常春藤名校-万能作文

第十一章 工程问题
知识要点
工程问题是研究工作效率、工作时间和工 作总量之间相互关系的一类分数应用题。这种
类型的应用题，工作总量不再是具体的数量，经常用单位“ 1”来表示，工作效率用分率来
表示。解答此类问题，主要利用三个量之间的关系解题。
工作总量＝工作效率×工作时间
工作时间＝工作总量÷工作效率
工作效率＝工作总量÷工作时间
典例巧解
例1 一项工程，甲单独做需12天完成，乙单 独做需9天完成。如果甲先单独做若干天后，
乙接着单独做，共用10天完成。甲做了几天？
点拨 这类工程应用题，我们可以根据题中的已知条件和数量间的关系列方程解答。除了方
程 方法外，还可以用假设法解答此题。
解法一 设甲做了x天，那么乙做了(10－x)天。
11
x＋×(10—x)＝1
129
1101
x＋－x＝1
1299
11
x＝
9
36

x＝4
答：甲做了4天。
解法二 假设这10天全部是乙做的，由于乙比甲做得 快，则应超过工作总量“1”。超过的
工作量是怎样造成的呢？这是因为把这10天全都看成是乙做的。 乙每天的工作效率比甲每
111
－＝，多少天才做了超过的工作量呢？列式为：
912
36
111
(×10－1)÷(＝)
9912
11
＝÷
9
36
天的工作效率多
＝4(天)
答：甲做了4天。
例2 加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成 。现在由甲先做16天，然后乙再做12天，
还剩下这批零件的40%没有完成。已知甲每天比乙多加工 4个零件，求这批零件共多少个。
1
，甲先做16天，然后乙再做12天，可理解为甲、乙合 作
24
11
12天后，甲再单独做16－12＝4(天)，这样甲4天完成的工作量为 1－40%－×12＝，
2410
11111
于是，可以求出甲的工作效率为÷4＝， 乙的工作效率为－＝，从而求
10402440
60
点拨 甲、乙合作的效率和为

出4个零件占这批零件总数的
解 甲的工作效率：
(1－40%－
111
－＝。问题易解。
40
60
120
1
×12)÷(16－12)
24
1
÷4
10
1
＝
40
＝
这批零件总数：
111
－(－)]
402440
1
＝4÷
120
4÷[
＝480(个)
答：这批零件共有480个。
例3 某 地要修筑一条公路，甲工程队单独干需要10天完成，乙工程队单独干需要15天完
成。如果两队合作他 们的工作效率就要降低，甲队只能完成原来的80%，乙队只能完成原来
的90%。现在计划8天完成这 项工程，且要求两队合作天数尽可能少，那么两队要合作多少
天？
点拨 根据题意，甲、乙 及甲、乙合作的工作效率分别为
＝
1111
，及×80%＋×90%
1015 1015
7
。可以看出乙的效率最低，甲、乙合作的效率最高，要使甲、乙合作天数尽可能的少 ，
50
141
则必须甲尽可能地多做，如果全是甲做，8天可完成×8＝的工作量，尚 有的工作
1055
没有完成，这部分工作要由甲、乙合作来完成。
1111
×8)÷(×80%＋×90%－)
10101510
12
＝÷
5
50
解 (1－
＝5(天)
答：两队要合作5天。
例4 一项工程， 甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成。若甲先做1小时，
然后乙接替甲做1小时，再由甲 接替乙做1小时„„两人如此交替工作，需要几小时完成任
务？
11
，乙的工作效率 为，甲工作1小时乙再工作1小时，即一个
1218
11551
循环，完成的工作量为 ＋＝，1÷＝7，最多有7次循环，而7次循环将完
1218
36
5
36535351
成的工作量×7＝，还剩下1－＝的工作量，剩下的工作量由甲做还需要
36 363636
点拨 甲的工作效率为

