说句心里话歌词-二批本科院校

（一）7-7-1.容斥原理之重叠问题






教学目标

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应
用．2.

知识要点


一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复
计算 的元素个数，即减去交集的元素个
(
，相当于中文“和”或者“或”的数，用式子可表示成：”
读作“并”其中符号“BABABA

，相当于中文“且”的意思．)意思；

则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原”读作“交”
符号“

，
即阴影表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：理．图示如下:表示小
圆部分，BACBA

，
即阴表示大
圆与小圆的公共部分，记为：表示小圆部分，表示大圆部分， :面积．图示如下BACBA

影面
积．

1．先包含——BA 重叠部分计算了次，多加了次；1BA2

．再排除——2BAAB

次的重叠部分减去．把多加了
1BA



的元素的个数，可分以下两步进行：包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集BABA、
的一切元素都“包含”意思是
把(第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求B、BA 、ABA )；进来，加在一
起 ．(第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去意思是“排 除”了重复计算的元素个
数)BAC


二、三量重叠问题
类 又是既是类元素的个数类元素个数类元素个数类与类、类元素个数的
总和CCBBBAAA类类 、同时是类、类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的
元素个数CCCBABA ．图示如下：的元素个数．用符号表示为：CBACACABBCABCAB

的元素的个数，图中小圆表示的元素的个数，中圆表示BA 大圆表示的元素的个数．C 1．先
包含：CAB 次．次，、重叠了多加了重叠部分、1ACBCBA2


再排除：2CAABBCABC

．

次，但是在进行重叠部分重叠了CABCBA3

计算时
都被减掉了．CCABAB

．3．再包含：CCAABBABCABC


来帮助分析思考．(在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图韦恩图)
1

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例题精讲



两量重叠问题

小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳】
【例 1
BA
________、圆。绳。用圆分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表
示

AB

【题型】填空【难度】1星【考点】两量重叠问题
3题【关键词】希望杯，四年级，二试，第 阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐【解析】
【答案】数学、音乐

；当从右向左报数时，18四（1）班全体同学站成一排，当从左向右 报数时，小
华报：
2】【例

名。13.那么该班有学生______________小华报：
【题型】填空1星 【考点】两
量重叠问题 【难度】 题【关键词】希望杯，四年级，二试，第2 。班学生人数为：（名）该
【解析】 3013118 名【答案】30
人两个人，有实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有 3】 【例
292812 小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

CAB

【题型】解答 【难度】1星【考点】两量重 叠问题重合的部圆表示参加数学兴趣小组的
人，与如图所示，圆表示参加语文兴趣小组的人， 【解析】 BBAA圆不含阴影的部分表示只参
加语文兴趣小组)表示同时参加两个小组的人．图中分(阴影部分C A圆不含阴影的部分表示只参
加数学兴趣小；图中(人)未参加数学兴趣小组的人，有161228 B ．人)(组未参加语文兴趣小
组的人，有171229 )．(方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：人45171612

方法二：根据包含排除法，直接可得：两个小组都参加的人，参加语文或数学兴趣小组的人参加
数 学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人 ．人)(即：45291228 人【答案】45
人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画人学钢琴，人学画画，【巩固】 芳草地小学四年级有
375843 画的分别有多少人？
2

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ABC

【题型】解答星 【考点】两量重叠问题 【难度】1包含与排除题，画图是一种很直观、
简捷 的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对解【解析】
象与不同的区域对应清楚．建议教 师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．圆不含
阴影的表示既学钢琴又学画画的人，图中圆表 示学画画的人，圆表示学钢琴的人，如图，CAAB
圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：，图中人 )部分表示只学画画的人，有：(63743B )．(人
213758
【答案】人
21

写完数学作业的有写完语文作业的有人，)班有名学生，在一节自习课上，四(二

【巩固】3048
人，语文数学都没写完的有人．
620
问语文数学都写完的有多少人？
⑴ 只写完语文作业的有多少人？⑵
【题型】解答【难度】1星【考点】两量重叠
问题
至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生人) 由题意，有(【解析】 ⑴
42486 ．(有：人)8302042 ．(人)⑵ 只写完语文作业的人数写完语文作业的人数-语文数
学都写完的人数，即22308
人【答案】
22

