男士增大-小学安全教育计划

4-1-5.奇妙的一笔画


所谓图的一笔 画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每
条边都只画一次，不准重复．从 图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否
所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们 就来探求解决这个问题的方法．
什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．
我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫
做奇点．
一笔画问题：
(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；
(2)凡是只由偶点组 成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最
后仍回到这点；
(3) 凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另
一个奇点为终点；
(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．
多笔画问题：
我们把不能一笔 画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一
半．事实上，对于任意的连通图来说 ，如果有2
n
个奇点(
n
为自然数)，那么这个图一定可
以用
n
笔画成．

知识点拨
例题精讲


模块一、判断奇偶点

【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点 ，与奇数条线相连的点叫做奇
点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？
A
EJ
B
H
I
O
F
D
G
C
【考点 】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 奇点：
D

H

J

O
偶点：
A

B

C

E F

G

I

【答案】奇点：
D

H

J

O
偶点：
A

B

C

E F

G

I


【例 2】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地
插 上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种
颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或
“不能”）完成任务.

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【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第10题
【解析】 最少需要3种颜色的旗子。因为中间 的三点连成一个三角形，要使这三点所代表营
地两粮相邻，要使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插 一种与其它两点不同
颜色的旗子。不走重复路线不能完成插旗的任务，因为本题共有6各奇点。
【答案】
3
种颜色，不能

【例 3】 判断下列图
a
、图
b
、图
c
能否一笔画．
N
A
B
K
C
F
E
L
M

A
F
A
O
B
D
B
G
E
C
图a
D
图b
C
图c
D

【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 图
a
能，因为有2个奇点，
图
a
能
b
不能，因为图形不是连通的，
图
c
能，因为因为图中全是奇点
【答案】
a
能，
a
能，
c
能


【例 4】 下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？
（1）
（2）
（3）
【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 图1能 因为图中全是偶点；
图2能 因为图中全是偶点；
图3不能因为有4个奇点。
【答案】图1能 因为图中全是偶点；
图2能 因为图中全是偶点；
图3不能因为有4个奇点。

【例 5】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？


【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 第1个能，2、3不能
【答案】第1个能，2、3不能

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【例 6】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都 有门相通，整个
展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且
从入口进，从出口出？

【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 将图形中的6个区域看成6个点，每个门看成连结他们的线段，显然6个点都是偶
点 ，所以有人能一次不重复的走过所有的门．
【答案】能

【巩固】右图是某展览馆 的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，
请说明理由．如果能，应从哪开始走？
E
A
D
B
C

【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 不能
【答案】不能

【例 7】 下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是
甲蚂蚁还是乙蚂蚁 ？该怎样爬？
甲

【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出
发 才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够．
【答案】甲蚂蚁

【例 8】 能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？
乙

【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 可以．
【答案】可以

【例 9】 下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口
应设在哪里？
I
A
F
B
E
H
G
CD

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【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 要想不重复，需要路线能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以入口和出口应该分
别 放在两个奇点出，即
F
和
I
点．
【答案】出口和入口应该分别放在F和I点

【例 10】 邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？

【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 不走重复路，一笔能画出路线图，图中有2个奇点，应该从奇点处出发，下面有一
种参考路线： 4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3
【答案】
4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3


【例 11】 观察下面的图，看各至少用几笔画成？
A
B
C
D< br>（1）
H
G
F
E
（2）
（3）

【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 图(1)有8个奇点，所以要4笔画出，
图(2)有12个奇点，所以要一笔画出，
图(3)能一笔画出．
【答案】图(1)有8个奇点，所以要4笔画出，
图(2)有12个奇点，所以要一笔画出，
图(3)能一笔画出．

【例 12】 在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从
A
点到
B
点，不
许走重复路，他最多能走多少米？
【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解．首先，图中
有8 个奇点，在8 个奇点之间至少要去掉4 条线段，才能使这8 个奇点变成偶点；
其次，从
A
点出发到
B
点，
A
，
B
两点必须是奇点，现在
A
，
B
都是偶点，必须在
与
A
，
B
连接的线段中各去掉1 条线段，使
A
，
B
成为奇点．所以至少要去掉6 条线
段，也就是最多能走1800 米，走法如图

【答案】


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【例 13】 有
16
个点排成的
44
方阵。如图，请不间断地一笔画出
6
条直线经过每个点，
且最后回到起点

【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 答案不唯一

只使用横平竖直的线怎么都不够，因此尝试使用斜线进行构造。
【答案】答案不唯一


【例 14】 一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如 果它只能进不
能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？
D
A
E
B
F
G
C
H

