电子商务策划方案-车间主任年终总结

5-5-3.同余问题

教学目标

1. 学习同余的性质
2. 利用整除性质判别余数


知识点拨
同余定理

1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b 对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod
m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。

2、重要性质及推论：
（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
例如：
17
与
11
除以
3
的余数都是
2
，所以能 被
3
整除．
（1711）
（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦
的 ．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．
⑴ 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；
⑵ 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；
⑶ 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；
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⑷ 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
⑸ 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适
当 加11的倍数再减）；
⑹ 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位 分一节，奇数节的数之和与
偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除 的余数．

例题精讲


模块一、两个数的同余问题


【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.
【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 (法1) < br>39336
，51-3=48，
1473144
，
(36,1 44)12
，12的约数是
1,2,3,4,6,12
，因为余数为3
要小 于除数，这个数是
4,6,12
；
(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能 整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意
两数差的公约数．
513912
，
14739108
，
(12,108)12
，所以这个数是
4,6,12
．
【答案】
4,6,12


【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.
【考点】两个数的同余问题 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】2003年，人大附中，分班考试
【解析】 “加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个 数就是[3、
4、5]+1=60+1=61。
【答案】
61


【例 3】 有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？
【考点】两个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33．所以所
求的数为
(543345)336
．
【答案】
6

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【例 4】 一个大于10的自然数去除90、1 64后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，
则这个自然数是多少？
【考点】两个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这个自然数去 除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除
90164254
后所得的余数 ，
所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是
254220 34
的约数，又大
于10，这个自然数只能是17或者是34．
如果这个数是34， 那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；
如果这个数 是17，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以
这 个自然数是17．
【答案】
17


【例 5】 两位自然数ab
与
ba
除以7都余1，并且
ab
，求
abba
．
【考点】两个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答
abba
能被7整除，【解析】 即
(10ab)
能被7整除．所以只 能有
ab7
，那么
ab
可
（10ba)9（ab）能为92和81，验算可得当
ab92
时，
ba29
满足题目要求，
abba92292668

【答案】
2668


【例 6】 现有糖果254粒,饼干210 块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样
多的饼干,也分得一样多 的桔子。余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1：3：2，这个大班有_____
名小朋友，每人分 得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个。
【考点】两个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】南京市，第三届，兴趣杯
【解析】 设大班共 有a名小朋友。由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是1:3:2，所以余下的糖果、桔子
数目的和 正好等于余下的饼干数，从而254+186-210一定是a的倍数，即
254+186-210=2 30=1×230=10×23=2×5×23是a的倍数。同样，2×254-186=322=23×14= 23×14=23×2×7
也一定是a的倍数。所以，a只能是23×2的因数。但a﹥40,所以a= 46。此时254=46×5+24，
210=46×3+72，186=46×3+48。故大班有小 朋友46名，每人分得糖果5粒，饼干3块，桔子3个。
【答案】小朋友46名，每人分得糖果5粒，饼干3块，桔子3个

模块二、三个数的同余问题

【例 7】 有一个大于1的整数，除
45,59,101
所得的余数相同，求这个数.
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【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得 的余数相同，根据同
余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它 是任意两数差
的公约数．所以这个数可能为
2,7,14
。
(56,14) 14
，
1014556
，
594514
，
14< br>的约数有
1,2,7,14
，
【答案】
2,7,14


【巩固】 有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。问这个整数是几?
【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】第一届，华杯赛，初赛，第9题
【解析】 这个数除300、262，得到相同的 余数，所以这个数整除300－262＝38，同理，这个数整除262－205
＝57，因此，它是3 8、57的公约数19。
【答案】
19


【巩固】 在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．
【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2000年，小学数学奥林匹克
【解析】 因为
1390313511392
,
1458913903686
，由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余
数相同，那么，它们两两之差必能被 同一个数整除．
(392,686)98
，所以所求的最大整数是98.
【答案】
98


【巩固】 140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。2002除以这个自然数的余数是 .
【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2006年，三帆中学，入学测试
【解析】 这样我们用总结的知识点可知：任意 两数的差肯定余0。那么这个自然数是293-225=68的约数,又是
225-140=85的约数 ，因此就是68、85的公约数,所以这个自然数是17。所以2002除以17余13。
【答案】
13


