唐山大地震死亡人数是多少-财务负责人简历

第一章 行程问题
1、相遇问题 2、追及问题 3 行船问题 4 列车问题 5 时钟问题


第二章 分数问题
1 工程问题 2 百分数问题 3 存款利率问题 4 溶液浓度问题 5 商品利润问题


第三章 比例问题

1、归一问题 2、归总问题 3 正反比例问题 4 按比例分配问题 5、盈亏问题


第四章 和差倍比问题

1 和差问题 2．和倍问题


第五章 植树与方阵问题

1 植树问题


第六章 鸡兔同笼问题


第七章 条件最值问题
1 公约公倍问题


第八章 还原问题



第九章 列方程问题


第十章“牛吃草”问题



第十一章 数学游戏

1 构图布数问题


3. 差倍问题


2 幻方问题


1
4 倍比问题



5 年龄问题
2 方阵问题
2 最值问题
3 抽屉原则问题

第一章 行程问题
1、相遇问题
【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】 相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速） 总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时
行28千 米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？
例 2 甲乙二人同时从两地骑自 行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中
点3千米处相遇，求两地的距离 。
解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑 得慢，
甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，
相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）
两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）
答：两地距离是84千米。
2、追及问题
【含义】 两个运动物体在不同地点同时出 发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又
不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速 度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间
之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追 及问题。
【数量关系】 追及时间＝追及路程÷（快速－慢速） 追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？
例2 甲、 乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则
甲跑4秒钟就 能追上乙.问：甲、乙二人的速度各是多少？
分析 若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的 路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们
的速度差为10÷5=2（米秒）；若甲让乙先跑2秒，则 甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为
4秒，因此路程差就等于2×4=8（米），也即乙在2 秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲
的速度.综合列式计算如下：
解： 乙的速度为：10÷5×4÷2=4（米秒）
甲的速度为：10÷5+4=6（米秒）
答：甲的速度为6米秒，乙的速度为4米秒.
例3 幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和 晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶
晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多 少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多
少圈？
分析 这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与 晶晶两人同时同地起跑，方向一致.因此，当冬冬第一次
追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道 的一个周长（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，
于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时 间以及他们各自所走的路程.
解： ①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：
200÷（6-4）=100（秒）
②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6×100=600（米）
③晶晶第一次被追上时所跑的路程：
4×100=400（米）
2

④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：
（600×2）÷200=6（圈）
⑤晶晶第2次被追上时所跑的圈数：
（400×2）÷200=4（圈）
答：略.
解答封闭路线上的追及问题，关键是要掌握从并行到下次追及的路程差恰是一圈的长度.
3 行船问题
【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身 航
行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速< br>之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 顺水速度=船速+水速， 逆水速度=船速- 水速.
【数量关系】 （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速 （顺水速度－逆水速度）÷2＝水速
顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2
船速 水速 顺水速度 逆水速度，其中三个的关系
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 < br>例1某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？
例2 .已知一条小船，顺水航行60千米需5小时， 逆水航行72千米需9小时。现在小船从上游甲城到
下游乙城，已知两城间的水路距离是96千米，开船 时，船夫扔了一块木板到水里，当船到乙城
时，木板离乙城还有多远？
顺水航行60千米需5小时
顺水速度：60÷5=12
逆水航行72千米需9小时
逆水速度：72÷9=8
水流速度：（12-8）÷2=2
现在小船从上游甲城到下游乙城，已知两城间的水路距离 是96千米，开船时，船夫扔了一块木
板到水里，当船到乙城时，木板离乙城还有多远？
96-2×（96÷12）=80
小船从上游甲城到下游乙城：（96÷12）
木板行的距离2×（96÷12）
例3.一摩托车顶风行40千米用了2小时，风速为每小 时2千米，则这辆摩托车行驶时每小时行多少千
米？
4 列车问题
【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。
【数量关系】 火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速
火车追及： 追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）
火车相遇： 相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。将列车简缩为一个点
例1 一座大桥长2400米， 一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共
需要3分钟。这列火车长多少 米？
解 火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。
（1）火车3分钟行多少米？ 900×3＝2700（米）
3

