吴名慧-陕西美术高考网

6-1-9.鸡兔同笼问题（二）


教学目标


1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.
2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对
象．

知识精讲

一、鸡兔同笼
这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在< br>1500
年前，《孙子算经》中就记载了这
个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡 兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡
兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子 里，从上面数，有
35
个头；从
下面数，有
94
只脚．求笼中各有几 只鸡和兔？
你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？
二、解鸡兔同笼的基本步骤
解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡 就变成了“独脚鸡”，
每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由
94
只变成了
47
只；如果笼子里
有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多
1．因此，脚的总只数
47
与总头数
35
的差，就是
兔子的只数， 即
473512
（只）．显然，鸡的只数就是
351223
（只）了 ．
这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔
同 笼”问题的经典思路“假设法”．
假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡 ，算出共有几只脚，
和脚总数做比较，做差除二兔找到．
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
如果假设全是兔，那么则有：数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子
脚数- 每只鸡的脚数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子
脚数- 每只鸡的脚数）
鸡数=鸡兔总数-兔数
当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍
当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍 在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，
行程，方程 等专题中也都会接触到假设法

例题精讲

两个量的“鸡兔同笼”问题——变例

【例 1】 某次数学竞赛，共有
2 0
道题，每道题做对得
5
分，没做或做错都要扣
2
分，小聪
6-1-9.鸡兔同笼问题（二）.题库 教师版 page 1 of 7

得了
79
分，他做对了多少道题？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】 做错
(52079 ) (52)3
(道)，因此，做对的
20317
(道)．
【答案】
17
道

【巩固】 数学竞赛共有20道题，规定做对一道得5分，做错或不做倒扣3分，赵天在这次
数学竞赛中得了60分，他做对了几道题？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】 假设他将所有题全部做对了，则可得10 0分，实际上只得了60分，比假设少了40
分，做错一题要少得8分，少得的40分中，有多少个8分 ，就是他做错的题的数
量，则知他做对了15道．
【答案】
15
道

【巩固】 东湖路小学三年级举行数学竞赛，共
20
道试题.做对一题得< br>5
分，没有做一题或
做错一题都要倒扣
2
分.刘钢得了
86< br>分，问他做对了几道题？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】 这道题也类似于“鸡兔同笼”问题．假设刘钢
2 0
道题全对，可得分
520100
（分），
但他实际上只得
86
分，少了
1008614
（分），因此他没做或做错了一些题．由
于做对 一道题得
5
分，没做或做错一道题倒扣
2
分，所以没做或做错一道题比做对< br>一道题要少
527
（分）．就是刘钢没做或做错多少道题．所
14
分中含有多少个
7
，
以，刘钢没做或做错题为
1472
（道）， 做对题为
20218
（道）．
【答案】
18
道

【巩固】 某次数学竞赛，试题共有
10
道，每做对一题得
6
分，每 做错一题倒扣
2
分。小红
最终得
44
分，做对的题比做错的题多__ ____道。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，3年级，第8题，假设思想方法
【解析】

60 44

82
，做错
2
道题，做对
8
道题，对的 比错的多
6
道。
【答案】多
6
道

【巩固】 次数学竞赛有
10
道试题，若小宇得70分，根据图5中两人的对话可知小宇答对
__ _______题。

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试，第12题
【解析】 设答对了
x
道题， 那么
10x5(10x)70
，所以
x8
，也就是小宇答对了8道
题。
【答案】
8
题

【巩固】 一次口算比赛，规定： 答对一题得8分，答错一题扣5分。小华答了18道题，得
6-1-9.鸡兔同笼问题（二）.题库 教师版 page 2 of 7

92分，小华在此次比赛中答错了________ 道题。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第12题
【解析】 假设他全答对了，应该的18×8= 144分，实际上少了144-92=52分，每答错一道题
少8+5=13分，答错了52÷13=4 道题。
【答案】
4
题

