南京农业大学录取分数线-刘湘简介

10.列方程解应用题──有趣的行程问题

知识纵横
数 学是一门具有广泛应用性的科学,我国著名数学家华罗庚先生曾说过:“宇宙之大、
粒子之微、火箭之速 、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”.
数学应用题的类型很多,比 较简单的是方程应用题,又以一元一次方程应用题最为基
础,方程应用题种类繁多,以行程问题最为有趣 而又多变.
行程问题的三要素是:距离(s)、速度(v)、时间(t),•行程问题按运动 方向可分为相遇
问题、追及问题;按运动路线可分为直线形问题、环形问题等.
熟悉 相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、
恰当借助直线图辅助分析 是解行程问题的技巧.

例题求解
【例1】某人乘船由A地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C地,共乘船4小时,已知
船在静水中的速度为每小时7.5千米,水流速度为每 小时2.5千米,若A、C两地的距离为
10千米,则A、B两地的距离为_____千米. (重庆市竞赛题)
思路点拨 等量关系明显,关键是考虑C地所处的位置.
解:20或
20
提示:C可在AB之间或AB之外
3
甲
A
D
【例2】如图,某人沿着边长为90米的正方形, 按A→B→C
→D→A„„方向,•甲以A以64米分的速度,乙从B以72米分
的速度行走, 当乙第一次追上甲时在正方形的(• ).
边上 边上
边上 边上 (安徽省竞赛题)
B
乙
C
思路点拨 本例是一个特殊的环形的追及问题,注意甲实际在乙的前面
3×90=270(米)处.
- 1 -

解:选B 提示:乙第一次追上甲用了
2702706
分钟,72×=7×360+2×90
7
77
【例3】父亲和儿子在100米的跑道上进行赛跑,已知儿子跑5步的 时间父亲能跑6
步,儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等.现在儿子站在100米的中点处,•父 亲站在
100米跑道的起点处同时开始跑,问父亲能否在100米的终点处超过儿子?并说明理由.
(2002年重庆市竞赛题)
思路点拨:把问题转化为追及问题,即比较父亲追上儿 子时,•儿子跑的路程与50的大
小,为了理顺步长、路程的关系,需增设未知数,这是解题的关键.
解:设儿子每步跑x米,父亲每步跑y米,单位时间内儿子跑5步,父亲跑6步,设t个
单位时间父亲追上儿子,则有5tx+50=6ty,把4y=7x代入得5tx+50=6t·x,解得tx =
则赶上时,儿子跑了5tx=
7
4
50
,•
5.5
5050
×5 =<50,故父亲能够在100米的终点前赶上儿子.
5.51.1
【例4】钟表在12点钟时三针重合,经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐
角平分? (2000年湖北省数学竞赛选拨赛试题)
思路点拨 先画钟表示意图,运用秒针分别与时 针、•分针所成的角相等建立等量关系,
关键是要熟悉与钟表相关的知识.
解:
1440
分
1427
提示:设经过x分钟秒针第一次将分针和时针所夹 的锐角平分,因为秒针、分针、时针
的速度分别为360度分、6度分、0.5度分,显然x的值大于1 •小于2,所以有
6x-360(x-1)=360(x-1)-0.5x,解得x=
1440
.
1427
【例5】七年级93年同学在4位老师的带领下准备到离学校 33千米处的某地进行社
会调查,可是只有一辆能坐25人的汽车.为了让大家尽快地到达目的地,•决 定采用步行与
乘车相结合的办法.如果你是这次行动的总指挥,你将怎样安排他们乘车,•才能使全体师
生花最短的时间到达目的地?最短的时间是多少?(师生步行的速度是5千米时,汽车的速
度是 55千米时,上、下车时间不计).
思路点拨 人和车同时出发,由车往返接运,如能做到 人车同时到达目的地,•则时间
最短,而实现同时到达目的地的关键在于平等地享用交通工具,这样,• 各组乘车的路程一
- 2 -

