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圆与扇形

例题精讲


研究圆、扇 形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位
置或对图 形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．
n
圆的面 积
πr
2
；扇形的面积

π
r
2
；
360
n
圆的周长
2πr
；扇形的弧长
2πr 
．
360
一、跟曲线有关的图形元素：
①扇形：扇形由顶点在圆心的角 的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说
111
的圆、圆、圆 等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几
246
n
分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是．
360
n
比如：扇形的面积

所在圆的面积

；
360
n
扇形中的弧长部分

所在圆的周长

< br>360
n

2

半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧 长) 扇形的周长

所在圆的周长

360
②弓形：弓形一般不要求 周长，主要求面积．
一般来说，弓形面积

扇形面积-三角形面积．(除了半圆)
③”弯角”：如图： 弯角的面积

正方形-扇形
④”谷子”：如图： “谷子”的面积

弓形面积
2


二、常用的思想方法：
①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)
②等积变形(割补、平移、旋转等)
③借来还去(加减法)
④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)

板块、曲线型旋转问题

【例 1】 正三角形
ABC
的边长是6 厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使
A
点再次落在这条直线上，那么
A
点在 翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚
动过程中扫 过的面积是多少平方厘米？(结果保留
π
)
B
AC

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
BA

【解析】 如图所示，
A
点在翻滚过程中经过的路线为两 段
120
的圆弧，所以路线的总长度为：
120
2π628π
厘米；
360
三角形在滚动过程中扫 过的图形的为两个
120
的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：
120π

6
2

2

15

2 4π

15
平方厘米．
360
【答案】
24π15


【巩固】直角三角形ABC
放在一条直线上，斜边
AC
长
20
厘米，直角边
BC
长
10
厘米．如下图所示，三角形
由位置Ⅰ绕
A
点转动 ，到达位置Ⅱ，此时
B
，
C
点分别到达
B
1
，C
1
点；再绕
B
1
点转动，到达位置Ⅲ，
此时
A
，
C
1
点分别到达
A
2
，
C
2
点．求
C
点经
C
1
到
C
2
走过的 路径的长．
A
2
B
60

Ⅰ
C
30
A
C
1
Ⅱ
B
1
Ⅲ
C
2
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于
BC
为
AC
的一半，所以
CAB30
，则弧
CC
1
为大圆周长的
周长的
180305

，弧C
1
C
2
为小圆
36012
1
，而
CC
1
C
1
C
2
即为
C
点经
C
1
到
C
2
的路径，所以
C
点经
C
1
到
C
2
走过的路径的长为
4
515065
2π 202π10π5ππ
(厘米)．
12433
65
【答案】
π

3

【巩固 】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为
4cm
和
3cm
的长方形Ⅰ．它的 对角线长恰好是
5cm
．让这
个长方形绕顶点
B
顺时针旋转
90°
后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点
A
到达点
E
的位
置．求点
A
走过的路程的长．
A
1
A
2
Ⅳ
DE
Ⅰ
AB
Ⅱ
C
Ⅲ
D
Ⅳ
EA
Ⅰ
B
Ⅱ
C
Ⅲ

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为长方形旋转了三次，所以
A
点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)．
这三段路程分别是：
1
第1段是弧
AA
1
，它的长度是< br>2π4
(
cm
)；
4
1
第2段是弧
A
1
A
2
，它的长度是
2π5
(
cm
)；
4
1
第3段是弧
A
2
E
，它的长度是2π3
(
cm
)；
4
111
所以
A< br>点走过的路程长为：
2π42π52π36π
(
cm
)．
444
【答案】6π

【例 2】 草场上有一个长20米 、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见如
图)．问：这只羊能够活 动的范围有多大？(圆周率取
3.14
)

30
A
3 0
10
10
B
20
C

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如图所示，羊活 动的范围可以分为
A
，
B
，
C
三部分，其中
A是半径
30
米的
半径为
20
米和
10
米的
3
个圆，
B
，
C
分别是
4
1
个圆．
4
311
所以羊活动的范围是
π

30
2

π

20
2

π

10
2


444
311


π


30
2

20
2

10
2



444

2512
．
【答案】2512

【巩固】一只狗被拴在底座为边长
3m
的等边 三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是
4m
，求狗所能到的地方
的总面积．(圆周率 按
3.14
计算)
33
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如图所示，羊活动的范围是一个半径
4m
，圆心角300° 的扇形与两个半径
1m
，圆心角120°的扇
形之和．所以答案是
43.96 m
2
．
【答案】43.96

【例 3】 如图是一个直径为< br>3cm
的半圆，让这个半圆以
A
点为轴沿逆时针方向旋转
60
，此时
B
点移动到
B'
点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为
cm
，圆周率按
3
计算)．
B'

