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初一奥数复习题 (2018)



2．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜
-｜c-b｜＋｜a-c｜的值．
3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n， 求x的取值范围．
776
4．设(3x-1)=ax＋ax+„+ax＋a，试求a+a＋a＋a的值．
76100246
5．已知方程组





有解，求k的值．
6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．
7．解方程组




8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．
9．比较下面两个数的大小：




10．x，y，z均是非负实数，且满足：


x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4，
求u=3x-2y＋4z的最大值与最小值．

4322

11．求x-2x＋x+2x-1除以x+x＋1的商式和余式．
12．如图1－88所示．小柱住在甲村，奶奶住在乙村，星期日小柱
去看望奶奶，先在北山
坡打一捆草，又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去．请问：小柱应该选
择怎样的路线才能使路程最短？

13．如图1－89所示．AOB是一条直线，OC，OE分别是∠AOD和
∠DOB的平分线，∠
COD=55°．求∠DOE的补角．




14．如图1－90所示．BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=55°，
∠EDF=70°．求证 ：BC
∥AE．






15．如图1－91所示．在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，
∠CDG=∠BEF．求证：∠A GD=
∠ACB．




16．如图1－92所示．在△ABC中，∠B=∠C，BD⊥AC于D．求




17．如图1－93所示．在△ABC中，E为AC的中点，D在BC上，
且BD∶DC=1∶2，

AD与BE交于F．求△BDF与四边形FDCE的面积之比．




18．如图1－94所示．四边形ABCD两组对边延长相交于K及L，
对角线AC∥KL，BD
延长线交KL于F．求证：KF=FL．
19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999？
说明理由．
20．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑
色，剩下的32个方格涂
上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横
行或者竖列上的各个方格同
时改变颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？
21．如果正整数p和p+2都是大于3的素数，求证：6｜(p＋1)．


22．设n是满足下列条件的最小正整数，它们是75的倍数，且恰
有




23．房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每把椅子有4
条腿，当它们全被人坐
上后，共有43条腿(包括每个人的两条腿)，问房间里有几个人？

24．求不定方程49x-56y+14z=35的整数解．
25．男、女各8人跳集体舞．
(1)如果男女分站两列；
(2)如果男女分站两列，不考虑先后次序，只考虑男女如何结成舞伴．
问各有多少种不同情况？
26．由1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中，
有多少个大于34152？
27．甲火车长92米，乙火车长84米，若相向而行，相遇后经过
1.5秒(s)两车错过，若同
向而行相遇后经6秒两车错过，求甲乙两火车的速度．
28．甲乙两生产小队共同种菜，种了4天后，由甲队单独完成剩下
的，又用2天完成．若
甲单独完成比乙单独完成全部任务快3天．求甲乙单独完成各用多
少天？
29．一船向相距240海里的某港出发，到达目的地前48海里处，
速度每小时减少10海里，
到达后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的
时间相等，求原来的速度．
30．某工厂甲乙两个车间，去年计划完成税利750万元，结果甲车
间超额15％完成计划，
乙车间超额10％完成计划，两车间共同完成税利845万元，求去年
这两个车间分别完成税利多

少万元？


31．已知甲乙两种商品的原价之和为150元．因市场变化，甲商品
降价10％，乙商品提价
20％，调价后甲乙两种商品的单价之和比原单价之和降低了1％，
求甲乙两种商品原单价各是多
少？
32．小红去年暑假在商店买了2把儿童牙刷和3支牙膏，正好把带
去的钱用完．已知每支
牙膏比每把牙刷多1元，今年暑假她又带同样的钱去该商店买同样
的牙刷和牙膏，因为今年的
牙刷每把涨到1.68元，牙膏每支涨价30％，小红只好买2把牙刷和
2支牙膏，结果找回4 角钱．试
问去年暑假每把牙刷多少钱？每支牙膏多少钱？
33．某商场如果将进货单价为8元的商品，按每件12元卖出，每
天可售出400件，据经验，
若每件少卖1元，则每天可多卖出200件，问每件应减价多少元才
可获得最好的效益？
34．从A镇到B镇的距离是28千米，今有甲骑自行车用0．4千米
分钟的速度，从A镇
出发驶向B镇，25分钟以后，乙骑自行车，用0．6千米分钟的速
度追甲，试问多少分钟后追

上甲？
35．现有三种合金：第一种含铜60％，含锰40％；第二种含锰
10％，含镍90％；第三种 含铜20％，含锰50％，含镍30％．现各取适当重量的这三种合金，
组成一块含镍45％的新合
金，重量为1千克．
(1)试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量；
(2)求新合金中含第二种合金的重量范围；
(3)求新合金中含锰的重量范围．

初一奥数复习题解答















2．因为｜a｜=-a，所以a≤0，又因为｜ab｜=ab，所以b≤0，因
为｜c｜=c，所以c≥0．所
以a＋b≤0，c-b≥0，a-c≤0．所以
原式=-b＋(a＋b)-(c-b)-(a-c)=b．
3．因为m＜0，n＞0，所以｜m｜=-m，｜n｜=n．所以｜m｜＜｜
n｜可变为m＋n＞0．当

x+m≥0时，｜x+m｜=x＋m；当x-n≤0时，｜x-n｜=n-x．故当-m ≤x≤n
时，
｜x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．
4．分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得









