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数学建模期末论文猎狗追兔问题
《数学建模》
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猎狗追兔问题
一、问题重述
如图1所示,有一只猎狗在
B
点位置,发现了一只兔子
在正东北方距离它250m的地方
O
处,
N
此时兔子开始以8ms的速度正向正
A
西北方向,距离为150m的洞口
A
全速
跑去、 假设猎狗在追赶兔子的时候,
E
W O
始终朝着兔子的方向全速奔跑。
请回答下面的问题:
B
S
⑴ 猎狗能追上兔子的最小速度
就是多少？
⑵ 在猎狗能追上兔子的情况下,猎狗跑过的路程
就是少？
⑶ 假设猎狗在追赶过程中,当猎狗与兔子之间的
距离为30m时,兔子由于害怕导致奔跑速度每秒减半,
而狗却由于兴奋奔跑速度每秒增加0、1倍,在这种情
况下回答前面两个问题。
二、问题分析与假设
在猎狗追赶兔子的时候猎狗一直朝着兔子的方向追赶,

< br>数学建模期末论文猎狗追兔问题
所以可以建立平面直角坐标系,通过导数联立起猎狗运动
位移,速度与兔子的运动状态。
1.假设兔子的运动就是匀速的。
2.假设猎狗的运动轨迹就是一条光滑并且一阶导数存在
的曲线。
3.猎狗的运动时匀速或者匀变速的。
4.猎狗运动时总就是朝向兔子。
三、模型的建立及求解
3、1 符号规定
1.(x,y):猎狗或者兔子所在位置的坐标。
2. t:从开始到问题结束经过的时间。
3. a:猎狗奔跑的路程。
4. v:猎狗的奔跑速度。
3、2 问题一的模型建立与求解
猎狗能够抓到兔子的必要条件:猎
狗的运动轨迹在OA要有交点
以OA为y轴,以OB为x轴建
立坐标系,则由图有
B
O(0,0),A(0,150),B(250,0),兔子
S
的初始位置0点,而 猎狗初始位置就
是B点,t(s)后猎狗到达了C(x,y),而兔子到达了D(0,8t),
则有CD的连线就是猎狗运动轨迹的一条切线,由导数的几
W O
E
N
A

数学建模期末论文猎狗追兔问题
dxy-8t

dyx
da
v
何意义有:
dt
2
dadxdy三式联立消去t,得到;
d
2
y8
x
2
dxv设：
8
q
v
dy
2
1（）
dx

2

若猎狗可以追上兔子则有当兔子在OA,猎狗在OB之间运
动时此方程有解,设:
d x
p
dy
d
2
y
dx
2
得到:
dp

dx

dx
q p（250）0

x
1p
2
得到:
dp
x< br>q
p1p（）
250
250
q

2
p -1p（）
x
2

数学建模期末论文猎狗追兔问题
两式联立相加得到:
dy1x
q
250
q
[()() ]
dx2250x

y(250)0
1、如果q=1即v=8 ms 得到:
1x250x
y[250ln()]

2500250
x0,y
所以此情况无交点,所以v=8ms猎狗无法追
2
上兔子;
2.如果q<1即v>8ms 得到:
2501x
q
1250
q 1
2q
y[()()]
2

2q12501qx1q< br>250q
x0，y
此情况有交点,所以有可能能够追上兔子,如果
1-q< br>2
要追上兔子需要y<=150;
561
v
q1
6
解得到: 即
48
8
615
所以这种情况下能够
8
ms
追上的最小速度就是
561
、
3、如果q>1 利用上式得到
x0,y
,所以这种情况不能追
上兔子。
综上讨论,猎狗可以追上兔子的最小速度为
3、3 问题二的模型建立与求解
如果猎 狗可以追上兔子那么猎狗的轨迹与兔子的轨迹必相
交与一点,此时兔子的路程
t
y5 q

88(1q
2
)
48
615
。
y
5q
1q
2
,所用放的时间
,那么猎狗的的路程a=tv;

数学建模期末论文猎狗追兔问题
带入数值解得a=
900
615
。
3、4 模型三的建立与求解
模型三利用matlab试验,得到代码如下:
a=8;
dogxa=[];
dogya=[];
rabbitxa=[];
rabbitya=[];
d=1;
dogx=250;
dogy=0;
rabbitx=0;
rabbity=0;
t=0;
dt=0、001;
for b=0:100
dogx=250;
dogy=0;
rabbitx=0;
rabbity=0;
t=0;
c=b;
a=8;

while(sqrt((dogx- rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)>d&ra
bbity<150)

if(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy- rabbity)^2)<=30)