（2）这列火车长多少米？ 2700－2400＝300（米）
列成综合算式 900×3－2400＝300（米）
答：这列火车长300米。
例 2 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样 的速度通过一条长1250米的大桥用了58
秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？
解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（88
－5 8）秒的时间内行驶了（2000－1250）米的路程，因此，火车的车速为每秒
（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）
进而可知，车长和桥长的和为（25×58）米，
因此，车长为 25×58－1250＝200（米）
答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。
例3 一列快车长184米，一列慢车长168 米，两车相向而行，，从相遇到离开需4秒钟，如果同向而
行，从快车追及慢车到离开，需16秒种，问 快车和慢车速度各是多少？
解、由于两车两车相向而行，从相遇到离开所行的距离为两车的长度和18 4+168=352米，用时4秒，
则两车的速度和为352÷4=88米秒；如果同向而行，从快车追 用慢车到离开的追及距离同为两车的长度
为352米，用时16秒，则两车的速度差为352÷16=2 2米秒．根据和差问题公式可知，快车的速度为：
（88+22）÷2=55米秒．慢车为55-22= 33米秒．
例4 一列长225米的慢车 以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以 每秒22米的速度在后面
追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？
解 从追上到追过 ，快车比慢车要多行（225＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因此，
所求的时 间为
（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）
答：需要73秒。

5 时钟问题
【含义】 就是研究钟面上时针与分针 关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角
为60度等。时钟问题可与追及问题相类比 。
【数量关系】 分针的速度是时针的12倍， 二者的速度差为1112。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问 题来计算。钟面的一周分为60格，分针每分钟走一
1
格，分针的速度是1；时针每小时走5格 ，每分钟走560＝112格。速度是
【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。
例1. 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？
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解 钟面的一周分为60 格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走
560＝112格。每分钟分针 比时针多走（1－112）＝1112格。4点整，时针在前，分针在后，两针相
距20格。所以
分针追上时针的时间为 20÷（1－112）≈ 22（分）
答：再经过22分钟时针正好与分针重合。
例2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？
解 钟面上有60格，它的14是15格，因而两 针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前
或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后 （5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那
么分针就要比时针多走 （5×4－15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走
4

< br>（5×4＋15）格。再根据1分钟分针比时针多走（1－112）格就可以求出二针成直角的时间。
（5×4－15）÷（1－112）≈ 6（分）
（5×4＋15）÷（1－112）≈ 38（分）
答：4点06分及4点38分时两针成直角。
例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？
解 六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一< br>个追及问题。
（5×6）÷（1－112）≈ 33（分）
答：6点33分的时候分针与时针重合
例4 一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5 ”字恰好在时针与分针的正中央，问这时
是什么时刻？
分析 由于现在可以是4点多，也可以是5点多，所以分两种情况进行讨论：
①先设此时是4点多：
4点整时，时针指4，分针指12.从4点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于
25，少于30，时针走不足5格.由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间
内共走30格.时针和分针的路程和是30，除以速度和，可得时间。
②再设此时是5点多： < br>5点整时，时针指5，分针指12.从5点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于20 格
少于25格，时针走的格数不足5格，由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这
段时间内共走25格.因此，时针和分针的路程和是25，除以速度和，可得时间。
第二章 分数问题
1 工程问题
【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三 者之间的关系。这类问题在已知条件中，
常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土 地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在
解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它
表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的
关系列出算式。
工作量＝工作效率×工作时间 工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式
例1 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完 成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，
余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？
解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们
设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是
60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）
答：还需要5小时才能完成。
例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两 人合做，完成任务时甲比乙多做24
个，求这批零件共有多少个？
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解 设总工作量为1，则甲每小时完成16，乙每小时完成18，甲比乙每小时多完成 （16－18），二人
合做时每小时完成（16＋18）。因为二人合做需要［1÷（16＋18）］小 时，这个时间内，甲比乙多做
24个零件，所以
（1）每小时甲比乙多做多少零件？
24÷［1÷（16＋18）］＝7（个）
（2）这批零件共有多少个？
7÷（16－18）＝168（个）
答：这批零件共有168个。
解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 16∶18＝4∶3
由此可知，甲比乙多完成总工作量的＝17
所以，这批零件共有 24÷17＝168（个）
例3 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样 粗细的进水管。当打开4个进水
管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才 能注满水池；现在要用2
小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？
解 注（排）水问题 是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是
工作量，单位时间内水 的流量就是工作效率。
要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。 为此需要知道进水管、
排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量 便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4 ×5），2个进水管15
小时注水量为（1×2×15），从而可知
每小时的排水量为 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
一池水的总工作量为 1×4×5－1×5＝15
又因为在2小时内，每个进水管的注水量为 1×2，
所以，2小时内注满一池水
至少需要多少个进水管？ （15＋1×2）÷（1×2）
＝8.5≈9（个）
答：至少需要9个进水管。
2 百分数问题
【含义】 百分数是表示一个数是另 一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可
以通分、约分，而百分数则无需；分数既 可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；
分数的分子、分母必须是自然数，而百 分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。
在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。
【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：
百分数＝比较量÷标准量
标准量＝比较量÷百分数
【解题思路和方法】 一般有三种基本类型：
（1） 求一个数是另一个数的百分之几；
（2） 已知一个数，求它的百分之几是多少；
（3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
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例1.红旗化工厂有男职工 420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？女职工比男职工
人数多百分之几？男、女 职工各占全厂职工总数的百分之几？
例2 一桶水，用去70%后，又向桶里倒入10千克的水，这 是桶内的水正好是原来整桶水的一半，原
来一桶水有多少千克？
例3.果品公司储存一批苹 果，售出这批苹果的30％后，又运来160箱，这时比原来储存的苹果多110 ，
这时有苹果多少箱？
3 存款利率问题
【含义】 把钱存入银行是有 一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率
一般有年利率和月利率两种。年利 率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一
月所生利息占本金的百分数。
【数量关系】 年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%
利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率
本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1 李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。
解 因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，
所以总利率为 （1488－1200）÷1200 又因为已知月利率，
所以存款月数为 （1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）
答：李大强的存款期是30月即两年半。
例 2 银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92 %，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时
各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利 改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取
出，那么，谁的收益多？多多少元？
解 甲的总利息
10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3
＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）
乙的总利息 10000×9%×5＝4500（元）
4500－4461.47＝38.53（元）
答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。
4 溶液浓度问题
【含义】 在生 产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它
液体）、溶质、溶液 、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混
合物叫溶液。溶质的量 在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。
【数量关系】 溶液＝溶剂＋溶质 浓度＝溶质÷溶液×100%
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1 爷爷有16%的糖水5 0克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成
30%的糖水，需加糖多 少克？
解 （1）需要加水多少克？ 50×16%÷10%－50＝30（克）
（2）需要加糖多少克？ 50×（1－16%）÷（1－30%）－50
＝10（克）
答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。
例2 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？
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解 假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出
600×（30%－25%）＝30（克）
这是因为30 %的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换
掉”一部 分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖 100×（30%－15%）＝15（克） 所
以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液） 100×（30÷15）＝200（克）
由此可知，需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液 600－200＝400（克）
答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。
例3 甲容器有浓度为1 2%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后
再把乙中现有盐水的一 半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中
的盐水同样多。求最后乙中盐水的 百分比浓度。
解 由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只 要算出乙容器中最
后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：

