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人教版五年级下册数学《最大公因数和最小公倍数》知识
点及重点题分析
最大公因数
一、基础知识
（1）定义：几个数公有的因数中，其中最大的公因数叫做它们的最大公因
数。，
（2）求最大公因数的方法
①列举法：
②短除法：把各个数公有的质因数从小到大 依次作为除数，连续去除这几
个数，一直除到各个商是互质数为止，（也可以用较大的合数质公因数去< br>除）然后把左半圈所有除数相乘，所得的积就是这几个数的最大公因数。
例如：求36，24，48的最大公因数。
2 36 24 48
2 18 12 24
3 9 6 12
3 2 4
此 时3与2，4都互质，这三个数的公因数只有1，停止短除。（即用
短除法求最大公因数时，要使所有的 数最后所得的商没有公因数就可，如
果其中几个商有公因数，也不再除）。因此，36，24，48的最 大公因数是
2×2×3＝12。
（3）求两个数最大公因数的特殊情况：
①当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数。
②互质的两个数最大公因数是1。（如连续的非零自然数、不同的质数等）

（4）最大公因数和公因数的关系：
所有的公因数都是这两个数的因数，最大公因数是这些公因数中最大的。
二、求最大公因数在计算中的应用
作用：最大公因数在计算中的最重要的作用是约分，即把分 数的分子和分
母约成最大公因数为1的最简分数。
化最简分数最简捷的方法：
①短除法求出最大公因数
②用划线法分别约去分子分母的最大公因数，分别写出分子、分母被最大
公因数除的商。
③练习：
（1）填空：
Aα,b都是非0自然数，如果a÷b=10 ，那么α,b 的最大公因数是（ ），最小
公倍数是（ ）。
解题分析：由题可知， α是b的倍数，此时两数的最大公因数是其中的较小数b，最小
公倍数是其中的较大数α。
B 甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲和乙的最大公因数是（ ）。
（2）化最简分数
1824
45
36
、、、
6398
75
50
(3)判断：
186186
A比的分数单位小，所以比小。（ ）
63216321
B分子分母是不同的质数，分子、分母的最大公因数一定是1.（ ）
C分子分母分别是不同的合数，分子、分母的最大公因数一定不是1.（ ）
D分子分母是两个连续的非零自然数，分子、分母的最大公因数一定是1.（ ）
E两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小．（ ）
三、求最大公因数的实际问题

1.五年级（2）班男生有48人，女生有36人。男、女生分别排队，要使每
排的人数相同，每排最多有多少人？
解题分析：由题意得“要使每排的人数相同，每排最多有多少人？ ，就是
求同时能整除五年级（2）班男生、女生的非零自然数，即问题“每排最多
有多少人”就 是求男生、女生的最大公因数。
关键点：“每排人数相同”意味着每排人数是48和36的公因数，“ 最多”
就是求48和36的最大公因数。
解答过程 2 36 48
3 18 24
2 6 8
3 4
36、48的最大公因数为=2×3×2=12,36、48的最大公因数为12.
答：每排最多有12人.

2.将48本练习本和64支铅笔平均分给若干名同学。 如果练习本和铅笔都
没有剩余，且保证分到铅笔和练习本的人数相同，最多能分给多少名同学？
解题分析：由题意得“分到铅笔和练习本的人数相同，最多能分给多少名
同学？”，此时铅笔分得的人 数和练习本分得的人数分别是48和64的公
因数，要求最多能分给多少同学，就是求48和64的最大 公因数。
关键点：练习本和铅笔分别单独平均分，“保证分到铅笔和练习本的人数
相同”，即 分到铅笔和练习本的同学数是48和64的最大公因数。
解题过程： 2 48 64
4 24 32
2 6 8

3 4
48、64的最大公因数为=2×4×2=16,48、64的最大公因数为16.
答：最多能分得有16人.

3.用48朵红花和36多黄花做成花束，两种花都没 有剩下。如果每个花束的
红花朵数相同，黄花朵数相同，每一束最少有几朵花？此时一共能扎几束？
解题分析：由题意“每个花束的红花朵数相同，黄花朵数相同，每一束最
少有几朵花”，可知 此时花束的数量分别是48和36的最大公因数。
解答过程：
2 48 36
2 24 18
3 12 9
4 3
48、36的最大公因数为=2×2×3=12,
红花48÷12=4（朵）36÷12=3 （朵）答：每一束最少有7朵花，此时一共
能扎几12束.