60

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 面积

圆心角为
60
的扇形面积

半圆空白部分面积(也是半圆)
圆心角为
60
的扇形面积
603

π

3
2

π

4.5(cm
2
)
．
3602
【答案】4.5
AB

【例 4】 如图 所示，直角三角形
ABC
的斜边
AB
长为10厘米，
ABC60 
，此时
BC
长5厘米．以点
B
为
中心，将
AB C
顺时针旋转
120
，点
A
、
C
分别到达点E
、
D
的位置．求
AC
边扫过的图形即图
中阴影部分的 面积．(
π
取3)
E
C
AB
D

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 注意分割、平移、补齐．
E
(1)
C
(2)
A

如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置，
因为
EBD60
，那么
ABE120
，
1
则阴影部分为一圆环的．
3
1
所以阴影部分面积为
< br>π


AB
2
BC
2


75
(平方厘米)．
3
【答案】75

【巩固】如右图，以
OA
为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以
O
点为中心旋
转
90
，问：三角形扫过的面积是多少？(
π
取3)
A
BD
O

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三 角形的面积与四分之
一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边
OA
．
1
因此可以求得，三角形扫过的面积为：
24π10102425π99(平方厘米)．
4
【答案】99

【巩固】(“学而思杯”数学试题 )如图，直角三角形
ABC
中，
B
为直角，且
BC2
厘 米，
AC4
厘米，
则在将
ABC
绕
C
点顺时 针旋转
120
的过程中，
AB
边扫过图形的面积为 ．(
π3.14
)
A'

A
A
B'

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如右上图所示， 假设
ABC
旋转
120
到达
A'B'C
的位置．阴影 部分为
AB
边扫过的图形．
从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减 去空白部分面积，而整个图形总面积等于
扇形
ACA'
的面积与
ABC的面积之和，空白部分面积等于扇形
BCB'
的面积与
A'B'C
的面 积，由
于
ABC
的面积与
A'B'C
的面积相等，所以阴影部分 的面积等于扇形
ACA'
与扇形
BCB'
的面积之
120120差，为

π

4
2

π

2
2

4π

12.56
(平方厘米)．
360360
【答案】12.56

【例 5】 如下图，△
AB C
是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米。现在以C点为圆点，顺时针旋转
90度，那么 ，
AB
边在旋转时所扫过的面积是平方米 。（

=3.14）
BC
B
CA'


【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 边扫过的面积为左下图阴影部分，可分为右下图所示的两部分。
r
1
r
1
1
。
2

r
11

因为
r
2
r
2
1< br>2
，所以
r
2

11

1

1


所求面积为

1
2

12




1
2
r
2
< br>
0.6775
（平方米）
42

4428

【答案】0.6775

【例 6】 如图30-14，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求A D边扫
过部分的面积．(

取3.14)

A
D
BC

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如下图所示，
A
D
B

D

A

A
D
B

A

B

B
C
D

B

如下图所示，端点A扫过 的轨迹为
AA

A

，端点D扫过轨迹为
DD
 
D

，而AD之间的点，扫过的轨迹
在以A、D轨迹，AD，
A< br>
D

所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过 ，
所以AD边扫过的图形为阴影部分．显然,
有阴影部分面积为
S
直角A

D

C
S
扇形ACA

S
直角ACD
S
扇形CD

D
,而直角三角形
A

D

C
、ACD面积相等．
C
D

S< br>直角A

D

C
S
扇形ACA

S
直角ACD
S
扇形CD

D
=S
扇形A CA

S
扇形CD

D
=
90

90

9
AC
2
CD
2
(5
2< br>4
2
)

7.065(平方厘米)

36036044
即AD边扫过部分的面积为7．065平方厘米．
【答案】7.065

【例 7】 (祖冲之杯竞赛试题)如图，
ABCD
是一个长为
4
，宽为
3
，对角线长为
5
的正方形， 它绕
C
点按顺
时针方向旋转
90
，分别求出四边扫过图形的面积．
A
B
D
C

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 容易发现，
DC
边和
BC
边旋转后扫过的 图形都是以线段长度为半径的圆的
1
，如图：
4

A'
A
B
D
C
B'
< br>因此DC边扫过图形的面积为
4π
，
BC
边扫过图形的面积为
9π
．
4
2、研究
AB
边的情况．
在整个
AB
边上，距离
C
点最近的点是
B
点，最远的点是
A
点 ，因此整条线段所扫过部分应该介于
这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：
A'
AB
DCB'

