外语外贸职业学院-工作决心书

3-1-4多次相遇和追及问题



教学目标

1. 学会画图解行程题
2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题
3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题

知识精讲

板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题
所有行程问题 都是围绕“
路程速度时间
”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追
及问题虽然较 复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而
解．

【例 1】 甲、乙两名同学在
周长为
300
米圆形跑道上从同一地点同时背 向练习跑步，甲每秒
钟跑
3.5
米，乙每秒钟跑
4
米，问：他们第十 次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出
发点？
【考点】行程问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】
从开始到两人第十次相遇的这 段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，
为
300103000
米 ，因为甲的速度为每秒钟跑
3.5
米，乙的速度为每秒钟跑4米，所
3.5
以 这段时间内甲共行了
30001400
米
，也就是甲最后一次离开出发点继续3.54
行了200米，可知甲还需行
300200100
米才能回到出发 点．
【答案】
100
米

【巩固】 甲乙两人在相距90米的直 路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒
2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分 钟内共相遇几次？
【考点】行程问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 17
【答案】17

【巩固】 甲、乙两人 从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相
遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1 米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上
的最短路程是多少米?
【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 176
【答案】176

【例 2】 甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速 度
各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人的
速度各是多少 ？
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 甲、乙两人的速度和第一次为60÷6=10（千米／时），第二次为12（千米时），故< br>第二次出发后5时相遇。设甲第一次的速度为x千米／时，由两次相遇的地点相距
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1千米，有6x－5（x＋1）＝±1，解得x＝6或x＝4，即甲、乙二人 的速度分别为
6千米／时和4千米／时。
【答案】甲、乙二人的速度分别为6千米／时和4千米／时

板块二、运用倍比关系解多次相遇问题
【例 3】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发 ，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在
离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回 头去追小明，
再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 画一张简单的示意图：
4千米
家
4千米
小明
爸爸

图上可以看出，从爸爸 第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距
离是 4＋ 8＝ 12（千米）.
这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这 个倍数计算，
小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行 了4
＋12＝16（千米）.
少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（ 千米分），爸爸骑行16千米需要16
分钟.
8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。
【答案】8点32分

【例 4】 甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于 A，B两地之间。已知甲车的速
度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。问：甲 车的速
度是乙车的多少倍？
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 2倍。解：如下图所示，因为每次相遇都共行一个来回，所用时间相等，所 以乙车
2
两次相遇走的路程相等，即
AC2CB
,推知
ACAB
.第一次相遇时，甲走了
3
42
ABBCAB
,乙走了
ACAB
,所以甲车速度是乙车的
2
倍。
33

【答案】
2
倍

【例 5】 如图，甲和乙两人分别从一圆形场地 的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向
绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇 ，在甲走完一周前60
米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．
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【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
1
【解析】 注意观察图形，当甲、乙第 一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二
2
13
次相遇时，甲乙共走完1+＝ 圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的
22
时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走 的总路程为第一次相遇时行走的总路程
3
的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相 遇时，共行走(1圈－60)+300，为
2
圈，所以此圆形场地的周长为480米．
【答案】480米

【巩固】 A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时 出发反向而行，两人在C点第
一次相遇，在D点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求 这个圆
的周长是多少米？
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 340
【答案】340

【巩固】 如右图 ，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人
在C点第一次相遇，在D点第 二次相遇。已知C离A有80米，D离B有60米，
求这个圆的周长。
D
A
甲
B
乙
C

【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 第一次相遇，两人共走了0.5圈；第 二次相遇，两人共走了1.5圈。因为1.5÷0.5
＝3，所以第二次相遇时甲走的路程是第一次相遇 时甲走的路程的
3
倍，即
¼»
180
(米)，圆周长为
1 802360
ACD
»
AC3240
(米)，推知
»AB240BD
（米）。
【答案】360米

【巩固】 在一圆 形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再
过4分甲到达B点，又过8分两 人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由题意知，甲行4分相当于乙行6分。从第一次相遇到再次相遇，两人共走 一周，
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各行12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以甲环行一周需12＋8＝2 0（分），
乙需20÷4×6＝30（分）。

【答案】20分，30分

板块三、多次相遇与全程的关系

1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；
第2次相遇，共走3个全程；
第3次相遇，共走5个全程；
…………， ………………；
第N次相遇，共走2N-1个全程；
注意：除了第1次，剩下 的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每
次都走2N米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；
第2次相遇，共走4个全程；
第3次相遇，共走6个全程；
…………， ………………；
第N次相遇，共走2N个全程；
3、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键 几个全程
多人相遇追及的解题关键 路程差

