新课标小学数学奥林匹克辅导及练习容斥原理(二)(含答案)
成都东软信息技术职业学院-中秋慰问
新课标小学数学奥林匹克辅导及练习容斥原理
(二)(含答案)
【例题分析】
例1.
有25人参加跳远达标赛,每人跳三次,每人至
少有一次达到优秀.第一次达
到优秀的有10人,第二次达到优秀的有13人,第三次达到优秀的有15
人,
三次都达到优秀的只有1人.只有两次达到优秀的有多少人?
分析与解
:“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的.要求
只有两次达到优秀的人数,就是求重
叠两层的部分(图中阴影部分).
一次
10人
1人
15人
三次13人
二次
25
人
(人)
101315251211
答:只有两次达到优秀的有11人.
例2.
在一个炎热的夏日,几个小朋友
去冷饮店,每人至少要了一样冷饮,其中
有6人要了冰棍,6人要了汽水,4人要了雪碧,只要冰棍和汽
水的有3人,
1 8
只要冰棍和雪碧的没有,只要汽
水和雪碧的有1人;三样都要的有1人.问:
共有几个小朋友去了冷饮店?
分析与解:根据题意画图.
冰
6
0
雪
3
1
41
6
汽
?
人
方法一:(人)
664(31)(01)(11)110
方法二:(人)
664311210
答:共有10个小朋友去了冷饮店.
例3.
有28人参加田径运动会,每人
至少参加两项比赛.已知有8人没参加跑的项
目,参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17
人.问:只参加跑
和投掷两项的有多少人?
分析与解:“每人至少参加两项
比赛”说明没有不参加的,也没有参加一项
比赛的,我们可以在下图中参加一项的区域用0表示.
2 8
跑
0
?
投
0
8
0
跳
(人)
281783
答:只参加跑和投掷两项的有3人.
例4.
某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组,其中数学有30人参加,英语有20人参加,语文小组有10人.老师告诉同学既参加数学小组
又参加语文小组的有
3人,既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文
的人数均为质数,而三种全参加的只有1人,求既
参加英语又参加数学小组
的人数.
分析与解:根据已知条件画出图.
3 8
数
30
3
语
质
1
10
质
20
英
49
人
三圆
盖住的总体为49人,假设既参加数学又参加英语的有x人,既参
加语文又参加英语的有y人,可以列出
这样的方程:
302010xy3149
整理后得:
xy9
由于x、y均为质数,因而这两个质数中必有一个偶质数2,另一个质数为7.
答:既参加英语又参加数学小组的为2人或7人.
例5.
某班同学参加升学
考试,得满分的人数如下:数学20人,语文20人,英语2
0人,数学、英语两科满分者8人,数学、
语文两科满分者7人,语文、英语
两科满分者9人,三科都没得满分者3人.问这个班最多多少人?最少
多少人
?
分析与解:根据题意画图.
4 8
语
数
20
8
英
20
7<
br>9
20
3
设三科都得满分者为x
全班人数
202020789x3
整理后:全班人数=39+x
39+x表示全班人数,当x取最大值时,全班人数就
最多,当x取最小值时,
全班人数就最少.x是数学、语文、英语三科都得满分的同学,因而x中的人<
br>数一定不超过两科得满分的人数,即且,由此我们得到.另一方面x最小可
能是0,即没有三科都
得满分的.
当x取最大值7时,全班有人,当x取最小值0时,全班有39人.
答:这个班最多有46人,最少有39人.
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
1. 六年级共有96人,两种刊物每人至少订其中一种,有的人订《少年报》,
有的人订
《数学报》,两种刊物都订的有多少人?
21
32
2. 小明和小龙两
家合住一套房子,门厅、厨房和厕所为公用,在登记住
房面积时,两家登记表如下表(单位:平方米)
姓名
小明
小龙
居室
14
20
门厅
12
12
5 8
厨房
8
8
厕所
4
4
总面积
38
44
他们住的一套房子共有多少平方米?
3.
某班45名同学参加体育测试,其中百米得优者20人,跳远得优者18人,又
知百米、跳远都得优者7
人,跳高、百米得优者6人,跳高、跳远均得优者8
人,跳高得优者22人,全班只有1名同学各项都没
达优秀,求三项都是优秀
的人数.
4. 某班四年级时,五年级时和六年级时分别评出1
0名三好学生,又知四、
五年级连续三好生4人,五、六年级连续三好生3人,四年级、六年级两年评上三好生的有5人,四、五、六三年没评过三好生的有20人,问这个班
最多有多少名同学,最少
有多少名同学?
6 8
【试题答案】
1. 六年级共有96人,两种刊物每人至少订其中一种,有的人
订《少年报》,
有的人订《数学报》,两种刊物都订的有多少人?
21
32
21
969616(
人
)
32
21
或
96(1)16(
人
)
32
96
答:两种刊物都订的有16人.
2. 小明和小龙两家合住一套房子,门厅、厨
房和厕所为公用,在登记住
房面积时,两家登记表如下表(单位:平方米)
姓名
小明
小龙
居室
14
20
门厅
12
12
厨房
8
8
厕所
4
4
总面积
38
44
他们住的一套房子共有多少平方米?
3844128458(
平方米
)
或
2
014128458(
平方米
)
答:这套房子共有58平方米.
3.
某班45名同学参加体育测试,其中百米得优者2
0人,跳远得优者18人,又
知百米、跳远都得优者7人,跳高、百米得优者6人,跳高、跳远均得优者
8
人,跳高得优者22人,全班只有1名同学各项都没达优秀,求三项都是优秀
的人数.
45144(
人
)
2018227683
9(
人
)
44395(
人
)
4. 某班四年级时,五年级时和六年
级时分别评出10名三好学生,又知四、
五年级连续三好生4人,五、六年级连续三好生3人,四年级、
六年级两年
评上三好生的有5人,四、五、六三年没评过三好生的有20人,问这个班
最多有多
少名同学,最少有多少名同学?
设三年连续三好生人数为x人
7 8
全班人数
103543x20
……
全班人数
38x
x最大是3,最小是0
所以这个班最多有名同学,最少有38名同学.
8 8