2013年学而思杯数学试题(五年级)答案解析
济南护理职业学院-国考常识
2013 年第三届全国学而思综合能力测评(学而思杯)
数学试卷(五年级)详解
一.
1.
填空题(每题 5 分,共 20 分)
. 两个质数的和是 9,那么这两个质数的乘积是
【考点】数论,质数性质
【难度】☆
【答案】14
【分析】两质数和为奇数,必有偶质数 2,另一质数为
7,故答案为 2 7 14 .
2. 如右图,共有 个正方形.
【考点】组合,几何计数
【难度】☆
【答案】10
个. 【分析】11的正方形有 4 个, 2 2 的正方形有 5 个, 4
4 的正方形有 1 个,共 10
3. 学而思教研部一共购买了
300 本书,其中有五分之二是数学书,三分之一是语文书,其余是英语
书.那么,英语书共有
【考点】应用题,分数应用题
【难度】☆
【答案】80
2
1
【分析】 300 (1 ) 300 120 100 80
(本).
5 3
4. 如右图,正方形 ABCD 边长为 40 厘米,其中
M
、
N
、
P
、
Q 为所在边的
中点;分别以正方形的顶点为圆心,以边长的一半为半径做直角扇形,
那么形成图中阴影部分的面积是
【考点】几何,圆与扇形面积
【难度】☆☆
【答案】344
【分析】阴影面积的实质是整体减空白:边长 40
厘米的正方形面积减去半径为 20 厘米的圆的面积(4
个扇形刚好拼成一个整圆),故答案为 40
2
3.14
20
2
400 (4 3.14) 344 平方厘米.
平方厘米.(π取 3.14)
本.
二.
5.
填空题(每题 6 分,共 24 分)
对一个大于 1
的自然数进行如下操作:如果是偶数则除以 2,如果是奇数则先减去 1 再除以 2,
如此进行直到得数为 1,操作停止.那么,所有经过 3 次操作结果为 1 的数中,最大的数是
.
【考点】数论,奇偶性,倒推
【难度】☆☆
【答案】15
【分析】从 1 向前倒推,寻找原数的最大值;但发现若上一步是偶数,则须本数 2
;若上一步是奇数,
则须本数 2 1
;明显每次向前推出奇数可使原数更大,倒推过程为:1→3→7→15;故 15 为原
数的可能达到的最大值.
6. 定义: ( A, B,C, D)
A 4 B 3 C 2 D 1 ,那么, (2, 0,1, 3)
=_ .
【考点】计算,定义新运算
【难度】☆
【答案】13
【分析】按定义式, (2, 0,1,3) 2 4 0 3 12
3 1 13 .
7. 一项工程,由甲队单独做 10
天后,乙队加入,甲、乙两队又合作了 8 天完成;这项工程,如果
全部由乙队单独做,20
天可以完成.那么,如果全部由甲队单独做,
【考点】应用题,工程问题
【难度】☆☆
【答案】30
1
【分析】把总工作量看做单位“1”,则乙队的工作效率为每天做
,故可在甲乙合作的条件中求出甲
20
1 3 1
30.
队的工作效率为每天做 (1
8) (10 8) 18
;故答案为
20 5 30
8. 如右图,大正方体的棱长为 2
厘米,两个小正方体的棱长均为 1
厘米,那么,组合后整个立体图形的表面积为
【考点】几何,立体几何,表面积
【难度】☆☆
【答案】32
【分析】三个立方体原总表面积为1
2
6 1
2
6
2
2
6 36 平方厘米,之后放在一起时缺失了 4 个11
的表面,故答案为 36 1
2
4 32 平方厘米;
或者可用三视图法求表面积: (5 5 6) 2 32 平方厘米.
平方厘米.
天可以完成.
三.
9.
填空题(每题 7 分,共 28 分)
甲、乙、丙 3 人共有 2013
块巧克力,甲拿走了乙、丙各 3 块巧克力后,甲、乙、丙 3 人的巧克
力数比为
4:
2: 5
,那么,甲原有
..
