，复式折线统计图有什么特点？
指出：复式折线统计图除了具有单 式折线统计图能表示数据多少，直观形象地反映数据
变化情况外，还便于比较不同数据之间的差异。（板 书：特点：直观表示数据多少形象地反
映数据变化情况便于比较差异）
5．小结收获。
提问：大家回顾一下上面的学习内容和学习过程，你有哪些收获？
通过例题学习，你对通过实验收集数据、用统计方法研究问题有哪些体会或认识？
三、练习巩固，实践提升
1．完成“练一练”。
（1）学生阅读“练一练”的习题，初步了解要求是什么。
让学生估计：陶瓷杯和陶瓷碗中水温下降速度会相同吗？哪个速度会快一些？

提问：要解决这个问题，可以怎样做？
（2）学生实验。
那这个实验要怎样做，谁来说说看？
出示要求：
①组长指定两人专门倒水，全组成员遵守操作规定，注意安全；
②被指定的同学利用同样大的玻璃杯，向陶瓷杯和陶瓷碗里倒人同样多的热水；
③由组长按要求定时测定温度，每人记录在自己表格里；
④根据实验数据，完成复式折线统计 图，并思考下面的问题。学生根据要求实验，教师
巡视、指导。
（3）交流讨论。
先让各组和实验前的估计比较，结果与预测是否相同，并在班内说明哪个水温下降快一
些。 < br>指定小组交流，呈现记录的数据和复式折线统计图，用本组的实际数据说明水温各是怎
样变化的， 哪个水温下降得快一些，能从中知道些什么。
说说自己小组两个容器的水温从第几分钟开始饮用比较合适。
追问：你对实验和结果有什么感受和认识？
2．做练习四第2题。
让同桌同学先讨论题里的两个问题。
交流：你从图中了解了些什么？
在风信子发芽 实验中，开始出现根和芽的情况各是怎样的？能说说根和芽从出现开始的
生长变化情况吗？
四、课堂小结，布置实验
提问：这节课都是通过实验的素材学习复式折线统计图的。通过学习 ，你对复式折线统
计图有哪些认识？还有哪些收获？
布置：如果你有兴趣，可以找两种不同的 植物种子，做一次发芽实验，观察、记录发芽
情况，并制成复式折线统计图。

第三课时 折线统计图练习
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第26～27页练习四第3～7题，“你知道吗”。
教学目标：
1．使学生进一步认识复式折线统计图，能读懂折线统计图，能说明折线统计图表 示的
统计结果；能根据数据用折线表示统计结果，能简单分析复式折线统计图的数据，了解数据
反映的一般情况或规律。
2．使学生进一步体会复式折线统计图的特点，提高用复式折线统计图处理简 单的数据
的技能；体会折线统计图反映的实际情况，增强数据分析观念。
3．使学生积极参与 数据表达和分析活动，产生对折线统计图表示数据的兴趣，感受统
计与现实生活的密切联系，体会统计在 日常生活中的应用。
教学重点：
阅读、理解折线统计图表示的数据。
教学难点：
分析数据隐含的信息。
教学准备：
每人准备一周里每天收集、记录的最高气温和最低气温。
教学过程：
一、引入练习
谈话：我们这一单元学习了折线统计图，认识了单式折线统计图和复式折线统计图。今
天，我们 练习这部分内容。（板书课题）通过练习，要进一步认识折线统计图表示数据的方

式，读 懂折线统计图，掌握用折线表示数据的方法，并能分析折线统计图表示的数据，说明
折线统计图表示的实 际问题的具体情况。
二、基本练习
1．做练习四第4题。
（1）让学生观察折线 统计图，了解是什么内容的统计图，仔细阅读图中的数据，弄清
数据的变化过程。
提问：你从 折线统计图里知道了什么？折线直观形象地表示了电冰箱销售的哪些情况，
能大体说说每月的销售台数和 数据的变化吗？
（2）要求学生根据下面的问题先在图中找一找，独立思考答案或理由。
交 流：让学生交流第(1)题的具体情况。提问：销售台数最多和最少的月份你是怎样看
出来的？销售量在 100台以上的月份只要怎样找？
说明：折线统计图上最高的点表示最多的月份，最低的点表示最少的 月份；找销售量在
100台以上的月份，只要找到表示1 00台的横线，销售台数在这条线上面的月份 都超过100
台。可见折线统计图能直观地反映数据的多少。（板书：直观反映数据多少）
（3）交流：让学生交流第(2)题的问题。
提问：你从图上怎样看出增长最快和下降最快的 是哪个月份的？（板书：形象地表示数
据变化情况）
图上看，销售台数五月份增长最快，十一月份下降最快，你能试着解释原因吗？
指出：在折线 统计图上比较数据增长或下降得快还是慢，只要看上升或下降时的折线是
陡峭还是平缓。如果陡峭，说明 数据上升或下降比较快，比如图上表示五月、十一月数量变
化的折线最陡峭，是销售量增长、下降最快的 。如果平缓，说明数据上升或下降比较慢，比
如表示七月、八月数量变化的折线比较平缓，说明销售量增 长慢。如果陡峭程度差不多，可
以再比较数据变化的多少，比如五月和十月折线上升陡峭程度差不多，可 以看表示数据的点
上升了多少，这里五月大约上升了3格，十月上升了不满3格，所以五月增长最快。可 见，
折线的陡峭程度反映了数据增减的速度。（板书：直接反映增减变化的速度）
2．做练习四第5题。
（1）让学生阅读折线统计图，观察图里的数据及数据的变化。
提问：这幅统计图横向底线上表示的什么，纵向左边线上表示的什么？
在起飞后5秒和10秒 时，两条折线分别表示两架模型飞机的什么情况？你还能看出些
什么信息？
（2）让学生思考统计图下面的问题，在全班交流问题的结论。

从哪里看出两架飞机的飞行时间的？怎样看出10秒时的高度和同一高度的时间的？ < br>（3）提问：比较两架模型飞机的飞行高度，有什么特点？（如第15秒之前甲飞机的高
度比乙飞 机高，之后乙飞机的高度比甲飞机高；哪段时间飞行高度是上升的或持平的，哪段
时间飞行高度是下降的 等）
从图上你还能看出哪些信息？（比如第几秒高度上升或下降速度比较快等）
三、实践交流
1．做练习四第6题。
让学生阅读习题，说说表中的数据表示的是什么。
引导，如果要能通过直接观察比较上海和悉 尼全年气温的情况，你认为这些数据怎样表
示比较合适？
让学生根据表里的数据，完成题里的折线统计图。
呈现学生完成的折线统计图，检查、校对绘制的折线是不是正确，有错的订正。
提问：观察统计图，这两个城市最高月平均气温分别出现在几月份？最低呢？
你还能提出什么问题？（学生提出问题，全班互相讨论、交流）
比较两个城市全年的气温变化有什么不同的地方，你有什么发现？
指出：比较折线统计图上数 据的变化情况可以看出，我国上海和澳大利亚悉尼这两个城
市的气温变化正好相反，上海月平均气温最高 的月份．是悉尼月平均气温最低的时候；上海
月平均气温最低的月份，又是悉尼月平均气温最高的时候。
2．阅读“你知道吗”。
引导：上海和悉尼的气温变化为什么会这样呢？你知道原因吗？知道 的可以先说一说。
（可以让知道的学生交流）
有的同学已经交流了其中的原因，为了大家都弄 清楚原因，现在请大家阅读教材上的“你
知道吗”，进一步了解是什么原因。
学生阅读，然后交流说明理由。
说明：在统计图上，折线表示的上海和悉尼气温变化情况完全 不同。这是由于地球绕太
阳公转，一年中地球上太阳直射区域会发生变化，使南、北两个半球上的季节完 全不同，北
半球是夏季时南半球是冬季，北半球是冬季时南半球是夏季，而上海在北半球，悉尼在南半< br>球，所以气温高低及变化大不相同。
3．做练习四第7题。
（1）引导：你记录的这 一周中我们当地每天最高气温、最低气温的数据都准备好了吗？
请大家先把你的记录和同桌交流一下，看 看是否基本一致。指名学生说说这一周每天的最高、

最低气温。
（2）提出制作统计图表的任务，出示要求：
①每人利用第1 1 9页上的方格纸，把收集的数据先制成统计表，再制成折线统计图。
②先想一想最高、最低气温的统计表是单式的还是复式的，设计统计表，再完成数据填
写。
③先思考折线统计图上日期、气温怎样安排，再设计统计图结构，然后用折线表示数据。
④制作统计图表时如果有困难，可以互相商讨、帮助，完成后在四人小组里互相交流。
学生设计、制作统计图表，教师巡视、指导。
（3）交流：你是怎样设计统计表的，表里怎样 填写数据的？请把你完成的统计表展示
给大家交流。（选择呈现统计表，检查格式、数据）
能根据统计表说说你知道了些什么吗？
你的折线统计图是怎样完成的？和大家一起交流。（选 择呈现统计图，检查表示数据的
点和折线表示的变化情况）
你能根据统计图，说说你都知道了 些什么，对我们当地这一周气温情况能提出哪些问题
或想法吗？（学生根据统计图提出问题并交流想法）
四、练习小结
提问：通过这节课的练习，你对这单元学习的折线统计图的内容有哪些收获？
对于统计及这节课的练习，你还有哪些体会？有需要和大家一起再商量的问题吗？