111
÷＝(小时)。
36
123
115
＋＝
1218
36
51
需要的循环次数：1÷＝7
5
36
11351
剩余的工作量：1－7×(＋)＝1－＝
1218
3636
111
甲还要再做的时间：÷＝(小时)
36
123
11
甲、乙共用时间：7×2＋＝14(小时)
33
1
答：共用了14小时完成任务。
3
解 一个循环完成的工作量：
例5 某工厂的一个生产小组生产一批零件，当每个工人在自己原工作岗位工 作时，9小时
可完成这项工作；如果交换A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完
成该项生产任务；如果交换C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前1
小时完 成该项生产任务；如果同时交换A和B、C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变，
可以提前多少分钟 完成该项生产任务？
点拨 题中所给出的几种情况，都是由于工作效率改变了，工作时间也相应变化 ，但工作总
量却没有改变。因此，可以先求出各种情况下的工作效率，然后再研究工作时间的变化。 < br>11
。A与B交换，全部工作效率为，
98
111
由于其他工人的效率 不变，所以A与B的工作效率提高了－＝。同理，C与D交换
89
72
1
后， 他们两人工作效率也提高了。若A与B、c与D同时交换，他们四人工作效率提高
72
1111 15
了＋＝。全组人每小时完成了＋＝。
9
3636727236
解 设工作总量为单位“1”，则原来全部工作效率为
因此，完成这项任务，全组人需要：
1÷
51
＝7(小时)
5
36
14
＝1(小时)＝1小时48分＝108(分钟)
55
比原来提前了：
9－7
答：可以提前108分钟完成该项生产任务。
例6 (第六届“华罗庚金杯”邀请赛试题)甲管注水 速度是乙管的一半，同时开放甲、乙两
个水管向游泳池注水，12小时可以注满。现在先开甲管向游泳池 注水若干小时后，剩下的
由乙管注水9小时。将池注满，甲管的注水时间是多少？
点拨 通 过“甲管注水速度是乙管的一半”这个条件我们可以看出：乙管的工作效率是甲管
工作效率的2倍。也就 是说：1个乙管等于2个甲管。因此，甲、乙两管相当于1＋2＝3(个)
甲管。甲、乙同时注水12小 时可将游泳池注满，由反比例关系可知：甲管单独注水需12×3

＝36(小时)方能注 满，而乙管单独注满水池则需36×
1
＝18(小时)。所以此题就可以看成
2
是乙管单独注水9小时后，剩下的由甲管单独注水，还需几小时注满水池。
解 [1－
1
1
12(1)
2
91
＝(1－)÷
18
36
1
＝×36
2
＝18(小时)
×9]÷
1

12(12)
答：甲管的注水时间是18小时。
例7 一个蓄水池底部有一道裂缝，满池水50小时全部漏完。有 甲、乙两个进水管，水池
蓄满水后，经过40小时，开始打开两个进水管，10小时后水池注满。经过8 小时，打开乙
管，再过6小时后水池注满。如果把水放掉，把池底裂缝堵好，甲、乙两管分别注水，各需
几小时把水池注满？
点拨 题中告诉我们“满池水50小时漏完”，即漏水的速度为每小时
经过40小时，空出了
1
。水池注满水后，
50
4040
， 甲、乙两管10小时注水为，甲、乙两管每小时使水面上升
5050
402211
了： ÷10＝。而甲、乙工作效率和为＋＝，再通过后一个条件“经过8
50
252550
10
817
小时，打开乙管，经过6小时后水池注满”可知：乙工作效率为÷6＋＝，甲
5050
150
178
工作效率为－＝。求出甲和乙的工作效率，再求它们单独注水 各需几小时就
10150150
简单了。
解 (1)甲、乙两管合开1小时的进水量：


(2)乙管单独开放1小时的进水量：

4011
÷10＋＝
50
50
10
817
÷6＋＝
5050
150
178
－＝
10150150
(3)甲管单独开放1小时的进水量：

(4)裂缝堵好后，甲、乙两管单独开放，各需几小时注满水池：
83
＝18(小时)
1504
73
1÷＝21(小时)
1507
1÷

答：裂缝堵好后，甲、乙两管分别单独注水各需18

解题技巧
33
小时、21小时把水池注满。
47
分析、 解答工程问题，首先根据题目的特点，把工作总量用“1”来表示，而工作效率
也就可用单位时间内可做 工作总量的“几分之一”来表示。在解题时要注意以下几点：
1.有的工程问题，工作效率往往 隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作
过程，灵活运用基本数量关系；
2.涉及具体数量的工程问题，关键要找到已知的具体数量与对应分率之间的关系，转化
为分数应用题来 解答；
3.对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一
个周期的部分所需工作时间。

