端午节幽默短信-常州大学录取分数线

猎狗追兔问题


教学目标

1．通过本讲学习要学生学会对行程问题中单位进行统一；
2．追及问题在分数应用题的理解与应用；
3．能够理解比例及相关知识的初步引入；
4．解题中追及问题公式、比例(或份数)等知识点的结合；
5．统一及转化思想的应用。
知识精讲
一、猎狗追兔的出题背景

猎狗追兔是奥数中行程问题的一种，它与一般的行程问题有着某种相通性。
解题关键：行程单位要统一是猎狗追兔的解题关键。
通常我们遇到的题给的都是通用单位，如 米、公里等等，这类题中会涉及狗步与
兔步两个不同的单位，关键就在于将这两者统一，作行程问题最好 能够脱离题海，要
多注意总结，体会思想方法！很多看似无关的题目，实质思想是相通的！
二、猎狗追兔问题
问题叙述：兔子动作快、步子小；猎狗动作慢、步子大。通常我们遇到的行 程问题给
的路程都是通用单位：米或千米等，但这类题中狗步与兔步是不一样的单位，解题关
键 在于统一单位，然后利用追及问题公式“路程差÷速度差=追及时间”求解。
单位的统一：在猎狗追兔的问题中，狗步与兔步之间在距离上有一定关系。

例 如：相同路程内，猎狗跑四步(狗步)＝兔子跑七步(兔步)，据此可以求出狗步与兔
步的比，
相同时间内(可以认为单位时间内)兔子跑3步(兔步)，猎狗跑2步(狗步)
进而可以求出兔子与猎狗的速度，即单位时间内分别跑多少兔步(或狗步)
关键：具体是统一 为狗步或兔步，要视路程差的单位而定，若路程差的单位为狗步则
速度要统一为狗步，反之统一为兔步。 若路程差为米或千米，则统一成狗步或兔步都
行。
【例 1】
猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之. 兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9
步的距离等于狗 跑4步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了
多少步?
【解析】
方 法一：“猎狗前面26步……”显然指的是猎狗的26步。因为题目中出现“兔
跑8步的时间……”和“ 兔跑9步的距离……”，8与9的最小公倍数是72，
所以可以统一在“兔跑72步”这个情况下考虑. 兔跑72步的时间狗跑45步，
兔跑72步的距离等于狗跑32步距离，所以在兔跑72步的时间里，狗 比兔多
跑了45—32=13(步)的路程，这个13步是猎狗的13步. 由此推知，要追上26(狗 )
步，兔跑了72×(26÷13)=144(步)，此时猎狗跑了5×(144÷8)=90(步).
方法二：设狗跑一步为
1
个长度单位，则兔跑一步为
4
个长度单位； 在相同时
9
间内，狗的速度为
515
，兔的速度为
8
4

32
，根据题意有
26(5
32
)18
(个
999
单位时间)．猎狗追上兔时跑了
51890
(个单位长度)， 所以狗跑了
90190
(步)，此时兔跑了
4
32

 1864
(个单位长度)，故兔跑了
64144
(步)．
9
9
方法三：统一为“兔跑
72
步”的情况：兔跑
72
步的时间里狗比兔 多跑了
594813
(步)的路程，这里的步是狗步．由此推知，要追上
26
狗步，兔跑
了
72(2613)144
(步)，此时猎狗跑了
5(1448)90
(步)．

【巩固】 野兔逃出80步后猎狗才开始 追，野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔
跑9步的时间猎狗只能跑5步.问：猎狗至少跑多少步才能 追上野兔?
【解析】
“野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只能跑5 步.”
讲条件转化为：“野兔跑35步的路程猎狗只需跑15步，野兔跑27步的时间
猎狗只能 跑15步.”在猎狗跑15步的时间内，猎狗比野兔多跑35-27=8（兔步）.
猎狗追上野兔需跑：15×（80÷8）=150（步）.
【巩固】 猎犬发现在离它9步远 的前方有一只奔跑的兔子,立刻追赶,猎犬步子大.
它跑5步的路程,兔子跑9步,但兔子动作快,猎犬 跑2步的时间,兔子跑3步,
猎犬至少跑多少步才能追上兔子?
【解析】
狗5步＝ 兔子9步，步幅之比＝9：5；狗2步时间＝兔子3步时间，步频之比
＝2：3；则速度之比是 9×2：5×3＝6：5；这个9步是指狗的9步距离。6×9(6
－5)＝54步。
【巩固】 一只野兔逃出100步后猎狗才开始追它，野兔跑8步的路程猎狗只需跑3
步，猎狗 跑4步的时间兔子能跑9步，猎狗至少要跑 步才能追上野兔。
【解析】
240步
【巩固】 猎狗追野兔。在相等的时间里，猎狗跳6次，野兔跳7次；而猎狗跳4次
的距离等于 野兔跳5次的距离。当猎狗发现野兔时，野兔已跳出离猎狗10步
远的距离。问猎狗跳出多少次以后才能 追上野兔？
【解析】
120次
【巩固】 一只野兔逃出80步后猎狗才追它，野兔跑 8步的路程猎狗只需跑3步，
猎狗跑4步的时间兔子能跑9步。猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？
【解析】
猎狗每步相当于
83
885
（兔步），猎狗的速度比 兔子快
(49)4
（兔步），
3312
80
【例 2】
5
192
（步） 即猎狗至少要跑192步才能追上兔子。
12
狼和狗是死对头，见面就要相互撕咬．一天，它们同时发现了对方，它们之

