神奈川县-跨越百年的美丽教案

初一奥数题（附答案）

2．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab ｜=ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜
＋｜a-c｜的值．

3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n， 求x的取值范围．

4．设(3x-1)7=a7x7＋a6x6+…+a1x＋a0，试求a0+a2＋a4＋a6的值．

6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．

8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．

10．x，y，z均是非负实数，且满足： x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4， 求u=3x-2y＋4z的最大值
与最小值．

11．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式．

12． 如图1－88所示．小柱住在甲村，奶奶住在乙村，星期日小柱去看望奶奶，先在北山坡打一
捆草，又在 南山坡砍一捆柴给奶奶送去．请问：小柱应该选择怎样的路线才能使路程最短？

13．如图 1－89所示．AOB是一条直线，OC，OE分别是∠AOD和∠DOB的平分线，∠COD=55°．求∠DOE的补角．

14．如图1－90所示．BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB =55°，∠EDF=70°．求证：BC‖AE．

15．如图1－91所示．在△ABC 中，EF⊥AB，CD⊥AB，∠CDG=∠BEF．求证：∠AGD=∠
ACB．

16．如图1－92所示．在△ABC中，∠B=∠C，BD⊥AC于D．求

17 ．如图1－93所示．在△ABC中，E为AC的中点，D在BC上，且BD∶DC=1∶2，AD与
B E交于F．求△BDF与四边形FDCE的面积之比．

18．如图1－94所示．四边形A BCD两组对边延长相交于K及L，对角线AC‖KL，BD延长线
交KL于F．求证：KF=FL．

19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999？说明理由．

20．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．下
面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜
色 ．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？

21．如果正整数p和p+2都是大于3的素数，求证：6｜(p＋1)．

22．设n是满足下列条件的最小正整数，它们是75的倍数，且恰有
23．房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐上后，
共 有43条腿(包括每个人的两条腿)，问房间里有几个人？

24．求不定方程49x-56y+14z=35的整数解．

25．男、女各8人跳集体舞．
(1)如果男女分站两列；
(2)如果男女分站两列，不考虑先后次序，只考虑男女如何结成舞伴． 问各有多少种不同情况？

26．由1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于34152？

27．甲火车长92米，乙火车长84米，若相向而行，相遇后经过1.5秒(s)两车错过 ，若同向而行
相遇后经6秒两车错过，求甲乙两火车的速度．

28．甲乙两生产小 队共同种菜，种了4天后，由甲队单独完成剩下的，又用2天完成．若甲单独
完成比乙单独完成全部任务 快3天．求甲乙单独完成各用多少天？

29．一船向相距240海里的某港出发，到达目的 地前48海里处，速度每小时减少10海里，到达
后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程 所用的时间相等，求原来的速度．

30．某工厂甲乙两个车间，去年计划完成税利750万 元，结果甲车间超额15％完成计划，乙车
间超额10％完成计划，两车间共同完成税利845万元，求 去年这两个车间分别完成税利多少万
元？

31．已知甲乙两种商品的原价之和为1 50元．因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价20％，
调价后甲乙两种商品的单价之和比原单价 之和降低了1％，求甲乙两种商品原单价各是多少？

32．小红去年暑假在商店买了2把儿 童牙刷和3支牙膏，正好把带去的钱用完．已知每支牙膏比
每把牙刷多1元，今年暑假她又带同样的钱去 该商店买同样的牙刷和牙膏，因为今年的牙刷每把
涨到1.68元，牙膏每支涨价30％，小红只好买2 把牙刷和2支牙膏，结果找回4角钱．试问去
年暑假每把牙刷多少钱？每支牙膏多少钱？
< br>33．某商场如果将进货单价为8元的商品，按每件12元卖出，每天可售出400件，据经验，若
每件少卖1元，则每天可多卖出200件，问每件应减价多少元才可获得最好的效益？

3 4．从A镇到B镇的距离是28千米，今有甲骑自行车用0．4千米分钟的速度，从A镇出发驶
向B镇， 25分钟以后，乙骑自行车，用0．6千米分钟的速度追甲，试问多少分钟后追上甲？

35 ．现有三种合金：第一种含铜60％，含锰40％；第二种含锰10％，含镍90％；第三种含铜
20％ ，含锰50％，含镍30％．现各取适当重量的这三种合金，组成一块含镍45％的新合金，重
量为1千 克．
(1)试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量；
(2)求新合金中含第二种合金的重量范围；
(3)求新合金中含锰的重量范围．