【巩固】 三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是 。
【考点】三个数的同余问题

【难度】
3
星

【题型】填空

【关键词】
2009
年，希望杯，第七届，五年级， 初赛，第
4
题，
6
分

【解析】 （28，21）=7，所以这个除数是7。
512328
，
725121< br>，
【答案】
7


【例 8】 学校新买来118个乒乓球， 67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，
那么这三种物品剩下的数量相同 ．请问学校共有多少个班？
5-5-3.同余问题.题库 教师版 page 4 of 8

【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 所求班级数是除以
118,67,33
余数相同的数．那么可知该数应该为
1186 751
和
673334

的公约数，所求答案为17．
【答案】
17


【例 9】 若2836，4582，5164， 6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数
和余数的和为______ _．
【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2001年，小学数学奥林匹克
【解析】 设除数为A．因为2836，4582 ，5164，6522除以A的余数相同，所以他们两两之差必能被A整除．又
因为余数是两位数，所以 A至少是两位数．4582-2836=1746，
51644582582
，
6 52251641358
，
因为
(582,1358)194
，所以A 是194的大于10的约数．194的大于10的约数只有97和194．如果
A194
，< br>238619414120
，余数不是两位数，与题意不符．如果
A97
，经检验，余数都是
23，除数

余数
9723120
．
【答案】120

【例 10】 一个大于1的数去除290，235，200时， 得余数分别为
a
，
a2
，
a5
，则这个自然数是多少？
【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为
a
）． < br>既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自
然数是
29023357
的约数，又是
23319538
的约数，因 此就是57和38的公约数,因为57和38
的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数 是19．
【答案】
19


【巩固】 有3个吉利数888，51 8，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这
个自然数是 _____.
【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2006年，清华附中，入学测试
【解析】 处理成余数相同的，则888、51 8-7、666-10的余数相同，这样我们可以转化成同余问题。这样我们
用总结的知识点可知：任意 两数的差肯定余0。那么这个自然数是888-656=232的约数，也是
5-5-3.同余问题.题 库 教师版 page 5 of 8

656-511=145的约数，因此就是232、145的 公约数,所以这个自然数是29。
【答案】
29


【例 11】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是
a5
、
2a
、a
，求这个自然数和
a
的值.
【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为
2a的数：

4295

2848
，
791
、
50021000
，这样这
些数被这个自然数除所得的余数都是
2a< br>，故同余.
将这三个数相减，得到
84879157
、
1000 848152
，所求的自然数一定是
57
和
152
的公约数，< br>而

57,152

19
，所以这个自然数是
19
的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，
当这个自然数是
19< br>时，除
429
、
791
、
500
所得的余数分别为< br>11
、
12
、
6
，
a6
时成立,所以这个 自
然数是
19
，
a6
.
【答案】
6


【例 12】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数
A
除 甲数所得余数是
A
除乙数所得余数的2倍，
A
除
乙数所得余数是A
除丙数所得余数的2倍．求
A
等于多少？
【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 根据题意，这三个数除以
A
都有余数， 则可以用带余除法的形式将它们表示出来：
603AK
1
r
1
，
939AK
2
r
2
，
393AK
3r
3
由于
r
1
2r
2
，
r
2
2r
3
，要消去余数
r
1
,
r
1

r
2
,
r
3
,我们只能 先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除
数和余数都扩大2倍， 同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：
603AK
1

9392

A2K
2
2r
2


3934

A2K
3
4r
3
这样余数就处理成相同的 ．最后两两相减消去
余数，意味着能被
A
整除．
9392603127 5
，
3934603969
，

1275,969

51317
．51
的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验 17和51可知17满足，所以
A
等于17．
【答案】
17


【例 13】 已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是
a1< br>，
a
2
，
a
3
1
，求该自然数的值．
【考点】三个数的同余问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 根据题意可知 ，自然数61，154，201被该数除所得余数分别是
a
，
a
2
，
a
3
．
由于
a
2
aa
，所以自然数
61
2
3721
与
154
同余；由于
a
3
aa
2
，所以
611549394
与201同余，
所以除数是
37211543567
和
93942019193
的 公约数，运用辗转相除法可得到
(3567,9193)29
，该除数为29．经检验成立．
【答案】
29


【例 14】 有一个自然数，它除以
1 5
、
17
、
19
所得到的商(＞
1
)与余数(＞< br>0
)之和都相等，这样的数最小可能
是多少．
【考点】三个数的同余问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】
5-5-3.同余问题.题库 教师版 page 6 of 8

