中国历史人物-民主生活会总结

7-4-1.简单的排列问题


教学目标

1.使学生正确理解排列的意义；
2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；
3.掌握排列的计算公式；
4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用， 培养学生的抽象能力和
逻辑思维能力；
通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑
法等．
知识要点
一、排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把 一些事物排在一起，构成一列，计算有
多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事 物有关，而且与各事物所
在的先后顺序有关．
一般地，从
n
个不同的元素中 取出
m
(
mn
)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做
从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列．
根据排列的定义，两个排列相 同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺
序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同， 它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然
元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列 ．
排列的基本问题是计算排列的总个数．
从
n
个不同的元素中取出
m
(
mn
)个元素的所有排列的个数，叫做从
n
个不同的元素< br>的排列中取出
m
个元素的排列数，我们把它记做
P
n
m
．
根据排列的定义，做一个
m
元素的排列由
m
个步骤完成： < br>步骤
1
：从
n
个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有
n
种方法；
步骤
2
：从剩下的(
n1
)个元素中任取一个 元素排在第二位，有(
n1
)种方法；
……
步骤
m
： 从剩下的
[n(m1)]
个元素中任取一个元素排在第
m
个位置，有n（m1）nm1
(种)方法；
由乘法原理，从
n
个不同元 素中取出
m
个元素的排列数是
nn1）（.n2）（Lnm1）
，即
P
n
m
（
，这里，
mn
，且等号
n（ n1）（n2）L（nm1）
右边从
n
开始，后面每个因数比前一个 因数小
1
，共有
m
个因数相乘．
二、排列数
n1）（n2）L321
． 一般地，对于
mn
的情况， 排列数公式变为
P
n
n
n（
表示从
n
个不同元素 中取
n
个元素排成一列所构成排列的排列数．这种
n
个排列全部取
出 的排列，叫做
n
个不同元素的全排列．式子右边是从
n
开始，后面每一个因数 比前一个因
数小
1
，一直乘到
1
的乘积，记为
n!
，读做
n
的阶乘，则
P
n
n
还可以写为：
P
n
n
n!
，其中
n!n（n1）（n2）LL321 　
．
例题精讲


7-4-1.简单的排列问题.题库 教师版
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8

模块一、排列之计算

【例 1】 计算：⑴
P
5
2
；⑵
P
7
4
P
7
3
．
【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答
nn1）（.n2）（Lnm1）
【解析】 由排列数公式
P
n
m
（
知：
⑴
P
5
2
5420

⑵
P
7
4
7654840
,
P
7
3
7652 10
，所以
P
7
4
P
7
3
8402 10630
．
【答案】⑴
20
⑵
630


2
【巩固】 计算：⑴
P
3
2
；⑵
P
6
3
P
10
．
【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答
2
【解析】 ⑴
P
3
2
326
⑵
P
6
3
P
10
6541091209030
．
【答案】⑴
6
⑵
30


3253
【巩固】 计算：⑴
P
14
P
14
； ⑵
3P
6
P
3
．
【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答
32
【解析】 ⑴
P
1 4
P
14
14131214132002
；
⑵3P
6
5
P
3
3
3(65432)3 212154
．
【答案】⑴
2002
⑵
2154


模块二、排列之排队问题

【例 2】 有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多
少种拍照情况？ (照相时3人站成一排)
【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 由于
4
人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有< br>3
人，可以看成有
3
个位置
由这
3
人来站．由于要选 一人拍照，也就是要从四个人中选
3
人照相，所以，问题
就转化成从四个人中选
3
人，排在
3
个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排
法．
由排列数公式，共可能有：
P
4
3
43224
(种)不同的 拍照情况．
也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：
P
4
4
432124
(种)不同的拍照情况．
【答案】
24


【巩固】 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？
【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】
4
个人到照相馆照相，那么
4
个人要分坐在四个不同的位 置上．所以这是一个从
4
个元素中选
4
个，排成一列的问题．这时
n 4
，
m4
．
由排列数公式知，共有
P
4
4< br>432124
(种)不同的排法．
【答案】
24


【巩固】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如果问题是
9
名同学站成一排照相，则是
9
个元素的全排 列的问题，有
P
9
9
种不同
站法．而问题中，
9
个 人要站成两排，这时可以这么想，把
9
个人排成一排后，左
边
4
个人 站在前排，右边
5
个人站在后排，所以实质上，还是
9
个人站
9个位置的
全排列问题．
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8