参考答案
2．因为｜a｜=-a，所以a≤0，又因为｜ab｜=ab，所以 b≤0，因为｜c｜=c，所以c≥0．所以a＋b≤0，
c-b≥0，a-c≤0．所以
原式=-b＋(a＋b)-(c-b)-(a-c)=b．

3．因为m＜0，n＞ 0，所以｜m｜=-m，｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可变为m＋n＞0．当x+m≥0
时，｜x+ m｜=x＋m；当x-n≤0时，｜x-n｜=n-x．故当-m≤x≤n时，
｜x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．

4．分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得
a0+a2＋a4＋a6=-8128．

10．由已知可解出y和z
因为y，z为非负实数，所以有
u=3x-2y+4z

11. 所以商式为x2-3x+3，余式为2x-4
12．小柱的路线是由三条线段组成的折线(如图1－97所示)．
我们用“对称”的办法 将小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”(它是线段)．设甲村
关于北山坡(将山坡看成 一条直线)的对称点是甲′；乙村关于南山坡的对称点是乙′，连接甲′乙′，
设甲′乙′所连得的线段 分别与北山坡和南山坡的交点是A，B，则从甲→A→B→乙的路线的选择
是最好的选择(即路线最短）
显然，路线甲→A→B→乙的长度恰好等于线段甲′乙′的长度．而从甲村到乙村的其他任何路线，利用上面的对称方法，都可以化成一条连接甲′与乙′之间的折线．它们的长度都大于线段甲′乙′．所以，从甲→A→B→乙的路程最短．

13．如图1－98所示．因为OC，OE分别是∠AOD，∠DOB的角平分线，又 ∠AOD+∠DOB=
∠AOB=180°， 所以 ∠COE=90°．
因为 ∠COD=55°， 所以∠DOE=90°-55°=35°．
因此，∠DOE的补角为 180°-35°＝145°．

14．如图1－99所示．因为BE平分∠ABC，所以
∠CBF=∠ABF，
又因为 ∠CBF=∠CFB， 所以 ∠ABF=∠CFB．
从而 AB‖CD(内错角相等，两直线平行)．
由∠CBF=55°及BE平分∠ABC，所以 ∠ABC=2×55°=110°． ①
由上证知AB‖CD，所以 ∠EDF=∠A=70°， ②
由①，②知 BC‖AE(同侧内角互补，两直线平行)．

15．如图1-100所示．EF⊥AB，CD⊥AB，所以 ∠EFB=∠CDB=90°，
所以EF‖CD(同位角相等，两直线平行)．所以 ∠BEF=∠BCD(两直线平行，同位角相等)．
①又由已知 ∠CDG=∠BEF． ② 由①，② ∠BCD=∠CDG．
所以 BC‖DG(内错角相等，两直线平行)．
所以 ∠AGD=∠ACB(两直线平行，同位角相等)．

16．在△BCD中，
∠DBC＋∠C=90°(因为∠BDC=90°)，① 又在△ABC中，∠B=∠C，所以
∠A＋∠B＋∠C=∠A＋2∠C=180°，
所以 由①，②

17 ．如图1－101，设DC的中点为G，连接GE．在△ADC中，G，E分别是CD，CA的中点．所
以，GE‖AD，即在△BEG中，DF‖GE．从而F是BE中点．连结FG．所以
又 S△EFD＝S△BFG-SEFDG=4S△BFD-SEFDG，
所以 S△EFGD=3S△BFD．
设S△BFD=x，则SEFDG=3x．又在△BCE中，G是BC边上的三等分点，所以 S△CEG=S△
BCEE，
从而 所以 SEFDC=3x＋2x＝5x，
所以 S△BFD∶SEFDC=1∶5．

18．如图1－102所示．
由已知AC‖KL，所以S△ACK=S△ACL，所以
即 KF=FL． ＋b1=9， a+a1=9，于是a+b+c＋a1＋b1+c1=9＋9+9，即2(a十b＋c)=27，矛盾！

20．答案是否定的．设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中0≤k≤ 8．当改变
方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方格．因此，操作一次后，黑色方格的数目 “增
加了”(8-k)-k=8-2k个，即增加了一个偶数．于是无论如何操作，方格纸上黑色方格数 目的奇偶性
不变．所以，从原有的32个黑色方格(偶数个)，经过操作，最后总是偶数个黑色方格，不 会得
到恰有一个黑色方格的方格纸．

21．大于3的质数p只能具有6k＋1，6 k＋5的形式．若p=6k＋1(k≥1)，则p+2=3(2k＋1)不是质
数，所以， p=6k＋5(k≥0)．于是，p＋1=6k＋6，所以，6｜(p＋1)．