原 有
甲容器
盐水500
盐500×12%＝60
盐60÷2＝30
盐30＋15＝45
盐水500
盐45－9＝36
乙容器
水500
盐水500＋250＝750
盐30
盐水750÷2＝375
盐30÷2＝15
盐水500
盐45－36＋15＝24
第一次把甲中一半盐水500÷2＝250
倒入乙中后
倒入甲中后
第三次使甲乙中
盐水同样多
第而次把乙中一半盐水250＋375＝625
由以上推算可知，
乙容器中最后盐水的百分比浓度为 24÷500＝4.8%
答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。
5 商品利润问题
【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面
的问题。
【数量关系】 利润＝售价－进货价
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100% 售价＝进货价×（1＋利润率）
亏损＝进货价－售价 亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 某服装店因搬迁，店内商 品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利
30%定价，那么该店是亏本还是 盈利？亏（盈）率是多少？
解 要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进 而需知成本。因为52元是原价
的80%，所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利3 0%定的，所以成本为 52÷80%÷（1
＋30%）＝50（元）
可以看出该店是盈利的，盈利率为 （52－50）÷50＝4%
答：该店是盈利的，盈利率是4%。
例2 成本0.25元的作业本1200册，按期望获得 40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作
业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问 剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？
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解 问题是要计算剩下 的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是0.25
×（1＋40%）， 所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作
业本售出后的盈利 额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即
0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）
剩下的作业本每册盈利 7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）
又可知 （0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%
答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。
例3 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价 便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利
润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元 ，求乙店的定价。
解 设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为 1－10%＝0.9
甲店定价为 0.9×（1＋30%）＝1.17
乙店定价为 1×（1＋20%）＝1.20
由此可得 乙店进货价为 6÷（1.20－1.17）＝200（元）
乙店定价为 200×1.2＝240（元）
答：乙店的定价是240元。