方法一：由全排列公式，共有
P
9
9
987654321362880
(
种)不同的排法．
方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个．
45
p
9
p
5
987654321362880

【答案】
362880


【巩固】 5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于甲必须站在中间，那么问题实质上 就是剩下的四个人去站其余四个位置的问
题，是一个全排列问题，且
n4
．由全排列 公式，共有
P
4
4
432124
(种)
不同的站 法．
【答案】
24


【巩固】 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥 一起照“全家福”，
5
人并排站成一排，奶奶要
站在正中间，有多少种不同的站法？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问
题 ，是一个全排列问题，且
n
=4．
由全排列公式，共有
P
4
4
432124
(种)不同的站法．
【答案】
24


【例 3】 5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有_______种？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级，第8题
【解析】
5
个人全排列有
5!120
种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是
60
种
【答案】60种

【例 4】 一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠
14
个车站(包括北京和上海)，这条铁
路线共需要多少种不同的车票．
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
2
P
【解析】
14
1413182
(种)．
【答案】
182


【例 5】 班集体中选出了5名班委，他们要 分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委
员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
P
5
5
120
(种)． 【解析】
【答案】
120


【例 6】 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示
多少种不同的信号？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三
个 位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由
于信号不仅与旗子的颜色 有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，
且其中
n5
，
m 3
．
由排列数公式知，共可组成
P
5
3
543 60
(种)不同的信号．
【答案】
60


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【巩固】 有红、黄、蓝 三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，
问共可以组成多少种不同的信号？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
P
3
2
326
． 【解析】
【答案】
6


【巩固】 在航海中，船舰常以“旗语”相互联系， 即利用不同颜色的旗子发送出各种不同
的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升 起表示一定的
信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方法一：这里三面不同颜色的旗子就是 三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一
定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个 的全排列的问题．
由排列数公式，共可以组成
P
3
3
321 6
(种)不同的信号．
方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中 任取一个，有
3
种方法；
其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间 位置的旗子只能从余下的两面旗中
去取，有
2
种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．
根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：
3216(种)．
【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常 可
以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使
问题简化．
【答案】
6


模块三、排列之数字问题

【例 7】 用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？
【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 这是一个从
8
个元素中取
4
个元素的排列问题，已知n8
，
m4
，根据排列数公
4
式，一共可以组成
P
8
87651680
(个)不同的四位数．
【答案】
1680


【巩固】 由数字
1
、2
、
3
、
4
、
5
、
6
可以组 成多少没有重复数字的三位数？
【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答
P
6
3
120
． 【解析】
【答案】
120


【例 8】 用
0
、
1
、
2
、
3
、
4
可以组成多少个没重复数字的三位 数？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 （法
1
）本题中要注意的是
0
不能为首位数字，因此，百 位上的数字只能从
1
、
2
、
有
4
种方法；十位和个 位上的数字可以从余下的
4
个
3
、
4
这四个数字中选择一个 ，
数字中任选两个进行排列，有
P
4
2
种方法．由乘法原理得，此种 三位数的个数是：
4P
4
2
48
(个)．
（法
2
）：从
0
、
1
、
2
、
3
、< br>4
中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位
是
0
的． 从
0
、
1
、
2
、
3
、
4
这五个数字中任选三个数字的排列数为
P
5
3
，其中首位是
0
的三
位数有
P
4
2
个．三位数的个数是：
P
5
3
P
4
2
5434348
(个)．
本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要
么直接在排 列的时候考虑这些限制因素．
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【答案】
48


【例 9】 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 个位数字已知，问题变成从从
5
个元素中取
2
个元素的排 列问题，已知
n5
，
m2
，根据排列数公式，一共可以组成
P< br>5
2
5420
(个)符合题意的三位数．
【答案】
20


【巩固】 用1、2、3、4、5、6六张数字卡 片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成
多少个不同的偶数？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于组成偶数，个位上的数应从
2
，
4
，
6
中选一张，有
3
种选法；十位和百位 上
的数可以从剩下的
5
张中选二张，有
P
5
2
5 420
(种)选法．由乘法原理，一共
可以组成
32060
(个)不 同的偶数．．
【答案】
60