22．由题 设条件知n=75k=3×52×k．欲使n尽可能地小，可设n=2α3β5γ(β≥1，γ≥2)，且有 (α+1)(β+1)(γ
＋1)=75．
于是α＋1，β+1，γ＋1都是奇数，α，β，γ均为偶数．故取γ=2．这时 (α+1)(β+1)=25．
所以 故(α，β)=(0，24)，或(α，β)=(4，4)，即n=20•324•52
23．设凳子有x只，椅子有y只，由题意得 3x＋4y+2(x+y)＝43，
即 5x+6y＝43．
所以x=5，y=3是唯一的非负整数解．从而房间里有8个人．

24．原方程可化为
7x-8y+2z＝5．
令7x-8y=t，t＋2z= 5．易见x=7t，y=6t是7x-8y=t的一组整数解．所以它的全部整数解是
而t=1，z=2是t＋2z=5的一组整数解．它的全部整数解是
把t的表达式代到x，y的表达式中，得到原方程的全部整数解是
25．(1)第一个位置 有8种选择方法，第二个位置只有7种选择方法，…，由乘法原理，男、女
各有 8×7×6×5×4×3×2×1＝40320
种不同排列．又两列间有一相对位置关系，所以共有2×403202种不同情况．

(2)逐个考虑结对问题．
与男甲结对有8种可能情况，与男乙结对有7种不同情况，…，且两列可对换，所以共有
2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640 种不同情况．

26．万位是5的有4×3×2×1=24(个)．
万位是4的有 4×3×2×1=24(个)．
万位是3，千位只能是5或4，千位是5的有3×2×1=6个，千位是4的有如下4个：
34215，34251，34512，34521．
所以，总共有 24+24＋6+4＝58
个数大于34152．

27．两车错过所走过的距离为两车长之总和，即 92＋84=176(米)．
设甲火车 速度为x米秒，乙火车速度为y米秒．两车相向而行时的速度为x+y；两车同向而行
时的速度为x-y ，依题意有
解之得
解之得x=9(天)，x＋3=12(天)．
解之得x=16(海里小时)．
经检验，x=16海里小时为所求之原速．

30．设甲乙两车间去年计划完成税利分别为x万元和y万元．依题意得
解之得
故甲车间超额完成税利
乙车间超额完成税利
所以甲共完成税利400+60=460(万元)，乙共完成税利350+35=385(万元)．

31．设甲乙两种商品的原单价分别为x元和y元，依题意可得
由②有
0.9x+1.2y=148.5， ③
由①得x=150-y，代入③有
0. 9(150-y)＋1.2y＝148. 5，
解之得y=45(元)，因而，x=105(元)．

32．设去年每把牙刷x元，依题意得
2×1.68＋2(x+1)(1+30％)=[2x＋3(x+1)]-0.4，
即 2×1.68＋2×1.3+2×1.3x＝5x＋2.6，
即 2.4x=2×1.68，
所以 x=1.4(元)．
若y为去年每支牙膏价格，则y=1.4＋1=2.4(元)．

33．原来可获利润4×400=1600元．设每件减价x元，则每件仍可获利(4-x) 元，其中0＜x＜4．由
于减价后，每天可卖出(400+200x)件，若设每天获利y元，则
y＝(4-x)(400+200x)
＝200(4-x)(2+x)
=200(8＋2x-x2)
=-200(x2-2x+1)＋200+1600

=-200(x-1)2+1800．
所以当x=1时，y最大=1800 (元)．即每件减价1元时，获利最大，为1800元，此时比原来多卖
出200件，因此多获利200 元．

34．设乙用x分钟追上甲，则甲到被追上的地点应走了(25+x)分钟，所以甲乙 两人走的路程分别
是0．4(25+x)千米和0．6x千米．因为两人走的路程相等，所以
0.4(25+x)=0.6x，
解之得x=50分钟．于是
左边=0.4(25＋50)=30(千米)，
右边= 0.6×50=30(千米)，
即乙用50分钟走了30千米才能追上甲．但A，B两镇之间只有28千米．因此，到B镇为止，
乙追不上甲．

35．(1)设新合金中，含第一种合金x克(g)，第二种合金y克，第三种合金z克，则依题意有
(2)当x=0时，大500克．
(3)新合金中，含锰重量为：
x•40％＋y•10％+z•50％=400-0.3x，
y=250，此时，y为最小 ；当z=0时，y=500为最大，即250≤y≤500，所以在新合金中第二种合金
重量y的范围是 ：最小250克，最
而0≤x≤500，所以新合金中锰的重量范围是：最小250克，最大400克．