第四课时 蒜叶的生长

教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学>五年级下册第28～29页综合与实践“蒜叶的生长”。
教学目标：
1．使学生通过实验、统计，了解蒜叶根须和叶片的生长情况，认识在阳光下和房 间里
蒜叶生长的相同点和不同之处；能正确地收集数据并用折线统计图表示数据，通过调查、记
录、比较数据获得问题研究的简单的结论。
2．使学生经历蒜头发芽实验和测量、统计、数据分析等活 动，体会用实验方法研究问
题的过程与方法，进一步体验数据统计活动的过程，以及统计数据的作用，积 累数学活动经
验，发展数据分析观念。
3．使学生进一步了解日常生活中的数学问题，产生学 习数学的兴趣；感受实验研究的
科学性和数学结论的严谨性，培养认真观察、测量和记录数据的习惯，实 事求是的科学态度，
并获得成功发现结论的体验。
教学重点：
蒜叶生长的实验与统计。
教学准备：
每个小组准备3个种植蒜头的盆（两个放土，一个放水），若干饱满的蒜瓣。
教学过程：
一、提出问题
出示蒜头和蒜苗的图片，让学生观察，说说各是什么。
提问：你对蒜 头、蒜苗的种植、用处有哪些了解？（学生自由交流自己知道的蒜的种植、
生长、用处等一些情况） < br>引导：同学们已经对蒜有一些了解，知道蒜的一些种植情况、生长期的时间，以及食用
调味、杀灭 病菌等作用。但你注意过蒜头发芽情况和蒜叶的生长过程吗？（板书：蒜的生长
过程？）
要知 道蒜叶的生长过程，就需要通过发芽实验来了解。那具体怎样研究呢？大家想想，
有没有什么办法能观察 到蒜叶的生长过程？
交流：发芽实验可以怎样做？怎样知道它的生长情况？
引入：那从今天 开始，我们就研究蒜叶的生长情况。（板书课题）现在先了解实验方法
和实验活动要求。
二、观察记录
1．种植蒜头。引导：要知道蒜叶的生长情况，就需要通过蒜头的发芽实验，观 察它的

生长情况。所以首先要种蒜头。现在请小组组长负责，互相配合，一起来种蒜头。
要求每个小组的同学，选择一些粗壮、饱满的蒜瓣分别种植在三个盆里；种在土中的蒜
瓣把尖头 一头朝上，蒜瓣尖头可以稍微露出土壤一点。（学生种植蒜瓣）
种植完成后，要求把种在土壤中的两盆 分别放在阳光下和屋子里，注意放的位置要便于
观察和测量；种在水里的放在容易观察和测量的合适的地 方。
2．观察记录。
呈现要求：
（1）观察、记录根须的生长。
①各人注意观察自己小组种在水中蒜瓣的根须生长情况；
②从第2天起各小组每天测量根须生长情况，每人都做好记录；
③一星期后，根据记录的数据完成折线统计图。
（2）观察、记录蒜叶的生长。
①从第6天起每两天测量一次蒜叶的生长情况；
②每次分别测量放土的两盆蒜苗的最长蒜叶，各人记录在自己的表格里；
③到第16天为止，根据每次收集的数据制成折线统计图。
出示要求后，让学生了解根须和蒜 叶的测量、统计要求，结合不同的测量、记录内容，
分别呈现相应的数据记录表和统计图，让学生观察， 弄清楚观察记录表的要求和要制成的折
线统计图。
让学生说说记录数据和制作这两个统计图要注意些什么。
明确要求后，要求学生以后每次能按时观察、认真测量、准确记录。
3．交流结果，分析数据。
在学生按要求经过一段时间的观察和收集、记录数据，并制成统计图后，组织交流和分
析。
（1）交流根须生长情况。
引导：大家先在小组里交流一下，你们小组蒜瓣从第几天开始长出 根须的？根须生长是
怎样变化的？
交流：你们小组蒜瓣根须是第几天长出的？你们小组根须生 长变化的情况怎样？（呈现
各组折线统计图，互相交流、介绍）
从各组的统计结果里，你发现了哪些共同的地方？
各组介绍第3天、第6天根须长度，并分别计算前3天和前6天的平均长度。
各组介绍前3天的平均长度、前6天的平均长度。(2)交流蒜叶生长情况。

引导：在小组里交流，阳光下和屋子里的蒜叶生长有什么相同的特点，比较每次测量的
两组蒜叶长度的差 ，看看差的变化有什么特点；想想你还能从统计图中得到哪些信息。
交流：请哪个小组来介绍你们组记 录的数据和制成的统计图，说说不同的两盆蒜叶生长
情况有什么共同的地方，比比图中每组数据的差各是 多少，看看差的变化有什么特点。
指名几个小组代表呈现数据、统计图，介绍、交流。
提问：现在你对蒜叶的生长变化情况有了哪些了解？通过怎样的途径了解到的？
三、回顾反思
引导：我们通过实验、观察、测量记录，并用折线统计图表示数据了解了蒜叶的生长变
化情况。 回顾这一段时间观察、记录的过程，看看统计图表示的数据，你有哪些体会和大家
交流？（指名学生交流 ）
总结：通过交流，大家都有许多收获和体会，特别是对用实验、统计的方法研究问题，
有很 多体会。大家知道了，在实验过程中，要坚持按时观察、认真测量、准确记录，这样才
能有准确的结果反 映出来，获得可靠的结论。同时还知道了，用折线统计图来表示生长变化
的情况，能直观地显示蒜叶生长 情况，便于观察结果获得结论。在小组活动中，大家互相合
作，可以更好地完成实验任务。

第三单元 因数与倍数

一、教学内容
教材第30～51页的“例1～例12”以及练习五～七。
二、教材分析
本单元主 要教学因数和倍数，以及公因数和公倍数等内容。本单元内容大体分三段安排：
第一段，认识因数和倍数 ，学习在1～100的自然数中有序地找出10以内某个数的所有倍数，
以及100以内某个数的所有因 数；探索2、5、和3的倍数的特征，学习判断一个数是不是2、
5或3的倍数，同时认识奇数和偶数。 第二段，认识质数、合数和质因数，学习把一个合数
分解质因数。第三段，认识公因数和最大公因数，探 索求两个数的最大公因数的方法；认识
公倍数和最小公倍数，探索求两个数的最小公倍数的方法。最后， 安排了全单元内容的整理
与练习。
三、学情分析
本单元内容是在学生已经认识了亿 以内的数，以及学习了整数四则运算的基础上进行教
学的。学习本单元内容，又为后续学习分数的基本性 质、约分和通分，以及分数四则运算打
下基础。

四、教学目标
1. 使学生经历探索非0自然数的有关特征的活动，知道因数和倍数的含义；能找出100
以内某个自然数的 所有因数，能在1～100的自然数中找出10以内某个数的所有倍数；知道
2、5和3的倍数的特征， 能判断一个数是不是2、5或3的倍数；了解奇数和偶数、质数和
合数的含义，会分解质因数。
2. 使学生通过具体的操作和交流活动，认识公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍
数；会 求100以内两个数的最大公因数和10以内两个数的最小公倍数。
3. 使学生在探索和发现数学知 识的过程中，积累数学活动的经验，培养观察、比较、
分析和归纳的能力，感受一些简单的数学思想，进 一步发展数感。
4. 使学生在参与学习活动的过程中，培养主动与他人合作交流的意识，体验数学学 习
活动的乐趣，增强对数学学习的自信心。
五、教学重、难点
教学重点：掌握倍数 和倍数、质数和合数、最大公因数和最小公倍数等概念的联系和区
别，掌握求两个数最大公因数和最小公 倍数的基本方法。
教学难点：根据数的特点合理灵活地确定两个数的最大公因数和最小公倍数，以及根 据
对最大公因数和最小公倍数的理解正确解答相关的实际问题。
六、课时安排
因数和倍数…………………………………………1课时
2和5的倍数的特征………………………………1课时
3的倍数的特征……………………………………1课时
因数和倍数练习……………………………………1课时
质数和和合数………………………………………1课时
分解质因数…………………………………………1课时
公因数和最大公因数………………………………2课时
公倍数和最小公倍数………………………………2课时
因数与倍数整理与练习……………………………2课时
和与积的奇偶性……………………………………1课时