246

a+a＋a＋a=-8128．

0

5．②＋③整理得
x=-6y， ④
④代入①得 (k-5)y=0．


当k=5时，y有无穷多解，所以原方程组有无穷多组解；当k≠5时，
y=0，代入②得(1-k)x=1
＋k，因为x=-6y=0，所以1＋k=0，所以k=-1．
故k=5或k=-1时原方程组有解．




＜x≤3时，有2(x＋1)-(x-3)=6，所以x=1；当x＞3时，有



,所以应

舍去．




7．由｜x-y｜=2得
x-y=2，或x-y=-2，
所以




由前一个方程组得
｜2+y｜＋｜y｜=4．
当y＜-2时，-(y+2)-y=4，所以 y=-3，x=-1；当
y=4，无解；当y≥0
时，(2＋y)+y=4，所以y=1，x=3．
同理，可由后一个方程组解得





所以解为












-2≤y＜0时，(y＋1)-

解①得x≤-3；解②得
-3＜x＜-2或0＜x≤1；
解③得x＞1．

1111

所以原不等式解为x＜-2或x＞0．9．令a＝9999，则




于是









显然有a＞1，所以A-B＞0，即A＞B．
10．由已知可解出y和z




因为y，z为非负实数，所以有








u=3x-2y+4z

11.






2

所以商式为x-3x+3，余式为2x-4．
12．小柱的路线是由三条线段组成的折线(如图1－97所示)．
我们用“对称”的办法将小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一
段“连线”(它
是线段)．设甲村关于北山坡(将山坡看成一条直线)的对称点是甲′；
乙村关于南山坡的
对称点是乙′，连接甲′乙′，设甲′乙′所连得的线段分别与北山坡和南
山坡的交点
是A，B，则从甲→A→B→乙的路线的选择是最好的选择(即路线最
短)．




显然，路线甲→A→B→乙的长度恰好等于线段甲′乙′的长度．而从
甲村到乙村的
其他任何路线，利用上面的对称方法，都可以化成一条连接甲′与乙′
之间的折线．它

们的长度都大于线段甲′乙′．所以，从甲→A→B→乙的路程最短．





13．如图1－98所示．因为OC，OE分别是∠AOD，∠DOB的角平
分线，又
∠AOD+∠DOB=∠AOB=180°，
所以 ∠COE=90°．
因为 ∠COD=55°，
所以∠DOE=90°-55°=35°．
因此，∠DOE的补角为
180°-35°＝145°．
14．如图1－99所示．因为BE平分∠ABC，所以
∠CBF=∠ABF，
又因为 ∠CBF=∠CFB，
所以 ∠ABF=∠CFB．
从而
AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
由∠CBF=55°及BE平分∠ABC，所以
∠ABC=2×55°=110°． ①


由上证知AB∥CD，所以
∠EDF=∠A=70°， ②

由①，②知
BC∥AE(同侧内角互补，两直线平行)．
15．如图1-100所示．EF⊥AB，CD⊥AB，所以




∠EFB=∠CDB=90°，
所以EF∥CD(同位角相等，两直线平行)．所以
∠BEF=∠BCD(两直线平行，同位角相等)．
∠CDG=∠BEF．②
由①，② ∠BCD=∠CDG．
所以
BC∥DG(内错角相等，两直线平行)．
所以
∠AGD=∠ACB(两直线平行，同位角相等)．
16．在△BCD中，
∠DBC＋∠C=90°(因为∠BDC=90°)，①


又在△ABC中，∠B=∠C，所以




∠A＋∠B＋∠C=∠A＋2∠C=180°，
所以

又由已知①

由①，②








17．如图1－101，设DC的中点为G，连接GE．在△ADC中，G，
E分别是CD，
CA的中点．所以，GE∥AD，即在△BEG中，DF∥GE．从而F是BE
中点．连结FG．所
以




又
S＝S-SEFDG=4S-SEFDG，

△EFD△BFG△BFD

S

所以 S=3．

△EFGD△BFD

设S=x，则SEFDG=3x．又在△BCE中，G是BC边上的三等分点，
所以

△BFD


S=S，

E
△CEG△BCE
从而




所以
SEFDC=3x＋2x＝5x，
所以
S∶SEFDC=1∶5．
△BFD
18．如图1－102所示．












由已知AC∥KL，所以S=S，所以
ACKACL
△△









即 KF=FL．




＋b=9，a+a=9，于是a+ b+c＋a＋b+c=9＋9+9，即2(a十b＋c)=27，
矛盾！

11111

20．答案是否定的．设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白
色方格，其中0
≤ k≤8．当改变方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方