样,步行的路程也就一样.
解:要使全体师生到达目的地花的时间最短,
就应让每一个学生或老师都乘到汽车,并且使他
们 乘车的时间尽可能地长.
97人分成四组①、②、③、④.
实线表示汽车行驶路线,虚线表示步行路
线.
设允许每组乘车的最长时间为t•小时.图
中AC=55t,CB=33-55t.
汽车从C到D(E到F,G到H也一样)
用去的时间为
学校
目的地
33km
A
①
②
③
④
C
D
F
H< br>E
G
B
55t5t5
=t(小时)
5556
511
t+36t=t.
62
汽车到达C处后,三次回头,又三次向B处开.共用去时间3×
这也是第一组从C到B步行所用的时间,所以有33-5t=
11
t×5
2
解得t=
(小时).
22
小时.所以全体师生从学校到目的地去的最短时间为+55
3355
5
2
5

15

5
学力训练
一、基础夯实
1.甲、乙两人骑自行车,同时从相距65千米 的两地相向而行,甲的速度为每小时17.5千米,
乙的速度为每小时15千米,则经过_______ _小时,甲、乙两人相距32.5•千米.
2.某人以4千米小时的速度步行由甲地到乙地,然后又以 6千米•小时的速度从乙地返回
甲地,那么此人往返一次的平均速度是_____千米小时.
3.汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷,驾驶员揿一声嗽叭,4•秒后听到回
响,已知 声音的速度是每秒340米,•听到回响时汽车离山谷的距离是______米.
(第15届江苏省竞赛题)
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4.现在是4点5分,再过_____分钟,分针和时针第一次重合.
5.甲 、乙两人同时从A地到B地,如果乙的速度v保持不变,而甲先用2v•的速度到达中点,
再用
1
v的速度到达B地,则下列结论中正确的是( ).
2
A.甲、乙两人同时到达B地 B.甲先到B地
C.乙先到B地 D.无法确定谁先到
6.甲与乙比赛登楼,他俩从36层的长江大厦底层出发,当甲到达6楼时,乙刚 到达5楼,按
此速度,当甲到达顶层时,乙可到达( ).
A.31层 B.30层 C.29层 D.28层
7.小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路 上匀速行驶,下图是小明每隔1小时看到的里程情
况,你能确定小明在12:00时看到的里程表上的数 吗?












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8.如图,是某风景 区的旅游路线示意图,其中B、C、D为风景点,E•为两条路的交叉点,图中
数据为两相应点间的距离 (单位:千米),一学生从A处出发,以2千米•时的速度步行游
览,每个景点的逗留时间均为0.5小 时.
(1)当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时,共用了3小时,求CE的长.
(2)若此学生打算从A处出发后,步行速度与在景点的逗留时间保持不变,且在最短时
间内看完三个景点返回到A处,请你为他设计一条步行路线,•并说明这样设计的理
由.(不考虑其他 因素). (2001年江西省中考题)






9.某人从家里骑摩托车到火车站,如果每小时行30千米,那么比火 车开车时间早到15分钟,
若每小时行18千米,则比火车开车时间迟到15分钟,•现在此人打算在火 车开车前10分
钟到达火车站,求此人此时骑摩托车的速度应该是多少?
(湖北省孝感市竞赛题)