人，则这个班既会2830人，会拉小提琴的有（1）班有46人 ，其中会弹钢琴的
有四
【巩固】
人。弹钢琴又会拉小提琴的至少有


【题型】填空星 【考点】两量重叠问题 【难度】1 题【关键词】希望杯，四年级，二试，
第6 46-34=12人那么两项都会的至少有 至少一项不会的最多有(46-30)+(46-28)=34,【解析】
【答案】人12

BA
整除的个数中能被5表示这50到50这50个自然数中能被3整除的数，圆【例 4】 如图，
圆表示1 。数，则阴影部分表示的数是
AB



【题型】填空1星 【考点】两量重叠问题 【难度】 题【关键词】希望杯，四年级，二试，
第4
BA
45 30，15整除的数，即15，50到50这个自然数中能被3×5＝【解析】 阴影部分是和1
共有的，即 ，，【答案】154530
其中同学们踊跃报名参加，学校为 了丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，】

【例 5
人 既报人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有50人报名参加乒乓球俱乐部，有321429
人什么 俱乐部都没报名，问该学校名参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有23 名
学生．共有
3



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【题型】填空1星 【考点】两量重叠问题 【难度】 题4年级，第5【关键词】学而思杯，
人【解析】 7232342950321 人【答案】723
这人两个小组都参加了．人，有人， 某班共有人，参加美术小组的有参加音乐小组的有【例 6】
5234612 个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？ 【题型】解答星 【考点】两
量重叠问题 【难度】1知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需
用全班总人数减去这个人 已】 【解析数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根
据包含排除法知，该班至少参加 了一是数的人音乐小组该班未参加美术或，人个小组的总数为
(人)．所以3051223 )．(人164630
【答案】人
16

人两项比人参加了数学竞赛，人参加了作文比赛，四年级一班有人，其中
【巩固】
26451222
赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？
【题型】解答 【难
度】1星【考点】两量重叠问题，所以，两项比赛都没有人)由包含排除法可知 ，至少参加一项
比赛的人数是：(【解析】 36262212 )．参加的人数为：(人94536
人【答案】
9
人，两种都能表演的有1 8实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的
有【巩固】
人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？7 【题型】解答1星 【考点】两量重叠问题 【难
度】 ．人)(【解析】 根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：2118710
人
【答案】
21
14人有直尺，有三角板的人中，男生是个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，287】 全班
50【例
人。人，那么有直尺的女生有____人，若已知全班共有女生31 【题型】填空1【考点】两
量重叠问题 【难度】星 8题【关键词】华杯赛，初赛，第 （人）。 ，那么有直尺的女生有31-8=23
其中女生有三角板的学生共50-28=22（人），22-14 =8（人）【解析】

【答案】人
23
人人做对，第二部分有 某次英语考试由两部分组成，结果全班有人得满分，第一部分有8【例 】
192512有错，问两部分都有错的有多少人？

只做对两部只做对第一部分全第二部分的对的分的两部分都有错的

【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，用长方形 表示参加考试的人数，圆表示第一部分对的人数．圆表示第二部分对
的人数，BA长方形中阴影部分表示 两部分都有错的人数．
已知第一部分对的有人，全对的有人，可知只对第一部分的有：(人)．又因 为第二部分有
1325122512人有错，其中第一部分对第二部分有错的有人，那么余下的(人 )必是第一部分和
第二部分619131913均有错的，两部分都有错的有人． 6
【答案】人
6
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【例 9】 对全班同学调查发 现，会游泳的有人，会打篮球的有人．两项都会的有人，两项都不

