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2013年学而思杯4年级数学试题详解

2013年学而思杯4年 级数学试题详解2013年第三届全
国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（四年级）详
解一．填空题（每题5分，共20分）1.请计算：3、5、7、
9、11、13这6个数的平均数是_ _________．【考点】计算，
平均数【难度】☆【答案】8【分析】公式法：(3579111 3)68；
或移多补少找到平均值8.2.在一个神奇的地方，有一排奇怪
的雕塑，这些雕塑都 是由巧克力构成的，第一个雕塑由3块
巧克力组成，第二个雕塑由6块巧克力组成，第三个雕塑由
9块巧克力组成，以此类推，每个雕塑都比前一个多3块巧
克力．那么，第__________个雕 塑恰好由2013个巧克力组
成．【考点】计算，数列【难度】☆【答案】671【分析】第
n 个雕塑由3n块巧克力构成，故由2013块巧克力构成的是
第20133671个雕塑.3.右图中， 相邻两个格点的距离为1，
那么阴影部分的面积是__________．【考点】几何，格点与
割补【难度】☆☆【答案】12【分析】可使用毕克公式直接
求出：982112；或使用分割的方法 ，阴影部分面积为：
(222)42212.4.右图中，共有__________个三角形．【考点 】
组合，几何计数【难度】☆☆【答案】8【分析】单个三角形
有4个，由2个三角形组成的三 角形有3个，由4个三角形
组成的三角形有1个二．填空题（每题6分，共24分）5.

如右图，算式中不同的汉字代表不同的数字，已知：“级=5”，
那么“学而思”代表的三位数 是__________．【考点】数字谜【难
度】☆☆【答案】892【分析】“更”=1，故“进” =0；十位必然
向百位进位了，故“学”=8，进而“而”=9；此时可知个位没有
向十位进位 ，“5思步”只能为“257”；综上，答案为892.6.4
月有30天．某年4月有5个星期一，5 个星期日，如图，
在该月日历表上用“”圈出5个数，并计算出它们的和，和最
大是_____ _____．【考点】计算，数表，日历问题【难度】☆☆
【答案】115【分析】十字形越靠下，圈住 的数之和越大；
由已知条件易得这个月的30日是周一，故当十字圈住30、
24、23、22 、16日时，可得到最大和，为3115.7.
如果m，那么m=__________．【考点】计算 ，
乘方运算【难度】☆☆【答案】25【分析】同底数幂相乘，
底数不变，指数相加；5333 3333，故25m.8.
甲、乙、丙三人读同一本故事书，这本故事书里一共有100
个故事 ，甲已经读了70个故事，乙已经读了60个故事，丙
已经读了50个故事，则恰好被甲乙丙3人中两人 读过的故
事最多有__________个．【考点】组合，构造与论证【难度】
☆☆☆【答案 】90【分析】三人共读了506070180个故事（有
重复）；故被读了2遍的故事理论上的最大值 为180290；下
面构造一种看书方法，来证明90可以达到：把故事编为1～
100号，甲 读1～70号，乙读71～90号以及1～40号，丙

读41～90号；这样1～90号 故事都是恰被两人读过；综上，
答案为90三．填空题（每题7分，共28分）9.如右图，正
方形ABCD的边长为12厘米，正方形DEFG的边长为8厘
米，H是正方形DEFG的中心（对角线 的交点），那么，阴
影部分的面积是__________平方厘米．【考点】几何，面积
【难 度】☆☆☆【答案】24【分析】把图形分为方格阵，每
个小方格边长4厘米，并设FG与AC的交点为 M点，如右
图；现在已可用毕克公式或割补的方法来求阴影面积了；毕
克公式：(44)(05 21)24平方厘米；分割：
48244224HMAHMCSSS△△阴影平方厘米；整体减空白：< br>24平方厘米.10.定义：2abababb，那么下面
算式的计算结果为
_____ _____．1091010【考点】
计算，定义新运算，平方差公式【难度】☆☆【答案】1000< br>【分析】由平方差公式：22222abababbabba，故原式
2222221个.11. 甲、乙两人分别
从A、B两地同时出发，相向而行．如果乙每分钟行20米，
甲、乙两人5分钟 后相遇；如果乙每分钟比原来快4米，甲、
乙两人在A、B两地中点相遇．那么，A、B两地相距
__________米．【考点】行程问题，相遇问题【难度】☆☆【答
案】220【分析】第二次 走路，两人相遇在中点，说明两人
速度相同，为20424米每分；故在第一次走路时，甲速为