< br>A15a（Xa）14aX

A15a......X（
a< br>Xa）

A17b（Xb）16bX


A 17b......X（
b
Xb）

A19c......X（ Xc）A19c（Xc）18cX
c

14a16b18c7 2|aa
至少为
72
，
A15aX
a
1572 X
a
1080X
a

14a16b18c63|bb< br>至少为
63
，
A17bX
b
1763X
b
1071X
b

14a16b18c56|cc
至少为
56
，
A19cX
c
1956X
c
1 064X
c

最小为1081．
【答案】
1081


【例 15】 三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商 相同，所得的余数也相同，这三
个数是_______，_______，_______。
【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2000年，祖冲之杯
【解析】 设所得的商为
a
，除数为b
．
(19ab)(23ab)(31ab)2001
，
7 3a3b2001
，由
b19
，可
求得
a27
，< br>b10
．所以，这三个数分别是
19ab523
，
23ab 631
，
31ab847
。
【答案】523，631，847

模块三、运用同余进行论证

【例 16】 在3×3的方格表中已如右 图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数
称为一次操作。问：你能通过若干 次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？


【考点】运用同余进行论证 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】因为表中9个质数之和恰为100 ，被3除余1，经过每一次操作，总和增加3的倍数，所以表中9个
数之和除以3总是余1。如果表中9 个数变为相等，那么9个数的总和应能被3整除，这就得出矛
盾！所以，无论经过多少次操作，表中的数 都不会变为9个相同的数。

【例 17】 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以 17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的
商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少 ，最小数是多少？
【考点】运用同余进行论证 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2008年，仁华学校
【解析】 设这个三位数为
s
，它除以1 7和19的商分别为
a
和
b
，余数分别为
m
和
n< br>，则
s17am19bn
．
根据题意可知
ambn< br>，所以
s

am

s

bn
，即
16a18b
，得
8a9b
．所以
a
是9的倍
81
数，
b
是8的倍数．此时，由
ambn
知
nmabaaa
．由于
s
为三位数，最小为
99< br>5-5-3.同余问题.题库 教师版 page 7 of 8

100，最大为999，所以
10017am 999
，而
1m16
，所以
17a11a7m9
，99
得到
5a58
，而
a
是9的倍数，所以
a最小为9，最大为54．当
a54
时，
10017am17a16，
11
而
n18
，所以
m12
，故此时
s
最大为
175412930
；当
a9
时，
nm a6
，
nma1
，
99
由于
m1
，所以 此时
s
最小为
1791154
．所以这样的三位数中最大的是930， 最小的是154．
【答案】最大的是930，最小的是154

【例 18】 从1，2，3，……，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？
【考点】运用同余进行论证 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2008年，西城实验
【解析】 被13除的同余序列当中，如余1的同余序列， 1、14、27、40、53、66……，其中只要取到两个相
邻的，这两个数的差为13；如果没有两 个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余序列当中

x

不可能有 两个数的差为13，对于任意一条长度为x的序列，都最多能取
x

个数，使得取 出的数

2

中没有两个数的差为13，即从第1个数起隔1个取1个． < br>
n


n

基于以上，n个数分成13个序列，每 条序列的长度为

或

1
，两个长度差为1的序列，要

13


13

使取出的数中没有两个数的差为13， 能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所以为使57个数中
任意两个数的差都不等于13，则这57 个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差
不会超过1，那么13个序列有8个序列分 配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8
个长度为8，5个长度为9，那么当n最小为
8895109
时，可以取出57个数，其中任两个数
的差不为13，所以要 使任取57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108．
【答案】
108


【例 19】 设
2n1
是质数，证明：
1
2
，
2
2
，…，
n
2
被
2n1
除所得的余 数各不相同．
【考点】运用同余进行论证 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】假设有两个数
a
、
b
，(
1ban)，它们的平方
a
2
，
b
2
被
2n1
除余数相同．那么，由
同余定理得
a
2
b
2
0(m od(2n1))
，即
(ab)(ab)0(mod(2
，由于
2n 1
是质数，所以
n1))
ab0(mod(2n1))
或
ab0(mod(2n1))
，由于
ab
，
ab
均小于< br>2n1
且大于0，可知，
ab
与
2n1
互质，
ab
也与
2n1
互质，即
ab
，
ab
都不 能被
2n1
整除，产生矛盾，所以假设不
成立，原题得证．


5-5-3.同余问题.题库 教师版 page 8 of 8