【例 6】 甲、乙两车分别同时 从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相
遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第 二次在离B地25千米处相遇．求A、
B两地间的距离是多少千米？
【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：

可以发现第一次相 遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了
三个A、B两地间的距离．当甲 、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千
米，当它们共行三个A、B两地间的距离时 ，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），
而这285千米比一个A、B两地间的距离 多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．
【答案】260千米

【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇
地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B
地3千米处第二 次相遇，求两次相遇地点之间的距离.
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【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 4×3=12千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段， 就是距B地
的3千米，所以全程是12-3=9千米，所以两次相遇点相距9-（3+4）=2千米。
【答案】2千米

【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发， 相向而行，他们第一次相遇
地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B
地5千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.
【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 4千米
【答案】4千米

【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇
地点离A地6千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B
地4千米处第二 次相遇，求两人第5次相遇地点距B 多远.
【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 12千米
【答案】12千米

【巩固】 甲 、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇
地点离A地7千米，相遇 后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B
地3千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多 少千米.
【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 90千米
【答案】90千米

【巩固】 甲、乙二人以均匀的 速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇
地点离A地3千米，相遇后二人继续前进， 走到对方出发点后立即返回，在距B
地2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第2001次相 遇地点之间的距离.
【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 4千米
【答案】4千米

【巩固】 甲、乙 二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇
地点离A地18千米，相遇后 二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B
地13千米处第二次相遇，求AB两地之间的距离.
【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 41千米
【答案】41千米

【巩固】 甲、乙两车同时从A ，B两地相向而行，在距B地54千米处相遇。他们各自到达
对方车站后立即返回原地，途中又在距A地 42千米处相遇。求两次相遇地点的距
离。
【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 24千米。提示：第一次相遇两车共行了A， B间的一个单程，其中乙行了54千米；
第二次相遇两车 共行了A，B间的3个单程，乙行了54×3＝162（千米），乙行的
路程又等于一个单程加42千米 。故A，B间的距离为162－42＝120（千米）。
【答案】120千米

【巩固】 湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从A，B两岛
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同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米 。问：
两岛相距多远？
【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 1700米。
【答案】1700米

【例 7】
A
、
B
两地相距2400米，甲从
A
地、乙从
B
地同时出发，在
A
、
B
间往返长跑。甲
每分钟跑300 米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动。甲、乙两人在第
几次相遇时
A
地最 近？最近距离是多少米？
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】希望杯，五年级，二试
【解析】 30×(300+240)÷ 2400=6.75个全程，相遇3次，把全程分成9份，第一次相遇，
甲跑5份，第二次相遇甲跑15 份，距离
A
3份，第三次相遇甲跑25份距离
A
7份，
所以第二次相 遇距离
A
最近，最近为2400÷9×3=800米。
【答案】800米

【巩固】
A
、
B
两地相距950米。甲、乙两人同时由
A
地出发往返锻炼半小时。甲步行，每
分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米。则甲、乙二人第___ __次迎面相遇时
距
B
地最近。
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试
【解析】 半小时，两人一共行走

40150

30570 0
米，相当于6个全程，两人行程每2
个全程就会有一次相遇，而两人的速度比15：4，所以 相同时间内两人的行程比为
15：4，那么第一次相遇甲走了全程的
相遇甲总行程
48 11
个全程，第二次
2
，距离
B
1541919
16 3245
距离
B
个全程，第三次距离个全程，所以甲、乙两人第
191919 19
二次迎面相遇时距离
B
地最近。
【答案】第二次

【例 8】 如图8，甲、乙两艘快船不断往返于
A
、
B
两港之间。 若甲、乙同时从
A
港出发，
它们能否同时到达下列地点？若能，请推出它们何时到达该 地点；若不能，请说
明理由：
（1）
A
港口；
（2）
B
港口；
（3） 在两港口之间且距离
B
港30千米的大桥。

【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】希望杯。五年级。二试
3-1-4.多次相遇与追及问题.题库
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【解析】 （1）甲往返一次的时间是
180180
13.5

h

，
3010300
乙往返一次的时间是
180180

.5

h

，
5010500
13.5和7.5的最小公倍数是67.5，
所以，在甲、乙出发后的
67 .5a

a1,2,L

小时，它们又同时回到
A
港。 （5分）

（2）设甲、乙能同时到达
B
港，此 时，甲、乙各完成了
m,n
次往返（
m,n
是自然数），
18018 0
则有
13.5m7.5n

30105010
即
9m15n
。

当
m
的个位数是6或 1时，有满足上式的自然数
n
。，最小的=1,最少需要4.5+13.5=18
小时 。则在甲、乙出发后18+67.5小时，它们同时到达港口。（10分）
（3）设甲、乙能同 时到达大桥，且分别完成了
m,n
次往返（
m,n
是自然数）。
①若此时甲、乙向下游行驶，则
150150