块巧克力.
【考点】应用题,比例应用题
【难度】☆☆☆
【答案】726
4
【分析】之后甲的巧克力块数易由 3 人的块数比求得,为 2013 732
块,故甲原有巧克力
4 2 5
732 3 2 726 块.
10. 在 5×5 的方格中,将其中的一些小方格染成红色,使得对于图中任意的
2×2 的方格中,均有至少 1 个小方格是红色的.那么,至少要将
个小方格染成红色.
【考点】组合,构造与论证
【难度】☆☆
【答案】4
【分析】论证:为了保证 4 个角上的互不重叠的 4 个 2 2
的方格中都至少有 1
个红色方格,可知答案必不小于 4; 构造:如
右图,4
是可能的; 综上,答案为 4.
11. 一个五位数,各位数字互不相同,并且满足:从左往右,第一位是
2 的倍数,前两位组成的两位
........
数是 3 的倍数,前三位组成的三位数是
5 的倍数,前四位组成的四位数是 7 的倍数,这个五位数
是 11
的倍数.那么,这个五位数最小是
【考点】数论,整除特征,最值
【难度】☆☆☆
【答案】21076
【分析】考虑最值确定各位数字:
万位是 2
的倍数,故万位最小应为 2; 前两位组成的数
是 3 的倍数,故前两位最小应为 21;
前三位组成的数
是 5 的倍数,故前三位最小应为 210;
前四位组成的数是 7
的倍数,最小为 2100,但要求各位数字不同,故应为 2107; 这个五位数
是 11
的倍数,故此数应为 21076.
.
12.
右边的乘法竖式中,相同汉字代表相同数字,不同汉字代表不同数字,那么,“大自然”代表的三
........
位数是 .
【考点】数论,数字谜
【难度】☆☆☆☆
【答案】958
我 爱 大 自 然
4
大自 然 爱 我
【分析】由个位可知“我”为偶数,再分析最高位即可知“我”只能为 2;故“然”为 3 或
8;(还可分析知
五个汉字所代表的数字之和必为 3 的倍数,这个小结论可以辅助之后的分析)
若“然”= 8,
① 则分析万位知“大”只能为 9,故千位“爱”乘以 4 后向万位进
1,可知“爱”为 3 或 4;
② 若“爱”= 4,此时十位:“自 4 3
”的末位数字为 4,这表示“自 4 ”的末位数字为 1,奇偶性
矛盾!故确定“爱”只能为
3;
③ 若“爱”= 3,此时十位:“自 4 3 ”的末位数字为 3,这表示“自 4
”的末位数字为 0,“自”为 0
或 5;若“自”= 0,千位要接受进位
8,这不可能;若“自”= 5,则有答案 23958 4 95832 ;
若“然”=
3,
① 分析万位知“大”为 9 或 8;
② 若“大”= 9,则千位“爱”乘以 4
后向万位进 1,可知“爱”只能为 4;此时十位:“自 4 1 ”的末
位数字为
4,这表示“自 4 ”的末位数字为 3,奇偶性矛盾!故知只能“大”= 8;
③ 若“大”=
8,分析十位可知“爱”为奇数,再分析千位可知“爱”= 1;
④ 此时无论十位的“自”为 0
还是为 5,式子的百位和千位都是错误的( 21803 4 80312 错误;
21853 4 85312 错误),故知“然”= 3 时无解;
综上,本数字谜只有唯一解: 23958 4 95832 ,本题答案为 958.
四. 填空题(每题 8 分,共 32 分)
1
6
2
13. 有 A、B、C、D、E、F
六个人围坐在圆桌吃饭,A 会讲英语,
B 会讲汉语、英语和法语,C
会讲汉语、英语和德语,D 会讲
汉语和德语,E 会讲汉语,F 会讲法语和德语.如果每个人都
能与他相邻的两个人交流,那么,共有 种不同的排
座位方式.(经过旋转、对称后重合的方式不算做一种)
.....