同步练习
① 将一块长80米、宽56米的长方形土地划分成面积相等的小正方形。小
正方形的面积最大是多少平方米 ？
关键点：小正方形的面积是80、56的最大公因数，

②一张长方形木板，长 56厘米，宽40厘米，如果把它剪成若干个同样大
的正方形，使边长是整厘米数且没有剩余，最少能剪 多少个？

关键点：小正方形的边长是40、56的最大公因数，求出小正方形的边长后 ，
还需用长方形的面积除以小整形的面积，才可以求出最少减去小正方形的
个数。


③有三根木棒，分别长12厘米，16厘米，44厘米。要把它们截成同样长
的小棒 ，不能有剩余，每根小棒最长是多少厘米？
关键点：小棒长是12、16、44的最大公因数。
最小公倍数
一、基础知识
（一）最小公倍数：
1、最小公倍数：几个数共有的倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍
数。
2.求最小公倍数的方法：
①列举②短除法：把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数， 连
续去除这几个数，一直除到各个商是互质数为止，然后把所有除数相乘，
再乘以每个数除完以 后所得的商，所得的积就是这几个数的最小公倍数。
例如：求36，24，48的最大公因数。
2 36 24 48
2 18 12 24
3 9 6 12
3 2 4
此时3与2互 质，但2与4还有公因数2，需再除一次，直到两两互质
为止，否则三个数的最小公倍数就大了。

2 36 24 48
2 18 12 24
3 9 6 12
2 3 2 4
3 1 2
这时三个数的公因数只有1，停止短除。36，24，48的最小公倍数是2×2×3×2×3×2＝144。
注意：当几个数较小时，求最小公倍数就是想哪个数是这几个数的倍数，
而且这个数最小。
当几个数较大时或不容易思考得出最小公倍数时，适合用列举法或短除法。
（二）基础练习
（1）填空：
①几个数公有的倍数，叫做这几个数的( ),其中（ ）的一个叫
做这几个数的（ ）。

②两个连续自然数的最小公倍数是20，这两个自然数是（ ）和（ ）。
③把（ ）分数化成和原来相等的（ ）分母分数，叫做通分。
④通分的依据是( ）。
⑤通分时，先求出原来几个分母的（ ），然后把各数分别化成用
这个（ ）做分母的分数。
⑥两个不同质数的和是10，他们的最小公倍数是（ ）
⑦54可能是哪两个数的最小公倍数？请你任意写出满足条件的两个数。
（ ）和（ ）
⑧甲＝2×2×5， 乙＝2×3×5，那么甲 、乙 的最小公倍数是（ ）
（2）写出下列各组数的最小公倍数。

3和6（ ） 8和10（ ） 3和9（ ）
6和5（ ） 9和4（ ） 2和7（ ）
8和6（ ） 27和54（ ） 100和25（ ）

（3）判断：
①相邻两个自然数（0除外）的积一定是它们的最小公倍数（ ）。
②自然数a是自然数b的5倍，则a和b的最小公倍数是（ ）。
（4）思维提升：两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，
这两个数是（ ）和（ ）或（ ）和（ ）。
解析：设这两个数分别是A和B
15 A B
（ ） （ ）
最小公倍数90=15×（ ）×（ ），有两种组合90=15×2×3=15×1×6，所
以这两个数是15×1=15,15 ×6=90，或15×2=30，15×3=45.

二、求最小公倍数在计算中的应用
（一）作用：
通分
1.通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数 ，叫做通分。
（通分时，公分母一般为几个数的最小公倍数）。
2.通分的方法：
（1）用列举法或短除法求出几个分数的分母的最小公倍数。
（2) 将每个分数用分数的基本性质，将分母化成它们的最小公倍数，分
母乘多少，分子乘多少。
（二）
同步练习：

4
5
13< br>51
19
1
711
（1） + +
－（＋） ＋（－）
5
17
1520
6
18
5
1710


（2）
15
3254
3854
3
＋＋＋ ＋＋ －－
11
5
117
7
59
12
9
11
①
8
χ＋
3
χ=14 ②χ－
3
=
11
11
8
5
16