第三章 比例问题
1、归一问题
【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量 。这
类应用题叫做归一问题。
【数量关系】 总量÷份数＝1份数量 1份数量×所占份数＝所求几份的数量
另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1 一个粮食加工厂要磨面粉20000千 克，3小时磨了6000千克.照这样计算，磨完剩下的面粉还要
几小时？
例2 某车间要加 工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务.由于缩短工期，要求
4天完成任务 ，可是又要增加6人.求每天加班工作几小时？
例3 学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5 个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花
了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少 元？
2、归总问题
【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条 件算出所求的问题，叫归总问题。所
谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩 地上的总产量、几小时行的总路
程等。
【数量关系】 1份数量×份数＝总量
总量÷1份数量＝份数
总量÷另一份数＝另一每份数量
【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量
例1 小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？
例2 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？
3 正反比例问题
9

【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量 中相对应的两个数的
比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正 比例关系。正比例
应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关联的量，一种 量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这
两种量就叫做成反比例的量 ，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等
知识的综合运用。
【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反
比 例问题去解决，而且比较简捷。
【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质
去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
例1 下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？
①速度一定，路程与时间．
②路程一定，速度与时间．
③路程一定，已走的路程与未走的路程．
④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间．
⑤总产量一定，亩产量和播种面积．
⑥整除情况下被除数一定，除数和商．
⑦同时同地，竿高和影长．
⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积．
⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数．
⑩圆的半径和面积．
(11)长方体体积一定，底面积和高．
(12)正方形的边长和它的面积．
(13)乘公共汽车的站数和票价．
(14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数．
(15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．
分析 以上每 题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种
量成哪种比例或不成 比例呢？关键是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就
不成比例．例如①×零件 数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反
比例．③路程一定，已走的路 程和未走的路程是加减法关系，不成比例．
解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15)
成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14)
不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)．
例2 一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三 段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段
路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的 速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少
时间？
分析 要求此人走完全程用了 多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，
必须知道走上坡路的速度（题中每小时 行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，
又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就 可以求出上坡路的路程．
例3 修一条公路，已修的是未修的13，再修300米后，已修的变成未修的12，求这条公路总长是
10

多少米？
解 由条件知，公路总长不变。
原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为 300÷（4
－3）×12＝3600（米）
答： 这条公路总长3600米
例4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。
A 25
36 B
20
16
解 由面积÷宽＝长可知，当 长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等
于它们的宽的正比。又因为第一行三 个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此，
A∶36＝20∶16 25∶B＝20∶16
解这两个比例，得 A＝45 B＝20
所以，大矩形面积为 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162
答：大矩形的面积是162
4 按比例分配问题
【含义】 所谓按比例分配，就是 把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种
形式：一是用比或连比的形式反映各部 分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。
【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。 总份数
＝比的前后项之和
【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分 之几，把比的前后项相加求出总份数，
再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别 作分子），再按照求一个数的几分之
几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班
有45 人，三个班各植树多少棵？
解 总份数为 47＋48＋45＝140
一班植树 560×47140＝188（棵）
二班植树 560×48140＝192（棵）
三班植树 560×45140＝180（棵）
答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵
例2 从前有个牧民，临死前留下遗 言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的12，二儿子分
总数的13，三儿子分总数的19，并 规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。
解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不 到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，
则很容易得到
12∶13∶19＝9∶6∶2
9＋6＋2＝17 17×917＝9
17×617＝6 17×217＝2
答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。
5、盈亏问题
【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或
11

两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差
如果两次都盈或都亏，则有：
参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差 参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1.一筐苹果分给一些学生吃，如果每人吃4个，要多出 48个苹果；如果每人吃6个，则又（多）少
8个苹果.那么有多少人，多少苹果？
例2 少 先队员去植树.如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，
这些树 苗正好种完.问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？
分析 这是一道较难的盈亏问题，主 要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，
其余的人各种6棵，就恰好种完.这组条件 中包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6
棵。如果我们把它统一成一种情况，让每人 都种6棵，那么，就可以多种树（6-4）×2＝4（棵）.因此，
原问题就转化为：如果每人各种5棵 树苗，还有3棵没人种；如果每人种6棵树苗，还缺4棵.问有多
少少先队员，一共种多少树苗？
解：[3+（6-4）×2]÷（6-5）＝7（人）
5×7+3＝38（棵）
或6×7-4＝38（棵）
答：有7个少先队员，一共种38棵树。
例3 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组
有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？
分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12 人，比 10 人多 2 人，而色笔多出了
（ 25-5 ） =20 支 ， 2 个人多出 20 支，一个人分得 10 支。列式为（ 25-5 ）÷
（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）。



第四章 和差倍比问题
1 和差问题
【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
【数量关系】 大数＝（和＋差）÷ 2 小数＝（和－差）÷ 2
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
例1 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？
例2. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克， 求
三袋化肥各重多少千克。
例3. 甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐 放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车
原来各装苹果多少筐？
2． 和倍问题
【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是 多少，
这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】 将两个数的关系转换成比，按照比的关系来解决。
12