数学建模期末论文猎狗追兔问题
b=b*1、1^dt;
a=a*0、5^dt;
end
t=t+dt;

dogx=dogx+b*dt*(rabbitx-dogx)sqrt((dogx- rabbitx)^
2+(dogy-rabbity)^2);

dogy=dogy+b*dt*(rabbity-dogy)sqrt((dogx- rabbitx)^
2+(dogy-rabbity)^2);
rabbitx=rabbitx+0;
rabbity=rabbity+a*dt;
end
if(rabbity<=150)
b=c;
break;
end
end
fprintf('猎狗的最小速度就是::%2f',b);
a=8;
b=16;
d=1;
dogxb=[];
dogyb=[];
rabbitxb=[];
rabbityb=[];
dogx=250;
dogy=0;
rabbitx=0;

数学建模期末论文猎狗追兔问题
rabbity=0;
t=0;
dt=0、001;
s=0;
while(sqrt((dogx- rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)>d)
t=t+dt;

if(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy- rabbity)^2)<=30)
b=b*1、1^dt;
a=a*0、5^dt;
end
dogx0=dogx;
dogy0=dogy;

dogx=dogx+b*dt*(rabbitx- dogx)sqrt((dogx-rabbitx)^
2+(dogy-rabbity)^2)

dogy=dogy+b*dt*(rabbity- dogy)sqrt((dogx-rabbitx)^
2+(dogy-rabbity)^2)
dogxb=[dogxb,dogx];
dogyb=[dogyb,dogy];
rabbitx=rabbitx+0;
rabbity=rabbity+a*dt;
rabbitxb=[rabbitxb,rabbitx];
rabbityb=[rabbityb,rabbity];
s=s+sqrt((dogx0-dogx)^2+(dogy0-dogy)^2);
end
fprintf('最短路程就是:%1f',s);
得到猎狗的最小速度就是:16ms

数学建模期末论文猎狗追兔问题
猎狗此时的路程就是:312、5m
四、模型的检验
4、1 问题一的模型检验
使用matlab进行计算机模拟实验检验模型的可行性:
问题一的检验:
h=250;
a=8;
v=16;
dogxb=[];
dogyb=[];
rabbitxb=[];
rabbityb=[];
d=0、01;
dt=0、1;
t=0;
dogx=h;
dogy=0;
rabbitx=0;
rabbity=0;
while((sqrt(dogx-rabbitx)^2+(dogy- rabbity)^2)>d&&t
<=19、3)
t=dt+t;

dogx=dogx-v*dt*dogxsqrt(dogx^2+(a*t-dogy)^2);

dogy=dogy+v*dt*(a*t-dogy)sqrt(dogx^2+ (a*t-dogy)^2
);
dogxb=[dogxb,dogx];

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dogyb=[dogyb,dogy];
rabbity=a*t;
rabbityb=[rabbityb,rabbity];
end
rabbitxb=zeros(length(rabbityb));
plot(dogxb,dogyb,rabbitxb,rabbityb,'*')


4、2 问题二的模型检验
n=250;
a=8;
v=16;
d=0、1;
dt=0、1;
t=0;
dx=n;

数学建模期末论文猎狗追兔问题
dy=0;
rx=0;
ry=0;
while(sqrt((dx-rx)^2+(dy- ry)^2)>d&&t<19、3)
plot(dx,dy,rx,ry,'y*')
pause(0、00001)
hold on
t=dt+t;
dx=dx-v*dt*dxsqrt(dx^2+(a*t-dy)^2);
dy=dy+v*dt*(a*t-dy)sqrt(dx^2+(a*t-dy)^2);
ry=a*t;
plot(dx,dy,rx,ry,'y*')
end

数学建模期末论文猎狗追兔问题

五、模型的评价
5、1模型的优缺点
模型的优点。
(1)模型的使用范围比较广泛,可以类推到其她许多模型
中。
(2)模型具有很高的使用价值。
(3)模型对题目中的问题解决合适,模型使用得当。
模型的缺点。
(4)题目中增加了一些理想化的假设,致使模型的波动比
较大。

数学建模期末论文猎狗追兔问题
(5)不同兔子与猎狗的情况会有差异。
5、2模型的改进
可使用仿生学原理,建立我们更加准确的模型。
六、参考文献
[1] 赵书来,MATLAB编程与最优化问题,北京:电子工业出
版社,2013。
[2] 邬学军,周凯,宋军全,数学建模竞赛辅导教程,杭州,
浙江大学出版社,2009。
[3] 李志林,欧宜贵,数学建模及其典型案例分析,北京,
化学工业出版社,2006、
[4] Matlab入门教程,
2014、06
附录1:Matlab的截图

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