第一课时 因数和倍数
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册 第30～32页例1、例2和“试一试”、例3
和“试一试”“练一练”，第35页练习五第1～4题。
教学目标：
1．使学生认识倍数和因数，能判断两个自然数间的因数和倍数关系；学 会找一个数的
因数和倍数的方法，能按顺序找出100以内自然数的所有因数，10以内自然数的所有倍 数；
了解一个数的因数、倍数的特点。
2．使学生经历探索求一个数的因数或倍数的 方法、一个数的因数和倍数特点的过程，
体会数学知识、方法的内在联系，能有条理地展开思考，培养观 察、比较，以及分析、推理
和抽象、概括等思维能力，发展数感。
3．使学生主动参 与操作、思考、探索等活动，获得解决问题的成功感受，树立学好数
学的信心，养成乐于思考、勇于探究 等良好品质。

教学重点：
认识因数和倍数。
教学难点：
求一个数的因数、倍数的方法。
教学准备：
同桌准备12个同样大的正方形学具。
教学过程：
一、操作引入，认识意义
1．操作交流。
引导：你能用12个小正方形拼成一 个长方形吗？请同桌两人合作拼一拼，看看每排摆
几个，摆了几排，想想有几种拼法，用算式把你的拼法 表示出来。
学生操作，用算式表示，教师巡视。
交流：你有哪些拼法？请你说一说，并交流你表示的算式。
结合学生交流，呈现不同拼法，分别板书出积是12的三道乘法算式（包括可以板书除
法算式）。
2．认识意义。
(1)说明：我们先看4×3=12。根据4×3-12， 我们就可以说：4和3都是12的因数；反
过来，12是4的倍数，也是3的倍数。
要求学生看算式模仿说一说哪个是哪个的因数、倍数，再指名多位学生说一说。（如果
交流中出现除法算 式，还可以引导学生根据板书的除法算式说一说因数或倍数关系）
让学生集体说一说，体会因数和倍数关系。
(2)启发：现在让你看另外两个算式，你能说一 说哪个是哪个的因数，哪个是哪个的倍
数吗？同桌互相说说看。
交流：根据6×2=12可以怎样说？（指名多人说一说，再集体说一说）根据12×1=12
呢？
要求学生看后两个算式集体说一说因数和倍数关系。
(3)小结：从上面可 以看出，在整数乘法算式里，两个乘数都是积的因数，积是两个乘
数的倍数。它们之间的关系是相互依存 的。这就是我们今天学习的新内容：因数和倍数。（板
书课题）在研究因数和倍数时，所说的数一般指不 是O的自然数。[在课题下面板书：（指不
是0的自然数）]
追问：想一想，上面12的因数都是怎样找到的？

你能根据上面的想法说说12的因数一共有哪几个吗？
说明：从上面算式可以看出，如果要找 12的因数，只要想哪两个整数相乘等于12。因
为1×12、2×6和3×4都等于12，所以12的 因数有1、2.3.4、6、12这6个。（板书：12
的因数有：1，2，3，4，6，12）
3．做“练一练”第1题。
先要求分别看乘法算式说说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。
再让学生把乘法 算式改写成除法算式，（分别板书除法算式）然后分别看除法算式说说
哪个数是哪个数的因数，哪个数是 哪个数的倍数。
提问：能单独说8是因数，72是倍数吗？你是怎样想的？
指出：乘法和除法是有联系的算式，根据乘法算式或除法算式，都可以知道谁是谁的因
数，谁是谁的倍数 。因数和倍数是根据整数乘法或除法算式确定的，表示数与数之间的一种
关系，不能单独说谁是因数、谁 是倍数，应该表达清楚哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪
个数的倍数。
二、导探究，学会方法
1．找一个数的因数。
(1)出示例2，要求学生找出36的所有因数，并思考是怎样找的。
让学生自己找36的因数，并把所有因数记录下来。有困难时可以和同学商量。
交流：36的所有因数有哪些？说说你是怎样找的。
根据学生的交流，呈现各人找出的因数，并按交流的方法板书所有因数。
比较：你认为这里每人找因数的方法，哪个比较好一点？为什么？
追问：想一想，怎样找一个数的因数可以做到不重复、不遗漏？
说明：找36的所有因数，可 以按从小到大的顺序想哪两个数的积是36，一对一对地找，
也就是这样想：先想1和36，写在因数的 两端；（板书）再想2和18.3和12.4和9、（5可
以吗？为什么？）6和6，相同的只要写一个 。中间还有吗？（结合说明板书成：36的因数
有：1，2，3，4，6，9，12，1 8，36 。）
追问：你能说说找一个数的所有因数时，怎样可以做到不重复、不遗漏吗？
让学生按这样的方法把例2里36的因数补充完整。
提问：现在你能说出36的全部因数了吗？（指名按顺序说一说）
说明：一个数的所有因数，还可以用一个圈表示，请大家看课本上的表示方法，看看是
怎样用图表示的。
追问：这个圈里表示的是什么？（呈现36因数的集合图）

(2)完成“试一试”。
让学生独立找出1 5和16的所有因数，教师巡视、指导。
交流：15有哪些因数，按怎样的方法想的？16呢？（按一对一对的顺序板书结果）
(3)发现特点。
引导：请大家观察这里写出的12、36、1 5和1 6的所有因数，找找有没有什么共同的
地方，能不能发现有什么特点？和同桌一起观察、交流。
交流：你发现有什么共同的特点？（学生交流、归纳，如果学生有困难，可以启发：除
了最小的因数都是1，还有什么共同点吗？最小的因数是1，最大的因数是它本身，那因数
的个数会有什 么特点呢？）
指出：一个数的因数，最小的是1，最大的是它本身，个数是有限的. 书呈现）
2．找一个数的倍数。
(1)引导：我们已经学会了找一个数的 因数，那怎样找一个数的倍数呢？现在请你找出3
的倍数，把它们记录下来。大家独立试一试。
学生自己找3的倍数并且记录下来。
交流：你找到的3的倍数有哪些？说说 怎样找的o（根据交流，板书学生找到的3的倍
数，并发现可以写出很多很多）
你认为哪个找倍数的方法比较好，是怎样找的？
说明：3的倍数是3和一个数相乘的积，我们 可以从3的1倍开始按次序列举出3的倍
数，3×1=3，3×2=6，3×3-9，…这样3的倍数有 多少个？为什么会有无数个？那要怎样表
示呢？（板书：3的倍数有：3，6，9，12，…）
提问：怎样找一个数的倍数？为什么会有无数个？
说明：我们可以用列举的 方法，从3的1倍开始依次列举出3的倍数。因为所乘的自然
数1，2，3……是无限的，所以3的倍数 有无数个。在写一个数的倍数时，要用省略号表示
出来。
让学生用列举的方法补写例3里3的倍数。
提问：你能按顺序列举3的倍数吗？大家根据填写的倍数集体说一说。
要求学生把3的倍数在课本上的图里表示出来。
交流：这个圈里表示的是什么？在圈里写3的倍数要注意什么？（省略号）
(2)完成“试一试”。
让学生独立找出2和5的倍数，教师巡视、指导。
交流：2的倍数有哪些？这是按什么方法找的?5的倍数呢？写一个数的倍数时要注意什

么？（按顺序板书2和5的倍数，并注意用省略号表示）
说明：找一个数的倍数可以从乘1开 始，依次列举。因为一个数的倍数是无限的，最后
要注意用省略号表示。
(3)发现特点。
引导：请大家观察这几个数的倍数，能发现一个数的倍数有什么特点吗？
指出：一个数的倍数，最小的是它本身，没有最大的，个数是无限的。（板书呈现）
三、练习巩固，应用拓展
1．做“练一练”第2题和第3题。
让学生填写因数和倍数。
交流：这两题你是怎样填的？（呈现结果）
提问：能说说找一个数的因数和找一个数的倍数的方法吗？
一个数最大的因数有什么特点？最小的倍数呢？
说明：求一个数的因数，可以从小到大按顺序 找哪两个数的积是这个数；求一个数的倍
数可以从乘1开始，依次列举出这个数的倍数。一个数最小的因 数是1，最大的因数和最小
的倍数都是它本身。
2．做练习五第1题。
引导学生了解题意，明确把24人按排数和每排人数填表。
让学生独立完成填表并交流，说说怎样想的，结合呈现表内数据。
提问：这里的排数和每排人数都是24的因数吗？为什么？
指出：依次对应的排数和每排人数 相乘的积都是24，所以排数和每排人数都是24的因
数。说明找一个数的因数时，可以依次想哪两个数 的积是这个数，这样的两个数就是它的因
数。
3．做练习五第2题。
让学生明确要求，完成填表。
交流结果并呈现，结合让学生说说怎样填的。
提问：每人应付4元，应付元数都是4的倍数吗？你是怎样得出这里的应付元数的？
说明：这 里的应付元数都是4的倍数，因为这些对应的元数是把4依次乘1，2，3……
得到的。把一个数依次乘 1，2，3……所得的积，就能得出这个数的倍数。
4．做练习五第3题。
让学生在圈里填上合适的数。
交流：你是怎样填的？（呈现结果）

