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行程综合问题




教学目标


1. 运用各种方法解决行程内综合问题。
2. 发现一些综合问题中，行程与其它模块的联系，并解决奥数综合问题。


行程问题是奥数中的一个难点，内容多而杂。而在行程问题中，还有一些尤其复杂的综
合问题。它们大致 可以分为两类：
一、 行程内综合，把行程问题中的一些零散的知识点综合在一道题目中，这就是一道 行
程内综合题目。例如把环形跑道和猎狗追兔结合在一起，把流水行船和发车间隔结合起
来等等 。
二、 学科内综合，这种问题就不只是行程问题了，把行程问题和其它知识模块里的思想
方 法结合在一起，这种综合性题目的难度也很大，比如行程与策略综合等等。
本讲内容主要就是针对这种 综合性题目。虽然题目难度偏大，但是这种题目在杯赛和小
升初试题中是很受“偏爱”的。所以很重要。

知识精讲
模块一、行程内综合
【例 1】 邮递员早晨7时出发送一份 邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8
千米下坡路。他上坡时每小时走4千米，下坡时每 小时走5千米，到达目的地停
留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?








【例 2】 小红上山时 每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟．已知小
红下山的速度是上山速度的
1.5
倍，如果上山用了3小时50分，那么下山用了多
少时间？





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【例 3】 已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同； 猫跑7步的路程与兔跑5步的路程
相同．而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔 跑7步的
时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当
它们 出发后第一次相遇时各跑了多少路程？












【例 4】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方
向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结
果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。









【例 5】 环形跑道周长是500米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑120米，乙每分跑100米，两人都是每跑200米停下休息1分。甲第一次追上乙需多
少分？







【例 6】 甲、乙两人 同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲
的
2.5
倍，当乙 第一次追上甲时，甲的速度立即提高
25%
，而乙的速度立即减少
20%
，并 且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条
环形跑道的周长是 米．
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A
C
B








【例 7】 如图所示，甲、乙两人从长为
400
米的圆形跑道的
A
点背向出发跑步。跑道右半
部分(粗线部分）道路比较泥泞 ，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、
乙速度均为每秒
8
米，而在泥泞道路 上两人的速度均为每秒
4
米。两人一直跑下
去，问：他们第99次迎面相遇的地方距< br>A
点还有 米。
A










【例 8】 甲、乙二人在同一条椭 圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相
反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回 头加速跑第二圈，跑第一圈时，
乙的速度是甲速度的23.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13；乙跑 第二圈时
速度提高了15．已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最
短路程 是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米?










【例 9】 如图3-5,正方形ABCD是一条环形公路 ．已知汽车在AB上时速是90千米，在BC
上的时速是120千米，在CD上的时速是60千米,在D A上的时速是80千米．从
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CD上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB中点相遇．如 果从PC的中点
M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB上一点N相遇．问A至N的距离除以N至B的距离所得到的商是多少?
















【例 10】 一条环形道路，周长为2千米．甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2
周．现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，
把自行车留给其他人骑 ．已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度
是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时2 0千米．请你设计一种走法，使3
个人2辆车同时到达终点．那么环行2周最少要用多少分钟?












【例 11】 甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛．两人从 起点同时同向出发，
开始时甲的速度为每秒8米，乙的速度为每秒6米．当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少2米，乙的速度每秒减少0.5米．这样下去，直到甲发现乙第一次
从后面追上自己开 始，两人都把自己的速度每秒增加
O
.5米，直到终点．那么领
先者到达终点时，另一 人距终点多少米?



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【例 12】 某人乘坐观光游船沿河流方向从
A
港前行．发现 每隔40分钟就有一艘货船从后
面追上游船，每隔20分钟就会有一艘货船迎面开过．已知
A< br>、
B
两港之间货船
发出的间隔时间相同，且船在静水中速度相同，均是水速的7 倍．那么货船的发
出间隔是____________分钟．








模块二、学科内综合
【例 13】 甲、乙两辆车从A城开往B城，速度是55于米／小时，上午10点，甲车已行的
路程是乙车已行的路程 的5倍：中午12点，甲车已行的路程是乙车已行的路程
的3倍．问乙车比甲车晚出发多少小时？



【例 14】 张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行。张明平均 每小时行5千米；而李军
第一小时行1千米，第二小时行3千米，第三小时行5千米，……（连续奇数） 。
两人恰好在甲、乙两地的中点相遇。甲、乙两地相距多少千米?








【巩固】 甲、乙两个电动玩具车同时从轨道的 两端相对而行，甲车每秒行5厘米，乙车第
一秒行1厘米，第二秒行2厘米，第三秒行3厘米，……，这 样两车相遇时，走
的路程相同。则轨道长_____厘米。




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【巩固】 龟兔赛跑，全 程5.2千米，兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米．乌龟不
停地跑；但兔子却边跑边玩，它先 跑了1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩
15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟，……．那么先到 达终点的比后到达终点的
快多少分钟?