会102520的有人 ．这个班一共有多少人？ 9


两项会游会打都会泳的篮球的的两项都不会的

【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，用长方形表示全班人数，圆表示会游泳的人数， 圆表示会打篮球的人数，长方
形中阴BA影部分表示两项都不会的人数．
由图中可以看出， 全班人数至少会一项的人数两项都不会的人数，至少会一项的人数为：(人)，
全班人数为： (人)． 4493535102025
【答案】人
44
【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有人，参加军棋比赛的有人，有人两项比
赛182832都参 加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？
两项只参加只参加比赛象棋比围棋比都参赛的赛的加的AB

【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答


【解析】 如图，圆表示参加象棋比赛的人 ，圆表示参加军棋比赛的人，与重合的部分表示同时
参BBAA加两项比赛的人．图中圆不含阴影的部分 表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，
有A(人)；图中圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参 加象棋比赛的人，有
143218B(人)．由此得到参加棋类比赛的人有(人)． 42281810181014或者根据包含排除
法直接得：(人)． 42281832
【答案】人
42
【例 10】 在人参加的采摘活动中 ，只采了樱桃的有人，既采了樱桃又采了杏的有人，既没采樱
桃18746又没采杏的有人，问：只采了 杏的有多少人？ 6


既采樱桃AB又采杏的既没采樱桃又没采杏的

【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，用长方形 表示全体采摘人员人，圆表示采了樱桃的人数，圆表示采了杏的人数．长
46BA方形中阴影部分表示既 没采樱桃又没采杏的人数．
由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之 和，则至少采了一种的
人数为：只采了樱桃的人数两种都采了的人数只采了杏的人数，所以，(而至少 采了一种的人数
人)，40466只采了杏的人数为：(人)． 1574018
【答案】人
15


【例 11】 甲、乙 、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中块玻璃不是甲组擦的，块玻璃不是
乙组5268擦的，且甲组 与乙组一共擦了块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？
60【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 68块玻璃不是甲组擦的，说明这块玻璃是乙、丙两组 擦的；块玻璃不是乙组擦的，说
明这526852
5

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块玻璃是甲、丙两组擦的． 块因甲乙两组共擦了圆表示甲、丙两组擦的块玻璃．如图，用圆表
示乙、丙两组擦的块玻璃，60526 8BA块玻璃．乙组块)．丙组擦了玻璃，那么(块)，这是两个
丙组擦的玻璃数．(306852 606060230 块)玻璃．擦了：(块)玻璃，甲组擦了：
(226830383052 )玻璃，丙组擦了块 玻璃。块)玻璃，乙组擦了：(块【答案】甲组擦了：
(38306852302230
幅画不是五年级的，五、幅画不是六年级的，有15】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有
16【例 12 幅画，其他年级的画共有多少幅？六年级共展出25
甲丙乙AB

【题型】解答星 【考点】两量重叠问题 【难度】2幅画不是1516，通过通过16幅画不是
六年级的可以知道， 五年级和其他年级的画作数量之和是【解析】
1，那也就是说五年级的画比六年级多五年级的可以知 道六年级和其他年级的画作数量之和是
1512幅，六年级画作有幅画，进而可以求出五年级画作有13 幅，我们还知道五、六年级共展出
25 幅．幅，那么久可以求出其他年级的画作共有3
幅【答案】
3
人，人，数学得分分以上的】 名学生参加数学和语文考试，其中语文得分分以上的 【例
4分以上的有多少人？人．问：两门都在 两 门都不在分以上的有959522
语文两门数
学分9595分95分以上以上以上的的的AB两 门都不在95分以上的

【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，用长方形表示这名学生，圆表示语文得分分以上的人数，圆表示数学得分以
9 59547BA上的人数，与重合的部分表示两门都在分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两
门都 95BA不在分以上的人数． 95由图中可以看出，全体人数是至少一门在分以上的人数与两
门都不在 分以上的人数之和，则至少一门9595在分以上的人数为：(人)．根据包含排除法，两
门都在分以上 的人数为：2547229595(人)． 10251421
【答案】人
10
【巩固】 有位旅客，其中有人既不懂英语又不懂俄语，有人懂英语，人懂俄语．问既懂英语
8 31001075又懂俄语的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】迎春杯
【解析】 方法一：在人中懂英语或俄语的有：(人) ．又因为有人懂英语，所以只懂俄语
901001010075的有：(人)．从位懂俄语的旅客中 除去只懂俄语的人，剩下的 (人)就
68158315839075是既懂英语又懂俄语的旅客．
方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：
(人)． 6890ABABAB7583