13.5m7.5n
，
30105010
即
135m12.575n
，
没有满足上式的自然数
m,n
。
②若此时甲、乙向上游行驶，则
1803018030

13.5m7.5n
，
3010301050105010
即
135m22.575n
，
没有满足上式的自然数
m,n
。
③若此时甲向上游行驶，乙向下游行驶，则
18030150

13.5m7.5n

301030105010
即
27m715n

没有满足上式的自然数
m,n
。
④若此时甲向下游行驶，乙向上游行驶，则
15018030

13.5m7.5n

301050105010
即
9m5n

当
m
的个位数是0或5时，有满足上式的自然数
n
，所以在甲、乙出发后的
150

13.55c3.7567.5c

c0,1,2,L


3010
小时，它们同时到达大桥。
【答案】（1）
67.5a

a1,2,L

小时
（2）18+67.5小时
150
（3）
13.55c3.7567.5c

c0,1,2,L

小时
3010

【例 9】 甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米 泳道的两端同时开始
游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜。已知甲、乙的速度分别为1.0米／< br>秒和0.8米／秒。问：（1）比赛开始后多长时间甲追上乙？（2）甲追上乙时两
人共迎面相遇 了几次？
3-1-4.多次相遇与追及问题.题库
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【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 （1）250秒；（2）4次。提示：（2）甲、乙分别游了5个和14个单程，故迎面相
遇4次。
【答案】（1）250秒；（2）4次

【例 10】 甲、乙两车分别从A，B两地出发，并在A，B两地间不断往返行驶。已知甲车的
速度是 15千米／时 ，乙车的速度是25千米／时，甲、乙两车第三次相遇地点与
第四次相遇地点相差100千米。求A，B 两地的距离。
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
153
【解析】 200千米。第一次相遇时，两车共走
1
个单程，其中乙车占

。第三次相
15258
37
遇时，两车共走
5
个单程，乙车走了
51
（个）单程；第四次相遇时，两车
88
35
共走
7
个单程，乙车走了
72
（个）单程；因为第 三次、四次相遇地点相差
88
7511
。
1
（个）单程，所 以
A
，
B
两地相距
100200
（千米）
88 22
【答案】200千米

【例 11】 欢欢和乐乐在操场上的A、B两点之间练 习往返跑，欢欢的速度是每秒8米，乐
乐的速度是每秒5米。两人同时从A点出发，到达B点后返回，已 知他们第二次
迎面相遇的地点距离
AB
的中点5米，
AB
之间的距离 是________。
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级
【解析】 130米。
第二次应面 相遇，两人合计跑了
4
个全程，速度比试
8:5
，所以欢欢跑了
83 26
42

131313

16

全程为
5



130
米

213

【答案】
130
米

【例 12】 甲、乙两车同时从
A
、
B
两地相对亦开出，两车第一次距
A
地32千米处相遇，相
遇后两车继续行驶，各自达到
B
、
A
两地后，立即沿原路返回，第二次在距
A
地
64千米处相遇，则
A
、
B
两地间的距离是__________千米。
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，6年级 ，二试
【解析】 第一次相遇，两车行驶的距离总和等于
AB
两地距离；
第二次相遇，两车行驶的距离总和等于
AB
两地距离的三倍。
所以，第二次相遇时，两车各自行驶的距离也分别等于第一次相遇时行驶的距离的
三倍。
第一次相遇时，甲车行驶32千米；
第二次相遇时，甲车行驶全程的二倍减64千米。
所以，全程的二倍减64千米等于96千米，全程为80千米。
【答案】
80


【例 13】 小明和小红两人在长100米的直 线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为
6米秒，小红的速度为4米秒．他们同时从跑道两端出发 ，连续跑了12分钟．在
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这段时间内，他们迎面相遇了多少次？
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 第一次相遇时，两人共跑完了一个全程 ，所用时间为：
100（64）10
(秒)．此
后，两人每相遇一次，就要合跑 2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第
一次的10秒，两人共跑了
126010 710
(秒)．求出710秒内两人相遇的次数再
加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列式 计算为：
100（64）10
(秒)，
（126010）（102） 35L10
，共相遇
35136
(次)。注：解决问题的关键是弄
清他们 首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．
【答案】36次