③Ⅹ－=

1
2
4
5

16113519
1

④＋Ⅹ= ⑤2Ⅹ－=

⑥
X－(－)=
377183636
6
计算题方法解析：
异分母分数分数单位不相同，不能 直接相加减，通分就是把分数单位不同
的异分母分数化成分数单位相同的同分母分数。
计算步骤：
①用列举法或短除法求出所有分母的最小公倍数。
②用分数的基本性质把分数化成以最小公倍数为分母的分数。
③用同分母分数加减法的法则计算：即分母不变，分子相加减。

三、求最小公倍数在解决问题时的应用
1.月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水。2 018年5月10日，李梨
给月季和君子兰同时浇了水，下次给这两种花同时浇水是2018年几月几< br>日？
解题分析：每4天浇一次月季，即有1个4天就给月季浇一次水。同理，
每6天给 君子兰浇一次水，即1个6天就给君子兰浇一次水。6月10日李
阿姨同时给两种花浇水，那么从10日 起，每多1个4，给君子兰浇一次水，
每多1个6天，就给君子兰浇一次水，若两花最近依次同时浇水， 则一定

比6月10日多出的天数，是4和6的最公倍数。
解答过程：求6，4的最小公倍数。
2 6 4
3 2
6、4的最小公倍数为=2×3×2=12,6月12日+12日=6月24日
答：下次同时浇水在2018年6月24日。

2.二年级（2）班同学的总人数在 50以内，间操站队形，8人一组，或6人
一组，都正好分完。这个班可能是多少人？
解题分 析：求8和6的最小公倍数。由题意“三年级（1）班同学的总人数
在50以内，体育课上站队形，可以 分成8人一组，也可以分成6人一组，
都正好分完”可知，三年（1）班的人数一定是6和8的最小公倍 数的倍数。
而6和8的最小公倍数是24，所以这个班在50以内的人数可能是24或48.

同步练习：① 小卖部有70多个松花蛋，装4个一排的蛋托或装进6个一
排的蛋托中，都正好装完。有多少个蛋？ < br>关键点：本题和上题的区别是松花蛋的总数是70多，即松花蛋总数的十位
数字是已知的，所以本 题的答案唯一。

同步练习②8路车每6分钟发一次车，5路车每8分钟发一次车。它们在1 2:00
同时发车，至少过多少分钟两路车才第二次同时发车？

3.一家三口在体 育场跑步。爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟，小
红跑一圈用6分钟。

（1）如果爸爸妈妈同时起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？此时
爸爸妈妈分别跑了多少圈？
解题分析：在起点处再次相遇，意味着爸爸、妈妈分别跑了几个整圈后，
都在起点处再次相遇， 此时的时间一定是3和4的公倍数。
解答：3和4的最小公倍数是12，所以爸爸、妈妈至少12分钟后再次在起
点处相遇。
（2）如果三人同时起跑，多少分钟后又同时相遇？
解题分析：本题是求3、4、12的最小公倍数。

4. 一座喷泉共有内外两层喷 泉构成。外层喷泉每隔10分钟喷一次，里层喷
泉每隔6分钟喷一次。晚上5：45同时喷过一次后，下 一次同时喷水是几
时几分？
解题分析：每隔10分钟，是每11分喷泉喷一次，里面每隔6分 钟喷一次，
即每7分喷泉喷一次，所以下一次喷水的时间应该是10和6的最小公倍数。
解题过程：
11和7的最小公倍数为77分，5时45分+77分=7时2分
答：下一次喷水的时间为7时2分。

5.有一种饮料，小瓶装的6元一瓶，大瓶装 的8元一瓶。妈妈带的钱无论买
大瓶装还是小瓶装，都剩下3元。妈妈至少带了多少元？
解题 分析：妈妈无论买6元的大瓶装或是8元的大瓶装，都剩3元，即妈
妈的钱去掉3元，一定是6元和8元 的公倍数，6和8的最小公倍数是24，
所以妈妈的钱至少=24+3=27元。

奥数大展台：从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每< br>两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两
根不需移动外，中途还 有多少根不必移动？
解题分析：从学校到少年宫的这段路长50×（37－1）=1800米，从路的 一
端开始，是50和60的公倍数处的那一根就不必移动。因为50和60的最
小公倍数是30 0，所以，从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。1800
÷300=6，就是6根不必移动 。去掉最后一根，中途共有5根不必移动。