【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 8个定点都是奇点，所以至少需要4笔．
多画长和高能保证总路程最长，为
A
－B
－
G
－
H
－
A
－
D
－C
－
F
－
E
－
D

总长为6×4＋5×4 ＋4×1＝48分米．
【答案】
48分米


【巩固】一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从
A
点出发，
沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到
A
点时，最多能爬行多少 厘米？
A
【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答
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【解析】 最多34厘米
【答案】
多34厘米


模块二、调整奇偶点变一笔画

【例 15】 判断下列图形能否一笔画 ．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一
条线，将其改成可一笔画的图形．
A< br>B
H
I
A
G
F
G
A
B
I< br>K
H
J
L
F
E
EF
B
G
C
D
H
C
图a
D
E
C
图b
D
图c

【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 图( 1)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结
BD
，或者去掉
BF
都可以使 图形
能一笔画出．
图(2)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉
KL
，或者
BK
都可以使图形能一笔画出．
图(3)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉
AB
可以使图形能一笔画出． < br>一个
K
(
K
＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知 道
K
笔画有2
K
个奇点，
如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那 么这两个奇点同时变成了偶点．如左下图中的
B
，
C
两个奇点在右下图中都变 成了偶点．所以只要在
K
笔画的2
K
个奇点间添加(
K
-1 )笔就可以
使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画．
AB
AB
DC

DC

【答案】
AB
DC

【例 16】 如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅 之间有门相通，并且设有入
口．请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿 行
路线， 如果不能，应关闭哪个门就可以办到？

【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方 便解题，给它们分别编
号．这时，连通厅与厅之间的门就相当于各点之间的连线．于是题目中餐厅平面图
就抽象成为一个连通的图形，如下：

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求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题．在抽象出的图形中，我 们可以找到四个奇点，即
②、③、④和厅外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不可能一次不 重复的穿过
所有的门．但根据一笔画问题的知识，只要关闭门，把③、④变为偶点，就可以办到，关闭< br>B
门，可行路线如上图。
【答案】关闭
B
门。

【例 17】 下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，
并画出路线图．


E
A
D
【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题
型】解答
G
H
【解析】 不能一笔画出，因为图中有
E

H

G

C
F
四个奇点，连结
EH
就可以使图
B
F
形一笔画出．
【答案】
连结
EH
就可以使图形一笔画出


【例 18】 如图所示，某小区花园的道路为一个长480米，宽200米的长方形；一个边长为
260米的 菱形和十字交叉的两条道路组成．一天，王大爷A处进入花园，走遍花
园的所有道路并从A处离开．如果 他每分钟走60米，那么他从进入花园到走出
花园最少要用 分．
A

【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 根据一笔画的概念，因为道路图有四个奇点，所以王大爷是没法不重复地走完小区
所有的道路回到
A
的，但可以对道路图作一些处理，相当于王大爷通过走重复的
道路，完成一笔画，如下图：
A

道路的总路程为
4803200326063600
米，王大爷走完这些路要
60
分钟．
【答案】
60
分钟

【例 19】 某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段 ）
组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有
一个长度值（ 标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局
出发经过他所管辖的每一条街道最后返 回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他
合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是 ．
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【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 根据一笔画的有关概念，道路图中有
6
个奇点，邮递员不可能不重复地走遍 所有街
道并返回邮局．但可以对道路图作一些处理，相当于邮递员通过走重复的道路，完
成一笔 画，如下图：
邮局


总路程为
3102846
．
【答案】
46


【例 20】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横 贯城
区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛
A
和一座半岛
D
，人
们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图
a
)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成
功？

【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 欧拉解决这个问题的方 法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这
七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因 此，岛和岸都可以看作一个点，而桥
则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一 个几何图形(如
下图)能否一笔画出的问题了．而图
B
中有4个奇点显然不能一笔画出 ．
【答案】不能

【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连 接这两个岛及河岸．问：
一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？


【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 能
【答案】能

【例 21】 一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米
数，他从邮局出发， 要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程
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最短？全程多少千米？

【考点】一笔画问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 图中共有8 个奇点，必须在8 个奇点间添加4 条线 ，才能消除所有奇点，成为能从
邮局出发最后返回邮局的一笔画．在距离最近的两个奇点间添加一条连线 ，如左下
图中虚线所示，共添加4 条连线，这4 条连线表示要重复走的路，显然，这样重复
走的路程最短，全程30千米．走法参考右下图(走法不唯一)．
【答案】
30
千米

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