【例 14】
A
、
B
两地间有条公路，甲从
A
地出发，步行到
B
地，乙骑摩托车从
B
地出发，
不停地往返于
A
、
B
两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100
分钟后乙第一次追上甲，问：当 甲到达
B
地时，乙追上甲几次？
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】
甲
A
F
E
B
乙

由上图容易看出：在第一 次相遇与第一次追上之间，乙在
1008020
(分钟)内所走的路程
恰等于线段
FA
的长度再加上线段
AE
的长度，即等于甲在(
80100)分钟内所走的路程，因
此，乙的速度是甲的9倍(
18020
)，则
BF
的长为
AF
的9倍，所以，甲从
A
到
B
，共
需走
80(19)800
(分钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟 ，且与甲的路程差为
一个
AB
全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就 是两个
AB
全程，因此，
追及时间也变为200分钟(
1002
)，所以，在甲从
A
到
B
的800分钟内，乙共有4次追上
甲，即在 第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟．
【答案】第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟

2
【例 15】 甲、乙两人分别从
A
、
B
两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的， 二人相遇
3
后继续行进，甲到
B
地、乙到
A
地后立即返回． 已知两人第二次相遇的地点距第
三次相遇的地点是100千米，那么，
A
、
B
两地相距 千米．
【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 由于甲、乙的速度比是
2:3
，所以在相同的时间内，两人 所走的路程之比也是
2:3
．第一次相遇时，两人共走了一个
AB
的长，所以 可以把
AB
的长看作5份，
甲、乙分别走了2份和3份；第二次相遇时，甲、乙共走了 三个
AB
，乙走了
236
份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个
AB
，乙走了
2510
份． 乙第二次和第
三次相距10－6=4（份） 所以一份距离为：100÷4=25（千米），那么
A
、
B
两地距
离 为：5×25＝125（千米）
【答案】125千米

【巩固】 小王、小李二人 往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而
行，两人第一次在距甲地3千米处相遇， 第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算
作相遇)，则甲、乙两地的距离为 千米．
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也
算 相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．
①如果第二次相遇为迎面相遇，如下 图所示，两人第一次在
A
处相遇，第二次在
B
处相遇．由
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第一次相遇第一次追上

于第一次相遇时两人合走1个全程，小王走了 3千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合
走2个全程，所以这期间小王走了
326千米，由于
A
、
B
之间的距离也是3千米，所以
B
与乙 地的距离为
(63)21.5
千米，甲、乙两地的距离为
61.57.5< br>千米；
王
甲
A
B
李
乙
王
甲
AB
李
乙

②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在
A
处相遇，相遇后小王继续向前走，
小李走到甲地后返回，在
B
处追上小王． 在这个过程中，小王走了
633
千米，小李走了
639
千米，两人的 速度比为
3:91:3
．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两
地的距离为
9312
千米．
所以甲、乙两地的距离为
7.5
千米或12千米．
【答案】
7.5
千米或12千米

【巩固】 A，B两地相距54 0千米。甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地
之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车 同时从A地出发后第一次和第二次相遇
都在途中P地。那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米 ？
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 第一次相遇，甲乙总共走了2个全程，第二次相遇，甲乙总共走了4个全程，乙比
甲 快，相遇又在P点，所以可以根据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇，
乙从第一个P点到第二 个P点，路程正好是第一次的路程。所以假设一个全程为3
份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。第二 次相遇，乙正好走了1份到B地，又
返回走了1份。这样根据总结：2个全程里乙走了（540÷3）× 4=180×4=720千米，
乙总共走了720×3=2160千米。
【答案】乙总共走了2160千米

【例 16】 小张与小王分别从甲、乙两村同 时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就
马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在 离乙村2千米处第二次相
遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 画示意图如下.