竞赛能级训练
A 级
1.有 一项工作，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要30天完成。两人合作，其间甲休息
了2天，乙休息 了8天(不在同一天休息)，从开始到完工共用了多少天？
2.制造一批零件，甲车间做要10天完成 ：甲、乙两个车间一起做只要6天就能完成，乙车
间与丙车间一起做，需要8天才能完成。三个，车间一 起做，完成任务后发现甲车间比乙车
间多制作2400个零件。丙车间制作了多少个零件？
3 .搬运一个仓库中的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓
库A和B， 甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙先帮助甲搬运，中途又帮助乙搬
运，最后两个仓库中的货 物同时搬完。丙帮助甲、乙各多长时间？
4.有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池A和 B注水。在相同时间内，甲、乙
两管注水量之比是7：5。经过2
1
小时后，A、B两 池中已注入水之和恰好是一池水。此后，
3
甲管的注水速度提高25%，乙管的注水速度降低3 0%。当甲管注满A池时，乙管还需多长时
间注满B池？
5.王师傅计划用2小时加工一批零 件。当还剩160个零件时，机器出现故障，效率比原来降
低
1
，结果比原计划推迟2 0分钟完成任务。这批零件有多少个？
5
6.用1辆大卡车和2辆小卡车一次能运走一批货物 的未，用4辆大卡车和5辆小卡车一次恰
好运完这批货物。只用一种卡车运这批货物，小卡车要比大卡车 多用几辆？
7.(“我爱数学杯”竞赛试题)有一项工作甲、乙两人合作了12天后还剩下一部分工作 没有
做完。如果将剩下的工作由甲单独完成，则需要15天，而由乙单独完成则需要20天。那么，这项工作全部由甲完成需要 天。
8.(重庆市思维竞赛试题)一项工程由甲工作队先做 10天，接着由乙工程队做6天完成。如
果由乙工程队先做18天，接着由甲队也要做6天完成。那么甲 队先做5天，接着乙工程队
继续做 天可以完成。

9.(江西省竞赛 试题)甲、乙、丙三队合修一条公路，干5天后，甲修的是乙、丙总和的三分
之一，乙修的是甲、丙总和 的五分之一。已知甲比乙多修3.6千米，那么丙队修了多少千米？
10.甲、乙两人各做一项工程， 如果全是晴天，甲比乙少用6天完工；如果是雨天，甲的工
作效率比晴天降低40%，乙降低10%。两 人同时开工，恰好同时完工。问：工作中有多少天
是雨天？
11.甲工程队每工作6天休息一 天，乙工程队每工作5天休息两天。一项工程，甲队独做需
要97天完成，乙队独做需要75天完成(两 队完成工作的时间均包括休息时间)。如果两队合
作，从2008年3月1日开工，几月几日可以完工？
1
时，公司采用新设备，修建速度提高20%；
3
4
同时为了保养新 设备，每天的工作时间缩短为原来的，结果185天完成任务。原计划_____
5
12.一公 司计划修建一条铁路，当完成任务的
天完成任务。
13. 一批零件甲队单独做10天可以完 成，乙队单独做12天可以完成，丙队每天生产64个
零件。如果甲、乙合作4天后，还有256个零件 没完成。现在三个队合作需多少天完成？
14.一列快车从A地开往B地需要5小时，一列慢车从B地 开往A地所需时间比快车多{。两
列火车同时从两地相对开出2小时后，慢车停止前进，快车继续行驶9 6千米与慢车相遇，A、
B两地相距多少千米？

B 级
1.有一些水 管，它们每分钟的注水量都相等。现在打开其中若干根水管，经过预定时间的
1
，
3< br>再把打开的水管增加1倍，就能按预定时间注满水池。如果开始打开10根水管，中途不增
加水管 ，也能按预定时间注满水池。开始打开了几根水管7
2.一个容积是120立方厘米的容器安装着甲、 乙、丙三根水管，甲水管是进水管，每秒能进
水4立方厘米；丙管是排水管，每秒排水8立方厘米。开始 时容器是空的，把三根水管同时
打开，一会儿水就注满容器，再把甲管关掉，过了不久，容器就空了。从 开始到容器里的水
排空，总共用了50秒。乙管每秒的进水量是多少立方厘米？
3.蓄水池有 甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要注满一池水，单开甲管需要3小时，
单开丙管需要5小时；要 排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池
水有
1
池水，如果按 甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁„„的顺序轮流开1小时，多少小
6
时后水开始溢出水池？
4.一个蓄水池装了一根进水管和三根放水速度一样的出水管。单开一根进水管20分钟可注
满 空池，单开一根出水管，65分钟可以放完满池的水。现有
分钟后池水有
1
池水，如果 四管齐开，多少
3
2
？
5
5.加工一批零件，甲单独做需75小时 完成，乙单独做需50小时完成。已知每小时乙比甲多
做12个零件，如果甲的工作效率提高50%，而 乙每小时比原来多做8个，那么两人合作这

批零件的
2
需要多少小时？
3
6.三条环形跑道交于A点，每条跑道周长均为200米，三名运动员的速度分别为每小时5
千米、7千米、9千米，他们同时从A点出发分别沿三条跑道跑步，三名运动员出发后第四
次相 遇时，跑了多少分钟？(如右图)