【例 10】 由
0，
2
，
5
，
6
，
7
，
8组成无重复数字的数，四位数有多少个？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方法一：先考虑从六个数字中任取四个 数字的排列数为
P
6
4
6543360
，由
于< br>0
不能在千位
上，而以
0
为千位数的四位数有
P
5
3
54360
，它们的差就是由
0
，
2
，
5
，
6
，
7
，
8
组
成无重复数字 的四位数的个数，即为：
36060300
个．
方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为
4
个步骤进行，
第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；
第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；
这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确
定了 ，思维过程如下：


根据乘法原理，所求的四位数的个数是：
5543300
(个)．
【答案】
300


【例 11】 用
1
、
2
、
3
、
4
、
5
这五个数字，不许重复，位数不 限，能写出多少个3的倍数？
7-4-1.简单的排列问题.题库 教师版
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8

【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 按位数来分类考虑：
⑴ 一位数只有
1
个
3
；
⑵ 两位数：由
1
与
2
，每一组可以组成
P
2
2
212
(个)
1
与
5
，
2
与
4
，
4
与
5
四组数字组成，
不同的两位数，共可组成
248
(个)不同的两位数；
⑶ 三位数：由
1
，
2
与
3
；
1
，
3
与
5
；
2
，
3
与
4
；
3
，
4
与
5
四组数字组成，每一组可以组
成P
3
3
3216
(个)不同的三位数，共可组成
64 24
(个)不同的三位数；
⑷ 四位数：可由
1
，
2
，
4
，
5
这四个数字组成，有
P
4
4
4 32124
(个)不同的四位数；
⑸ 五位数：可由
1
，
2
，
3
，
4
，
5
组成，共有
P
5< br>5
54321120
(个)不同的五位数．
由加法原理，一共有
182424120177
(个)能被
3
整除的数，即
3
的倍数．
【答案】
177


【例 12】 用1、2、 3、4、5这五个数字可组成多少个比
20000
大且百位数字不是
3
的无重
复数字的五位数？
【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 可以分两类来看：
⑴ 把3排在最高位上，其余4个数可以任意 放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问
题，有
P
4
4
43 2124
(种)放法，对应24个不同的五位数；
⑵ 把2，4，5放在最高位上，有 3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3
个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字 可以任意放到其余3个数位上，有
P
3
3
6
种
选择．由乘 法原理，可以组成
33654
(个)不同的五位数．
由加法原理，可以组成
245478
(个)不同的五位数．
【答案】
78


【巩固】 用0到9十个数字组成没有重复数字的 四位数；若将这些四位数按从小到大的顺
序排列，则5687是第几个数？
【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 从高位到低位逐层分类：
⑴ 千位上排
1
，< br>2
，
3
或
4
时，千位有
4
种选择，而百、十 、个位可以从
0~9
中除
千位已确定的数字之外的
9
个数字中选择， 因为数字不重复，也就是从
9
个元素中
取
3
个的排列问题，所以百、 十、个位可有
P
9
3
987504
(种)排列方式．由乘< br>法原理，有
45042016
(个)．
⑵ 千位上排
5
，百位上排
0~4
时，千位有
1
种选择，百位有
5
种选择， 十、个位可以从剩
2
下的八个数字中选择．也就是从
8
个元素中取
2
个的排列问题，即
P
8
8756
，由乘
法原理，有< br>1556280
(个)．
⑶ 千位上排
5
，百位上排
6
，十位上排
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
7
时，个位也从剩下的七个数字
中选择，有
116 742
(个)．
⑷ 千位上排
5
，百位上排
6
，十位 上排
8
时，比
5687
小的数的个位可以选择
0
，
1
，
2
，
3
，
4
共
5
个． 综上所述，比
5687
小的四位数有
20162804252343(个)，故
5687
是第
2344
个四位
数．
【答案】
2344


【例 13】 用数字l～8各一个组成8位 数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3
的倍数．共有___种组成方法．
【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，六年级，初赛，第7题
【解析】 l～8中被三除余1和余2的数各有3 个，被3整除的数有两个，根据题目条件可
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以推导，符合条件的排列，一定符合“被三除所得余数以3 位周期”，所以8个数
字，第1、4、7位上的数被3除同余，第2、5、8位上的数被3除同余，第3 、6
位上的数被3除同余，显然第3、6位上的数被3整除，第1、4、7位上的数被3
除可以 余1也可以余2，第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1，余数的安
排上共有2种方法，余数安 排定后，还有同余数之间的排列，一共有3！×3！×2！
=144种方法.
【答案】
144
种