【考点】组合,逻辑推理
【难度】☆☆☆
【答案】24
【分析】本题突破口在于 A,由于 A 只会说英语,英语也只有 A、B、C
三人会说,故座位顺序中必然
有紧邻的 BAC(或 CAB),此时分析 F 可知 F 必须与
B 或 C 中的一个相邻,E 必须在 D、F 的中
间;综上,得到两种圆排列方式:①BACEDF;②BACFDE;每种圆排列方式都有旋转、对称的
12 种排座方式,故答案为12 2 24 种.
5
4
3
14. A、B 两地相距 120 千米.甲、乙从 A
地,丙从 B 地同时出发,相向而行.当甲、丙相遇时,乙
行了 20 千米.甲到达 B
地后立即原路返回,当乙、丙相遇在途中 C 地时,甲也恰好到达 C
地. 那么,当丙到达 A
地时,乙共行了
【考点】行程问题,比例法解行程问题
【难度】☆☆☆
【答案】72
【分析】本题关键点在于甲丙速度之和与乙的速度之比为 120 : 20
6 :1 ;设甲、乙、丙三人到达 C 点
千米.
z y 120
y 3
,解得
(可以解出 x、y、z 的具体值,
时各走了 x、y、z
千米,则有方程组:
x z 120
z 5
(x
z) : y 6 :1
3
但其实不必要);故丙走了 120
千米时,乙走了120 72 千米.
5
15. 如右图,三角形 ABC
是直角三角形,M 是斜边 BC
中点,MNPQ 是正方形,N 在 AB 上,P 在 AC
上.
如果,AB 的长度是 12 厘米,AC 的长度是 8 厘米.
那么,正方形
MNPQ 的面积是
【考点】几何,面积,弦图
【难度】☆☆☆
【答案】20
【分析】如下图,过 M 点作 AB 的垂线,垂足为 D;以 AD 为外围正方形的一边,做出以
MNPQ 为内
AC AB
含正方形的弦图,;则 MD 为△ABC 的中位线, MD
4cm , AD 6cm ;故弦图中外
2 2
2 4
围正方形边长为 6cm, AN MD 4cm , DN 6 4 2cm
;故所求面积为 6
2
4 20cm
2
.
2
A
D
N
P
Q
M
D
C
N
A
P
F
M
E
Q
N
A
的
P
平方厘米.
B
M
Q
C
B
16. 有一个自然数 A,它的平方有 9 个约数,老师把 9
个约数写在 9 张卡片上,发给学学三张、思思
三张.
学学说:“我手中的三个数乘积是
A
3
.”
思思说:“我手中的三个数乘积就是 A
2
,而且我知道你手中的三个数和是 625.”
那么,思思手中的三个数和是
【考点】数论,约数个数定理,幻方
【难度】☆☆☆☆☆
【答案】55
【分析】 A
2
有 9 个约数,故由约数个数定理可逆推出:A
的质因数分解形式为 p
4
或 pq (p、q 为不相
同的质数);
若 A p
4
,那么可把 A
2
的 9
个约数写成如下的表格形式(幻方):
.
p
7
1
p
4
p
8
p
5
p
6
p
2
p
3
p
学学手中必拿到了一行或一列或一条对角线;思思手中拿到的可能是(1、 p 、 p
7
)(1、 p
2
、 p
6
)
(1、 p
3
、 p
5
)( p 、 p
2
、 p
5
)( p 、 p
3
、 p
4
);只有后两组才能确定学学手中的牌,但后两
组所确定的数需要1 p
4
p
8
625 或1 p
5
p
7
625 ,可是这两种情况 p 均无解;故知 A 的质
因数分解形式不能为
p
4
,只能为 pq ;
若 A pq ,那么可把 A
2
的 9 个约数写成如下的表格形式
1
q
q
2
p
pq
pq
2
p
2
p
2
q
p
2
q
2
思思手中拿到的可能是(1、 p 、 pq
2
)(1、
q 、 p
2
q )(1、 p
2
、 q
2
)( p
、 q 、 pq );经分析可
知,只有当思思拿到(p、q、pq)时,才一定能确定学学手中的牌,此时学学手中的牌为
(1、 p
2
q 、 pq
2
),故1 p
2
q pq
2
625 ,(可用枚举法,或因数分析)解得 A
的两个质因数 p、
q 为 3 和 13,故思思手中的牌为(3、13、39),所求答案为 3
13 39 55 .