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二、能力拓展
10.甲、乙两列客车的长分别为150米和2 00米,它们相向行驶在平行的轨道上,•已知甲车
上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒, •那么乙车上的乘客看见甲车在他窗
口外经过的时间是______秒. (“希望杯”邀请赛试题)
11.甲、乙两地相距70千米,有两辆汽车同时从两地相向出发,•并连 续往返于甲、乙两地,
从甲地开出的为第一辆汽车,每小时行30千米,•从乙地开出的汽车为第二辆汽 车,每小
时行40千米,当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇,这两
辆汽车分别行驶了______千米和______千米. (武汉市选拨赛试题)
12.某商场 有一部自动扶梯匀速由下而上运动,甲、乙两人都急于上楼办事,•因此在乘扶梯
的同时匀速登梯,甲登 了55级后到达楼上,乙登梯速度是甲的2倍(单位时间内乙登楼级
数是甲的2倍),他登了60级后到 达楼上,那么,•由楼下到楼上自动扶梯级数为________.
(北京市竞赛题)
13.•博文中学学生郊游,•沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进, •每小时走4500米,一
列火车以每小时120千米的速度迎面开来,测得从车头与队首学生相遇,到 车尾与队末学
生相遇,共经过60秒,如果队伍长500米,那么火车长为( )米.
A.2075 B.1575 C.2000 D.1500 (“五羊杯”邀请赛试题)
14.上午九点钟的时候,时针与分针成直角,•那么下一次时针与分针成直角的时间是( ).
(第13届“希望杯”邀请赛试题)
A.9时30分 B.10时5分 C.10时5
58
分 D.9时32分
1111
15.铁路旁的一 条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进,行人速度为3.6千米小
时,骑车人速度为10.8千 米小时,如果有一列火车从他们背后开过来,•它通过行了用了
22秒,通过骑车人用26秒,问这列火 车的车身长为多少米? (河北省竞赛题)



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16.2001年亚洲铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行.比赛程 序是:•运动员先同
时下水游泳1.5千米到第一换项点,在第一换项点整理服装后,•接着骑自行车4 0千米到
第二项换点,再跑步10千米到终点.下表是2001年亚洲铁人三项赛女子组(19岁以下)
三名运动员在比赛中的成绩(游泳成绩即游泳所用时间,其他类推,•表内时间单位为
秒).
运动员号码 游泳成绩 第一换项点
所用时间
191
194
195
1997
1503
1354
75
110
74
4927
5686
5351
自行车成绩 第二换项点
所用时间
40
57
44
3220
3652
3195
长跑成绩
(1)填空(精确到0.01):
第191号运动员骑自行车的平均速度是_______米秒;
第194号运动员骑自行车的平均速度是_______米秒;
第195号运动员骑自行车的平均速度是_______米秒.
(2)如果运动员骑自行车都 是匀速的,那么在骑自行车的途中,191号运动员会追上195
号或194号吗?如果会,那么追上时 离第一换项点有多少米(精确到0.01)?•如果不会,为什
么?
(3)如果运动员长跑也都是匀速的,那么在长跑途中这三名运动员有可能某人追上某
人吗?为什么? (2001年徐州市中考题)






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三、综合创新
17.某出租汽车停车站已停有6辆出租汽 车,第一辆出租车出发后,每隔4•分钟就有一辆出
租汽车开出,在第一辆汽车开出2分钟后,有一辆出 租汽车进站,•以后每隔6分钟就有一
辆出租汽车回站,回站的出租汽车,在原有的出租汽车依次开出之 后又依次每隔4分钟开
出一辆.问:第一辆出租汽车开出后,经过最少多少时间,•车站不能正点发车?
(2002年重庆市竞赛题)







18.今有12名旅客要赶往40千米远的汉口新火车站去乘火车,•离开车时间只有3小时 ,他
们步行的速度为每小时4千米,靠走路是来不及了,惟一可以利用的交通工具只有一辆小
汽 车,但这辆汽车连司机在内最多只能乘5人,汽车的速度为每小时60•千米,若这12名
旅客必须要赶 上这趟火车,请你设计一种方案,帮助司机把这12•名旅客及时送到汉口火
车站(不考虑借助其他交通 工具).