【例 14】 由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列．2008
排在 个．
【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 比
2008
小的
4
位数有
2000
和< br>2002
，比
2008
小的
3
位数有
2331 8
（种），比
，比
2008
小的
1
位数有
2
（种），所以
2008
排在
2008
小的
2
位数有
236
（种）
第
21862129
（个）．
【答案】
29


【例 15】 千位数字与十位数字之差为2（大减小)，且不含重复数字的四位数有多少个?
【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为
2:9
，对应的十位数字取
0:7
，
每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的
8< br>个数字中选出
2
个作百位和
个位就行了，因此总共有
8P
8
2
个这样的四位数．⑵千位数字小于十位数字，千位数字取
1:7
，十位数字 取
3:9
，共有
7P
8
2
个这样的四位数．所以总共有< br>8P
8
2
7P
8
2
840
个
这样的四位数．
【答案】
840


模块四、排列之策略问题

【例 16】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非
0数码组成，且四
个数码之和是
9
，那么确保打开保险柜至少要试几次？
【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 四个非
0
数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1， 1，3，4；1，2，
2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种．
第一种中，可以组成 多少个密码呢？只要考虑
6
的位置就可以了，
6
可以任意选择
4个位置
中的一个，其余位置放
1
，共有
4
种选择；
第 二种中，先考虑放
2
，有
4
种选择，再考虑
5
的位置，可以 有
3
种选择，剩下的位置放
1
，
共有
4312
(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有
12
种选择．最后一种，
与第 一种的情形相似，
3
的位置有
4
种选择，其余位置放
2
，共 有
4
种选择．
综上所述，由加法原理，一共可以组成
4121212 12456
(个)不同的四位数，即确
保能打开保险柜至少要试
56
次 ．
【答案】
56


【例 17】 幼儿园里的
6
名小朋友去坐
3
把不同的椅子，有多少种坐法？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 在这个问题中，只要把
3
把椅子看成是
3
个位置，而6
名小朋友作为
6
个不同元素，
则问题就可以转化成从
6
个元素中取
3
个，排在
3
个不同位置的排列问题．
由排列数公式 ，共有：
P
6
3
654120
(种)不同的坐法．
【答案】
120


【巩固】 幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的 椅子(每人只能坐一把)，有多少种不同的坐
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法？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 与例
5
不同，这次是 椅子多而人少，可以考虑把
6
把椅子看成是
6
个元素，而把
3
名
小朋友作为
3
个位置，则问题转化为从
6
把椅子中选出
3
把，排在
3
名小朋友面前
的排列问题．
由排列公式，共有：P
6
3
654120
(种)不同的坐法．
【答案】
120


【巩固】 10个人走进只有
6
辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，
那么共有多少种不同的坐法？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 把
6
辆碰碰车看成是
6
个位置，而
10
个人作为
10
个不同元素，则问题就可以转化
成从
10
个元素中取< br>6
个，排在
6
个不同位置的排列问题．
6
共有
P
10
1098765151200
(种)不同的坐法．
【答案】
151200


【例 18】 一个篮球队有五名队员< br>A
，
B
，
C
，
D
，
E
，由 于某种原因，
E
不能做中锋，而
其余
4
个人可以分配到五个位置的任 何一个上，问一共有多少种不同的站位方
法？
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方法一：此题先确定做中锋的人选，除
E
以外的四个人任意一个都可以，则有
4
种
选择，确定下
来以后，其余
4
个人对应
4
个位置，有
P
4
4432124
(种)排列．由乘法原理，
42496
，故一共有
96
种不同的站位方法．
方法二：五个 人分配到五个位置一共有
P
5
5
54321120
(种 )排列方式，
E
能做中锋
一共有
P
4
4
43 2124
(种)排列方式，则
E
不能做中锋一共有
P
5
5
P
4
4
1202496
种不同的站位方法．
【答案】
96


【例 19】 小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的
吃法?
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入
“木棍”,则将
lO
块糖分成了两部分．
我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，
如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：
○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩
下的3粒． < br>不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且
9< br>相互独立，故共有2=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法．
【答案】512

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