山东政法学院分数线-欧洲杯几年一届

小学奥数计数之插板法习题【三篇】
【第一篇】
插板法就是插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干
个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
应用插板法必须满足三个条件：
（1） 这n个元素必须互不相异
（2） 所分成的每一组至少分得一个元素
(3) 分成的组别彼此相异
举个很普通的例子来说明
把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问
有几种情况？
问题的题干满足 条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36
下面通过几道题目介绍下插板法的应用
a 凑元素插板法 （有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此
时可适用此方法）
1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
2： 把10个相同小球放入3个 不同箱子，第一个箱子至少1个，
第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
b 添板插板法
3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面
两个数字之和，直至不 能再写为止，如257，1459等等，这类数共有

几个？
5：有一类 自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面
三个数字之和，直至不能再写为止，如2349， 1427等等，这类数共
有几个？
答案：
1、3个箱子都可能取到空 球，条件（2）不满足，此时如果在3
个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球 放
入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？
显然就是 c12 2=66
2、我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8
个放3个箱子，然后在 第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则
问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方
法？ c8 2=28
3、 -o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o表示10个小球，-表示空
位
11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情
况，第2组始终不能取空
此时 若在 第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二
组取球为空
则每一组都可能取球为空 c12 2=66
4、因为前2位数字对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有
几种情况即可，设前两位为ab

显然a+b1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1代表9个1，-代表10个空位
我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到 a
个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第
10个空时，设取到该板 时第二组取空，即b=0，所以一共有 c10 2=45
5、类似的，某数的前三位为abc，a+b+c1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -
在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b
个1，第三组 取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加
2块板
设取到第10个板时，第 二组取空，即b=0；取到第11个板时，
第三组取空，即c=0。所以一共有c11 3=165
【第二篇】
1、将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至
少放一个球，一共有多少种方法？
2、有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃
法？
3、现有10个完全相同的篮球全部分给7个班级，每班至少1个
球，问共有多少种不同的分法?
4、将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方
法？
1、解析：解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每
一组分别放到一个盒子中即可。因此问 题只需要把8个球分成三组即
可，于是可以讲8个球排成一排，然后用两个板查到8个球所形成的

空里，即可顺利的把8个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第
一个盒子中，第一 个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二
个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少 放一个球，因
此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法
数是。（板也 是无区别的）
2、解析：原理同上，只需要用3个板插入到9颗糖形成的8个内
部空隙 ，将9颗糖分成4组且每组数目不少于1即可。因而3个板互
不相邻，其方法数为。
3、注释：每组允许有零个元素时也可以用插板法，其原理不同，
注意下题解法的区别。
4、解析：此题中没有要求每个盒子中至少放一个球，因此其解法
不同于上面的插板法，但仍旧是插入2 个板，分成三组。但在分组的
过程中，允许两块板之间没有球。其考虑思维为插入两块板后，与原
来的8个球一共10个元素。所有方法数实际是这10个元素的一个队
列，但因为球之间无差别，板之 间无差别，所以方法数实际为从10
个元素所占的10个位置中挑2个位置放上2个板，其余位置全部放
球即可。因此方法数为。
【第三篇】
1、一条马路上有编号为1、2 、……、9的九盏路灯，现为了节约
用电，要将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则
所有不同的关灯方法有多少种？
2、一条马路的两边各立着10盏电灯，现在为了节省 用电，决定

每边关掉3盏，但为了安全，道路起点和终点两边的灯必须是亮的，
而且任意一边不能连续关掉两盏。问总共可以有多少总方案？
1、解析：要关掉9盏灯中的3盏 ，但要求相邻的灯不能关闭，因
此可以先将要关掉的3盏灯拿出来，这样还剩6盏灯，现在只需把准备关闭的3盏灯插入到亮着的6盏灯所形成的空隙之间即可。6盏灯
的内部及两端共有7个空，故方 法数为。
A、120B、320C、400D、420
2、解析：考虑一侧的 关灯方法，10盏灯关掉3盏，还剩7盏，
因为两端的灯不能关，表示3盏关掉的灯只能插在7盏灯形成 的6个
内部空隙中，而不能放在两端，故方法数为，总方法数为。
注释：因为两边关掉 的种数肯定是一样的（因为两边是同等地位），
而且总的种数是一边的种数乘以另一边的种数，因此关的 方案数一定
是个平方数，只有C符合。