第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了
3.5×3＝10.5（千米）.
从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是
10.5-2＝8.5（千米）.
每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路 程.第四次相遇时，两人已
共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了
3.5×7＝24.5（千米），
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24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.
就知道第四次相遇处，离乙村
8.5-7.5=1（千米）.
答：第四次相遇地点离乙村1千米.
【答案】第四次相遇地点离乙村1千米

【例 17】 A，B两地间有条公路，甲 从A地出发步行到B地，乙骑摩托车从B地出发不停顿
地往返于A，B两地之间。他们同时出发，80分 后两人第一次相遇，100分后乙
第一次超过甲。问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 4次。提示：如下图所示，C，D点分别为乙第一次遇到和超过甲的地点。甲从A
到 C用了80分，到D用了100分，乙从C到A又到D用了20分，可见乙20分走
了甲需180分走的 路，即己的速度是甲的9倍。

【答案】4次

【例 18】 电子玩具 车
A
与
B
在一条轨道的两端同时出发相向而行，在轨道上往返行驶。已
知
A
比
B
的速度快
50%
，根据推算，第
200 7
2007
次相遇点与第
2008
2008
次相遇点
相距< br>58
厘米，轨道长 厘米。
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】学而思杯，6年级，1试
【解析】
A
，B
两车速度比为
(150%):13:2
。第
2007
20 07
次相遇点的位置在：

3(22007
2007
 1)5(mod10)
；第
2008
2008
次相遇点的位置在：

3(22008
2008
1)3(mod10)
。 所以这条轨道长
58(53)5145
（厘米）。
【答案】
145


板块四、解多次相遇问题的工具——柳卡

柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交
叉线，按 要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次
数”，“相遇的地点” ，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道
每个物体走完一个全程时所用的 时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一
般人儿来说不容易。

【例 19】 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往
哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约
前（途中）能遇上几艘从 纽约开来的轮船？
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观
巧妙的解法．
他先画了如下一幅图：

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这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线 表示纽约．那
么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表
示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为
与对 方开来轮船相遇的情况．
从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从 纽约开出的
15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（ 从
纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；
另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．
如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮 船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽
略了已在海上的轮船．
【答案】15艘

【巩固】 一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲< br>站发出开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲
站．他出发的时 候，恰好有一辆电车到达乙站．在路上他又遇到了10辆迎面开来
的电车．到达甲站时，恰好又有一辆电 车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多
少分钟？
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 先让学生用分析间隔的方式来解答：
骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出．骑
车中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是
5840
（分钟 ）．
再引导学生用柳卡的运行图的方式来分析：
第一步：在平面上画两条平行线分别表示甲 站与乙站．由于每隔5分钟有一辆电车从甲站出
发，所以把表示甲站与乙站的直线等距离划分，每一小段 表示5分钟．
第二步：因为电车走完全程要15分钟，所以连接图中的1号点与
P
点 （注意：这两点在水
平方向上正好有3个间隔，这表示从甲站到乙站的电车走完全程要15分钟），然后
再分别过等分点作一簇与它平行的平行线表示从甲站开往乙站的电车．


第三步：从图中可以看出，要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车，那么
从
P
点引出的粗线必须和10条平行线相交，这正好是图中从2号点至12号点引出
的平行线．

从图中可以看出，骑车人正好经历了从
P
点到
Q
点这段时 间，因此自行车从乙站到甲站用了
．
5840
（分钟）
对比前一种解法可以看出，采用运行图来分析要直观得多！
【答案】
40
分钟

【例 20】 甲、乙两人在一条长为30米 的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速
度是每秒
0.6
米．如果他们同时分 别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，
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共相遇几次？
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩！ < br>首先，甲跑一个全程需
30130
（秒），乙跑一个全程需
300.6 50
（秒）．与上题类似，
画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙 相遇的地点）：
一个周期内共有5次
相遇，其中第1，2，
4，5次是迎面相遇，< br>而第3次是追及相
遇．
从图中
可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全 程，各自到了不同两端又重新开始，这正好
是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人 跑10分钟，正好是四个周期，
也就相遇了
5420
（次）
【答案】20次

【例 21】
A
、
B
两地位 于同一条河上，
B
地在
A
地下游100千米处．甲船从
A
地 、乙船从
B
地同时出发，相向而行，甲船到达
B
地、乙船到达
A地后，都立即按原来路线返
航．水速为2米秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地 点相
距20千米，那么两船在静水中的速度是 米秒．
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】迎春杯，复赛，高年级组
【解析】 本题采用折线图来分析较为简便．
AD
E
N
M
BC
F

如图，箭头表示水流 方向，
ACE
表示甲船的路线，
BDF
表示乙船的路线，两
个交点
M
、
N
就是两次相遇的地点．
由于两船在静水中的速度相同 ，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水
行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表 现在图中，就是
BC
和
DE
的长度相同，
AD
和
C F
的长度相同．
那么根据对称性可以知道，
M
点距
BC
的 距离与
N
点距
DE
的距离相等，也就是说两次相遇
地点与
A
、
B
两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，< br>两船分别走了

