新闻传播学类-学习感想

鞋带上的几何

有一天，我去买了两双鞋，一双是运动鞋，有7对 穿孔；一双是
高帮鞋，有10对穿孔。鞋带的长度是一样的，我想如果把鞋带穿在
高帮鞋上，鞋 带太短，就无法打蝴蝶结了。
我请服务员帮忙。等服务员帮我穿好鞋带后，我惊奇地发现同样
长的的鞋带，穿在不同大小的鞋子上，余下的长度竟然差不多，都可
以打成蝴蝶结。我仔细观察鞋带，发 现两双鞋穿鞋带的方法不同。
回家后我尝试着用不同方法穿鞋带，发现穿鞋带的方法有无数
种 。用不同的方法穿鞋带，余下的鞋带长度都是不一样的，有长有短。
那能不能用数学方法计算各种穿鞋带方法所用的鞋带长度呢？
考虑到鞋带系好后要方便于调整鞋子的松紧，所以正常的穿鞋带
方法需要满足以下两个条件：
① ：鞋带不能重复穿过同一个穿孔。
②
：每个穿孔都必须有鞋带穿过。

在这两个条件下，穿鞋带方法大致可以分为以下四类：


1

第1种方法就是这种，我们常用的“Z”字形系法。我叫它逐格
斜穿法。

第2种。被我称为跳格斜穿法。

第3种，我叫它单向斜穿法。



2

第四种在生活中很少用到，因为它的局部 形状很像“回”，姑且
称它为单向回形穿法。这种系法鞋带摩擦力较小，可以很快地脱鞋。
甲乙丙丁四张图中，红色的表示需要计算长度的部分。
画好了图样，我发现每一种穿鞋带的方 法中都有一个共同点：鞋
带曲折交叉后组成的都是几何图形。
鞋带穿孔后的结构如下图，可以分类成三角形和长方形。






3

因 为要计算的是不同的穿鞋带方法在同一双鞋上所用的鞋带长
度，所以假设鞋孔孔距都相同。当鞋孔孔距相 同时，影响穿孔所需鞋
带长度的是斜线的长度。
我量了家里6双鞋的鞋带穿孔之间的距离（三 双运动鞋、三双皮
鞋），算出了平均值。数据如下：a=1cm，b=4cm，n=7
计算长 方形的边长很简单。但是鞋带形状中的三角形都没有封
口，如果不用尺子，怎么才能计算出斜边的长度呢 ？
我于是向爸爸请教。爸爸说可以用勾股定理来计算。他让我画出
这样的示意图：

4

a
b
c
1
2
3

我将正方形内部的直角三 角形旋转、反转、平移，组合成三角形
三条边对应的正方形。过程如下：
1
2
1
2
1
3
2



5

正方形1的面积+正方形2的面积=正方形3的面积，用正方形 的
面积公式证明勾股定理
我很快理解了勾股定理。
那么，知道的值之后，怎么样才能 求出c？我在百度查找“平
方的逆运算”、“平方根”、“开方公式”这些概念以后，看到1980年王晓明老师发表的论文《从牛顿二项式定理开方到牛顿切线法》，
推导了开方的公式。虽然我暂时 还看不懂推导过程，但是我也可以根
据公式求出一个数的平方根。我在这里先试着计算12的平方根。
X（n + 1） = Xn + (A Xn − Xn)1 2
当A=12, 而12的平方根介于和之间，取中间值3.5。
。
第一步：X（n + 1） = 3.5 + (12 3.5 – 3.5)1 2
=3.5-0.0357
=3.4643
第二步：X（n + 1） = 3.4643 + (12 3.4643 –3.4643)1 2
=3.4643-0.0002
=3.4641
第三步：X（n + 1） = 3.4641 + (12 3.4641 –3.4641)1 2
=3.4641
这样得出12的平方根约是3.4641。
我已经明白了平方根的算法，以下鞋带的数字运算就由计算器代劳。
假设鞋带宽度为零，a和b都是已知的数，根据勾股定理可以计

6

算出斜线的长度。
当a=1cm，b=4cm，n=7，那么四类鞋带穿法所需要的长度如下
计算：
甲：
C== =4.123（cm）
斜线部分总长： 2（n-1）×C=12×4.123=49.476（cm）
直线部分总长： 1b=4（cm）
甲穿法所需鞋带总长：49.476＋4= 53.476（cm）
乙：
C=
D==
=4.472（cm）
=4.123（cm）
斜线 部分总长：（n-2）c+2d=4.472×5+4.123×2=22.36+8.246=30.606< br>（cm）
直线部分总长： （n-1）b=6×4=24（cm）
乙穿法所需鞋带总长：30.606＋24= 54.606（cm）
丙：
C=
D=
=
=4.123（cm）
=7.211（cm）
斜线部分总长： c+（n-1）d=7.211+6×4.123=7.211+24.738=31.949（cm）
直线部分总长：（n-1）b=6×4=24（cm）
丙穿法所需鞋带总长：31.949 +24=55.949（cm）

7

丁：
C===7.211（cm）
斜线部分总长：7.211（cm）
直线部分总长：（a＋b）×（n-1）=（1＋4）×（7-1）=30（cm）
丁穿法所需鞋带总长：30+7.211=37.211（cm）
55.949＞54.606＞53.476＞37.211
丙＞乙＞甲＞丁
由此 可知，单向斜穿法（丙）所需要的鞋带长度最长；单向回形
穿法（丁）所需要的鞋带长度最短。
那么遇到类似于高帮鞋的n数值较大的情况，可以用单向回形穿
法
因为用不同的方法 穿鞋带，需要的鞋带长度都是不一样的，所以
鞋厂生产的同样式样、不同大小的鞋可以搭配同一种规格的 鞋带；鞋
带厂同一种规格的鞋带订货量增加；鞋商可以用多种不同的鞋带灵活
自由地搭配各种鞋 子。应用多种穿鞋带方法，有助于鞋厂、鞋带厂和
鞋店减少管理成本和生产成本。
通过数学计 算就可以得到推论，并不需要在鞋子上做无数次的实
验。数学可以使解决问题的方法变得简单。
通过这次研究，我提高了对数学的兴趣。


8