总和 ÷（几倍＋1）＝较小的数 总和 － 较小的数 ＝ 较大的数
较小的数 ×几倍 ＝ 较大的数
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 甲站原有车52辆，乙站原有车32 辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几
天后乙站车辆数是甲站的2倍？
例2 甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？
例3 一个长方形，周长是30厘米，宽是长的，求这个长方形的面积。
3
2
3 差倍问题
【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（ 或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，
这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】 将两个数的关系转换成比，按照比的关系来解决。
两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数 较小的数×几倍＝较大的数
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 1班的图书角里故事书的本书是文艺书的4倍，故事书比文艺书多48本，两种书各有多少本？
例2 有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍
（第一 根长度是第二根长的），两根绳子原来各长多少米？
3
1
例3 商场改革经营 管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利
多30万元，求这两个 月盈利各是多少万元？
例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 9吨，问几天后剩下的玉米是小
麦的3倍？
解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相 等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。把几
天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后 剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）
倍，因此
剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）
运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）
运粮的天数＝72÷9＝8（天）
答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍
4 倍比问题
【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解 题时先求出这个倍数，再用倍
比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。
【数量关系】 总量÷一个数量＝倍数
另一个数量×倍数＝另一总量
【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
例1 今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师 生共植树多
少棵？
解 （1）48000名是300名的多少倍？ 48000÷300＝160（倍）
（2）共植树多少棵？ 400×160＝64000（棵）
列成综合算式 400×（48000÷300）＝64000（棵）
13

例2 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园
共 收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？
解 （1）800亩是4亩的几倍？ 800÷4＝200（倍）
（2）800亩收入多少元？ 11111×200＝2222200（元）
（3）16000亩是800亩的几倍？ 16000÷800＝20（倍）
（4）16000亩收入多少元？ 2222200×20＝44444000（元）
5 年龄问题
【含义】 这类问 题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄
之间的倍数关系随着年 龄的增长在发生变化。
【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差 倍问题的解题思路是一
致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
例1 父亲现年50岁，女儿现年14岁.问：几年前父亲年龄是女儿的5倍？
例2 在一个家庭里，现在所 有成员的年龄加在一起是73岁.家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一
个儿子.父亲比母亲大3岁， 女儿比儿子大2岁.四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁.现在家
里的每个成员各是多少岁？
分析 根据四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁，可以求出到现在每个人长4岁以后的实际< br>年龄和是58+4×4=74（岁）。
但现在实际的年龄总和只有73岁，可见家庭成员中 最小的一个儿子今年只有3岁.女儿比儿子大2
岁，女儿是3+2=5（岁）.现在父母的年龄和是73 -3-5=65（岁）.又知父母年龄差是3岁，可以求出父母
现在的年龄。
解：①从四年前到现在全家人的年龄和应为：
58+4×4=74（岁）
②儿子现在几岁？ 4-（74-73）=3（岁）
③女儿现在几岁？3+2=5（岁）
④父亲现在年龄：（73-3-5+3）÷2=34（岁）
⑤母亲现在年龄： 34-3=31（岁）
答：父亲现在34岁，母亲31岁，女儿5岁，儿子3岁。
例3 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你< br>现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？
解 这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：

过去某一年 今 年 将来某一年
甲
乙
□岁
4岁
△岁
□岁
61岁
△岁
表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等：□－ 4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，
61应该比4大3个年龄差，
因此二人年龄差为 （61－4）÷3＝19（岁）
甲今年的岁数为 △＝61－19＝42（岁）
乙今年的岁数为 □＝42－19＝23（岁）
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答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。

第五章 植树与方阵问题

1 植树问题
【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量 之间，已知其中的两个量，要求第三个
量，这类应用题叫做植树问题。
【数量关系】 线形植树 棵数=段数+1＝距离÷棵距＋1 环形植树 棵数=段数＝距
离÷棵距
面积植树 棵数＝面积÷（棵距×行距）
【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
例1． 有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？
例2.一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树.问：共需树苗多少株？
例3. 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千
米？
例4. 时钟三时敲三下，4秒钟敲完；5时敲5下，几秒敲完？
分析，敲三下，中间有2个间隔，敲5下，中间有4个间隔。

2 方阵问题
【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数 ，这
类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就
少2。
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4 每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数） 内边人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的
变化较多，其解答方法应根 据具体情况确定。
例1 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边 有多少人？这个方阵共
有五年级学生多少人？
分析 根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求
了。
解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）
整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）
答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。
例2 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子
15