10020

240
千米和
1 004060
千米，可得两船的顺水速度和逆水速度
之比为
60:403:2< br>．
而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米秒，可得顺水速度为
4

32

312
米秒，那么两船在静水中的速度为
122 10
米秒．
【答案】10米秒

【例 22】 A、 B 两地相距1000 米，甲从 A地、乙从 B 地同时出发，在 A、 B 两地间往
返锻炼．乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行 60米．在 30分钟内，甲、
乙两人第几次相遇时距 B 地最近(从后面追上也算作相遇)？最近距离是多少？
3-1-4.多次相遇与追及问题.题库
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【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 甲、乙的运行图如上，图中实现表示甲，虚线表示乙，两条线的交点表示两人相遇．在
30 分钟内，两人共行了 (150 60) 30 6300   米，相当于 6 个全程又 300 米，
由图可知，第 3次相遇时距离 A地最近，此时两人共走了 3 个全程，即1000 ×
3 =3000千米，用时3000÷（150+60）=1007分钟，甲行了60×1007=60007米，
相遇地点距离 B 地1000-60007 143米．
【答案】143米

【巩固】 A、 B 两地相距 950 米．甲、乙两人同时由 A地出发往返锻炼半小时．甲步行，
每分钟走 40 米；乙跑步，每分钟行 150 米．则甲、乙二人第几次迎面相遇时距
B 地最近？
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 半小时内，两人一共行走 （40＋ 150）× 30 =5700 米，相当于 6 个全程，两人
每合走 2 个全程就会有一次相遇，所以两人共有 3 次相遇，而两人的速度比为
40 :150= 4 :15，所以相同时间内两人的行程比为 4 :15，那么第一次相遇甲走了
48
全程的距离 B 地1119个全程；第二次相遇甲走了1619个全程，
2
，
15419< br>距离 B 地319个全程；第三次相遇甲走了2419个全程，距离 B 地519个全程，
所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离 B 地最近．
【答案】第二次

【巩固】
A
、
B
两地相距
950m
， 甲、乙两人同时从
A
地出发，往返
A
、
B
两地跑步
90
分
钟．甲跑步的速度是每分钟
40m
；乙跑步的速度是每分钟
1 50m
．在这段时间内
他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离
B
点的距离最近？
【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ．甲、乙两人合走一个全程需要
5
分钟，每合走
2
个全
950（ 15040）5
（分钟）
程相遇一次，所以总共相遇
90(52)9
次．而甲每
10
分钟走
4010400
（
m
）
并且与乙相遇一次，因为
9503400750
（
m
）也就是当甲 、乙两人第
7
次相
遇时甲离
B
地
50
m
为 最小，在第
7
次相遇时他们离
B
点距离最近．
【答案】第7次

【巩固】 A、 B 两地相距 2400 米，甲从 A地、乙从 B 地同时出发，在 A、 B 两地间往
返锻炼．甲每分钟跑 300 米，乙每分钟跑 240 米，在 30 分钟后停止运动．甲、
乙两人第几次相遇时距 A地最近？最近距离是多少？
【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 第二次，800米
【答案】第二次，800米

板块五、多次相遇问题——变道问题
【例 23】 甲、乙两车同时从同一点
A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲
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车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙 车立
刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次
相遇的地点 距离
A
点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇)
【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 第一次是一个相遇过程，相遇时间为： 相遇地点距离
A
点：
6(6555)0.05
小时，
然后乙车 调头，成为追及过程，追及时间为：
6(6555)0.6
550.052.75< br>千米．
小时，乙车在此过程中走的路程为：
550.633
千米，即5圈又 3千米，那么这
时距离
A
点
32.750.25
千米．
此时甲车调头，又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离
A
点
0.252 .753
千米，
然后乙车掉头，成为追及过程，根据上面的计算，乙车又要走5圈又3千米， 所以此时两车
又重新回到了
A
点，并且行驶的方向与最开始相同．
所以，每 4次相遇为一个周期，而
1142L3
，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的
地点是相同的，与
A
点的距离是3000米．
【答案】3000米

【例 24】 下图是一个边长90米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分行
75米，乙顺时针每分行45米．两人第一次在CD边（不包括C，D两点）上相遇，
是出发以后的第几 次相遇？


【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 两人第一次相遇需
360(7545)3
分，其间 乙走了
453135
（米）．由此知，
乙每走135米两人相遇一次，依次可推出 第7次在CD边相遇（如图，图中数字表
示该点相遇的次数）
【答案】第7次