说明：因为4的倍数是无限的，所以依次写出4的一些倍数后，需要用省略号表示；但
50以内7的倍数 最大的不会超过50，个数是有限的，所以这个圈里不写省略号。
追问：为什么一个要写省略号，另一个不需要？
5．做练习五第4题。
出示第4题。
让学生按要求用相应符号圈出相应的数。
交流并呈现结果。
提问：观察直线上表示出的6的因数和6的倍数，你有什么要说的吗？
指出：6的因数都不大于6；6的倍数都不小于6 . 6是6最大的因数，也是6最小的倍
数。
追问：6是6的因数，也是6的倍数，这个说法对不对？8是8的因数，也是8的倍数
呢？
6．填充。
(1)7的倍数最小是( ),7的因数最大是( )。
(2)一个数有因数3，它一定是( )的倍数。
(3)8是2的( )数，2就是8的( )数。
四、课堂总结，交流收获
提问：这节课你认识了什么知识，学到了什么方法？在学习过程中有哪些收获和体会？









第二课时 2和5的倍数的特征
教学内容：

苏教版义务教育教科书《数学》五年 级下册第32～33页例4和“练一练”，第35～
36页练习五第5～7题。

教学目标：
1．使学生认识和掌握2和5的倍数的特征，认 识偶数和奇数；能判断或写出2和5的
倍数，并说明判断理由，能说出偶数或奇数。
2．使学生经历探索和发现2和5的倍数的特征的过程，培养观察、比较和抽象、概括
等思维能力，提高 归纳推理的能力，积累数学活动的经验，进一步发展数感。
3．使学生主动参与探索、发现规 律的活动，体验发现规律的喜悦；感受数学充满规律，
对数学产生好奇心，增强学习数学的积极情感。
教学重点：
认识2和5的倍数的特征。
教学准备：
为学生每人准备百数表一张；每人准备O、5、6、7四张数字卡片。
教学过程：
一、激活经验
引导：我们已经认识了因数和倍数，学会了找一个数的因数或倍数的方法。想一想，如< br>果告诉你一个数，比如3，怎样找出它的倍数？请你说一说找倍数的方法。
在研究一个 数的倍数时，人们发现了有一些数的倍数是有特征的。比如，你任意说出一
个数，我们就可以判断它是不 是2的倍数。大家一起来试试看：有一个数是730，你觉得它
会是2的倍数吗？怎样想的？
揭题：这说明有的同学在以前的学习中，可能已经意识到了2的倍数的特点。今天我们
就利用对倍数和因 数的认识，通过找倍数，发现和认识2和5的倍数的特征.（板书课题）
二、探究新知
1．找2和5的倍数。
出示例4，呈现百数表。
引导：请同学们拿出老师 为大家准备的百数表，先在5的倍数上画“△”，再在2的倍
数上画“O。在找这两个数的倍数时，请大 家注意每行数里5的倍数有哪些，哪些数是2
的倍数。能行吗？
学生画符号，教师巡视、指导。 呈现分别画出符号的数，学生校对、确认。
2．探究发现特征。
(1)引导：请观察表里5的倍数，在每行里哪些是5的倍数，你能发现 5的倍数有什么
特征吗？和同桌同学互相说一说。
交流：你发现5的倍数有什么特征吗？

指出：5的倍数，个位上是5或0。（板书：5的倍数，个位上是5或0）
引导：你能任意说 一个这样的三位数或者四位数，验证我们发现的特征吗？大家试一试。
（指名学生说出相应的数，引导用 除法检验是不是5的倍数）
追问：怎样的数是5的倍数？
(2)提问：观察2的倍数，有什么特征？
指出：2的倍数，个位上是2、4、6、8、0。(板书：2的倍数，个位上是2、4、6、8、
O)
引导：请同桌两人互相举出三位数或四位数的例子，验证发现的2的倍数的特征。
交流：你是怎样举例的？（学生口答举例）
个位上不是2、4、6、8、O的数，会是2的倍数吗？自己举出例子试一试。
交流：你举的什么例子，是不是2的倍数？（指名学生举例说明）
追问：怎样的数是2的倍数？
(3)引导：观察表里5的倍数和2的倍数，看看什么样的数既 是5的倍数，又是2的倍
数。和同桌说说你的想法。
交流：怎样的数既是5的倍数，又是2的倍数？
说明：个位是0的数，既是5的倍数，又是2的倍数。
3．认识偶数和奇数。
说明：我们已经认识了2的倍数的特征。我们把是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍
数的数叫作奇数。 （板书：偶数-2的倍数奇数——不是2的倍数）
引导：你能说出几个偶数吗？奇数呢？
追问：偶数和奇数就是我们以前说过的什么数？（双数和单数）
· 三、组织练习
1．做“练一练”第1题。
让同桌同学先互相说一说。
指名学生交流，分别说出答案，结合说说理由。
提问：判断5的倍数和2的倍数，只要看哪一位上的数？
指出：看一个数是不是2或5的倍数，都只要看个位上的数。
2．做“练一练”第2题。
学生先回答前两个问题。
让学生举例说说生活中的奇数和偶数。
3．做练习五第5题。

让学生把偶数圈出来。
交流哪些是偶数，哪些是奇数。
4．做练习五第6题。
(1)让学生用卡片按(1)的要求组成两位数，试试能组成几个这样的数。
交流组成了哪些偶数，明确可以用0和6作个位上的数，能组成5个这样的两位数。
(2)让学生完成第(2)题。
交流各人组成的两位数，明确能组成5个这样的两位数。
(3)学生完成第(3)题。
交流结果，说出可以组成的3个数。
5．做练习五第7题。
让学生先涂一涂4的倍数。
观察：4的倍数都是2的倍数吗？
引导：你知道为什么4的倍数都是2的倍数吗？
指出：因为4=2×2，4是2的倍数，也就是4有因数2，这样4的倍数也一定有因数2，
所以4的倍 数一定是2的倍数。比如，12—4×3-2×2×3，12就是2的倍数；16—4×4-2
×2×4 ，1 6也是2的倍数，等等。
追问：6的倍数一定是2的倍数吗？为什么？
6的倍数一定是3的倍数吗？说说你的理由。
说明：如果一个数是另一个数的倍数，那么这个数的倍数也一定是另一个数的倍数。
6．填充。
(1)一个两位数是5的倍数，它最小是( )，最大是( )。
(2)最小的偶数是( )，最小的奇数是( )。
(3)比10小的数里，偶数有( )个，奇数有( )个。
(4)8的倍数除了也是1的倍数，还是( )或( )的倍数。
四、全课总结
提问：通过今天的学习，你有什么收获？




第三课时 3的倍数的特征

教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第33～34页例5、“练一练”和“你知道吗”，
第36页练习五第8～10题。
教学目标：
1．使学生认识和掌握3的倍数的特点，能判断或写出3的倍数，并能说明判断理由。
2．使 学生经历探索和发现3的倍数的特征的过程，培养观察、比较和分析、概括等思
维能力，积累数学活动的 经验，提高归纳推理的能力，进一步发展数感。
3．使学生主动参与探索、发现规律的活动， 获得探索数学结论的成功感受；体验数学
充满规律，体会数学的奇妙，增强学习数学的积极情感。
教学重点：
认识3的倍数的特征。
教学难点：
研究并发现3的倍数的特征。
教学准备
准备计数器教具和学具。
教学过程
一、激活经验
1．复习回顾。
提问：2和5的倍数有哪些特征？
回顾一下，我们是怎样发现2和5的倍数的特征的？（板书：找出倍数——观察比较—
—发现特征）
2．引入课题。
谈话：我们上节课通过找2和5的倍数，对找出的倍数进行 观察、比较，分别发现了2
和5的倍数的特征。今天，我们就按照这样的过程，探索、寻找3的倍数的特 征。（板书课
题）
二、学习新知
1．提出猜想，引导质疑。
引导：我们知道2的倍数，个位上是0.2.4.6.8;5的倍数，个位上是5或O．那你能 猜想
一下3的倍数会有什么特征吗？为什么这样想？说说你的想法。（按思维惯性，可能许多学
生会猜测个位上是3的倍数）
许多同学认为，3的倍数可能是个位上是3.6.9的数。（板书： 3的倍数，个位上是3、6、