【例 15】 科技小组演示自制机器人，若机器人从点
A
向南行走1.2 米，再向东行走1米，
接着又向南行走1.8米，再向东行走2米，最后又向南行走1米到达
B
点，则
B
点与
A
点的距离是（ ）米。
（
A
）3 （
B
）4 （
C
）5 （
D
）7










【例 16】 两条公路 成十字交叉，甲从十字路口南1200米处向北直行，乙从十字路口处向
东直行。甲、乙同时出发10分 后，两人与十字路口的距离相等，出发后100分，
两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距十字路 口多少米？





【例 17】 如图6，迷宫的两 个入口处各有一个正方形（甲）机器人和一个圆形机器人（乙），
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甲的边长和乙的直径都等于迷宫入口的宽度。甲和乙的速度相同，同时 出发，则
首先到达迷宫中心（☆）处的是 。
入口
乙
☆
甲
入口







【例 18】
A
、
B
两地位于同 一条河上，
B
地在
A
地下游100千米处．甲船从
A
地、乙 船从
B
地同时出发，相向而行，甲船到达
B
地、乙船到达
A
地后，都立即按原来路线返
航．水速为2米秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相
距20千米，那么两船在静水中的速度是
米秒．






【例 19】 夜里下了一场大雪， 早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他
们从同一点同向行走，小龙每步长54厘米， 爸爸每步长72厘米，两人各走完一
圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印。那么这条小路 长 。










【例 20】 甲、乙两地相距100千米，张山骑摩托车从甲地出发，1小时后 李强驾驶汽车也
从甲地出发，二人同时到达乙地。已知摩托车开始的速度是每小时50千米，中
途减为每小时40千米；汽车的速度是每小时80千米，并在途中停留10分钟。
那么，张山骑摩托车在 出发 分钟后减速.




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【例 21】 甲、乙两 人在河中先后从同一个地方同速同向游进．现在甲位于乙的前方，乙距
起点20米；当乙游到甲现在的位 置时，甲已离起点98米．问：甲现在离起点多
少米?









【例 22】 某人由甲地去乙地，如果他从甲 地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车行9小
时，恰好到达乙地，如果他从甲地先骑自行车21小时， 再换骑摩托车行8小时，
也恰好到达乙地，问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？









【例 23】 甲、乙两人同时从两地出发相向而行，相遇后继续前进，当两人相距
2.5
千米时 ，
23
甲走了全程的，乙走了全程的。两地相距多少千米？
34






【例 24】 甲、乙二人骑车同时从环形公路的某点出发 ，背向而行，已知甲骑一圈需48分，
出发后30分两人相遇。问：乙骑一圈需多长时间？





【例 25】 甲、乙两站相距不到500千米，A，B两 列火车从甲、乙两站相对开出，A车行至
210千米处停车，B车行至270千米处也停车，这时两车相 距正好是甲、乙两站
1
距离的。甲乙两站的距离是多少？
9

【例 26】 客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10时，货车行完全程
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需15时。两车在中途相遇后，客车又行了90千米，这时客车行完了 全程的80％，
求甲、乙两地的距离。






【例 27】 小王和小李同时从两地相向而行，小王走完全程要60分，小李走完全程要4 0分。
出发后5分，小李因忘带东西而返回出发点，因取东西耽误了5分，小李再出发
后多长时 间两人相遇？






【例 28】 两列 火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需要8时，比快车从异地到
1
甲地所需时间多。 一直两车同时开出，相遇时快车比慢车多行48千米，求甲、
3
乙两地的距离。






【例 29】 甲、乙二人在环形自行车赛场上 训练，已知两人骑一圈分别需要23秒和27秒。
如果两人同时从起点出发，背向而行，那么他们再次相 遇需要多长时间？如果是
同向行，那么甲超过乙需要多长时间？







【例 30】 甲、乙两汽车先后从A地出发到B地去，当 甲车到达A，B两地中点时，乙车走
1
2
了全程的；当甲车到达
B
地 时，乙车走了全程的。求甲、乙两车车速之比。
3
5







【例 31】 大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路 行驶。大货车先走1.5时，小轿车出
发4时后追上了大货车。如果小轿车每小时多行5千米，那么出发 后3时就可追
上大货车。问：小轿车实际上每时行多少千米？

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【例 32】 星期天早晨，哥哥和弟弟都要到奶奶家去。弟弟先走5分，哥哥出 发后25分追
上了弟弟。如果哥哥每分多走5米，那么出发后20分就可以追上弟弟。弟弟每
分 走多少米？






【例 33】 四年级 一班在划船比赛前讨论了两个比赛方案.第一个方案是在比赛中分别以2
米秒和3米秒的速度各划行赛程 的一半；第二个方案是在比赛中分别以2米
秒和3米秒的速度各划行比赛时间的一半.你认为这两个方案 哪个好？







【例 34】 一条单线铁路上有
A
,
B
,
C
,
D
,E
5个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米).
两列火车同时从
A,
E
两站相对开出,从
A
站开出的每小时行60千米,从
E站开出
的每小时行50千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来
的 列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能
使停车等候的时间最短 .先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟?










【例 35】 一辆汽车往线路上运送电线杆， 从出发地装车，每次拉4根，线路上每两根电线
杆间距离为50米，共运了两次，装卸结束后返回原地共 用3时。其中装一次车
用30分，卸一根电线杆用5分，汽车运行时的平均速度是24千米／时，求第一
根电线杆离出发点的距离。


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【例 36】 在一个沙漠地带，汽车每天行驶200千米，每辆汽车载运可行驶24天的汽油．现
有甲、乙两辆汽车同 时从某地出发，并在完成任务后，沿原路返回．为了让甲车
尽可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程 后，仅留下自己返回出发地的汽油，
将其他的油给甲车．求甲车所能开行的最远距离．

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