【例 2】 某工人与老板签订了一份3 0天的劳务合同：工作一天可得报酬48元，休息一天
则要从所得报酬中扣掉12元。该工人合同到期后 并没有拿到报酬，则他最多工作
了_________天。
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第5题
【解析】 方 法一：假设他没有休息他会得
3048=1440
（元），休息一天会少
4812 =60
（元），
所以他休息了
144060=24
（天），他工作了
3024=6
天
方法二：工作一天休息4天刚好抵消，那么最后没拿到钱，他只工作了3 0÷(4+1)=6
天。
【答案】
6
天

【例 3】 春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3
分，这3名同学都回 答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9
分，他们三人一共答对了_____道题 .
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】假设思想方法
【解析】 三人共得
87749170
(分)，比满分
10103 300
(分)少
300170130
(分)
因此三个人共做错：130(103)10
(道)题，共答对了
301020
(道)题
【答案】
20


【例 4】 张明、李华两人进行射击比赛，规定 每射中一发得20分，脱靶一发扣12分，两
人各射了10发，共得208分，其中张明比李华多64分 ，则张明射中___________
发。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 张明得分（208＋64）

2＝136分，根据鸡兔同笼，
张明脱靶（20×10－136）

（20＋12）＝2，射中8发。
【答案】
8
发

【巩固】 小明和小刚进行数学解题能力对抗赛， 两人商定，对一题得20分，不答或答错一
题扣12分。两人各解答了10道题，一共得208分，又知 道小明比小刚多得64
分。那么小刚做对了 道题。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，初试，10题
【解析】 小 刚得了

20864

272
（分）,如果小刚
10
道题都做对了，应得
200
分，实际
得
72
分，所以错了< br>
20072



2012

4< br>（道），做对了
1046
（道）。
【答案】
6
道

【巩固】 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错(包含不答)1题倒扣 1
分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共
答对30道 题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各
得多少分？
6-1-9.鸡兔同笼问题（二）.题库 教师版 page 3 of 7

【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】 法一：如果小明第一次测验24题全对， 得
524120
(分).那么第二次只做对
30246
(题)得分是
862(156)30
(分).两次相差
1203090
(分 ).比
题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一
次 答对减少一题，少得
516
(分)，而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还
可 得8分，因此增加
8210
分.两者两差数就可减少
第一次答对题数要比假设(全 对)
61016
(分).
(9010)(610)5
(题).因 此，
减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对
301911
(题).第一 次得分
5191(249)90
.第二次得分
8112(1511 )80
.
法二：答对30题，也就是两次共答错
2415309
( 题).第一次答错一题，要从满分中扣
去
516
(分)，第二次答错一题，要从满 分中扣去
8210
(分).答错题互换一下，两次
得分要相差
610 16
(分).如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去
69
.但两次满分
都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了
6910
.
因 此，第二次答错题数是
(6910)(610)4
(题).第一次答错
9 45
(题).
第一次得分
5(245)1590
(分).第二 次得分
8(154)2480
(分).
【答案】第一次得分
90
分.第二次得分
80
分.


【例 5】 某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票 的
价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组
成的旅游团 （每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，
如果他们买团体票那么可以比他们各 买各的少花120元，问这个旅游团一共有多
少人？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】 每个三口之家可以少 花
30404032314
（元），每个二口之家可以少花
，如果这8个家 庭都是三口之家，那么一共少花
14811240406416
（元）
（元 ），所以这8个家庭中有
（120112）（1614）4
（个）家庭是二口之家，所
以这个旅游团一共有
42
．
（84）320
（人）
【答案】
20
人

【例 6】 一张数学试卷，只有
25
道选择题．做对一题得
4
分， 做错一题倒扣
1
分；如不做，
不得分也不扣分．若小明得了
78
分， 那么他做对 题，做错 题，
没做 题．
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】假设思想方法，祖冲之杯
【解析】 这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索．
小明得了
78
分，而且只有做对了题目才能得分．
所以可以知道小明至少做对
20
道题目，否则一定低于
41976
(分)；
78419
，
再假设他做对
21
题，发现即使 另外四题都错，小明仍然有
4211480
(分)，
超过了
78分，所以小明至多做对
20
道题目；
综上，可以断定小明做对了
20
道题．
至此本题转化为简单鸡兔同笼问题．
假设剩下
5
题全部没做，那么小明应得
42080
(分)．
但是只得了
78
分，说明又倒扣了
2
分，说明错了
2
道题，
3
道题没做．
所以小明做对了
20
道题，做错了
2
道题，没做
3
道题．
【答案】对了
20
道题，做错了
2
道题，没做
3
道 题