格．因此，操作一次
后，黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个，即增加了一个偶
数．于是无论如何操
作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变．所以，从原有的32个
黑色方格(偶数个)，经
过操作，最后总是偶数个黑色方格，不会得到恰有一个黑色方格的
方格纸．
21．大于3的质数p只能具有6k＋1，6k＋5的形式．若p=6k＋
1(k≥1)，则p+2=3 (2k
＋1)不是质数，所以， p=6k＋5(k≥0)．于是，p＋1=6k＋6，所以，
6｜(p＋1)．

2
αβγ

22．由题设条件知n=75k=3×5×k．欲使n尽可能地小，可设
n=235(β≥1，
γ≥2)，且有
(α+1)(β+1)(γ＋1)=75．
于是α＋1，β+1，γ＋1都是奇数，α，β，γ均为偶数．故取
γ=2．这时
(α+1)(β+1)=25．
所以

242

故(α，β)=(0，24)，或(α，β)=(4，4)，即n=2·3·5

0




23．设凳子有x只，椅子有y只，由题意得
3x＋4y+2(x+y)＝43，
即 5x+6y＝43．
所以x=5，y=3是唯一的非负整数解．从而房间里有8个人．
24．原方程可化为
7x-8y+2z＝5．
令7x-8y=t ，t＋2z=5．易见x=7t，y=6t是7x-8y=t的一组整数解．所
以它的全部整
数解是




而t=1，z=2是t＋2z=5的一组整数解．它的全部整数解是




把t的表达式代到x，y的表达式中，得到原方程的全部整数解是




25．(1)第一个位置有8种选择方法，第二个位置只有7种选择方法，

„，由乘法
原理，男、女各有


8×7×6×5×4×3×2×1＝40320

2

种不同排列．又两列间有一相对位置关系，所以共有2×40320种不
同情况．
(2)逐个考虑结对问题．
与男甲结对有8种可能情况，与男乙结对有7种不同情况，„，且
两列可对换，所
以共有
2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640
种不同情况．
26．万位是5的有
4×3×2×1=24(个)．
万位是4的有
4×3×2×1=24(个)．
万位是3，千位只能是5或4，千位是5的有3×2×1=6个，千位是
4的有如下4
个：
34215，34251，34512，34521．
所以，总共有
24+24＋6+4＝58

个数大于34152．
27．两车错过所走过的距离为两车长之总和，即
92＋84=176(米)．


设甲火车速度为x米秒，乙火车速度为y米秒．两车相向而行时
的速度为x+y；两
车同向而行时的速度为x-y，依题意有




解之得












解之得x=9(天)，x＋3=12(天)．




解之得x=16(海里小时)．
经检验，x=16海里小时为所求之原速．
30．设甲乙两车间去年计划完成税利分别为x万元和y万元．依题
意得

解之得




故甲车间超额完成税利




乙车间超额完成税利




所以甲共完成税利400+60=460(万元)，乙共完成税利
350+35=385(万元)．
31．设甲乙两种商品的原单价分别为x元和y元，依题意可得




由②有
0.9x+1.2y=148.5， ③
由①得x=150-y，代入③有
0. 9(150-y)＋1.2y＝148. 5，
解之得y=45(元)，因而，x=105(元)．
32．设去年每把牙刷x元，依题意得

2×1.68＋2(x+1)(1+30％)=[2x＋3(x+1)]-0.4，
即
2×1.68＋2×1.3+2×1.3x＝5x＋2.6，
即 2.4x=2×1.68，
所以 x=1.4(元)．
若y为去年每支牙膏价格，则y=1.4＋1=2.4(元)．
33．原来可获利润4×400=1600元．设每件减价x元，则每件仍可
获利(4-x)元，
其中0＜x＜4．由于减价后，每天可卖出(400+200x)件，若设每天获
利y元，则
y＝(4-x)(400+200x)
＝200(4-x)(2+x)

2

=200(8＋2x-x)

2

=-200(x-2x+1)＋200+1600

2

=-200(x-1)+1800．
所以当x=1时，y=1800(元)．即每件减价1元时，获利最大，为
1800元，此

最大

时比原来多卖出200件，因此多获利200元．
34． 设乙用x分钟追上甲，则甲到被追上的地点应走了(25+x)分钟，

所以甲乙两人
走的路程分别是0．4(25+x)千米和0．6x千米．因为两人走的路程
相等，所以
0.4(25+x)=0.6x，
解之得x=50分钟．于是
左边=0.4(25＋50)=30(千米)，


右边= 0.6×50=30(千米)，
即乙用50分钟走了30千米才能追上甲．但A，B两镇之间只有
28千米．因此，
到B镇为止，乙追不上甲．
35．(1)设新合金中，含第一种合金x克(g)，第二种合金y克，第
三种合金z克，
则依题意有








(2)当x=0时，y=250，此时，y为最小；当z=0时，y=500为最大，
即250≤y≤
500，所以在新合金中第二种合金重量y的范围是：最小250克，
最大500克．
(3)新合金中，含锰重量为：

x·40％＋y·10％+z·50％=400-0.3x，
而0≤x≤500，所以新合金中锰的重量范围是：最小250克，最大
400克．