【答案】人
68

6

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人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种个班一

1 4】【例48
是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已
知做完语文 人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人；做完数学作业的有
作业的有
3742
人？
【题型】解答【难度】2星 【考点】两量重叠问题
妨用下图来表示：析】 不【解

表示做完数学作业的人数， 线段表示全班人数，线段表示做完语文作业的人数，线段
ACDBAB 重叠部分则表示语文、数学都做完的人数．DC 人，即．做完数学作业的有人，即．根
据题意，做完语文作业的有37AC3742DB42)
① (人 79DBAC3742
(人 ②48AB

)

),所以，数学、语文作业都做完的有人． ①式减②式，就
有(人314831DC79
【答案】人
31
人．在 一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定
时科技活动四年级科技活动组共有
【巩固】63
人，装配好一架飞机比赛中，老师
到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有
42
人．每个同学都至少完成了一
项活动．问：同时完成这两项活动的模型的同学有
34
同学有多少人？
【题型】
解答【考点】两量重叠问题 【难度】2星，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同
学都至少完成了一项活因，【解析】 6 376764234完成了两项活动(动，根据包含排除法知，(完
成了两项活动的人数)全组人 数，即763442 (．由减法运算法则知，完成两项活动的人数为
人)．也可画图分析．的 人数)13766363
【答案】人
13
老师到时清 科技活动小组有人 ．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，
【巩固】55人．每个同学都至少点发现 ：制作好一架飞机模型的同学有人，制作好一艘舰艇的
同学有3240 完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？ 2星【考点】两量重叠
问题 【题型】解答【难度】
ACB

由于每个同学都至少完成了一项制作，，所以必有人两项制作都完成了．，【解析】 因为
55 72724032完成了两项制作根据包含排除法可知：全组人数完成了两项制作的人数，即
 72554032 ．的人数．所以，完成了两项制作的人数为：(人)177255
人【答案】
17
1
，乙答错3次数学测验，甲答错题目总数的一道题，两人都答错 的题目是题目
总数
15】【例41
的．求甲、乙都答对的题目数.
6【考点】两量重叠问题 【难度】3
星 【题型】解答

7

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1-7-7．




n(1)ac

4
ndn
的公和是道题．由右图知6即为所求，并有关系式由①③知,【解析】 (4
法一)设共有
3(2)bcn(3)c

6
n
cnb
，=12 由于，由此求出是非负整数，所以=2，倍数，即12的倍数．将③代入②，有3b6
cbnabcdndaba
道，所3+=)=8 ，得到+=，=1-=1.又由（+（法
二）显然两人都答错的题目不多于++.

< br>12，能使甲答错题目总数是整数、、1218，其中只有以题目总数只可能是6
【答案】道题
8
名同学站成一排．其中小孙和小周不赵、小钱、小孙、小李、小周、小吴、小郑、小王，这816】
小【例
则不同的排)．小李必须在小郑和小王之间(可相邻也可不相邻能相邻，小钱和小吴也不能相邻，
________种．列方法共有 【题型】填空3星 【考点】两量重叠问题 【难度】种，其中小
孙和小周相邻的排法，根据“捆绑法”名同学站成一排，所有的排法共有【解析】 8403208!
根 种．有种，小钱和小吴相邻的也有种，这两对都相邻的有28807!1 6!22种
排法里种．在这 据容斥原理，符合前两个条件的排法有2304023040 403202100802880所以
小李在小郑和小王之间个人的排列中每个人在中间的可能性都 相等，面，小李、小郑、小王311
种．的排法占其中的，即有768023040

33


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8 教师版
7680
题库.容斥原理之重叠问题（一）1-7-7．
【答案】种