9）
质疑：利用以前的经验学习新内容 ，是不错的学习方法。今天大家联系2和5的倍数的
特征这样猜想，想法是很好的，数学学习经常可以这 样类推。那这一次的猜想还对不对呢？
大家来看几个数：13是3的倍数吗？26和49呢？（根据回答 擦去板书内容后半部分）
2．利用经验，组织探究。
(1)找3的倍数。
引导：那现在怎么办？我们学习2和5的倍数特征时还有什么经验可以利用？（找出倍
数观察比较发现特征）
现在我们先找出100以内3的倍数，看看能不能发现什么规律。
出示百数表，让学生在3的倍数上画“O”。
交流、呈现百数表里3的倍数，有错的修正。
(2)探索特征。
观察：观察、比较这些3的倍数，能发现3的倍数的特征吗？
引导：单凭观察、比较，我们好 像很难找到3的倍数有什么特征。那组成3的倍数的这
些数字究竟有什么特点呢？我们现在在计数器上拨 出几个3的倍数看一看，每个数各用了多
少个珠。比如，我们先拨27，看看这个数要用多少个珠子。（ 在计数器上演示拨27）
提问：可以怎样算出有几个珠？算一算拨27这个数，一共用了几个珠？（板书：2+7=9）
引导：你也能像这样拨出3的倍数，算一算每个数各用了多少个珠子吗？在自己的计数
器上拨一拨，再算 一算。
交流：你拨的什么数，用了多少个珠子？（学生交流，教师根据交流分别板书计算珠子
个数的算式）
提问：每个数位上的珠子个数代表的实际上是什么？它们的和呢？
观察我们算出的3的倍数各个数位上数字的和，你有什么发现吗？请你试着说说看。
归纳：3 的倍数，它的各个数位上数字的和是3的倍数。（接“3的倍数，板书：各个数
位上数字的和是3的倍数 ）
引导：如果一个数不是3的倍数，它各个数位上数字的和会是3的倍数吗？各人找几个这样的数算一算，看看会不会是3的倍数。（学生计算）
交流：你找出的不是3的倍数，它各个数位上数字的和是3的倍数吗？（学生举例，教师
板书计算）
观察这里各个数位上数字的和，你有什么结论？
引导：现在发现，3的倍数 ，各个数位上数字的和是3的倍数；不是3的倍数，各个数

位上数字的和就不是3的倍数 。你任意找一个三位数或四位数，先按这样的结论判断是不是
3的倍数，再用除法算一算，看是不是符合 上面的结论。
交流：你举的什么数，与这个结论相符吗？
3．学生归纳，强化认识。
追问：现在你能告诉大家，经过找出倍数、观察比较，我们发现3的倍数有什么特征吗？
让学生读一读板书的结论。
强调：同学们通过自己的思考、探索，发现了一个数各个数位上数 字的和是3的倍数，
这个数就是3的倍数；反之，一个数各个数位上数字的和不是3的倍数，这个数就一 定不是
3的倍数。
4．阅读“你知道吗”。
启发：当你发现3的倍数的特征时，你对数学有什么感觉？
谈话：是的，数学很神奇、神秘， 3的倍数居然和它各个数位上数字的和有这样密切的
关系！数学有许多神奇、有趣的规律，只要我们具有 一定基础，认真探究，这一条条神奇的
秘密和规律就会被发现和应用。下面请大家阅读课本第34页的“ 你知道吗”，看看会有什么
神奇的规律告诉你。
交流：你知道了什么？什么样的数叫 完全数？举例说一说。（结合举例6和28，先板书
因数，再板书表示完全数的等式）
现在发现的完全数都有什么特征？
三、练习巩固
1．做“练一练”第1题。
让学生把3的倍数圈出来。
交流哪些是3的倍数，说说理由。
2．做“练一练”第2题。
学生读题了解要求，提问学生除数是3，得数有没有余数是什么意思，
让学生很快说出有余数的算式。
指出：3的倍数，除以3没有余数；不是3的倍数，除以3就有余数。
3．做练习五第8题。
让学生在方框里填数，组成3的倍数，并想想每个数可以有多少种不同的填法。
交流：你各是怎样填的，有几种填法？（板书不同填法）
说明：只要各个数位上数字的和是3的倍数，它就是3的倍数。
4．做练习五第9题。

让学生读题，写出不同的三位数，看看自己能组成多少个。
交流：你怎样选3个数字的，组成了几个三位数？说说你的想法。
结合交流板书出10个不同 的数，明确应该分别选择O、5、7或5、6、7这样的3个数
字才能组成3的倍数。再让学生对照一下 ，自己写出了多少个。
说明：看是不是3的倍数，只要看各个数位上数字的和是不是3的倍数，而不管各个数
位上的数字是几。
5．做练习五第10题。
让学生先涂一涂6的倍数并交流。
观察：6的倍数都是3的倍数吗？你能说说是怎样理解的吗？
四、课堂总结
提问：今天的学习你又有什么收获和体会？
判断3的倍数的方法，和判断2、5的倍数不同在哪里？

第四课时 因数和倍数练习

教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学>五年级下册第36页练习五第11～14题，思考题。
教学目标：
1．使学生进一步认识因数和倍数，掌握2、5、3的倍数的特征；能判断或说明 两个数
之间的因数和倍数关系，判断或说明2、5、3的倍数，以及偶数和奇数。
2．使学生 进一步了解知识间的联系；通过判断、说明等活动，进一步体验简单的演绎
推理，发展分析、判断和推理 等思维能力，进一步发展数感。
3．使学生积极参与数学活动，体验应用数学知识判断、推理的过程， 养成善于思考和
言必有据的良好品质。
教学重点：
巩固倍数、因数和2、5、3的倍数的特征。
教学过程：
一、揭示课题
谈话：我们已经学习了因数和倍数，今天我们主要练习因数和倍数的相关知识。（板书
课题）通过练习， 要能进一步认识因数和倍数的意义，能判断或说明数与数之间的因数和倍
数关系；能应用知识判断2、5 、3的倍数，以及偶数、奇数。
二、回顾内容
引导：对于因数和倍数，我们已经认识了哪些内容？ 你能举例说说因数和倍数的关系
吗？（结合板书算式，让学生说一说）
2、5、3的倍数各有 什么特征？根据2的倍数你认识了什么知识？什么是偶数或奇数?[结
合回顾、交流板书：整数乘法a× b=c(0除外)里，a和b是c的因数—一c是a和b的倍数
2的倍数：个位上2、4、6、8、0一偶数、奇数
5的倍数：个位上5或0
3的倍数：各个数位上数字的和是3的倍数

指出：在整数乘法里，两个乘数是 积的因数，反过来积是两个乘数的倍数。2、5的倍
数只要看个位上的数，3的倍数看各个数位上数字的 和。
三、练习应用
1．做练习五第1 1题。
让学生独立选择写出一个算式，再 同桌互相说说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个
数的倍数。
交流：你写的哪个算式，可以 怎样说因数和倍数？（指名交流，结合板书写成的不同算
式，并集体说一说因数和倍数）
说明 ：从上面习题可以看出，因数和倍数是相互依存的。说一个数是另一个数的因数，
就意味着另一个数是这 个数的倍数；反过来也一样，说一个数是另一个数的倍数，就意味着
另一个数是这个数的因数。比如，说 3和4是12的因数，也就表示1 2是3和4的倍数；
反过来也一样，说1 2是3和4的倍数，也就表示3和4是12的因数。
追问：36是4的倍数，还表示什么意思?9是36的因数呢？
2．练习。
(1)写一个能除尽的整数除法算式，说出哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。
让学生独立写除法算式，同桌互相说说因数和倍数。
交流：你写的什么算式，可以怎样说？（结合交流板书算式，再指名说一说或集体说一
说）
说明：根据能除尽的整数除法算式，也可以说出数与数之间的因数和倍数关系。
(2)用因数和倍数说说下面每组数里两个数的关系。 72和8 13和65 20和5
(3)写出下面各数的因数。 4 15 28 42
学生独立完成．指名板演。
集体订正．说说怎样找一个数的所有因数。
(4)写出下面各数的倍数。 4 6 8 9
学生口答，教师板书。
指名说说怎样找一个数的倍数，写一个数的倍数要注意什么。
3．填充。
(1) 36的因数有( )，其中偶数有( )．奇数有( ).
(2)9的最大因数是( )，最小倍数是( ).
(3)1的倍数有：( ).
(4)所有大于o的自然数都是( )的倍数；( )是任何大于o的自然数的因数。