6-1-9.鸡兔同笼问题（二）.题库 教师版 page 4 of 7

【例 7】 一批钢材，用小卡车装载要
45
辆，用大卡车装载只要
36
辆．已知每辆大卡车比每
辆小卡车多装
4
吨，那么这批钢材有多少吨？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】 要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车 能装多少吨．利用假设法，
假设只用
36
辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比 每辆小卡车多装
4
吨，
所以要剩下
436144
(吨)．根据 条件，要装完这
144
吨钢材还需要
45369
(辆)
小卡车． 这样每辆小卡车能装
144916
(吨)．由此可求出这批钢材有
720
吨．
【答案】
720
吨

【例 8】 下面是小波和售货员阿姨的一段对话：小波：“阿姨，您好！” 售货员：“同学，
你好．想买点什么？ ”小波：“我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本
笔记本．”售货员：“好，每支钢笔比每 本笔记本贵2元，退你5元，请拿好．
再见．”根据这段对话，则钢笔每支是 元，笔记本每本是 元．
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级，第14题
【解析】 一共花了
100 595
元。如果是买
25
本笔记本可以少花
10220
元， 即
75
元。
所以每本笔记本
3
元，每支钢笔
5
元
【答案】
5
元

【例 9】 买一些4分和8分的邮票,共花6元 8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40
张,那么两种邮票各买了多少张
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】 解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.
(680-8×40)÷(8+4)=30(张),
这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张.
因此8分邮票有 40+30=70(张).
解二:譬如,假设有20张4分,根据条件分比4分多40张那么应有6 0张8分.以
分作为计算单位,此时邮票总值是 4×20+8×60=560.
比680 少,因此还要增加邮票.为了保持差是40,每增加1张4分,就要增加1张8
分,每种要增加的张数是 (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张).
因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).
【答案】4分有30张,8分有70张.

【例 10】 喜羊羊的存钱罐中只有5 角和1元的硬币共100枚，其中5角的硬币比1元
的硬币多20元，喜羊羊的存钱罐中总共有____ ____钱。
【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级，第3题
【解析】
60
元。
20 0.540
枚，

10040

320
枚，
20

10020

0.560
元。
【答案】
60
元

【例 11】 小同有一个储蓄筒，存放的都是 硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数
算，5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币． 小同共存了多少钱？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】 假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币 多8角4分，一个5分币
比一个2分币多3分，所以5分币有
84
（个），2分币有
282250
（个），
（52）28
．
528250136

14010036276
（分）
6-1-9.鸡兔同笼问题（二）.题库 教师版 page 5 of 7

【答案】
276
分

【例 12】 现有大小油桶 50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶
比小桶共多装油20千克，问大小桶各多 少个?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】 方法一：假设50个油桶都是大桶，则共装油
( 450)200
千克，而这小桶所装油
则为0．这样大桶比小桶多装200千克，比条件所 给的差数多了
(20080)180
千
克，若在50个大桶中把一部分大桶换成小 桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装
的油就减少4千克，而小桶共装的油就增加2千克，那么大桶比小 桶多装的数量就
减少
(42)6
千克，所以小桶有：
180630< br>(个)，大桶有：
503020
(个).
方法二：这道题也可以用另外一 种假设；每个大桶比每个小桶多装2千克，如果大小桶同样
多，大桶要比小桶共多装20千克，则应该大 小桶各
20(42)10
个，现在共有50个桶，
在剩下的
(501 02)30
个桶中，大小桶应装同样多的油，而每个大桶装的油是每个小桶
装的
( 42)2
倍，那么在这30个桶中，应该有
[30(12)]10
个大桶，
(3010)20
个小
桶；所以可求出50个桶中，有大小桶各多少个．
解：
20(42)10
(个)
(50102)(12)10
(个) (大桶)
101020
(个) (大桶共有)
502030
(个) (小桶共有)
【答案】大桶
20
个，小桶
30
个