24米每分，乙速为20米每分，两人5分钟后相遇，故全长
为(2024)5220米 .412.有形状、长短都完全一样的红筷子、
黑筷子、白筷子各25根．在黑暗中，至少应摸出___ _______
根筷子，才能保证摸出的筷子至少有8双（每两根同色的筷
子视为1双）．【考 点】组合，抽屉原理和最不利原则【难度】
☆☆☆【答案】18【分析】摸出7双筷子之后，又把三种颜
色的筷子各摸出1根，此时已摸出27317根筷子，但没有摸
出8双，这是最不利情况；之后 无论摸出哪根筷子，都将摸
出8双筷子，故答案为17118.四．填空题（每题8分，共
32 分）13.将1至5分别填入图中的圆圈内，使得两条线段
上3个数的和相等．那么，共有______ ____种不同的填法．【考
点】组合，数阵图【难度】☆☆☆【答案】24【分析】数和
为1 5，故15加中心数等于线和的2倍，可知中心数只能为
奇数，有3种选择；中心数填好后，两组数可互 换左右，各
组内也可互换位置；故答案为222222324AAA种.14.阿凡提
在地主家 做长工．地主家有一根长为20尺的木头，阿凡提
每次将木头锯成长度是整数尺的两段，并计算这两段长 度的
乘积．最后，阿凡提将木头锯成20段长度是1尺的小段，
并得到了19个乘积，他将这些 乘积相加得到1个数A，地
主会给他A个金币做为工资．那么，A等于__________．【考点】操作类问题【难度】☆☆☆【答案】190【分析】可先使
用一种特殊方法算出A的值，比如每 次切下1尺，那么19

个乘积之和为90；下证无论如何分割，A值为
190不 变：方法一：找规律：2尺的木头A1不变，3尺的木
头A3不变，4尺的木头A6不变，5尺的木头A 10不变，……，
20尺的木头A190不变（可用第二数学归纳法严谨证明通项
公式为(1) 2nn，但小学阶段只要找到规律即可）；方法二：转
化问题：20个人每轮分两组握手，每一轮握手之 后，组内再
分成两组，互相握手，直至每组最后一轮握手时组内都只有
1个人，求总握手次数； 组与组之间的握手次数正是两组人
数相乘，故这个问题的结果与题目的结果相同，但这个握手
问 题其实就是每两人都握了一次手，故结果是220190C，故
A190；5方法三：数形结合：如下图 ，分割木头方法对应分
割图形面积的方法，乘积对应矩形面积，可见无论如何分割，
结果都是1 2319190.15.甲、乙、丙3人在周长是300米的
环形跑道上同时同地同向出发．甲第一次追 上乙时，甲、乙
恰好都回到出发点，此时丙距离出发点100米；过了一会，
甲第一次追上丙时 ，乙跑了7圈多一些．那么，丙第一次追
上乙时，甲总共跑了__________米．【考点】行程问 题，环
形跑道问题【难度】☆☆☆☆☆【答案】5400【分析】“丙距
离出发点100米”和 “乙跑了7圈多一点”是本题的关键突破口；
甲要追丙1圈300米，才能第一次追上丙，“丙距离出发 点
100米”说明甲追了丙100米或200米（分别对应丙在出发
点之后100米和丙在出发 点之前100米），但若只追了100

米，则甲还要跑目前圈数的2倍才能追上丙，同时 乙也将跑
2倍圈数，即乙将跑整数圈，就不会出现“乙跑了7圈多一点”
了；这说明甲乙碰面时 ，甲已经领先丙200米；这说明乙又
跑了（甲已碰面时）已跑的圈数的一半后，出现“乙跑了7
圈多一点”，故“7圈多一点”为7.5圈；故甲追上乙时，乙跑
了5圈1500米，甲跑了6圈18 00米，丙跑了
米，故甲、乙、丙的速度比为1800:1500:160018:15:16；故丙追上乙时，丙跑了16圈，乙跑了15圈，甲跑了18圈5400
米.616.A、B、C、D四 个队进行循环赛，即每两个队都比赛
一场，每场比赛中，胜队得3分，负队得0分，平局则各得
1分，每个队只知道自己3场比赛的情况．裁判说：你们的
得分互不相同；A说：虽然我不知道你们的得 分，但我肯定
是第一；B说：那我一定是第二，而且我知道A得了多少分；
C说：A说话之前我 就知道我是第三．根据以上信息，这四
个队的得分从高到低组成的四位数是__________．【考 点】
组合，体育比赛中的数学问题【难度】☆☆☆☆☆【答案】7531
【分析】先考虑C：可 构造出7431，及5432，故知4分（1
胜1平1负）可能得第二，2分（2平1负）可能得第四，
所以C必为3分；再考虑A：若ABCD的得分为5432，则
A1胜2平不可能断定自己是第 一，故不是5432，A要得到
7分或9分才可断定自己是第一；再考虑B：若B为6分（2
胜 1负），则B一定输给A，但无法断定ABCD是9630还