多少个？
分析 方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面 一层每边放14个，就可以求第二层
及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）
第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）
第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）.
摆这个方阵共用棋子：
52+44＋36＝132（个）
还可以这样想：
中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。
解：（14-3）×3×4=132（个）
答：摆这个方阵共需132个围棋子。
例3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少
人？
解 （1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）
（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）
答：这队学生共160人。
例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两 个方向各增加一层，则缺少9只棋子，
问有棋子多少个？
解 （1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）
（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有40只。
例5 有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排 多1棵，最下面一排有5棵树。
这个树林一共有多少棵树？
解 第一种方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二种方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：这个三角形树林一共有15棵树。
第六章 鸡兔同笼问题
鸡兔同笼问题
【含义】 这是古典的算术问题。 已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的
问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡 兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第
二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
假设全都是兔，则有 鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
第二鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有 兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
假设全都是兔，则有 鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果
16

< br>先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先
假设，再置换，使问题得到解决。
例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十 五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多
少兔子多少鸡？
例2 刘老师带了41名同学去北 海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大
船、小船各租几条？
分析 我们分步来考虑：
①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐
6人。
③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。
解：[6×10-(41+1）÷（6-4）
= 18÷2=9（条）
10-9=1（条）
答：有9条小船，1条大船。
例3 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少
亩？
解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两 个脚”
相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总 数”相对
应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有
白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）
答：白菜地有10亩。
例4 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200
只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这 是因
为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚 与兔
脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100 -20）=80（只）。
解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
100-20=80（只）。
答：鸡与兔分别有80只和20只。

第七章 条件最值
1 公约公倍问题
【含义】 需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。
【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。
【解题思路和方法】 先确定题目中要用最大公 约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最
小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。
例1 一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形 ，不许
有剩余。问正方形的边长是多少？
解 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。
60和56的最大公约数是4。
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答：正方形的边长是4厘米。
例2 甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周 要36分钟，乙车行一周要30分钟，
丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少 要多少时间这三辆汽车才能
同时又在起点相遇？
解 要求多少时间才能在同一起点相遇， 这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少
时间，所以应是36、30、48的最 小公倍数。 36、30、48的最小公倍数是720。
答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。
例3 一个四边形广 场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上
每两棵树间距相等 ，至少要植多少棵树？
解 相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数，要使植树的棵 数尽量少，须使相邻两树的间距尽
量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最 大公约数12。
所以，至少应植树 （60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）
答：至少要植26棵树。
例4 一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个， 6个6个地数还多1个。又知棋子总
数在150到200之间，求棋子总数。
解 如果从 总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60，
又知棋子 总数在150到200之间，所以这个总数为
60×3＋1＝181（个）
答：棋子的总数是181个。
2 最值问题
【含义】 科学的发展观认为，国民 经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办
好事，以最小的代价取得最大的效益。这 类应用题叫做最值问题。
【数量关系】 一般是求最大值或最小值。
【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。
例1 在火炉上烤饼，饼的 两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤
三块饼，最少需要多少分钟？
解 先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二 块
饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。< br>这样做，用的时间最少，为9分钟。
答：最少需要9分钟。
例2 在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10 千米，已知1号煤场存煤100吨，
2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空 的。现在要把所有的煤集中到一
个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？
解 我们采用尝试比较的方法来解答。
集中到1号场总费用为 1×200×10＋1×400×40＝18000（元）
集中到2号场总费用为 1×100×10＋1×400×30＝13000（元）
集中到3号场总费用为 1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元）
集中到4号场总费用为 1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元）
集中到5号场总费用为 1×100×40＋1×200×30＝10000（元）
经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少。
答：集中到5号煤场费用最少。
18

例3 北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，上海可调运


重庆



武汉


外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台，
北京 800 400
若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？
上海 500 300
解 北京调运到重庆的运费最高，因此，北京
往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4台全都调
往重庆，再从北京调往重庆4台，调往武汉6台，运费就会最少，其数额为
500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）
答：上海调往重庆4台，北京调往武汉6台，调往重庆4台，这样运费最少

第八章 还原问题
还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我 们叫做还
原问题。
- 解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。
- 解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。
- 根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。
- 解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。
例1 一个数减去6，加上8，再乘4，除以5，得到20，求这个数。
例2 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，二班调 6 人
到一班，一班 调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？
分析：当四个班人数相等时，应为 168 ÷ 4 ，以四班为例，它调给三班 3 人，又从一班调入 2 人，所以
四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。四班原有人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43 （人）
一班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；二班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+6=42 （人） 三班原有人数
列式为 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。
例3 几只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子取出一半又1个，第二只猴子吃了剩下的一半又1个，第 三
只猴子吃了最后的一半又3个，这时篮子里的桃子正好分完，问篮子原有桃子多少只？
第三只猴子吃了最后的一半又3个，这时篮子里的桃子正好分完
3+3=6
第二只猴子吃了剩下的一半又1个
(6+1)×2=114
第一只猴子取出一半又1个
（14+1）×2=30
画线段图从后往前