【例 13】 大、小猴共
35
只，它们一起去采摘水蜜桃．猴王不在时，一只大猴一 个小时
可采摘
15
千克，一只小猴子一小时可摘
11
千克；猴王在场 监督的时候，每只猴子
不论大小每小时都可以多采摘
12
千克．一天，采摘了
8
小时，其中第一小时和最
后一小时猴王在监督，结果共采摘了
4400
千克 水蜜桃．在这个猴群中，共有小猴
子多少只？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】 其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中 的鸡和兔．但是却有猴王来捣乱，所以我
们先让猴王消失．一天中，猴王监视了
2
小时 ，假设猴王一直都不在，同猴王在时
相比，每只猴子每小时都会少采
12
千克，那样猴 群只能采摘
4400352123560
(千克)；这是一天也就是
8
小时的工作量，据此可以求出
这群猴每小时采
35608445
(千克)；假设 都是大猴子，应该每小时采摘
1535525
(千克)，比实际多采了
5254 4580
(千克)．而每只小猴子被假设成
大猴子，会多采
15114
(千克)．因此可以求出小猴子有：
80420
(只)．
【答案】
20
只

【例 14】 今年是1998年,父母年龄( 整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后
(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年 龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年
龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】 4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是
78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数,弟的年龄看作兔头数.25是总头
数是总脚数根据 公式,兄的年龄是 (25×4-86)÷(4-3)=14(岁). 1998年,
兄年龄是14-4=10(岁). 父年龄是 (25-14)×4-4=40(岁). 因此,当父的年龄是兄
的年龄的3倍时,兄的年龄是 (40-10)÷(3-1)=15(岁),这是2003年.
【答案】
2003
年
6-1-9.鸡兔同笼问题（二）.题库 教师版 page 6 of 7

【例 15】 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时 完成,现在甲单独
打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】 我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷
6=5(份),乙每小时打30÷10=3(份). 现在把甲打字的时间看成兔头数,乙打字
的时间 看成鸡头数,总头数是7.兔的脚数是5,鸡的脚数是3,总脚数是30,
就把问题转化成鸡兔同笼问题 了. 根据前面的公式兔数=(30-3×7)÷(5-3)
=4.5, 鸡数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.
【答案】
4.5
小时

【例 16】 箱子里红、白两种玻璃球， 红球数是白球数的
3
倍多
2
只，每次从箱子里取出
7
只白球 、
15
只红球．如果经过若干次以后，箱子里剩下
3
只白球、
53< br>只红球．那
么箱子里原有红球多少只？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】 假设每次一起取
7
只白 球和
21
只红球，由于每次拿得红球都是白球的
3
倍，所以最
后剩下 的红球数应该刚好是白球数的
3
倍多
2
．由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该不变，仍然是
3
个．按照我们的假设，剩下的红球应
该是白球的
3
倍多
2
，即
33211
(只)．但是实 际上最后剩了
53
只红球，比假
设多剩
42
只，因为每一次实际取得 与假设相比少
6
只，所以可以知道一共取了
4267
(次)．所以可以知 道原来有红球
71553158
(只)．
【答案】
158
只

【例 17】 车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车，车的辆数与车的轮子数之比是< br>2∶5。问：摩托车的辆数与小卧车的辆数之比是多少？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛，第10题
【解析】 车库中， 平均每2辆车有5个轮子，也就是说，平均每4辆车有10个轮子。简单
的试凑可以知道，1辆小卧车和 3辆摩托车恰好有10个轮子。所以摩托车的辆数
与小卧车的辆数之比为3∶1
【答案】
3
:
1


6-1-9.鸡兔同笼问题（二）.题库 教师版 page 7 of 7