下面来求这部分的面积．
观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：
扇形
ACA'
面积＋三 角形
A'B'C
面积－三角形
ABC
面积一扇形
BCB'
面 积＝扇形
ACA'
面积一扇形
5
2
π3
2
π

BCB'
面积

4π

44
3、研究
AD
边扫过的图形．
由于在整条线段上距离
C
点最远的点是
A
，最近的点是
D
，所以我们可以画出
AD
边扫过的图形，
如图阴影部分所示：
A'
AB
DCB'

5
2
π4
2
π9
用与前面同样的方法可以求出面积为：
π

444
旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即 它是通过什么样的基本图形经过怎样的
加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最 后你会发现，所有数据要么直接
告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有．
可以进一步思考， 比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决
对提高解决几何图形问题的能 力是非常有益的．
9π
【答案】（1）
BC
边扫过图形的面积为
4
（2）
AB
边扫过图形的面积为
4π

9π
（3）
AD
边扫过图形的面积为
4
（4）DC边扫过图形的面积为
4π

【例 8】 (华杯 赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小
铁环沿大铁 环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点
A
，观察半径
OA
，如图⑴，当小环沿大环内壁滚动到
与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如 图⑵，半径
OA
也运动到了与初始时相对的位置．这时
OA
沿大环内壁才滚动 了半圈．继续进行下半圈，直到
OA
与初始位置重合，这时
OA
自身转了1圈 ，
因此小铁环自身也转了1圈．
A
O
O
A
⑵
< br>【总结】对于转动的圆来说，当圆心转动的距离为一个圆周长时，这个圆也恰好转了一圈
．
所以本题也可以
考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的 距离等于自
己的圆周长，那么小铁环转动了1圈
．

【答案】1圈

【巩固】如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿 大铁
环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如图，同样考虑小圆的一条半径
OA
， 当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径
OA
滚动了
540，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了3圈．
⑴
OA
AO
⑵

也可以考虑小圆圆心转过的距 离．小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的3倍，所以这个圆的
周长也是小圆的3倍，由于小圆的圆 心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题
中小圆自身转了3圈．
【答案】3圈

【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的
n
(< br>n1
)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又
回到原来的位置，小圆 绕自己的圆心转动了几周？

⑴

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．
设小圆的半径为“单位1”，则大圆的半径为“
n
”．

< br>⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为
2π(n1)
．
2π(n1)
所以小圆绕自己的圆心转动了：
n1
(圈)．
2π
图（1）
图（2）



⑵在外侧滚动时，如图⑵所示．
因为圆心滚动的距离为
2π(n1)
．
2π(n1)
所以小圆绕自己的圆心转动了：
n1
(圈)．
2π
【答案】n-1和n+1

【例 9】 如图，
15
枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位
置．问：这枚硬币自 身转动了多少圈？

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这 枚硬
币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了
180606060
．而硬币上的每一点都是半径
等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了120°．
当硬币从 长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转
了
36 0606090150
．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自 身旋转
了300º．
长方形的外圈有12个硬币，其中有4个在角上，其余8个在边上，所以 这枚硬币滚动一圈有8次是
在长方形的一条边之内滚动，4次是从长方形的一条边滚动到另一条边．120830042160
，
所以这枚硬币转动了2160º，即自身转动 了6圈．
另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个
2π
即滚动了一周．
【答案】6圈

【巩固】12个相同的硬币可以排成下面的4种正多边形(圆心的连线)．

用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周．问：在哪个图中这枚硬
币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 对于同样是12个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分， 一是在”角”上的转动，一是在”边”
上的滚动．抓住关键方法：圆心轨迹长度
2π
自身转动圈数．结论：一样多；都是6圈．
【答案】一样多；都是6圈

【例 10】 一枚半径为1
cm
的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓 滚过后回到
原来的位置，那么与原
A
点重合的点是______．硬币自己转动___ ___，硬币圆心的运动轨迹周长
为_______．
D
E
F
A< br>C
D
C
B
E
F
A
B
【考点】曲线型 旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
1
【解析】 先计算轨迹的长度：三个半径为
2
的半圆，
(22π)36π
， < br>2
6π2π3
，即为
3
周，所以答案为
A
点，< br>3
周，
6π
．
【答案】
A
点，
3
周，
6π


【例 11】 先做一个边长为
2cm
的等边三角形，再以三个顶点为圆心，
2cm
为半径作弧，形成曲边三角形(如
左图)．再准备两个这样的图形，把一个固定住(右图 中的阴影)，另一个围绕着它滚动，如右图那
样，从顶点相接的状态下开始滚动．请问此图形滚动时经过 的面积是多少平方厘米？(
π3.14
)
A
2
B
2
2
C