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答案
【学力训练】
1.1或3 2.4.8 3.640
4.16
9

11
9
.
11< br>提示:设再过x分钟,分针与时针第一次重合,分针每分钟走6°,时针每分钟走0.5°,
则6x=0.5x+90+0.5×5,解得x=16
5.C 6.C 提示:
S
甲
V
甲
5

7.16
S乙
V
乙
4
8.(1)设CE长为x千米,则1.6+1+x+1=2×( 3-2×0.5),解得x=0.4(千米)
(2)若步行路线为A→D→C→B→E→A(或A→E→B→C→D→A)则所用时间为:
1
(1.6+1+1.2+0.4+1)+3×0.5=4.1(小时);
2
若步行路线为A→D→C→E→B→E→A(•或A→E→B→E→C→D→A),
则所用时间为:
1
(1.6+1+0.4+0.4×2+1)+3×0.5=3.9(小时) ,
2
因为4.1>4,4>3.9,
所以,步行路线应为A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A).
9.提示:设此人从家里出发到火车开车的时间为x小时,
由题意得:30(x-
1515
)=18(x+),解得x=1,
6060
此人打算在火车开车前10分钟到达火车站,
1515
)30(1)
60

60
=27(千米小时) 骑摩托车的速度应为:
1010
x1
6060
200
10.7.5 提示:先求出甲、乙两车速度和为=20(米秒)
10
30(x
11.150、200
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提示:设第一辆车行驶了(140+x)千米,
则第二辆行驶了(140+x)•×
由题意得:x+(46
12.66 13.B
14.D 提示:设经过x分钟后时针与分针成直角,则6x-
15.提示:设火车的速度为x米秒,
由题意得:(x-1)×22=(x-3)×26,解得x=14,•
从而火车的车身长为(14-1)×22=286(米).
16.(1)8.12;7.03;7.48.
(2)191号能追上194号,这时离第一换项点有24037.96米,191号不会追上195号.
(3)从第二换项点出发时,195号比191号提前216秒,且长跑速度比191号快,
所以195号在长跑时始终在191号前面,
而191号在长跑时始终在194号前面,
故在长跑时,•谁也追不上谁.
17.设回车数是x辆,则发车数是(x+6)辆,
当两车用时相同时,则车站内无车,•
由题意得4(x+6)=6x+2,解得x=11,
故4(x+6)=68.即第一辆出租车开出,最少经过68分钟时,车站不能正点发车.
18.设计方案一:
如果在汽车送前一趟旅客的同时,让其他旅客步行,第一趟设汽车来回共 用了xh,这
时汽车和其他旅客的总路程为一个来回,所以
4x+60x=40×2.
解得x=
424
=140+(46+x)千米,
333
24
+x)=70.
33
18
x=180,解得x=32
211
5

4
5
·4=35(km),
4
此时,剩下8名旅客与车站的距离为 40-
同理,•第二趟汽车来回用时间约为1.09h,第三趟汽车来回用的时间为0.51h,共用时
- 10 -

间为1.25+1.09+•0.•51=•2.85h,这批旅客能赶上火车.
设计方案二:
先让汽车把4名旅客送到途中某处,再让这4名旅客步行(•此时其他8名旅客也在步
行);
接着汽车回来再送4名旅客(剩下4名旅客继续步行),•追上前面4名旅客后也让他们
下车一 起步行;
最后回来接剩下的4名旅客到火车站,•适当选取第一批旅客的下车地点,使送最后一
批旅客的汽车与前面8名旅客同时到达火车站.
设汽车送第一批旅客行驶xkm后让他们下车步行,此时其他旅客步行了
他们之间相差
4xx
=km,•
6015
14
xkm,在以后的时间里,由于步行的速度 相同,•
15
14
所以两批步行旅客之间始终相差x千米,
15
而汽车要在这段距离间来回行驶两趟,每来回一趟的所用时间为
1414
xx
15

15

1
x

60460432
而汽车来回两趟所用时间恰好是第一批旅客步行(40-x)km的时间 ,即
140x
x= 解得x=32.
4
32
324032
因此所需的总时间为+≈2.53(h).
4
60
2×
这样就用最省的时间把旅客送到火车站.


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