间的距离狼要 跑
568
步．如果狼跑
9
步的时间狗跑
7
步，狼跑
5
步的距离等于
狗跑
4
步的距离，那么从它们同时奔向对方到相遇，狗跑了 多少步？狼跑了多
少步？
【解析】
由题目条件知，狼跑
45
步的 时间狗跑
35
步，狼跑
45
步的距离等于狗跑
36
步的距离，也就是说，在相同的时间里，狼跑狗的
36
步，狗跑
35
步，所以 ，狼与狗
的速度比是
36:35
．相遇时，狼跑了
568
36288
(步)，狗跑了
3635
28897224
(步)．
【巩固】 小明家的猫和狗是死对头，见面就要相互打架。一天，它们同时发现了对
方，它们之 间的距离猫要跑260步.如果猫跑9步的时间狗跑5步，猫跑5步
的距离等于狗跑3步的距离，那么从 它们同时奔向对方到相遇，猫跑了多少
步?
【解析】
135
【例 3】
步
猎狗追赶前方15米处的野兔.猎狗跑3步的时间野兔跑5步，猎狗跑4步的
距离 野兔要跑7步.猎狗至少跑出多少米才能追上野兔?
【解析】
“猎狗跑3步的时间野兔跑5 步，猎狗跑4步的距离野兔要跑7步.”将条件
转化为：“猎狗跑12步的时间野兔跑20步，猎狗跑1 2步的距离野兔要跑21
步.”我们也就可以这样认为：在一个单位时间内（猎狗跑12步的时间），猎
狗跑了野兔的21步，野兔跑了20步，速度差为野兔的1步.追击时间=15÷野
兔的1步， 所以猎狗追击的距离=（15÷野兔的1步）×野兔的21步=315（米）.
【巩固】 猎狗追赶前方30米处的野兔.猎狗步子大，它跑 4步的路程兔子要跑7步，
但是兔子动作快，猎狗跑 3步的时间兔子能跑4步.猎狗至少跑出多远才能追
上野兔？
【解析】
猎狗跑12 步的路程兔子要跑21步，猎狗跑12步的时间兔子要跑16步，在猎
狗跑12步这个单位时间内，两者 的速度差为兔子的5步，所以猎狗追击距离

为：30÷5×21=126（米）.
【巩固】 一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前
进2.1 米，狗跳3次的时间兔子可以跳4次。问：兔子跑出多远将被猎狗追
上？
【解析】
在一个单位时间里，狗跑3×3＝9（米），兔子跑4×＝（米），所以兔子跑的
距离为：[20÷（） ]×=280（米）.
【巩固】 猎狗发现在离它10米远的地方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去 ，猎狗
的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步。但是兔子动作快，猎狗跑2步
的时间，兔子 却能跑3步。
【解析】
兔子9步=狗5步，兔子3步所用时间=狗2步所用时间，所以兔子 的速度：狗
的速度=5：6。所以狗跑的距离=狗的速度x追击时间=狗的速度x（相差距离：
速度差）=6乘以10：（6-5）=60米。
【巩固】 猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米 ，猎狗去追兔子。已知猎狗跑2
步的时间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔 子
再跑多远，猎狗可以追上它？
【解析】
设狗跑2步的时间为1(分钟)，兔跑3 步的时间也为1(分钟)；再设狗的步长
为7(米)，则兔的步长为4(米)，推出狗的速度是2×7= 14，兔的速度是3×4=12。
用40÷（14－12）=20，20为追击时间。再用兔的速度乘上 追击时间可得兔跑
的路程，即 12×20=240（米）。
【巩固】 猎狗发现前方150 米处有一只兔子正在逃跑，拔腿就追。兔子逃跑的速度
是每秒14米，猎狗追赶的速度是每秒18米。在 兔子前方520米处是一片灌
木丛，如果兔子能钻进灌木丛，猎狗就捉不到它了。猎狗究竟能不能抓住兔
子呢？
【解析】
追不上。

【例 4】
已知猫 跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的
路程相同．而猫跑3步的时间与狗跑 5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔
跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道， 同时同向同
地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？
【解析】
方法 一：由题意，猫与狗的速度之比为
9:25
，猫与兔的速度之比为
25:49
．
设单位时间内猫跑1米，则狗跑
25
米，兔跑
49
米．
925
狗追上猫一圈需
300


25

67 5
单位时间，
1


4

9

49

625
单位时间．
1


252
兔追上猫一圈需
300


猫、狗、兔再次相遇的时间， 应既是
675
的整数倍，又是
625
的整数倍．
42
67 5
与
625
的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大
42
675,625

16875

675625



公约数，即

,

8437.5
．
2

2

4,2


4
上式表明 ，经过
8437.5
个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇．
此时，猫跑了
8 437.5
米，狗跑了
8437.5
25
23437.5
米，兔 跑了
8437.5
49
16537.5
9
25
米． < br>方法二：根据题意，猫跑35步的路程与狗跑21步的路程、兔跑25步的路程
相等；而猫跑15 步的时间与狗跑25步、兔跑21步的时间相同．
所以猫、狗、兔的速度比为
15
:
25
:
21
，它们的最大公约数为
352125
1

152521


15,25,21

,,


352125


35,21,25

3 557
，
即设猫的速度为
15

35
1251225
，那么狗的速度为
625
，则兔
35572135 57
的速度为
21

25
1
441
． 3557
4
于是狗每跑
300(625225)
3
单位时追上猫；
兔每跑
300(441225)
25
单位时追上猫．
18

而


,
325


3,25

75
75

，所以猫、狗、兔跑了单位时，三 者相遇．


4,18

2418
2

猫跑了
75
2258437.5
米，狗跑了
75
6252 3437.5
米，兔跑了
75
44116537.5
米．
222
课后练习