【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 在处理图形的运 动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才
能实施具体的计算．
2
2
2
2
2
AC
2
2
2
B
2
图⑴
2
2
图⑵

2
D
2
AC
2
B
2
2
D'
22
2
2
2
2
AC
B
2
2
图⑷
2
2
2
图⑶

在数学中，本题所作出的这个曲边 三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性质就是
它在所有方向上的宽度都相同．
为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分2步来思考：
第1步：如图⑵所示，当“ 莱洛三角形”从顶点
A
的上方滚动到顶点
A
的左边时，这时阴影“莱洛
三角形”滚动的这部分面积是以
A
为圆心、
2cm
为半径、圆心角为
60°
的扇形．在顶点
A
、
B
、
C
处
各 有这样的一个扇形；
第2步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边
AB
上滚动时，这 时可以把阴影“莱洛三角形”看作是
以图⑶中
D
点为圆心的圆的一部分，这个圆在以< br>C
点为圆心的弧
AB
上滚动，可知此时圆心
D
运动
的 轨迹是图⑶中的弧
DD'
，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以
C为圆心、
4cm
为
半径、圆心角为
60°
的扇形减去半径为2cm
的
60°
的扇形；
综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积．
60

6060

222
滚动时经过的面积是：
3
< br>π2
2
3π4π2

8π25.12(c m)
．
360

360360

【答案】25.12

【例 12】 下图为半径20厘米、圆心角为144
0
的扇形图.点C、 D、E、F、G、H、J是将扇形的B、K弧线
分为8等份的点.求阴影部分面积之和．
G< br>H
J
F
E
D
C
B
144°
A
K
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如下图,做出辅助线,
G
H
J
K
LM
144°
F
N
E
D
C
B


△KMA与△ANG形状 相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△KMA≌△ANG,
S
而△LMA是两个 三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面积相等．
所以,GNMK与扇形KGA的面积相等,那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积．
A
KMA
S
ANG
,

144
0
54
扇形KGA的圆心角为×3=54
0
,所以扇形面积为
20< br>0


60

平方厘米．
8
360那么KGEB的面积为60

2
=120

平方厘米．
如下图,做出另一组辅助线．
G
H
J
K
144°
A
P
F
E
D
R
Q
C
B
△JQA与△ARH形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),
有△JQA≌△ARH,< br>S
JQA
S
ARH
=5△A,而△PQA是两个三角形的公共部分,
所以右图中的阴影部分面积相等.
所以,JHRQ与扇形JHA的面积相等,那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积．

144
0
18
180
0
,所以扇形面积为扇形JHA的圆 心角为
20
2


20

平方厘米．
8
360
那么JHDC的面积为
20

240
平方厘米．
所以,原题图中阴影部分面积为
S
KGEB
S
J HDC

120

40

80

≈8 0×3.14=251.2平方厘米．
【答案】251.2

【例 13】 10 个一样大的圆摆成如图所示的形状．过图中所示两个圆心A，B作直线，那么直线右上方圆内
图形面积总 和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?
A
B
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 直线AB的右上方的有2个完整的圆，2个半 圆，1个1个而1个1个正好
组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆，那么直线AB的左下方有10- 4=6个完整的圆，每个圆的
面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和 的比是4：6=2：3．
【答案】2:3

【例 14】 在图中，一个圆的圆心 是0，半径r=9厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?(

取3 .14)

A
12
O
B
C

【考点】 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】奥林匹克，初赛，11题
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 有AO=OB，所以△AOB 为等腰三角形，AO=OC，所以△AOC为等腰三角形.
∠ABO=∠1=15°，∠AOB=180°-∠1-∠ABO=150°.
∠ACO=∠2=15°,∠AOC=180°-∠2-∠ACO=150°，
所以 ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=60°，所以扇形BOC的面积为
60

9
2


42.39
(平方厘米)．
360
【 答案】42.39

【例 15】 图是由正方形和半圆形组成的图形．其中P点为半圆周的 中点，Q点为正方形一边的中点．已知
正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?(

取3.14)
A
10
D
P
B
Q
C

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】奥林匹克，初赛，11题
【解析】 过P做AD平行线，交AB于O点，P为半圆周的中点，所以0为AB中点．
A
O
B
10
D
P
Q
C

有
S
ABCD
1010100，S
半圆DPC
（
1 0
2
1
）

12.5

.
22< br>S
AOP
5（10+
101

10

1
）37.5，S
梯形OPQB



10
5

550.

222


2


阴影部分面积为
S
ABCD
S
半圆DP C
-S
AOP
S
梯形OPQB
10012.5
< br>37.55012.512.5

51.75.

【答案】51.75