五. 解答题(每题 8 分,共 16 分)
17. 计算:
(1)
0.27 103 0.19
(4
分)
201
(2)
20132.3
1
0.4 2013
(4 分)
10 4
3
【考点】计算、巧算
【难度】☆☆
【答案】28;4697
【分析】(1)原式 0.27 100 (0.27 3 0.19) 27
1 28 ;
7 7
(2)原式 2013 2013 4
2013 4 2013 4697 .
3 3
18.
解方程:
(1) 4(2x 1) 3(x 2) 7 (4 分)
(2)
3
【难度】☆☆
【答案】 x 1 ; x
23
【分析】(1)注意去第 2 个括号时要变号;原方程化为: 8x 4 3x
6 7 ,即 5x 5 ,解得 x 1 ;
(2)通分,原方程化为:5(2x
5) 3(4x 7) ,即10x 25 12x 21 ,即 2x 46
,解得 x 23 .
2 x 5 4 x 7
(4
分)
5
【考点】计算、解方程
六.
解答题(每题 15 分,共 30 分)
19. 如图,将
1、2、3……按规律排成一个沙漏型的数表,那么,
(1)下 5 行从左向右数的第 5
个数是多少?(4 分)
(2)上 6 行最左边的数是多少?(4 分)
(3)2013
排在哪一行的从左向右数的第多少个?(7 分)
【考点】计算、数列与数表
【难度】☆☆☆☆
【答案】37;42;上 44 行从左向右第 34 个
3 行
12 13 14
15
上
上 2 行
6 7 8
上 1 行
2 3
0 行
1
下 1 行
5 4
2 行
11
10 9
下
3 行
19 18
17 16
下
【分析】(1)下 n
行从左向右第 (n 1) 个数(即最右数)为 (n 1)
2
;故下 5
行从左向右第 6 个数为 36,
下 5 行从左向右第 5 个数为 37;
(2)上 n 行从左向右第 1 个数(即最左数)为 n(n 1) ;故上 6 行最左数为
42;
(3)上 44 行从左向右第 1 个数为 44 45 1980 ,故
2013 为上 44 行从左向右第
2013 1980 1 34 个数.
20. 思思编了一个计算机程序,在屏幕上显示所有由 0、1、2、3
组成的四位编码(数字可以重复使
用),每个四位编码都是红、黄、蓝、绿四种颜色中的一种.并且,如果两个编码的每一位数字
均不相同,那么这两个编码的颜色也不相同.如果,0000 是红色的、1000
是黄色的、2000 是蓝
色的,那么:
(1)下列编码中,一定不是红色的是(
A. 0102 B. 0312 C. 2222
)(2 分)
D. 0123
(2)编码 3111 是什么颜色的?(5 分)
(3)编码 2013
是什么颜色的?(8 分)
【考点】组合,构造与论证
【难度】☆☆☆☆
【答案】C;绿色;蓝色
【分析】(1)2222 与 0000
的每一位数字均不相同,故 2222 一定不是红色的,选 C;
(2)3111 与
0000、1000、2000 的每一位数字均不相同,故 3111 不是红色的,不是黄色的,
也不是蓝色的,故 3111 是绿色的;
(3)0222 与
1000、2000、3111 的每一位数字均不相同,故 0222 是红色的;
1222 与
0000、2000、3111 的每一位数字均不相同,故 1222 是黄色的;
3222 与
0000、1000、2000 的每一位数字均不相同,故 3222 是绿色的;
2013 与
0222、1222、3222 的每一位数字均不相同,故 2013 是蓝色的.