让同桌学生先讨论、交流，再集体交流，说明理由。
4．做练习五第12题。
(1)让学生独立思考第12题，再集体交流，并说说怎样想的。 追问：怎样的数是2的
倍数?5的倍数和3的倍数呢？
(2)填充。
①在大于0的自然数中，最小的偶数是( )，最小的奇数是( )。
②10以内所有奇数的和是( )。
③小于30的数中，既是2的倍数又是3的倍数的最大的—个是( )。
④n是任意一个自然数，2n表示的是( )数，2n +1表示的是( )数。
5．做练习五第1 3题。
让学生独立填写，并想想各有几种填法。
交流：你是怎样填的？说说你的想法。
追问：怎样可以知道一个数同时是两个不同数的倍数？
说明：要同时是两个不同的数的倍数，就要同时具有两个数的倍数特点。比如，是5
的倍数又是 3的倍数的数，既要具有个位上是5或O的特点，又要各个数位上数字的和是3
的倍数。
6．做练习五第14题。
学生读题，了解问题意思。
(1)引导：3个连续自然数的和是3的倍数吗？怎样验证你的想法？
让学生自己写出3个连续自然数算一算，比较结果。
交流：你是怎样验证的？（指名几人交流，教师板书实例，确认是3的倍数）
引导：如果用a 表示任意3个连续自然数中间的一个数，你能用含有a的式子表示其他
两个数吗？哪位说说你想怎样表示 ？（板书：a-1，a，a+l）
能用式子表示3个数的和，说明它一定是3的倍数吗？自己列出求和的字母式子并且化
简。
交流：你是怎样计算的？结果呢？（板书求和过程，得出3a）
说明：用字母表示任意3个连续自然数，它们相加的和是3a，所以一定是3的倍数。
(2)提问：3个连续偶数或奇数的和是3的倍数吗？
自己举例算一算，和同学说说你的结论。
交流：说说你的例子和结论。（板书指名学生交流的数和计算过程、结果，说明结论）
引导： 怎样像上面那样用字母表示3个连续偶数或奇数，计算它们的和并说明一定是3

的倍数呢 ？大家课后可以自己试一试。
四、练习小结
1．练习小结。
提问：通过今天的练习，你有哪些收获和体会？还有需要提出的问题吗？
2．完成思考题。
让学生独立思考、解答。
交流：你找到的是哪个数？怎样想的？
说明：我们可以先写出40的所有因数，再找出其中5的倍数。大家按这样的方法做一
做。
交流结果，得出可能是：5、10、20、40。

第五课时 质数和合数
教学内容：
苏教版义务教育教科书<数学》五年级下册第37页例6、“试一试”和“练一练 ”，第39
页练习六第1～3题。
教学目标：
1．使学生认识质数和合数的意义， 能判断或写出质数或者合数，并说明理由；体会非
0自然数的分类，了解50以内的质数。
2 ．使学生通过比较、分类、概括等活动认识质数和合数，积累认识数学概念的基本活
动经验，进一步体会 分类的思想，培养观察、比较，以及抽象、概括和判断、推理等思维能
力。
3．使学生主动参 与数学思考和交流等活动，体会数学内容的内在联系，产生对数学的
积极情感和主动学习数学的愿望。
教学重点：
理解和认识质数和合数。
教学过程：
一、导入新课
回顾：同学们在前面研究因数和倍数中，以是不是2的倍数为标准对大于O的自然数
进行过分类，还记 得按这个标准，把大于0自然数分成了哪几类吗？（板书：偶数奇数）
引入：这节课我们继续研究大于 O的自然数的分类。今天要按怎样的标准分类，可以
分成哪几类，分成的每一类是什么数呢？老师期望大 家一起来研究分类的标准，通过自己的

分类认识质数和合数。（板书课题）
二、认识新知
1．出示例6。
了解题意，明确要求。
让学生分别写出6个数的所有因数。
交流：这6个数各有哪些因数？我们请一位同学来交流一下。
指名交流，并板书出6个数的全部因数。
引导：现在大家观察这些数的因数，看看它们因数的 个数有什么不同，你想按什么分类？
可以分成几类？在小组里先讨论，等会我们一起交流。
交流：你想按什么把这些数分类，分成几类？（学生交流不同想法，教师引导统一为两
类） < br>引导：大家想到了可以按因数的个数分类，只有两个因数的为一类，有两个以上因数的
为另一类。 那这里只有两个因数的是哪几个数？有两个以上因数的呢？请你在课本上填一
填。
交流：你是 怎样填的？观察这3个数，只有两个因数的数，它们的因数是怎样的两个数？
（板书：只有1和它本身两 个因数）
有两个以上因数的数，它们的因数有什么特点？（板书：除了1和它本身还有别的因数） < br>揭示：像2、3、5这几个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；（板书：
质数）像 6，8、9这几个数，除了1和它本身还有别的因数，也就是有两个以上因数，这样
的数叫作合数。（板 书：合数）
追问：上面这几个数里，哪几个是质数？为什么？哪几个是合数？你是怎样想的？
2．完善分类。
提问：1是质数还是合数？说说你的想法。
说明：1只有一个因数 ，所以它既不是质数，也不是合数。（板书：1:既不是质数，也不
是合数）
提问：回顾上面学习过程，你认为大于O的自然数还可以按什么分类，分成几类？
说明：大于O的自然数按它的因数个数分类，可以分为三类：质数、合数和l。[完善板
书：
自然数 质数 ： 只有1和它本身两个因数
（大于O的）合数：除了1和它本身还有别的因数（两个以上）
1：既不是质数，也不是合数]

3．完成“试一试’’。
让学生先填写因数，再判断各是什么数。
交流：说说你的判断依据和判断结果。（指名交流，呈现结果）
4．回顾整理。
引导：上面我们把大于O的自然数分成哪几类？每类数有什么特点？
我们是怎样认识质数和合数，并把大于O的自然数分类的？
这里的分类和偶数、奇数的分类比较，有什么不同？
小结：我们先写出一些数的因数，根据因 数的个数的特点，认识了质数和合数：质数是
只有两个因数的数，合数是有两个以上因数的数。1只有一 个因数，既不是质数也不是合数。
这样就按因数的个数把大于O的自然数分成了三类：质数、合数和1。 这样按因数个数的分
类和偶数、奇数的分类不同，偶数、奇数是按是不是2的倍数分类的。
追问：按因数的个数分类，可以分成哪几类？按是不是2的倍数分类呢？
三、练习内化
1．做“练一练”。
让学生写出11～20各数的因数，再在圈里填写合适的数。
交流结果。
引导：联系上面10以内的数想一想，20以内有哪些数是质数？
质数都是奇数吗？为什么不都是奇数？
明确：20以内的质数是：2、3、5、7、1 1、1 3、1 7、19。质数不都是奇数，因为2
是质数。
2．做练习六第1题。
让学生先划去2的倍数（2本身不划去），了解方法。
再依次划去3、5、7的倍数（3、5、7本身不划去）。
交流划去的和剩下的数，确认结果。
提问：观察一下，剩下的都是什么数？
说明： 按照这样的方法制成的数表，剩下的全是质数，得到的就是质数表。质数表可以
帮助我们判断一个数是不 是质数。
3．做练习六第2题。
学生根据要求分别填数。
交流结果，说说是怎样想的。
说明：判断一个数是质数还是合数，依据是质数和合数的意义。 如果只有两个因数，就

是——（质数）；如果有两个以上因数，就是——（合数）。如果 有困难，还可以查质数表。
4．填充。（口答）
(1)质数只有( )个因数，合数至少有( )个因数。
(2)自然数中，最小的质数是( )，最小的合数是( )。
(3)比10小的数里，质数有( )个，合数有( )个。
(4) 20的因数有( )，其中是质数的有( )o
5．做练习六第3题。
让学生在乘法算式里填上合适的质数。
交流并呈现结果。
提问：写成的算式中，积是质数还是合数？乘数呢？
合数都能写成几个质数相乘的形式吗？你再找个例子试一试。
交流：你举出的什么例子？（指名交流，教师板书几个类似的乘法算式）
通过举例，你有什么体会？
指出：看来，合数可以写成质数相乘的形式。这是我们下节课要继续学习的内容。
四、全课小结
提问：这节课你认识了哪些知识，学到了什么本领？回顾一下，我们是怎样认识 质数和
合数的，学习过程中有哪些体会？

第六课时 分解质因数
教学内容：
苏教版义务教育教科书<数学》五年级下册第38页例7、例8和“练一练”“你 知道吗’’，
第39～40页练习六第4～8题和“你知道吗”。
教学目标：
1． 使学生认识质因数，知道合数能写成质因数相乘的形式，能把合数分解质因数；了
解可以用短除法分解质 因数。
2．使学生经历探索分解质因数的过程，理解分解质因数的方法，掌握分解质因数的技
能，发展分析、推理等思维能力，进一步提升数感。
3．使学生主动参加探究活动，在探索分解质因数 的过程中获得成功，相信自己能学会
数学，产生学好数学的信心。
教学重点：
学会分解质因数。