是7631（即B不能知道 A的分数），故B不是6分，B是5
分或4分；下证B不可能是4分：若B得4分（1胜1平1
负），其中若B与A平，则B可由A的话推知A胜了C、D，
此时B会考虑ABCD有可能是7460或 7406，故B无法断
定自己是第二；若B输给A，则B会考虑ABCD有可能是
7450或7 405，故B无法断定自己是第二；综上，若B是4
分，则无法断定自己是第二；故B得5分（1胜2平 ），听
到A的话后能断定自己第二；再重新考虑A：A已经不可能
是全胜战绩了，故A得7分（ 2胜1平）；综上，答案为7531.7
五．解答题（每题8分，共16分）17.计算：（1）
1.19.10.812.50.30.4（4分）（2）3333333336999999999
（4分）【考点】计算，巧算【难度】☆☆【答案】20.13；2
【分析】（1）原式10.0110 0.1220.13；（2）原式
33333333363333333333632.18.解方程： （1）3(21)47x（4
分）（2）5(3)2(2)4xx（4分）【考点】计算，解整系数方程
【难度】☆☆【答案】1x；5x【分析】（1）原方程化为6347x，
即66x，解得1x ；（2）原方程化为515244xx，即315x，解
得5x；要注意去第二个括号时要变号.六．解 答题（每题15
分，共30分）19.今年是公元2013年．观察2013这个数，
它是由四 个连续的自然数组成的四位数．我们将满足这样条
件的年份称为“如意年”．（1）下一个“如意年”， 是公元哪一年？
（5分）（2）从公元1000年到公元2012年，共经历了多少

个“如意年”？（10分）【考点】组合，加乘原理，枚举法【难
度】☆☆☆【答案】2031年； 12个【分析】（1）若要保持“20”
打头，则年份必由0、1、2、3组成，2013之后，下一个 是
2031最近；（2）“1”打头的“如意年”，后三位数字可能是0、
2、3，也可能是2 、3、4；两种情况分别有336A种，故共
有6612种，枚举如下：1023、1032、1203 、1230、1302、
1320、1234、1243、1324、1342、1423、1432； “2”打头
的如意年最小就是2013年，但题目要求到2012年，故知“2”
打头的没有； 综上，答案为12种820.如图，除仓库外每个
点均表示一家客户．学学从仓库出门送鱼．他从仓库的 保鲜
柜中每取出一家的鱼后（取鱼时间忽略不计），装车时间是5
分钟，相邻两家客户间的驾车 时间是5分钟，从学学将鱼送
到客户家到将鱼装进客户家保鲜柜中的时间也是5分钟．另
外，如 果鱼在保鲜柜外的时间超过60分钟，就会不新鲜．（1）
学学从取鱼开始，到将鱼送到A家的保鲜柜中 ，需要多少分
钟？（2分）（2）如果保证客户能吃上新鲜的鱼，学学每次
最多送几家？（5分 ）（3）如果保证图中所有客户都能吃上
新鲜的鱼，那么学学送完所有的鱼并回到仓库最少需要多少分钟？（8分）【考点】操作类问题【难度】☆☆☆☆☆【答案】
15分钟；5家；260分钟【分 析】（1）装车、走路、装保鲜
柜共用55515分钟；（2）每一家走路、装保鲜柜都至少5510< br>分钟；且最远的那一家，在装车时即使最后装，还未出发时

也以离开保鲜柜5分钟 了；故一次最多运(605)105（家）5
（分钟）；（3）由于每次最多运5家，故至少要运3次； 14
家鱼店的装车和装保鲜柜，必然用去14(55)140分钟；剩下
的工作是：只需走的路 线为最短即可，最短也要走610824
段路（左边5家至少6段路，右上角一家至少10段路，其余部分至少8段路；举例如下图，例子不唯一），花245120
（分钟）；至少共用140120 260（分钟）.A仓库（例子：先
按左边的普通箭头送5家，走6段路；再按虚线箭头送5家，
原路返回，走10段路；最后按粗箭头送4家，走8段路，
共走24段路）仓库
A12345 67890ABCDEFGHIJKLMNabcdefghijklmn!@#$$%^
&&*()_+ .一三五七九贰肆陆扒拾，。青玉案元夕东风夜放花千
树更吹落星如雨宝马雕车香满路凤箫声动玉壶光转 一夜鱼
龙舞蛾儿雪柳黄金缕笑语盈盈暗香去众里寻他千百度暮然
回首那人却在灯火阑珊处