第九章 列方程问题
【含义】 把应用题中的未知数用字母Χ代替，根 据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过
解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列 方程解应用题。
【数量关系】 方程的等号两边数量相等。
【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。
（1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。
（2）设：把应用题中的未知数设为Χ。
（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。
19

（4）解；求出所列方程的解。
（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。
（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。
同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容 ，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数
时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数 都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，
在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须 检验。
例1 甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？
解 第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。
找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30人。
列方程： 90－Χ＝2Χ－30
解方程得 Χ＝40 从而知 90－Χ＝50
第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。
列方程 （2Χ－30）＋Χ＝90
解方程得 Χ＝40 从而得知 2Χ－30＝50
答：甲班有50人，乙班有40人。
例2 鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？多少鸡？
解 第一种方法：设兔为Χ只，则鸡为（35－Χ）只，兔的脚数为4Χ个，鸡的脚数为2（35
－Χ ）个。根据等量关系“兔脚数＋鸡脚数＝94”可列出方程 4Χ＋2（35－Χ）＝94 解方程得 Χ
＝12 则35－Χ＝23
第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡，
则有 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
所以 兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
答：鸡是23只，兔是12只。
例3 仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车每次运多少
袋？
解 第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。 940÷4
－125＝110（袋）
第二种方法：从总量里减去甲汽车4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以4，即是所求。 （940
－125×4）÷4＝110（袋）
第三种方法：设乙汽车每次运Χ袋，可列出方程 940÷4－Χ＝125
解方程得 Χ＝110
第四种方法：设乙汽车每次运Χ袋，依题意得
（125＋Χ）×4＝940 解方程得 Χ＝110
答：乙汽车每次运110袋。
例4 已知篮球、足球、排球平均每个36元.篮球比排球每个多10元 ，足球比排球每个多8元，每个足
球多少元？
分析 ①篮球、足球、排球平均每个36元，购买三种球的总价是：36×3=108（元）。
②篮球和足球都与排球比，所以把排球的单价作为标准量，设为x。
③列方程时，等量关系可以确定为分类购球的总价=平均值导出的总价。
例5 妈妈买回一筐苹果，按计划天数，如果每天吃4个，则多出48个苹果，如果每天吃6个，则又少
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8个苹果.问：妈妈买回苹果多少个？计划吃多少天？
分析1 根据已知条件 分析出，每天吃苹果的个数及吃若干天后剩下苹果的个数是变量，而苹果的总个
数是不变量.因此列出方 程的等量关系是苹果总个数=苹果总个数.方程左边，第一种方案下每天吃的个
数×天数+剩下的个数， 等于右边，第二种方案下每天吃的个数×天数-所差的个数。
解：设原计划吃x天。
4x＋48＝6x-8
2x＝56
x＝28。
苹果个数：4×28＋48=160（个），
或：6×28-8＝160（个）。
答：妈妈买回苹果160个，原计划吃28天。
例6.星期天小明买来一些苹果招待同学，吃了全部的 9分之5少3个，这时妈妈回家了，又带回来了
31个，结果现在的苹果数比吃以前的个数还多20%， 原来小明买来多少个苹果？
假设原来小明买来X个苹果
吃了又带回来了31个(现在的苹果数)——以前的个数=以前的个数的20%
(1-59)×X+3+31-X=20%X
X=45


第十章 “牛吃草”问题
“牛吃草”问题
【含义】 “牛吃草”问题是大 科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要
考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】 1) 设定一头牛一天吃草量为“1”
2）草的生长速度＝（对应的 牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数
－吃的较少天数）；
3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
5）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度
草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数
【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。