教学难点：
认识分解质因数的过程。．
教学过程：
一、认识质因数
1．写出算式。
要求：你能把5和28分别写成两个数相乘的形式吗？自己写一写。
交流：你是怎样写的？(板书：5=1×5 28-1×28 28=2×14 28=4×7)
2．认识质因数。
引导：在这些算式中，哪些数是5的因数？哪些数是28的因数?5和28 的这几个因数
中，分别有哪些是质数？同桌互相说一说。
交流：能把你们的意见和大家分享吗？
明确：在积是5的乘法算式中，1和5是5的因数，其 中5是质数；在积是28的算式
中，1和28、2和14，4和7都是28的因数，其中2和7是质数。 像这样一个数的因数是
质数，这个因数就是它的质因数。（板书：质因数——一个数里是质数的因数）
3．强化认识。
追问：上面算式里，哪个数是哪个数的质因数？1为什么不是5的质因数?1 、28、14
和4为什么不是28的质因数？
强调：一个数的质因数要符合两个条件：它是这 个数的因数；它又是质数。这时它就是
这个数的质因数。比如5是5的因数，又是质数，所以5是5的质 因数；2是28的因数，
又是质数，所以2是28的质因数。
4．做练习六第4题。
让学生阅读习题，独立思考。
交流：你能回答这里两道题的问题吗？说说你的答案。追问：怎 样的数才可以称作一个
数的质因数？
二、分解质因数
1．引入课题。
谈 话：我们认识了质因数，就可以学习新的知识，学会新的本领，这就是分解质因数。
（板书课题）
2．分解质因数。
出示例8，明确把30用质数相乘的形式表示出来。
让学生在课本上尝试表示，把30写成质数相乘的结果。

交流：把30写成质数相乘的形式可以怎样做？（根据交流板书，写成质数相乘的形式）
说明：把30写成质数相乘的形式，先写成质数2乘15；15是合数，把它写成质数3
乘5， 这时乘数全部是质数；就把30写成这几个质数相乘的形式：30-2×3×5。可见，要
写成质数相乘 的形式，可以把合数先写成质数和另一个数相乘的形式；如果另一个数是合数，
再把这个合数写成质数和 另一个数相乘的形式，直到分解成全部是质数相乘为止。像这样把
一个合数用质数相乘的形式表示出来， 叫作分解质因数。（板书：分解质因数——把合数用
质数相乘的形式表示）
3．阅读“你知道吗”。
我们在上面是用逐次相乘的形式分解质因数的，人们在分解质因数时 ，经常用短除法。
大家阅读“你知道吗”，看看你能不能明白短除法是怎样分解质因数的。
交流：能说说短除法是怎样分解质因数的吗？
结合交流说明方法：每次用质数做除数，除到商 是质数为止，再把每个除数和商写成连
乘的形式。
说明：我们上面分解时，每次用质数乘一个 数，直到所有乘数都是质数为止、，和用短
除法的思考方法是相同的，只是用短除法分解质因数过程简便 一些。
4．尝试短除法。
引导：你能用短除法把42分解质因数吗？
学生尝试，指名板演。
交流：能说说这里用短除法怎样分解质因数的吗？
说明：用42每次除以质数，除到商是质数为止，把42写成除数和商连乘的形式。
三、练习巩固
1．完成“练一练”。
让学生在课本上填写分解质因数。
交流：6和14分解成哪些质数相乘的形式？（板书结果）你是怎样想的？
指出：6分解质因 数，可以先想质因数2，写成2×3，全部是质数，于是得到6=2×3;14
分解质因数，也是先想质 因数2，写成2×7，已经全部是质数，得出14=2×7。
2．做练习六第5题。
先圈一圈，交流哪些是合数，再让学生独立把9和16分解质因数。
检查板演题分解质因数的过程，确认结果。
3．做练习六第6题。
让学生观察每组数个位上分别是几，这四组数都是什么数。

要求独立找一找、圈一圈每组里的质数，并交流各有哪些质数。
提问：根据你找质数的结果想一想，奇数都是质数吗？
说明：奇数是按是不是2的倍数确定的 ，质数是按因数的个数确定的，奇数和质数不是
同一标准分类的结果，所以奇数不都是质数。
4．做练习六第7题。
让学生独立填数，并比一比每组数填的结果是不是相同。
交流：你是怎样填的？同一个数，填写的结果为什么不一样？
说明：把一个数写成质数相乘， 是分解质因数，表示出的是积；写成质数相加，要看是
哪几个质数的和。
5．做练习六第8题。
让学生了解题意，明确是能不能把全班人数平均分的问题。
在小组里互相讨论，说说自己的理由。
交流：哪几个班人数可以平均分，哪几个班人数不能平均分？为什么？
说明：一班、三班的人 数是合数，可以写成两个不同数相乘的形式，表示可以平均分；
二班、四班的人数是质数，只能写成1和 它本身相乘，说明不能平均分成几份，也就是不能
分成人数相同的几个小组。
四、拓展视野
让学生阅读第40页“你知道吗”，并出示提示：什么是哥德巴赫猜想？为什么把哥德巴
赫猜想 比喻为“数学皇冠上的明珠”？我国哪些数学家在这项研究上取得重大进展？谁的研
究轰动了国内外数学 界？
学生阅读后，围绕上述问题交流，说说知道了些什么；教师适当说明。
五、课堂小结
提问：今天学习了什么内容？什么是质因数，什么是分解质因数？怎样分解质因数？
你还有哪些体会？

第七课时 公因数和最大公因数
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第41～42页例9、例10和“练一 练’’，第
45页练习七第1～2题。
教学目标：
1．使学生理解和认识公因数和 最大公因数，能用列举的方法求100以内两个数的公因
数和最大公因数，能通过直观图理解两个数的因 数及公因数之间的关系。
2．使学生借助直观认识公因数，理解公因数的特征；通过列举探索求公因数 和最大公
因数的方法，体会方法的合理和多样；感受数形结合的思想，能有条理地进行思考，发展分析、推理等能力。
3．使学生主动参加思考和探索活动，感受学习的收获，获得成功的体验，树立 学好数
学的信心。
教学重点：
求两个数的公因数和最大公因数。
教学难点：
理解求公因数和最大公因数的方法。
教学过程：
一、铺垫准备
1．直观演示，作好铺垫。
出示边长6厘米和边长5厘米的两个正方形。
提问：观察这两个正方形，哪一个能正好分成边长都是2厘米的小正方形？
根据学生交流，演 示分割正方形，看出每条边长6厘米都正好可以分成3份，这个正方
形能正好分成边长2厘米的小正方形 ；边长5厘米的不能正好分成。
追问：为什么边长6厘米的正好可以分成边长2厘米的小正方形，而边长5厘米的不能？
指出 ：因为小正方形边长2是6的因数，边长6÷2=3（份），所以能正好分成同样的正
方形；但2不是5 的因数，边长5÷2有余数，就不能正好分成。
2．引入新课。

谈话：根据 上面我们看到的，如果一个长度是原来边长的因数，就能正好全部分割成小
正方形。现在就利用这样的认 识，学习与因数有密切联系的新内容，认识新知识，学会新方
法。
二、学习新知
1．认识公因数。
(1)出示例9，了解题意。
启发：观察正方形纸片的边长和 长方形的长、宽，哪种纸片能把长方形正好铺满，哪种
不能正好铺满？先在小组讨论，说说你的理由。
交流：哪种纸片能把长方形正好铺满，哪种不能？你是怎样想的？
结合交流进行演示，引导观 察用正方形纸片铺的结果，理解边长6是长方形两边12和
18的因数，能正好铺满；（板书：12÷6 =2 18÷6=3）边长4是12的因数，但不是18的因
数，就不能正好铺满。(板书：12÷4=3 18÷4=4．．．．．．2)
说明：观察正方形和长方形边的长度，6是1 2的因数，又是18的 因数，所以能正好铺
满；4是12的因数，但不是18的因数，所以不能正好铺满。
(2) 启发：想一想，还有哪些边长是整厘米数的正方形，也能把这个长方形正好铺满？
为什么？先独立思考， 再和同桌说一说，并说说你的理由。
交流：还有哪些边长整厘米数的正方形也能正好铺满？你是怎样想的？
你发现正方形边长的厘米数符合什么条件，就能把这个长方形正好铺满？
说明：边长1厘米、2厘米、3厘米的正方形也能正好铺满这个长方形，因为它们是1 2
的因数，又是1 8的因数。可见，当正方形边长既是12的因数，又是18的因数时，就能正
好把这个长方形铺满。
(3)引导：现在你发现，哪些数既是12的因数，又是18的因数？
指出：大家发现，1 、2、3、6这几个数，既是12的因数，又是18的因数，也就是12
和18公有的因数，我们称它们 是1 2和18的公因数。（板书）
追问：4是1 2和18的公因数吗？为什么不是？
说 明：两个数公有的因数，叫作这两个数的公因数。（接“公因数”后板书：——两个
数公有的因数）
2．求公因数。
(1)出示问题。
引导：我们已经知道，两个数公有的因数，是 它们的公因数。那如果已知两个数，你能
不能找出它们所有的公因数呢？接着看一个问题。