【例 25】 如图所示，甲、乙两人从长为
400
米的圆形跑道的
A
点背向出发跑步。跑道右半
部分(粗线部分）道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道 上甲、
乙速度均为每秒
8
米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒
4
米。两人一直跑下
去，问：他们第99次迎面相遇的地方距
A
点还有 米。
A

【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现 ，如果
甲、乙各自绕着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相
同，那 么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到
A
点，即两人在
A
点迎面相遇，然后再从
A
点出发背向而行，可以发现，两人的行
程是周期 性的，且以一圈为周期．
在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎 面相遇，这是
两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点
第三次相遇，再回到出发点是第四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数
次相 遇点都是
A
点．本题要求的是第99次迎面相遇的地点与
A
点的距离，实际上 要求的是
3-1-4.多次相遇与追及问题.题库
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第一次相遇点与
A
点的距离．
对于第一次相遇点 的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出
发到跑完正常道路时，乙才跑了
20084100
米，此时两人相距100米，且之间全是泥泞
道路，此时两人 速度相同，所以再各跑50米可以相遇．所以第一次相遇时乙跑了
10050150
米，这 就是第一次相遇点与
A
点的距离，也是第99次迎面相遇的地点与
A
点
的距离．
【答案】
150
米

【例 26】 如图,学校操场 的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程
相重．甲以每秒6米的速度沿大 跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑
道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点
A< br>处出发,当他们第二次在跑道上相
遇时,甲共跑了多少米?
甲乙
A
乙
甲
乙
B
甲
甲乙
A

【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 根据题意可知，甲、乙只可能在
AB
右侧的半跑道上相遇．
易知 小跑道上
AB
左侧的路程为100米,右侧的路程为200米,大跑道上
AB
的左、右两侧的
路程均是200米．
我们将甲、乙的行程状况分析清楚．
当甲第一 次到达
B
点时,乙还没有到达
B
点,所以第一次相遇一定在逆时针的
BA
某处．
而当乙第一次到达
B
点时，所需时间为
20045 0
秒,此时甲跑了
650300
米,在离
B
点
300 200100
米处．
乙跑出小跑道到达
A
点需要
10042 5
秒,则甲又跑了
625150
米,在
A
点左边
(10 0150)20050
米处．
所以当甲再次到达
B
处时,乙还未到< br>B
处,那么甲必定能在
B
点右边某处与乙第二次相遇．
从乙再次到达
A
处开始计算,还需
(40050)(64)35
秒,甲、乙第二次 相遇,此时甲共跑
了
502535110
秒．
所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了
6110660
米．
【答案】
660
米

【例 27】 下图中有两个圆只有一个公共 点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米。两只
甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度 分别沿两个圆爬行。问：当
小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？


【考点】行程问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以
当一只甲虫在A点，另一只在过A的直径另一直径端点B，
3-1-4.多次相遇与追及问题.题库
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1
所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m＋圈；
2
1
于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲虫跑了48(m＋)＝48m＋24
2
因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，
所以30n＝48m＋24；
即5n＝8m＋4，有不定方程知识，解出有n＝4，m＝2，
所以小甲虫跑了2圈后，大小甲虫相距最远。
【答案】小甲虫跑了2圈后，大小甲虫相距最远

【例 28】 如图所示，甲沿长为
400
米大圆的跑道顺时针跑步，乙则 沿两个小圆八字形跑步
(图中给出跑动路线的次序：
12341LL
）。如 果甲、乙两人同时从
A
点
出发，且甲、乙二人的速度分别是每秒3米和5米，问两人第 三次相遇的时间是
出发后 秒。
A
14
3
B
2

【考点】行程问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 从图中可以看出，甲、乙两人只有可能 在
A
、
B
两点处相遇（本题中，虽然在
B
处
时两人 都是顺时针，但是由于两人的跑道不同，因此在此处的相遇不能看作是追
及）．
从
A
到
B
，在大圆周上是半个圆周，即200米；在小圆周上是整个小圆圆周，也是200 米．两
人的速度之比为
3:5
，那么两人跑200米所用的时间之比为
5:3
．设甲跑200米所用的时间
为5个时间单位，则乙跑200米所用的时间为3个时间单位．根 据题意可知，1个时间单位
40
为
20035
秒．
3
可以看出，只有甲跑的时间是5个时间单位的整数倍时，甲才可能在
A
点或
B
点，而且是
奇数倍时在
B
点，是偶数倍时在
A
点；乙跑的时间是3 个时间单位的整数倍时，乙才可能
在
A
点或
B
点，同样地，是奇数倍 时在
B
点，是偶数倍时在
A
点．
要使甲、乙在
A
、
B
两点处相遇，两人所跑的时间应当是15个时间单位的整数倍（由于3
和5的奇偶 性相同，所以只要是15个时间单位的整数倍甲、乙两人就能相遇），可以是15
个时间单位、30个时 间单位、45个时间单位……所以两人第三次相遇是在过了45个时间单
40
位后，也就是说， 出发后
45600
秒两人第三次相遇．
3
也可以画表如下：