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例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天 可以把草吃完。问多少头牛5天可以把
草吃完？
解 草是均匀生长的，所以，草总 量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把
草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为1，按
以下步骤解答：
（1）求草每天的生长量
因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×1 0×20）；另一方面，20天内的
草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
1×10×20＝原有草量＋20天内生长量
同理 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量
由此可知 （20－10）天内草的生长量为
1×10×20－1×15×10＝50
因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5
（2）求原有草量
原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5 天内草总量
5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125
（4）求多少头牛5 天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头）
答：需要5头牛5天可以把草吃完。
例 2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发 现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，
3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能 淘完。求17人几小时可以淘完？
解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一 问给出了人数（相当于“牛数”），求
时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：
（1）求每小时进水量
因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量
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10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量
所以，（10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14
因此，每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2
（2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30
（3）求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2 ），所
以17人淘完水的时间是
30÷（17－2）＝2（小时）
答：17人2小时可以淘完水。
例3 一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃 20天，或者供80只羊吃12天.如果
一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与 60只羊一起吃可以吃多少天？
分析 由于1头牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊 每天的吃草量和15头牛每天吃草
量相等，80只羊每天吃草量与20头牛每天吃草量相等。
解：60只羊每天吃草量相当多少头牛每天的吃草量？
60÷4＝15（头）。
草地原有草量与20天新生长草量可供多少头牛吃一天？
16×20=320（头）。
80只羊12天的吃草量供多少头牛吃一天？
（80÷4）×12=240（头）。
每天新生长的草够多少头牛吃一天？
（320-240）÷（20-12）=10（头）。
原有草量够多少头牛吃一天？
320-（20×10）＝120（头）。
原有草量可供10头牛与60只羊吃几天？
120÷（60÷4+10-10）＝8（天）。
答：这块草场可供10头牛和60只羊吃8天。
第十一章 数学游戏
1 构图布数问题
【含义】 这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图” ，就是设计出一种图
形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合 所给的条件。
【数量关系】 根据不同题目的要求而定。
【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布
数，符合题目所给的条件。
例1 十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。
解 符合题目要求的图形应是一个五角星。
4×5÷2＝10
因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。
例2 九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。
解 符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去，正好9棵。 4×3
－3＝9
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例3 把12拆成1到7这七个 数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入这七个数，
每个数只填一处，且每条线上三个 数的和都等于12。
解 共有五种写法，即 12＝1＋4＋7 12＝1＋5＋6 12＝2＋3＋7
12＝2＋4＋6 12＝3＋4＋5
在这五个算式中，4出现三次，其余的1、2、3、5、6、7各出现两次，因此 ，4应位于三条线的交点
处，其余数都位于两条线的交点处。据此，我们可以设计出以下三种图形：
例4 九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。
解 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，
一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。
2 幻方问题
【含义】 把n ×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，
这样的图叫做幻方。 最简单的幻方是三级幻方。
【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。
三级幻方的幻和＝45÷3＝15
五级幻方的幻和＝325÷5＝65
【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上 各数的和（即幻和），其次是确定正中
间方格的数，然后再确定其它方格中的数。
例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个
数 的和相等。
解 幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15
九个数在这八条线上反复出现构成 幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次
（即出现在中行、中列、和两条对角线 这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到
两次。看来，用到四次的“中心数”地位 重要，宜优先考虑。
设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以 （1＋2＋3＋4＋5
＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4
即 45＋3Χ＝60 所以 Χ＝5
接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们
分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别
在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。
例2 把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，
使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。
解 只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为
（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18
假设符合要求的数都已经填好，那么 三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，我
们看18能写成哪三个数之和：
最大数是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3
最大数是9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4
最大数是8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4
最大数是7： 18＝7＋6＋5 刚好写成8个算式。
首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。
24
2
9
4
7
5
3
6
1
8

观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。
然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被
9 2 7
4
5

3 抽屉原则问题
【含义】 把 3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的
一个放进另一个抽 屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一
个抽屉中放了2只或2 只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。
【数量关系】 基本的抽屉原则是：如果把n＋ 1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一
个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。
抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要 放
（k＋1）个或更多的元素。
通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么 至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的
元素。
【解题思路和方法】 （1）改造抽屉，指出元素； （2）把元素放入（或取出）抽屉；
（3）说明理由，得出结论。
例1 育才小学有367个2000年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？
解 由于2000年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把3 67个1999年出生
的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少 有一个“抽屉”中放有2个
或更多的“元素”。
这说明至少有2个学生的生日是同一天的。
例2 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中
至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
分析与解答 首先要确定3枚棋子的颜 色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，
3白共4种配组情况，看作4个抽屉 .把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每
人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放 入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原
理，至少有两个苹果在同一个抽屉里， 也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。
例3 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不 同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2
个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取 多少个球，才能保证至少有4个球颜色相
同？
解 把四种颜色的球的总数（3＋3＋3＋2）＝11 看作11个“抽屉”，那么，至少要取（11＋1）个球
才能保证至少有4个球的颜色相同。
答；他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。
6
10
8
3
用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都< br>为18。
最后确定其它方格中的数。如图。
25