21
天可以完成，需支付1800元；由乙、丙 两队承包3天
913
2
可以完成，需支付1520元；由甲、丙两队承包2天可以完成 .需支付1680元。在保证7
3
7.某项工程由甲、乙两队承包2
天内完成的条件下 ，选择 队单独承包的费用最少，这个最少的费用是 元。
8.一项工作，甲单独完 成需10小时，乙单独完成需15小时，丙单独完成需20小时。现在
甲、乙合作2小时后，甲因事离开 了，又过3小时后，丙加入进来，直到工作完成。完成这
项工作共用了 小时。
9. 有一项工程，甲队单独做20天可以完成，乙队单独做30天可以完成。现在由两队合作来
做这项工程， 合作中甲队休息了4天，乙队休息了若干天，共1 5天完工。则乙队休息了
天。
10.栽一批茄子，兄弟两人合栽8小时完成。如果哥哥先栽了3小时后弟弟又单独栽了1小
时，还剩总 棵数的
少棵？
11.甲、乙合作一项工作，由于配合好，甲的工作效率比单独做时提高
比单独做时提高
11
没有栽。已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵，这块地共栽茄子多16
1
，乙的工作效率
10
12
。甲、乙合作6小时完成全部工 作的，第二天乙又单独做了6小时，
55
13
还剩下这项工作的未完成。如果这项工作 始终由甲一人单独来做，需要多少小时完成？
30

能力测试
一、填空题(每题9分，共54分)
1.一项工作，甲独做需要12小时完成。现在甲、 乙两人合作2小时后，甲因事外出，剩
下的工作乙又用了5.5小时才做完。如果这项工作由乙单独做， 需要( )小时完成。
2.两队合作收割一块稻田，7小时可以完成。两队共同收割5小时 后，第一队所有队员及
第二队人数的
1
调做其他工作，又经过6小时全部收割完。若单 独收割这块稻田，第一队
5
要( )小时，第二队要( )小时。
3. 一辆汽车往返于A、B两地，去时速度为72千米／小时，到达后立即返回，回来的速度
为48千米／小 时。往返的平均速度是( )。
4.水池的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和 一个排水管，甲、乙两管单独灌满

水池分别需要10小时和15小时。水池中原有一些水 ，如果甲、乙两管同时进水且排水管放
水，6小时可将池中水放完；如果甲管进水而排水管放水，2小时 可将池中水放完。水池中
原有( )立方米的水。
5.在一条马路上小明骑车与小光同 向而行，小明骑车的速度是小光速度的3倍，每隔10分
钟有一辆公共汽车超过小光，每隔20分钟有一 辆公共汽车超过小明。如果公共汽车从始发
站每次间隔同样的时间发一辆车，相邻两车的发车时间间隔是 ( )分钟。
6.甲、乙两汽车先后从A地出发到B地，当甲车到达A、B两地中点时，乙车走 了全程的
当甲车到达B地时，乙车走了全程的
二、选择题(每题8分，共16分)
1.一项工程，甲、乙合作6天完成
1
；
5
2
。甲、乙两车车速之比 是( )。
3
511
。如果单独做，甲完成与乙完成所需的时间相
632
C.18，12 D.12，18
同。甲、乙单独完成这项工程，甲、乙各需( )天。
A.20，16 B.18，16
2.一水池装有 一个进水管和一个排水管，单开进水管5小时可将空池灌满，单开排水管7
小时可将满池水排空。如果进 水管开了2小时后，再打开排水管( )，池内将积有半池水。
A.1小时30分钟
C.1小时50分钟








B.1小时20分钟
D.1小时45分钟
三、解答题(每题10分，共30分)
1.有甲、乙两项工作，张师傅单独完成甲工作要 9天，单独完成乙工作要12天；王师傅
单独完成甲工作要3天，单独完成乙工作要15天。如果两人合 作完成这两项工作，最少需
要多少天？
2.放满一个水池的水，如果同时打开1号、2号 、3号阀门，则20分钟可以完成；如果同
时打开2号、3号、4号阀门，则21分钟可以完成；如果同 时打开1号、3号、4号阀门，
则28分钟可以完成；如果同时打开1号、2号、4号阀门，30分钟可 以完成。如果同时打
开1号、2号、3号、4号阀门，那么多少分钟可以完成？
3.甲、 乙、丙合修围墙，甲、乙合修5天完成了
11
，乙、丙合修2天完成余下的，然
34< br>后甲、丙合作5天才完工。整个工程的劳动报酬是600元，乙分得多少元？