出示例10，让学生明确要找出8和1 2的所有公因数，并找出其中最大的一个。
(2)探索方法。
引导：先想想怎样的数是8和12的公因数；再想怎样可以找到8和12 的公因数。和同
桌商量商量，找出它们的公因数，并找出最大的一个。
学生思考、尝试，教师巡视、指导。
交流：你是怎样找8和12的公因数和最大的公因数的？
结合交流，引导学生理解不同思考方法：（在交流中板书过程）
①先分别找出8和12的因数，再找公因数，并确定最大的一个。
②先找出8的因数，再从8的因数里找1 2的因数，并确定最大的一个。
提问：为什么可以这样找8和12的公因数？
说明：因为公因数一定在8的因数里，所以只要 在8的因数里找出也是12的因数，就
是它们的公因数。
③先找1 2的因数，再从1 2的因数里找8的因数，并确定最大的一个。
追问：这种方法是怎样想的？
小结：大家用不同的方法找出了8和12的公因数有1,2,4，其中最大的是4。 4是8和
12的最大公因数。可见，两个数公因数里最大的一个，就是这两个数的最大公因数o（板书：
最大公因 数——公因数中最大的一个）
3．用集合图表示公因数。
出示两个圈：8的因数 12的因数（图略）
让学生分别说出8和12的因数，教师板书。
引导：如果要在图里既看 出8的因数和12的因数，又能把公有的因数写在共同的部分，
这两个圈怎样合并到一起比较合适？小组 里讨论讨论。
学生交流，引导出正确表示的方法，呈现把两个圈部分合并的图，（图见教材，略）再< br>引导在合适的部分分别填写因数，并标注出“8和12的公因数”。
提问：从图上看，哪些数是 8的因数，哪些数是12的因数？哪几个数是8和12的公因
数，最大公因数是几？
指出：从 图上可以直接看出：8和12公有的因数，是它们的公因数，其中最大的一个，
是它们的最大公因数。
4．回顾内容。
提问：回顾今天的学习，我们认识了哪些内容？（板书课题）
什么是公因数和最大公因数？

三、巩固深化
1．做“练一练”第1题。
让学生按要求完成，填写公因数和最大公因数。
交流：18的因数有哪些？30的因数呢？它们的公因数和最大公因数呢？
从表里看，怎样的数是18和30的公因数和最大公因数？
说明：先在表里分别圈两个数的因 数，其中两个数公有的因数，就是两个数的公因数。
公因数中最大的一个就是最大公因数。
2．做“练一练”第2题。
让学生先分别填15和20的因数，再填右图。
交流各是怎样填的，说说15和20各有哪些因数，再说说它们的公因数和最大公因数。
说明 ：15和20的因数中公有的因数，就是15和20的公因数，在公因数中就能找出最
大公因数。
3．做练习七第1题。
(1)让学生依次按要求填出合适的数。
交流并呈现结果。
提问：从练习的过程看，你是怎样找出12和42的公因数和最大公因数的？
(2)引导： 求公因数和最大公因数，可以先分别找出两个数的因数，再找公有的因数和
最大公因数。你能用这样的方 法，求16和24的最大公因数吗？每人独立完成。
学生练习，指名板演。检查板演过程，说明最大公因数；有错订正。
4．做练习七第2题。
让学生直接写出得数。
提问：能根据算式说说哪个数是哪个数的因数或倍数吗？
四、小结收获
提问：今天这节课你收获了什么？在学习过程中你还有哪些体会？


第八课时 公因数和最大公因数练习
教学内容：
苏教版义务教育教科书《数学>五年级下册第45页练习七第3～8题。
教学目标：
1．使学生进一步了解公因数和最大公因数，掌握求两个数最大公因数的一般方法，能

正确地求最大公因数；认识两个特殊关系数的最大公因数的特点，并能利用特点求相应两个
数的最大公因 数。
2．使学生进一步理解求两个数的最大公因数的方法，增强求两个数的最大公因数的技
能 ；能发现具有特殊关系两个数最大公因数的特点，发展综合、概括等思维能力。
3．使学生主动参与练习，积极思维和交流，体会最大公因数的应用，感受数学学习的
乐趣。
教学重点：
求两个数的最大公因数。
教学过程：
一、引入课题
谈话：上节课我们认识了公因数和最大公因数，知道两个数公有的因数是两个数的公因
数，其中最大的 一个是最大公因数，这节课我们练习公因数和最大公因数o（板书课题）在
练习中，要注意进一步理解什 么是公因数和最大公因数，怎样求公因数和最大公因数；还要
能进一步发现求最大公因数的一些简单规律 ，并能应用规律直接求最大公因数。有信心吗？
二、基本题练习
1．根据要求填空。
18的因数有
24的因数有
18和24的公因数有
18和24的最大公因数是
(1)指名学生口答，教师板书。
提问：观察这里填充的过程和结果，想一想：什么是公因数，什么是最大公因数？
那怎样求两个数的公因数和最大公因数呢？
说明：从填充里可以看出，两个数公有的因数是它 们的公因数，其中最大的一个就是最
大公因数。所以先找出每个数的因数，就能找出其中的公因数和最大 公因数。
(2)提问：还有什么方法可以求出18和24的公因数和最大公因数？说说看。
根据学生回答，教师板书。
说明：也可以像这样先找出其中一个数的因数，再从这个数的因数 中找公因数和最大公
因数。这种方法要简便一些。
2．做练习七第3题。
引入：有时应用我们掌握的一些知识，可以直接看出其中一些公因数。

比如上 面的18和24，都是偶数，就有公因数2；都是3的倍数，就有公因数3。应用
这些知识能帮助我们比 较快地发现一些公因数，但它不能找出所有的公因数。
现在看第3题，各人找一找哪几组有公因数2，哪几组有公因数3或57做出记号。
交流：哪几组有公因数27怎样知道的？哪几组有公因数3或5 7为什么？
3．做练习七第4题。
让学生用自己的方法求每组数的最大公因数，指名四人板演。
交流：每组数的最大公因数是几？各是用什么方法求的呢？（检查过程）
追问：你是怎样找出1 3和5的最大公因数是1的？（引导具体观察1 3和5的因数，
确定只有公因数1，所以最大公因数就是1）
说明：如果两个数只有公因数1，最大公因数就是1。
三、发展题练习
1．做练习七第5题。
(1)求左边4组数的最大公因数。
让学生独立找每组数的最大公因数，指名两人板演。
检查过程，确认每组数的最大公因数。
观察：请大家观察每组里两个数的关系，看看它们的最大公因数各有什么特点，你能发
现什么？ 同桌同学互相说一说。
交流：你从每组数里发现了什么？
指出：如果小数是大数的因数，小 数就是这两个数的最大公因数。（板书：小数是大数
的因数，小数就是它们的最大公因数）
(2)求右边4组数的最大公因数。
学生独立找每组数的最大公因数。
交流：这四组数的最大公因数都是几？
你发现什么时候两个数的最大公因数是1 7
指出：两个数只有公因数1，最大公因数就是1。（板书：只有公因数1，最大公因数是
1）
2．做练习七第6题。
引导：我们发现了上面两种关系的数最大公因数的特点，你能应用这个 特点直接写出第
6题里每组数的最大公因数吗？请你写在课本上。
交流：前两组数的最大公因数是几？为什么都是17后两组呢？你是怎样想的？
3．独立思考、交流。

(1)1和2、3、4、5的最大公因数分别是几？
指名学生说出最大公因数各是几。
提问：1和10的最大公因数是几？和25呢？你有什么发现？
指出：1和任何不是O的自然数，最大公因数都是1。
(2)下列每组数的最大公因数是几？
2和3 3和4 4和5 5和6
让同桌学生先说一说最大公因数，再交流结果。
提问：你发现这里每组两个数有什么关系，最大公因数有什么特点？
指出：大于O的相邻两个自然数的最大公因数都是1。
4．做练习七第7题。
让学生先在课本上写出每个分数里分子和分母的最大公因数。
交流：每个分数的分子、分母的最大公因数是几？你是怎样想的？
5．求下列每组数的最大公因数。
4和7 8和1 6 1 6和24
学生独立完成。
交流：每组数的最大公因数是几？（交流结果）每组数你是怎样找的？ 指出：找公因数可以利用每组数的特点确定方法。两个数之间只有公因数1，最大公因
数就是1；两 个数之间具有倍数关系，最大公因数是小数；两个数是一般关系，可以先找出
其中一个数的因数，再找出 它们的最大公因数。
6．做练习七第8题。
学生读题，明确题意是要把长方形正好分成同样 大小的正方形，求正方形的边长最大是
几厘米，可以分成多少个。
学生思考并与同桌交流，再画一画，验证自己的想法。
交流：正方形边长最大是多少厘米？你 是怎样想的？（呈现相应的裁法）一共可以裁出
多少个？可以怎样计算个数？
指出：这是最大 公因数的实际应用。要把长方形正好裁成同样大小的正方形，长和宽都
要能正好平均分，所以正方形的边 长应该是长和宽的公因数。要裁成边长最大的同样的正方
形，它的边长数就应该是长、宽数的最大公因数 。 15和9的最大公因数是3，裁出的正方
形边长最大是3厘米。这样沿长一行可以裁成5个正方形， 沿宽可以裁成3行，所以一共可
以裁出15个这样的正方形。
7．解决实际问题。