3-1-4.多次相遇与追及问题.题库
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A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

甲 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
乙 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
< br>从中可以看出，经过15个时间单位后两人同在
B
点，经过30个时间单位后两人同在< br>A
点，
经过45个时间单位后两人同在
B
点，这是两人第三次相遇．
40
【答案】
45600
秒
3

【例 29】 三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘米；甲、乙两只爬虫分别从
A
、
B
两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字形循环运
动，乙爬 虫绕3、2号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速
度分别为每分钟20厘米和每分 钟l5厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫
爬了多少厘米?
A


42
B


45
A
1
23
B

【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 根据题意，甲爬虫爬完半圈需要
2102205.25
分钟，乙爬虫爬完半圈需要
2102157
分钟 ．由于甲第一次爬到1、2之间要
5.25
分钟，第一次爬到2、3
之间要
1 0.5
分钟，乙第一次爬到2、3之间要7分钟，所以第一次相遇的地点在2
号环形跑道的上半 圈处．
由于甲第一次爬到2、3之间要
10.5
分钟，第二次爬到1、2之间要15.75
分钟，乙第一次爬
到1、2之间要14分钟，所以第二次相遇的地点在2号环形 跑道的下半圈处．
当两只爬虫都爬了14分钟时，甲爬虫共爬了
2014280
米，
210221028035
(米)，
所以甲在距1、2交点35米处，乙 在1、2交点上，还需要
35(2015)1
(分钟)相遇，所
以第二次相遇时 ，两只爬虫爬了
14115
分钟．
所以甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了
2015300
厘米．
【答案】
300
厘米

【例 30】 从花城到太阳城的公路长12公里．在该路的 2千米处有个铁道路口，是每关闭 3
分钟又开放 3分钟的．还有在第 4千米及第 6 千米有交通灯，每亮 2分钟红灯
后就亮 3分钟绿灯．小糊涂 驾驶电动车从花城到太阳城，出发时道口刚刚关闭，
而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯．已知电动车速 度是常数，小糊涂既不刹车
也不加速，那么在不违反交通规则的情况下，他到达太阳城最快需要多少分钟 ？
【考点】行程问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 画出反映交通灯红绿情况的 s t 图，可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情
况下速度最大可以是 0.5 千米／分钟，此时恰好经过第 6千米的红绿灯由红转绿
的点，所以他到达太阳城最快需要 24分钟．
【答案】24分钟

3-1-4.多次相遇与追及问题.题库
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【例 31】 男、女两名田径运动员在长110米的 斜坡上练习跑步(坡顶为A，坡底为B．两人
同时从A点出发，在A，B之间不停地往返奔跑．已知男运 动员上坡速度是每秒3
米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米． 那
么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米?
【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 开始下山时，男运动员的速度大于女运 动员的速度，有男运动员到达坡底B所需时
间为110÷5=22秒，此时女运动员才跑了22×3=6 6米
现在女运动员的速度不变，还是每秒3米，而男运动员将从B上坡到A，速度 变
为每秒3米．男、女运动员的距离为110-66=44米，所以当男运动员再跑44÷(3+3)< br>×3=22米后男女运动员第一次迎面相遇，相遇点距B地22米，如下图所示．(本
题4图所标 注数字均是距坡底B的距离数)



所以当女运动员到达坡底B时，男运 动员又跑了22米，即到达距B地44米的地方，
如下图所示．


此后，女运动员从坡底B上坡到A，速度变为每秒2米，男运动员的速度还是每秒
3米，所以当男运动员 再跑110-44=66米到达坡顶A时，女运动员才跑了66÷3×2=44
米，即距离坡底B地44 米的地方，如下图所示．





这时，女运 动员的速度不变还是每秒2米，而男运动员的速度变为每秒5米，男、女运动员
相距110-44=66 米，所以当男、女运动员第二次相遇时，男运动员又跑了
66(52)547
1
米，如下图所示．
7

即第二次相遇的地点距以点
47
1
米．
7
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【答案】
47

1
米
7

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